精品解析：浙江省 杭州市公益中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

杭州市公益中学2025学年第一学期期中阶段性质量检测 八年级数学 试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，△ABC的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. HL 4. 若，，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明它是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. 三边的长度分别为1，2， B. ，，的度数比为 C. D. 7. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 8. 如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，依据尺规作图痕迹，给出结论：①；结论②．下列判断正确是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 10. 如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，则下列代数式的值不变的是（ ）． A B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. a与3的和是正数，用不等式表示为_________. 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 13. 如图，点，分别在边，上，，，若，，则_____． 14. 已知关于的一元一次不等式的解集是，则的值是_____． 15. 如图，在等边中，点D、E分别在边上，，点F在延长线上，且，若，，则线段的长为_______． 16. 如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则： （1）________°； （2）____________________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元一次不等式 （1）； （2）． 18. 已知，的三边长分别为，，． （1）求的取值范围； （2）若它是一个等腰三角形，求它的周长． 19. 如图，在中，是的高，是的角平分线，已知． （1）求的大小． （2）若是的角平分线，求的大小． 20. 在如图所示的的方格图中，点，，，均在小方格的顶点上，设每个小方格的边长为，按要求作答． （1）画出线段关于直线对称的线段； （2）请仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线，分别交，于点，，并求出的长． 21. 如图，在四边形中，，平分，平分．求证： （1）点O为的中点； （2）． 22. 已知关于的方程的解为负数． （1）求的取值范围； （2）已知，求的取值范围． 23. 如图，在中，于点，点E在上，，连结．M，N分别是的中点，连结． （1）求证：． （2）求证：是等腰直角三角形． （3）若，求的长． 24. 若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如：图1，在中，，则为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高 ●特例感知：（1）等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ●深入探究：（2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； ●推广应用：（3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市公益中学2025学年第一学期期中阶段性质量检测 八年级数学 试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式并把解集在数轴上表示，熟练的掌握不等式的性质，会求不等式的解集，是解题的关键．注意：“”在数轴上是空心小圆圈，“”在数轴上是实心小圆点． 根据不等式性质，求出不等式的解集，进而判定在数轴上表示正确选项即可． 【详解】解：∵ ∴ 在数轴上表示D选项是正确的． 故选：D． 3. 如图，△ABC的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. HL 【答案】C 【解析】 【分析】根据现有的边和角利用全等三角形的判定方法即可得到答案. 【详解】根据题意可知，都是已知的，所以利用ASA可以得到△ABC的全等三角形，从而就可画出跟原来一样的图形. 故选：C. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 4. 若，，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、若，，则，故本选项正确，不符合题意； B、若，，则，故本选项正确，不符合题意； C、若，则 ，若，则，故本选项正确，不符合题意； D、若，，当 时，，故本选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 5. 对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明它是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了假命题，根据假命题的定义逐项判断即可求解，掌握假命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、，时，，但，能说明命题是假命题，该选项符合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 故选：． 6. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. 三边的长度分别为1，2， B. ，，的度数比为 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、， 是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，， 最大角， 不是直角三角形，故此选项符合题意； C、， 又， ， ， 是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，， ， 是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化， 理由是：连接OP，设 ∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a， ∴OP=AB=a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a； 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 8. 如图，在中，点M，N为AC边上两点，，于点D，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据看垂直平分线的性质可得，和可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可． 【详解】∵，，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9. 如图，在中，，依据尺规作图痕迹，给出结论：①；结论②．下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—基本作图、角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，由作图可得：平分，，由角平分线的性质定理可得，由即可判断①；证明即可判断②． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故②正确， 故选：A． 10. 如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，则下列代数式的值不变的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据正方形的性质求线段长，直角三角形全等的判定定理，灵活运用勾股定理，熟练掌握直角三角形全等的判定定理和勾股定理是解题的关键． 根据题意先求出的值，再逐个去判断． 【详解】解：设，则， 在正方形中， ， ， 由题意可知， 在正方形中， ， 在和中 ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 解得，， ，， ， ， A、，不是定值，故A不符合题意； B、，不是定值，故B不符合题意； C、，不是定值，故C不符合题意； D、，是定值，故D符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. a与3的和是正数，用不等式表示为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据和运算、正数大于0列出不等式即可． 【详解】解：与3的和是正数，用不等式表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列不等式，理解不等关系是解题关键． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 13. 如图，点，分别在边，上，，，若，，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理． 根据条件证明，得出相等的边，然后根据线段的和差进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 14. 已知关于的一元一次不等式的解集是，则的值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查根据不等式的解集求字母的值．先解不等式，然后根据不等式的解集是求出的值即可． 【详解】解：， 移项得， 当时，系数化为1得，舍去， 当时，系数化为1得， ∵不等式的解集是， ∴，即， 故答案为：． 15. 如图，在等边中，点D、E分别在边上，，点F在延长线上，且，若，，则线段的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点作，设，根据是等边三角形，，得到是等边三角形，已知，得到，，，在中，求得，表示出，根据是等腰三角形，，得到，即可求得线段的长． 【详解】解：过点作， 设， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，，， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 16. 如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则： （1）________°； （2）____________________． 【答案】 ①. 135 ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质、角平分线性质和等腰三角形的判定和性质； （1）由折叠得和，由题意得和，根据，即可求得； （2）延长交于H，根据题意，进一步得到是等腰直角三角形，求得，，有三角形面积求得，即可求得答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质得到：，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长交于H，如图， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元一次不等式 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． （1）先移项，然后解出答案即可； （2）先去分母，然后去括号，移项，最后解出答案即可； 【小问1详解】 解： ， 解得， ∴原不等式的解集为； 【小问2详解】 解： ， 解得， ∴原不等式的解集为． 18. 已知，的三边长分别为，，． （1）求的取值范围； （2）若它是一个等腰三角形，求它的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理（三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边），三角形周长的求解，先确定为等腰三角形时，再用三角形周长公式即可求解，能熟练运用三角形的三边关系定理是解题的关键. 【小问1详解】 解：∵三角形的三边关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：若为等腰三角形，或， 当时，不符合三角形的三边关系，应舍去， ∴， ∴等腰的周长为． 19. 如图，在中，是的高，是的角平分线，已知． （1）求的大小． （2）若是的角平分线，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质： （1）先根据三角形内角和定理可得，再由角平分线，得到，根据高的定义得到，即可求解； （2）由（1）得：，根据角平分线的定义分别得到∠BAG和∠ABG，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 20. 在如图所示的的方格图中，点，，，均在小方格的顶点上，设每个小方格的边长为，按要求作答． （1）画出线段关于直线对称的线段； （2）请仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线，分别交，于点，，并求出的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析，． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图，勾股定理与网格，解题的关键是借助网格找对称和垂直． （）分别画出点关于直线的对称点，连接点得到线段，线段即为所求； （）根据线段在网格图中的位置，作出线段的垂直平分线，根据线段在网格图中的位置，利用勾股定理求出线段的长度． 【小问1详解】 解：如图，分别画出点关于直线的对称点，连接点， ∴线段即为所求； 小问2详解】 解：如图，线段即为所求， 由网格可得：． 21. 如图，在四边形中，，平分，平分．求证： （1）点O为的中点； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质： （1）过O作于E，根据角平分线定理即可证明； （2）过O作于E，证明得，同理再证即可． 【小问1详解】 证明：过O作于E， ∵平分，， ∴， 同理，， ∴，即点O为的中点； 【小问2详解】 证明：过O作于E， ∵平分，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 同理，， ∴， 即． 22. 已知关于的方程的解为负数． （1）求的取值范围； （2）已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了方程与不等式． （1）先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可， （2）变形，把第一问的结果代入，即可． 小问1详解】 解：解得， 因为解为负数， 所以， 解这个不等式，得， 所以a的取值范围是； 【小问2详解】 ， ， ∴， ， ∴， ， ． 23. 如图，在中，于点，点E在上，，连结．M，N分别是的中点，连结． （1）求证：． （2）求证：是等腰直角三角形． （3）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，和斜边上的中线，得到，即可得证； （3）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； 【小问2详解】 证明∵， ∴，， ∵M，N分别是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：，是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，斜边上的中线，勾股定理．掌握相关性质是解题的关键． 24. 若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如：图1，在中，，则为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高 ●特例感知：（1）等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ●深入探究：（2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； ●推广应用：（3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 【答案】（1）是；（2），证明详见解析；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据勾股高三角形的定义，即可求解； （2）根据勾股定理，以及勾股高三角形的定义，可得，即可求解； （3）过点A作于点G，根据勾股高三角形的定义，可得，再证明，可得，然后根据等腰三角形的判定和性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，是等腰直角三角形，， ∵，且是边上的高， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形； 故答案为：是； （2），证明如下： ∵为勾股高三角形，是边上的高，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）如图，过点A作于点G， ∵为勾股高三角形，是边上的高，， ∴， 由（2）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $