精品解析：重庆市名校联盟2025-2026学年高二上学期第一次联合考试数学试卷

重庆市名校联盟2025—2026学年度第一期第一次联合考试 数学试卷（高2027届） 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆心为，半径为2的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 8 已知点，椭圆上两点，满足，当（ ）时，点横坐标绝对值最大． A. －2 B. 4 C. －3 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线过圆心． B. 若，，则直线与圆相交． C. 若直线与圆相离，则． D. 圆心到直线距离为3，则直线与圆相切． 10. 已知椭圆的离心率为，是的焦点，是上一动点，是圆上一动点，则（ ） A. B. 焦距为 C. 的最小值为1 D. 的最大值为5 11. 如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则三棱锥体积为定值 B. 若，则动点所围成的图形的面积为 C. 若，则的最小值为3 D. 若动点满足，则的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，直线，当时，______． 13. 已知，，，若，则的值为______． 14. 设点、为椭圆的两个焦点，离心率，是椭圆上与、不共线的任一点，是的内切圆圆心，延长交直线于点，则比值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知圆，直线． （1）求过圆心且与直线垂直的直线方程． （2）直线与圆交于，两点，求的面积． 16. 如图，长方体中，，，． （1）求证：平面平面． （2）求三棱锥的体积． 17. 已知椭圆：过点，且离心率． （1）椭圆的方程； （2）过右焦点的直线交椭圆于两点，，AB的中点为．设原点为，射线OM交椭圆于点，已知四边形AOBD为平行四边形，求直线的方程． 18. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 19. 设，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，且动点的轨迹为． （1）求轨迹的方程，并说明该方程表示的曲线形状． （2）已知，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹恒有两个交点，，且（为坐标原点），并求出该圆的方程． （3）已知，设直线与圆相切于，且与轨迹只有一个公共点，当为何值时，取得最大值？并求最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市名校联盟2025—2026学年度第一期第一次联合考试 数学试卷（高2027届） 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中关于坐标轴对称的点的坐标特征可直接得到结果. 【详解】点关于轴对称的点的坐标是. 故选：B 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可得直线的斜率为，进而得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 则直线的倾斜角为. 故选：C 3. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，易得，则是直线与所成角，进而求解即可. 【详解】连接， 根据正方体的性质可知， 所以是直线与所成的角， 由于三角形是等边三角形，所以， 即直线与所成的角的大小为. 故选：C 4. 如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意，为中点， 则. 故选：A 5. 已知圆心为，半径为2的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心和半径可直接写出圆的标准方程. 【详解】因为圆心为，半径为2，所以该圆的标准方程为：. 故选：B 6. 已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量运算可得，再由椭圆可知，即可得结果. 【详解】因为，圆心，半径为1，则， 可得， 由椭圆方程可知：，即恰为椭圆的右焦点， 则，所以. 故选：A. 7. 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用等面积法，而当时，取得最小值，由此计算可得结论. 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，，， ，要使得最小，只要最小，由切线长公式知，只要最小. 当时，，此时, 所以的最小值是， 故选：C. C 8. 已知点，椭圆上两点，满足，当（ ）时，点横坐标绝对值最大． A. －2 B. 4 C. －3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设，，先根据条件得到A，B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可解出. 详解】设，， 由可知：， 因为，则，整理得， 因为A,B在椭圆上，所以， 则，即， 与相减，整理得：， 所以， 即当时，的最大值为4，即的最大值为2． 所以当时，点横坐标的绝对值最大． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线过圆心． B. 若，，则直线与圆相交． C. 若直线与圆相离，则． D. 圆心到直线的距离为3，则直线与圆相切． 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得圆心和圆半径，根据直线与圆的位置关系逐项计算判断即可. 【详解】由圆，可知圆心，半径， 对于A，若，则直线，又，所以直线过圆心，故A正确． 对于B，若若，，则直线， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交，故B正确． 对于C，若直线与圆相离，则，所以，故C错误． 对于D，圆心到直线的距离为3，又，则直线与圆相切，故D正确． 故选：ABD. 10. 已知椭圆的离心率为，是的焦点，是上一动点，是圆上一动点，则（ ） A. B. 的焦距为 C. 的最小值为1 D. 的最大值为5 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用椭圆的几何性质，求得，得到，由椭圆的定义，可判定A正确；由椭圆的焦距为，可判定B不正确；由圆的方程，得到圆心坐标为，半径，设点，求得，得到，结合二次函数的性质和圆的性质，可判定C正确，D不正确. 【详解】由椭圆：的离心率为，可得， 解得，所以，则， 对于A中，由椭圆的定义，可得，所以A正确； 对于B中，椭圆的焦距为，所以B不正确； 对于C中，如图所示，圆，则圆心，半径， 设点，其中，则满足，可得， 则， 当时，取得最小值，，此时，所以C正确； 当时，取得最大值，，此时，所以D不正确. 故选：AC. 11. 如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则三棱锥体积为定值 B. 若，则动点所围成的图形的面积为 C. 若，则的最小值为3 D. 若动点满足，则的轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用向量运算、线面垂直性质、正弦定理、空间直角坐标系相关知识，通过对向量关系判断点的轨迹，利用线面垂直确定点的轨迹图形，由正弦定理和坐标运算求点的轨迹方程及轨迹长度. 【详解】对于A，因动点在正方体内及其边界上运动， 且，，则动点的运动轨迹为线段. 由于，平面，所以平面. 故三棱锥的体积为定值，A正确. 对于B，在正方形中，. 在正方体中，因为平面，又平面，所以. 因为，，，且，平面，所以平面. 动点在正方体内及其边界上运动，且， 所以动点围成的图形是矩形，其面积为，故B正确. 对于C，设边上的高为，则. 由正弦定理可得，所以，故. 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系. 则，，. 设，，，，则，. 又，则有，整理得， 所以动点的轨迹是以为球心，为半径且位于正方体内的部分球面. 又，所以，故C错误. 对于D，由，设，，，则， 即，化简得，表示以为球心，半径为的球. 又，，则，即， 化简得，表示以为球心，半径为的球. 两个球的交线轨迹是一段圆弧，计算其长度，两球心距离为，半径均为， 则交线圆弧对应的圆心角为，长度为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，直线，当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线垂直列方程，由此求得的值. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：. 13. 已知，，，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以，又， 所以，解得. 故答案为：. 14. 设点、为椭圆的两个焦点，离心率，是椭圆上与、不共线的任一点，是的内切圆圆心，延长交直线于点，则比值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合三角形角平分线的性质与比例的性质，可求的值. 【详解】如图：连接 因为为的内切圆圆心，所以平分， 根据三角形角平分线的性质，可得. 又平分，所以. 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线． （1）求过圆心且与直线垂直的直线方程． （2）直线与圆交于，两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化圆的方程为标准方程，可得圆心为，半径为，根据所求直线与直线垂直可得所求直线的斜率为，进而结合点斜式求解即可； （2）先求得圆心到直线的距离为，再利用几何法求得弦长，进而求解的面积. 【小问1详解】 由圆，即， 则圆心为，半径为， 直线的斜率为1， 则所求直线的斜率为， 所求直线的方程为，即. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为， 则， 所以的面积为. 16. 如图，长方体中，，，． （1）求证：平面平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）答案见解析； （2）10 【解析】 【分析】（1）由是长方体，得到，从而得到平面；由是长方体，得到，从而得到平面；根据平面与平面平行的判定定理得到平面平面 （2）转换三棱锥的顶点和底面，等体积法求解. 【小问1详解】 是长方体，，，， ，，为平行四边形，， 又平面，平面，平面； ，，，， ，，为平行四边形，， 平面，平面，平面； ，平面，平面，平面平面. 【小问2详解】 ，， . 17. 已知椭圆：过点，且离心率． （1）椭圆的方程； （2）过右焦点的直线交椭圆于两点，，AB的中点为．设原点为，射线OM交椭圆于点，已知四边形AOBD为平行四边形，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及焦距即可求解方程， （2）联立直线与椭圆的方程得到韦达定理，利用向量的坐标匀速即可代入坐标求解. 【小问1详解】 椭圆过点， ，又，， 解得：， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为， 由得， 设， 则.， 四边形为平行四边形. 设，则， 所以，， 因为点在椭圆上， 所以得，解得， 当直线的斜率不存在时，显然不成立 所以，直线的方程为或 18. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果． 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）［方法一］：【通性通法】向量法 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取 所以 ．由已知得 ． 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］：三垂线＋等积法 由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］：三垂线＋线面角定义法 由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在中，．因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角． 设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］：【最优解】定义法 如图7，取的中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角．在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 19. 设，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，且动点的轨迹为． （1）求轨迹的方程，并说明该方程表示的曲线形状． （2）已知，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹恒有两个交点，，且（为坐标原点），并求出该圆的方程． （3）已知，设直线与圆相切于，且与轨迹只有一个公共点，当为何值时，取得最大值？并求最大值． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析， （3）当时，取得最大值，最大值为1 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的数量积的坐标表示结合题设可得轨迹的方程为，进而分，，且三种情况讨论求解即可； （2）由题意得轨迹的方程为，设圆心在原点的圆的一条切线为，联立直线与椭圆方程，结合题意及韦达定理可得，即可验证，再结合直线与圆相切求得直线方程； （3）由题意得轨迹方程为，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合题意及韦达定理可得，，进而得到，可得，再结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 即. 当时，方程表示两直线，方程为； 当时， 方程表示的是圆； 当且时，方程表示的是椭圆. 【小问2详解】 当时， 轨迹的方程为， 设圆心在原点的圆的一条切线为， 由，得， 要使切线与轨迹恒有两个交点，，设，， 则， 即，即， 且，， 则， 由，则， 即，所以， 即且， 即恒成立. 又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为，， 所求的圆的方程为. 当切线的斜率不存在时，切线为，与交于点或，也满足. 综上所述， 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹恒有两个交点，，且. 【小问3详解】 当时，轨迹的方程为， 设直线的方程为， 因为直线与圆相切于， 则， 即①， 因为与轨迹只有一个公共点， 联立，得， 则， 即， ② 由①②得， 设点， 则， 又点在椭圆上，则，即， 所以， 在直角三角形中，， 因为当且仅当时取等号， 所以， 当时，取得最大值，最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $