2025年九年级数学中考专题07 一元二次方程及其应用中考数学专题复习讲义

专题07 一元二次方程核心知识点精讲 考点1、一元二次方程的概念 1.通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式 方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的三个条件：整式方程、含有一个未知数、未知数的最高次数是2。 3．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，形如ax2+bx+c=0 (a≠0，且a,b,c为常数)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 4.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 考点2、一元二次方程的解法 1.直接开平方法： （1）利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法。 （2）能用直接开平方法解一元二次方程有两类，形如：、 的方程，分情况求解：当时，或,,再进一步求出，的值；当时，或，再进一步求出，的值；当时,方程无实数根。 2.配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。 (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：。 (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　 ①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式。 　 ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1。 　 ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 　 ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数。 　 ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解。 3.公式法解一元二次方程： （1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是, 运用此公式解一元二次方程，这种方法叫作公式法。 （2）用公式法解一元二次方程的步骤：①若方程不是一般形式，先把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；②求出的值；③若，则把a、b、c的值代入求根公式，求出，的值。 4.用因式分解法解一元二次方程步骤：（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边因式分解成两个一次因式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 考点3、一元二次方程根的判别式 1.定义：一元二次方程根的判别式：。 2.一元二次方程根的情况：在实数范围内，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情 况由根的判别式，即确定。 ①当时，方程有两个不相等的实数根。 ②当时，方程有两个相等的实数根。 ③当时，方程没有实数根。 考点4、一元二次方根与系数的关系 1.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，，那么， 。 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用：(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根。(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数。 3.一元二次方程根与系数的常见的一些化简模型： ①。 ②。 ③。 ④。 ⑤。 ⑥。 ⑦。 ⑧。 4.已知方程的两根，求作一个一元二次方程：以两个数，为根的一元二次方程是。 考点5、列一元二次方程解应用题 1.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答(写出答案，切忌答非所问)。 2.常见应用题平均变化率问题： （1）平均增长（降低）率问题：设a为起始量，b为终止量，n为增长（降低）的次数，则平均增长率公式为（x为平均增长率），平均降低率公式为（x为平均降低率）。 （2）面积（体积）问题：将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的联系，根据面积（体积）公式列出一元二次方程。 （3）传染问题：传染源+第一轮被传染数+第二轮被传染数=第二轮传染后感染的总数。 （4）销售问题：利润=售价-进价；利润率= 售价进价×（1+利润率）；总利润总售价-总成本=单个利润×总销售量。 （5）单（双）循环比赛问题：设x(x≥2)为参加比赛的人数或队数，则单循环比赛场数为，双循环比赛场数为。 题型1：一元二次方程的解法 例1.解方程：（1）（直接开平方法）. （2）2x2﹣4x﹣8＝0（配方法）． （3）（公式法）. （4）x2﹣6x+5＝0（因式分解法）． 解：（1）， ∴或， ∴x1＝1，x2＝-4． （2）原方程可化为：x2﹣2x＝4， ∴，∴=或=-， ∴x1＝1+，x2＝1-． （3）∵a=3,b=,c=1，∴△=b2-4ac=()2-4×3×1=0， ∴，∴. （4）解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，x﹣1＝0，x﹣5＝0，∴x1＝1，x2＝5． 跟踪训练： 1.用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17 解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5．故选：C． 2.解方程： （1）x2﹣3x+2＝0． （2）x2﹣10x+3＝0； （3）3x（x+6）＝x+6． 解：（1）∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝2． （2）由题意，∵x2﹣10x+3＝0，∴x2﹣10x＝﹣3．∴x2﹣10x+25＝22，∴（x﹣5）2＝22， ∴，∴； （3）由题意，∵3x（x+6）＝x+6，∴3x（x+6）﹣（x+6）＝0， ∴（3x﹣1）（x+6）＝0，∴3x﹣1＝0，x+6＝0， ∴． 题型2：一元二次方程的判别式及应用 例1.已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝1时，用配方法解方程． 解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0， 解得：k＞﹣且k≠0； （2）当k＝1时， 原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0， 即x2﹣6x﹣5＝0， 移项得：x2﹣6x＝5， 配方得：x2﹣6x+9＝5+9， 即（x﹣3）2＝14， 直接开平方得：x﹣3＝±， 解得：x1＝3+，x2＝3﹣． 例2.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4（3m+6）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0， ∴不论实数m取何值，即方程总有实数根； （2）设方程的两个根为a，b， 则：a+b＝m+5，ab＝3m+6， 由题意可得：a2+b2＝25， ∴（a+b）2﹣2ab＝25， ∴（m+5）2﹣2（3m+6）＝25， 解得：m＝2或m＝﹣6， 当m＝﹣6时，a+b＝﹣6+5＝﹣1＜0，不合题意，舍去． ∴m＝2． 跟踪训练： 1.一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 解：由题意得，Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A． 2.若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0 解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0， 解得：m≤1且m≠0，故选：D． 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　　． 解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣a）＞0，解得a＞﹣4．故答案为：a＞﹣4． 4.已知关于x的方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 解：（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）＝m2+2m+5＝（m+1）2+4＞0 ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）解：设方程的另外一个根为a，则：， 解得：，，故m的值为，方程的另一个根为． 题型3：一元二次方程根与系数的关系及应用 例1.已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝　 　． 解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，∴a2+3a﹣4＝0，∴a2＝﹣3a+4， ∵a，b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，∴a+b＝﹣3， ∴a2+4a+b﹣3＝﹣3a+4+4a+b﹣3＝a+b+1＝﹣3+1＝﹣2．故答案为：﹣2． 例2.设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1）（x1+1）（x2+1）；（2）． 解：根据题意得x1+x22，x1x2，（1）原式＝x1x2+x1+x2+12+1； （2）原式． 例3.已知关于x的一元二次方程ax2﹣3x+3＝0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）方程的两个实数根x1，x2满足（x1+1）（x2+1）＝a，求实数a的值． 解：（1）由题意得：Δ＝（﹣3）2﹣4a×3≥0且a≠0， 解得：且a≠0； （2）由题意得：， ∵， ∴， 解得：a1＝﹣2，a2＝3（舍）， 经检验，a＝﹣2是原方程的解， ∴a＝﹣2． 跟踪训练： 1.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的 值为　 　． 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2， ∴x1+x2＝＝3，x1x2＝＝1，∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．故答案为：2． 2.已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1、x2，则的值为（　　） A．﹣3 B． C．1 D． 解：一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2＝3，x1x2＝2，∴，故选：D． 3.已知x1，x2是方程2x2+6x﹣10＝0的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2）． 解：（1）∵x1，x2是方程2x2+6x﹣10＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣5，则原式； （2）∵x1，x2是方程2x2+6x﹣10＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣5， 则原式9+10＝19． 4.已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 解：（1）∵一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根， ∴Δ＝4k2﹣4（k2+k）≥0．∴k≤0． （2）由题意，∵方程x2+2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k2+k． ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4k2﹣2k2﹣2k＝2k2﹣2k． ∵， ∴2k2﹣2k＝12，即k2﹣k﹣6＝0． ∴k＝﹣2或k＝3． 又∵结合（1）得，k≤0，∴k＝﹣2． 题型4：一元二次方程的应用 例1.建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440 万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x， 依题意得：1000（1+x）2＝1440， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． （2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区， 依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），解得：y≤， 又∵y为整数， ∴y的最大值为18． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区． 例2.某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销 售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降 6元，商场平均每天可多售出12件． （1）如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； （2）如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？ 解：（1）当单价降了15元时，盈利为（元）， 答：这批衬衫每天盈利1250元． （2）设衬衫的单价降了x元．， ∴x1＝20，x2＝10，∵减少库存，∴x＝20，答：衬衫的单价降了20元． 跟踪训练： 1.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了 45场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A．8 B．10 C．7 D．9 解：设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可得， 解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支队伍参加比赛．故选：B． 2.云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增 加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 解：（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 根据题意得：200（1+x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%. （2）设售价应降价y元，则每千克的销售利润为（18﹣y﹣8）元，每天能售出（120+15y）千克，根据题意得：（18﹣y﹣8）（120+15y）＝840， 整理得：y2﹣2y﹣24＝0，解得：y1＝6，y2＝﹣4（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 3.如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？ 解：设路宽应为x米 根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260， 解得：x＝4或40， 40不合题意，舍去， 所以x＝4， 答：道路的宽应为4米． 专题练习-基础过关 1.方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣1，4 B．3，4，﹣1 C．3，﹣4，﹣1 D．3，﹣1，﹣4 解：∵3x2﹣4x﹣1＝0，∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是3，﹣4，﹣1，故选：C． 2.用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x+1）2＝﹣2 B．（x+1）2＝2 C．（x+1）2＝﹣4 D．（x+1）2＝4 解：方程移项得：x2+2x＝3，配方得：x2+2x+1＝4，即（x+1）2＝4．故选：D． 3.已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（　　） A．0 B．﹣10 C．3 D．10 解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，∴mn＝﹣5， ∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，∴m2+2m﹣5＝0，∴m2+2m＝5， ∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．故选：A． 4.某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10.82 亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下 列方程正确的是（　　） A．3（1+x）＝10.82 B．3（1+x）2＝10.82 C．3（1+x）+3（1+x）2＝10.82 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10.82 解：设平均每天票房的增长率为x，则根据题意可列方程为3+3（1+x）+3（1+x）2＝10.82， 故选：D． 5.一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣5）＝24＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C． 6.如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC 的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽 度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是 （　　） A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600 C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600 解：∵人行通道的宽度为x m，∴每个展位的长为（25﹣2x）m，宽为m． 依题意得：•（25﹣2x）＝200，即（40﹣4x）（25﹣2x）＝600．故选：B． 7.若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 解：把x＝3代入方程，得：9a﹣3b＝6，即：3a﹣b＝2， ∴2023﹣6a+2b＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣2×2＝2019；故选：A． 8.已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2的值是（　　） A．2022 B．﹣2022 C．﹣2024 D．2024 解：根据根与系数的关系得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2023， 所x1+x2+x1x2＝（x1+x2）+x1x2＝1﹣2023＝﹣2022．故答案为：B． 9.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为73，则每个支干长出（　　）支小分支． A．7 B．8 C．9 D．10 解：由题意得：1+x+x2＝73，即x2+x﹣72＝0，∴（x+9）（x﹣8）＝0， 解得x1＝8，x2＝﹣9（舍去）答：每个支干长出8个小分支．故选：B． 10.若x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2的值为　 　． 解：∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣5．故答案为：﹣5． 11.已知m是方程x2﹣2x﹣2024＝0的一个根，则m2﹣2m的值为　 　． 解：∵m是方程x2﹣2x﹣2024＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣2024＝0，∴m2﹣2m＝2024． 故答案为：2024． 12.某读书小组在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其 他成员赠送一本，全组共互赠了210本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的 方程是　 　． 解：由题意可得，x（x﹣1）＝210，故答案为：x（x﹣1）＝210． 13.解下列方程： （1）x2+3x﹣4＝0. （2）2x2﹣4x﹣1＝0． （3）x2﹣2x﹣3＝0． （4）（2x+3）2＝（3x+2）2． 解：（1）x2+3x﹣4＝0， 则（x﹣1）（x+4）＝0， 则x﹣1＝0或x+4＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣4； （2）2x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣2x＝， ∴x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝， ∴x﹣1＝±， ∴x＝1±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣． （3）解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0 ∴x1＝3，x2＝﹣1． （4）解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2， 开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2， 解得：x1＝1，x2＝﹣1． 14.已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围． 解：（1）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣1） ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）x＝，解得x1＝﹣1，x2＝﹣m+1， ∵方程只有一个根是正数，∴﹣m+1＞0，∴m＜1． 15.若方程x2﹣2x﹣6＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列代数式的值． （1）x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　． （2）； （3）3x1﹣x2． 解：（1）∵方程x2﹣2x﹣6＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣6， （2）＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝22﹣2×（﹣6）＝4+12＝16； （3）∵方程x2﹣2x﹣6＝0的两根为x1，x2，∴， 即， ∴3x1﹣x22x1﹣x1﹣x2＝（2x1）﹣（x1+x2）＝6﹣2＝4． 16.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设x1，x2是方程的两个根且，求m的值． 解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0， 解得m， 故m的取值范围是m； （2）xxx1x2﹣6＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣6＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣6＝0， 解得m1，m2＝﹣2， ∵m，∴m的值为． 17.已知关于x的一元二次方程kx2+（2k﹣3）x+k+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求k的值． 解：（1）根据题意得Δ＝（2k﹣3）2﹣4k(k+2)＝﹣20k+9≥0 解得， ∵k≠0， ∴k的取值范围为且k≠0； （2）根据根与系数的关系得，； ∵， ∴， ∴； 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∵且k≠0， ∴． 18.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈 利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售 出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得： （20+2x）（40﹣x）＝1250， 解得：x1＝x2＝15， 答：衬衫的单价降了15元． 19.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客 人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5， 解得：x＝25%，x＝﹣（不合题意舍去）， 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人， 由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%）， 解得：a≤0.1， 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 20.如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形 围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米． （1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长； （3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由． 解：（1）设栅栏BC长为x米， ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴AB＝49+2﹣3x＝（51﹣3x）米， （2）（51﹣3x）x＝210，解得：x1＝7，x2＝10． 当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞25，不合题意，舍去， 当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意， 答：栅栏BC的长为10米； （3）不可能，理由如下：（51﹣3x）x＝270， x2﹣17x+90＝0，∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×90＝﹣71＜0，∴不可能达到270平方米． 21.2024年巴黎奥运会顺利举行，奥运纪念品深受喜爱，某商场两次购进A，B两款纪念品．第 一次购进A款纪念品100件，B款纪念品80件，共6200元，第二次购进A款纪念品150 件，B款纪念品40件，共6100元． （1）求A，B两款纪念品的进价各是多少元？ （2）商场为了尽快将A款纪念品销售完，决定对A款纪念品进行降价销售，当销售单价 为每个60元时，每周可以卖出50个，每降10元，每周就可以多卖100个，请问商场将每个A款纪念品降价多少元时，每周销售A款纪念品的利润为2340元？ 解：（1）设A款纪念品的进价是x元，B款纪念品的进价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A款纪念品的进价是30元，B款纪念品的进价是40元； （2）设商场将每个A款纪念品降价m元，则每个A款纪念品的销售利润为（60﹣m﹣30）元，每天可以售出（50100）个，即（50+10m）个， 根据题意得：（60﹣m﹣30）（50+10m）＝2340， 整理得：m2﹣25m+84＝0， 解得：m1＝21，m2＝4（不符合题意，舍去）． 答：商场将每个A款纪念品降价21元时，每周销售A款纪念品的利润为2340元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元二次方程核心知识点精讲 考点1、一元二次方程的概念 1.通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式 方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的三个条件：整式方程、含有一个未知数、未知数的最高次数是2。 3．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，形如ax2+bx+c=0 (a≠0，且a,b,c为常数)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 4.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 考点2、一元二次方程的解法 1.直接开平方法： （1）利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法。 （2）能用直接开平方法解一元二次方程有两类，形如：、 的方程，分情况求解：当时，或,,再进一步求出，的值；当时，或，再进一步求出，的值；当时,方程无实数根。 2.配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。 (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：。 (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　 ①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式。 　 ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1。 　 ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 　 ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数。 　 ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解。 3.公式法解一元二次方程： （1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是, 运用此公式解一元二次方程，这种方法叫作公式法。 （2）用公式法解一元二次方程的步骤：①若方程不是一般形式，先把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；②求出的值；③若，则把a、b、c的值代入求根公式，求出，的值。 4.用因式分解法解一元二次方程步骤：（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边因式分解成两个一次因式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 考点3、一元二次方程根的判别式 1.定义：一元二次方程根的判别式：。 2.一元二次方程根的情况：在实数范围内，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情 况由根的判别式，即确定。 ①当时，方程有两个不相等的实数根。 ②当时，方程有两个相等的实数根。 ③当时，方程没有实数根。 考点4、一元二次方根与系数的关系 1.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，，那么， 。 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用：(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根。(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数。 3.一元二次方程根与系数的常见的一些化简模型： ①。 ②。 ③。 ④。 ⑤。 ⑥。 ⑦。 ⑧。 4.已知方程的两根，求作一个一元二次方程：以两个数，为根的一元二次方程是。 考点5、列一元二次方程解应用题 1.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答(写出答案，切忌答非所问)。 2.常见应用题平均变化率问题： （1）平均增长（降低）率问题：设a为起始量，b为终止量，n为增长（降低）的次数，则平均增长率公式为（x为平均增长率），平均降低率公式为（x为平均降低率）。 （2）面积（体积）问题：将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的联系，根据面积（体积）公式列出一元二次方程。 （3）传染问题：传染源+第一轮被传染数+第二轮被传染数=第二轮传染后感染的总数。 （4）销售问题：利润=售价-进价；利润率= 售价进价×（1+利润率）；总利润总售价-总成本=单个利润×总销售量。 （5）单（双）循环比赛问题：设x(x≥2)为参加比赛的人数或队数，则单循环比赛场数为，双循环比赛场数为。 题型1：一元二次方程的解法 例1.解方程：（1）（直接开平方法）. （2）2x2﹣4x﹣8＝0（配方法）． （3）（公式法）. （4）x2﹣6x+5＝0（因式分解法）． 跟踪训练： 1.用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17 2.解方程： （1）x2﹣3x+2＝0． （2）x2﹣10x+3＝0； （3）3x（x+6）＝x+6． 题型2：一元二次方程的判别式及应用 例1.已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝1时，用配方法解方程． 例2.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 跟踪训练： 1.一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 2.若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　　． 4.已知关于x的方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 题型3：一元二次方程根与系数的关系及应用 例1.已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝　 　． 例2.设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1）（x1+1）（x2+1）；（2）． 例3.已知关于x的一元二次方程ax2﹣3x+3＝0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）方程的两个实数根x1，x2满足（x1+1）（x2+1）＝a，求实数a的值． 跟踪训练： 1.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的 值为　 　． 2.已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1、x2，则的值为（　　） A．﹣3 B． C．1 D． 3.已知x1，x2是方程2x2+6x﹣10＝0的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2）． 4.已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 题型4：一元二次方程的应用 例1.建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440 万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 例2.某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销 售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降 6元，商场平均每天可多售出12件． （1）如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； （2）如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？ 跟踪训练： 1.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了 45场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A．8 B．10 C．7 D．9 2.云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增 加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 3.如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？ 专题练习-基础过关 1.方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣1，4 B．3，4，﹣1 C．3，﹣4，﹣1 D．3，﹣1，﹣4 2.用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x+1）2＝﹣2 B．（x+1）2＝2 C．（x+1）2＝﹣4 D．（x+1）2＝4 3.已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（　　） A．0 B．﹣10 C．3 D．10 4.某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10.82 亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下 列方程正确的是（　　） A．3（1+x）＝10.82 B．3（1+x）2＝10.82 C．3（1+x）+3（1+x）2＝10.82 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10.82 5.一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 6.如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC 的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽 度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是 （　　） A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600 C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600 7.已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（　　） A．0 B．﹣10 C．3 D．10 8.已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2的值是（　　） A．2022 B．﹣2022 C．﹣2024 D．2024 9.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为73，则每个支干长出（　　）支小分支． A．7 B．8 C．9 D．10 10.若x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2的值为　 　． 11.已知m是方程x2﹣2x﹣2024＝0的一个根，则m2﹣2m的值为　 　． 12.某读书小组在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其 他成员赠送一本，全组共互赠了210本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的 方程是　 　． 13.解下列方程： （1）x2+3x﹣4＝0. （2）2x2﹣4x﹣1＝0． （3）x2﹣2x﹣3＝0． （4）（2x+3）2＝（3x+2）2． 14.已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围． 15.若方程x2﹣2x﹣6＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列代数式的值． （1）x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　． （2）； （3）3x1﹣x2． 16.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设x1，x2是方程的两个根且，求m的值． 17.已知关于x的一元二次方程kx2+（2k﹣3）x+k+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求k的值． 18.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈 利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售 出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 19.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客 人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 20.如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形 围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米． （1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长； （3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由． 21.2024年巴黎奥运会顺利举行，奥运纪念品深受喜爱，某商场两次购进A，B两款纪念品．第 一次购进A款纪念品100件，B款纪念品80件，共6200元，第二次购进A款纪念品150 件，B款纪念品40件，共6100元． （1）求A，B两款纪念品的进价各是多少元？ （2）商场为了尽快将A款纪念品销售完，决定对A款纪念品进行降价销售，当销售单价 为每个60元时，每周可以卖出50个，每降10元，每周就可以多卖100个，请问商场将每个A款纪念品降价多少元时，每周销售A款纪念品的利润为2340元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $