2025年九年级中考数学专题05 一次方程（组）及其应用中考数学专题复习讲义

专题05 一次方程（组）及其应用核心知识点精讲 考点1、等式及其性质 1.定义：用等号“=”来表示相等关系的式子叫作等式。 2.等式基本性质 基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即如果a=b，那么a±c=b±c。 基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，c≠0，那么。 考点2、方程的定义及方程的解 1.定义：含有未知数的等式叫作方程。 2.满足方程的条件：①是等式；②含有未知数。 3.方程的解与解方程 （1）方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。 （2）解方程：求方程解的过程叫作解方程。 考点3、解一元一次方程 1.一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程。 2.解一元一次方程的过程 步骤 具体做法 依据 去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数 等式的性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号） 分配率 去括号法则 移项 把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边 等式的性质1 合并同类项 系数相加，字母及字母的指数不变，把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程的两边同时除以a,得到方程的解。 等式的性质2 3.对于一元一次方程的解的情况有以下三种： ①时，方程有唯一的解。②时，方程无解。③时，方程有无数个解。 考点4、二元一次方程（组）的有关概念 1.定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。 2.判断二元一次方程的条件：①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数都是1； ③方程两边都是整式。 3.二元一次方程组 （1）定义：方程组中有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫作二元一次方程组。 注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起构成，如也是二元一次方程组。 （2）二元一次方程（组）的解 ①定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。 ②二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联力表示。 ③二元一次方程的整数解：一个二元一次方程在实数范围内有无数个解，也有无数个整数解，而它的正整数解（非负整数解、负整数解等）可能有无数个，也可能是有限个，也可能不存在。 （3）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。 考点5、解二元一次方程组 1.代入消元法 ：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，在代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 2.加减消元法：将同一未知数的系数化成互为相反数或相等的数，用加减消元法消去系数互为相反数或相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程，然后解出一元一次方程。 3.整体消元法：根据方程组中各系数的特点，可先将方程组中的一个方程或方程的部分看成一个整体，再用代入法或加减法，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解。 4.解二元一次方程组的一般步骤 二元一次方程组消元化为一元一次方程，求出一个未知数的值再求出另一个未知数的值，得出方程的解。 考点6、一次方程（组）的应用题 1.列一元一次方程或二元一次方程组解应用题步骤 ①审→分析题目中已知条件，求什么，明确各数量之间的关系。 ②设→用一个字母或两个字母表示题目中的未知数。 ③列→找出题目中等量关系列出方程。 ④解→解出列出方程。 ⑤验→检验所得结果是不是方程的解，是否符合问题的实际意义。 ⑥答→作答。 2.应用题常见的类型 （1）行程问题 ①航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度。 ②相遇问题 直线运动：甲、乙从两地出发，相向而行，则。 圆周运动：甲、乙由同一地点相背而行，则。 ③追及问题 若同时同地，慢者先出法，则慢者先行的路程+慢者被追及的路程=快者追及的路程。 若同时不同地，则快、慢两者间的距离+慢者所行的路程=快者所行的路程。 若在圆周上同时同地同向而行，则第一次追上时慢者所行路程+圆周长=快者所行路程。 （2）工程问题 ①工作量=工作效率×工作时间。 ②两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量（一般工作总量看作是1）。 （3）配套问题 若m件A产品与n件B产品配套，则A产品的数量×n=B产品的数量×m。 （4）利润（率）问题 利润=售价—进价（成本）；利润率= （5）积分问题 比赛总场数=胜场总数+平均总数+负场总数；比赛总分=胜场积分+平均积分+负场积分。 （6）储蓄问题 利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）。 （7）等积变形问题 常用等量关系：同一物体，变形前后体积相等。 （8）数字问题 两位数的表示：十位上的数字×10+个位上的数字。 三位数的表示：百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字。 （9）增长（降低）率的问题 原量×(1+增长率)=增长后的量；原量×(1-降低率)=减少后的量。 题型1：等式的性质 例1.如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（　　） A．x+y＝0 B． C．x﹣2＝y﹣2 D．x+7＝y﹣7 跟踪训练： 1.根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　） A．若，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b C．若a2＝b2，则a＝b D．若x＝6，则x＝﹣2 2.在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝， 去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（　　） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2 3.设a，b，c为互不相等的实数，且b＝a+c，则下列结论正确的是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b） 题型2：一次方程（组）的相关概念 例1.解一元一次方程时，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x 例2.已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，则a的值为 　2　． 跟踪训练： 1.解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（　　） A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x 2.若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2解的取值范围为（　　） A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5 3.关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 4.已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型3：一次方程（组）的解法 例1.解方程：． 例2.解方程组． 跟踪训练： 1.解方程：． 2.解二元一次方程组：． 3.解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5． 4.解方程组：． 题型4：一次方程（组）的应用 例1.某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后 车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． （1）求调入多少名工人； （2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要 2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 例2学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍． （1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格； （2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的3倍，请问最多能购买多少支羽毛球拍？ 跟踪训练： 1.“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了 一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就 会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？ 2.某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位； 租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量． 3.对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头， 左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等， 均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若 要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长． 4.根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%， 乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调 整前甲、乙两地该商品的销售单价． 5.某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元， 且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元． （1）求A，B玩具的单价； （2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ 6.学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B 种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元． （1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？ （2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 专题练习-基础过关 1.下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（　　） A． B． C． D． 2.方程3x＝2x+7的解是（　　） A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7 3.若x＝﹣4是方程a+3x＝﹣15的解，则a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣3 4.解方程，去分母正确的是（　　） A．2（2x+1）＝1﹣3（x﹣1） B．2（2x+1）＝6﹣3x﹣3 C．2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1） D．3（2x+1）＝6﹣2（x﹣1） 5.若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 6.已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（　　） A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝2 7.若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 （ 　） A．k≤1 B．k≤2 C．k≤﹣1 D．k≤﹣2 8.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 9.若解得x，y的值互为相反数，则k的值为（　　） A．4 B．﹣1 C．2 D．﹣5 10.若关于x的方程的解是x＝2，则a的值为　 　． 11.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最 早的幻方——九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方 中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的 数字之和都是15，则m的值为　 　． 12.已知关于x，y的二元一次方程组为，则3x+2y的值为　 　． 13. 解下列方程及方程组 （1）. （2）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x）. （3）. 14.已知方程组的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围． 15.已知方程组和有相同的解，求a、b的值． 16.一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离． 17.为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元． （1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？ （2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？ 18.某商店在一笔交易中卖了两个进价不同的随身听，售价都为132元，按成本计算，其中一个盈利20%，另一个盈利10%，则该商店在这笔交易中共赚了多少钱？ 19.如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元． 求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？ （2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次方程（组）及其应用核心知识点精讲 考点1、等式及其性质 1.定义：用等号“=”来表示相等关系的式子叫作等式。 2.等式基本性质 基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即如果a=b，那么a±c=b±c。 基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，c≠0，那么。 考点2、方程的定义及方程的解 1.定义：含有未知数的等式叫作方程。 2.满足方程的条件：①是等式；②含有未知数。 3.方程的解与解方程 （1）方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。 （2）解方程：求方程解的过程叫作解方程。 考点3、解一元一次方程 1.一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程。 2.解一元一次方程的过程 步骤 具体做法 依据 去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数 等式的性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号） 分配率 去括号法则 移项 把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边 等式的性质1 合并同类项 系数相加，字母及字母的指数不变，把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程的两边同时除以a,得到方程的解。 等式的性质2 3.对于一元一次方程的解的情况有以下三种： ①时，方程有唯一的解。②时，方程无解。③时，方程有无数个解。 考点4、二元一次方程（组）的有关概念 1.定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。 2.判断二元一次方程的条件：①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数都是1； ③方程两边都是整式。 3.二元一次方程组 （1）定义：方程组中有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫作二元一次方程组。 注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起构成，如也是二元一次方程组。 （2）二元一次方程（组）的解 ①定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。 ②二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联力表示。 ③二元一次方程的整数解：一个二元一次方程在实数范围内有无数个解，也有无数个整数解，而它的正整数解（非负整数解、负整数解等）可能有无数个，也可能是有限个，也可能不存在。 （3）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。 考点5、解二元一次方程组 1.代入消元法 ：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，在代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 2.加减消元法：将同一未知数的系数化成互为相反数或相等的数，用加减消元法消去系数互为相反数或相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程，然后解出一元一次方程。 3.整体消元法：根据方程组中各系数的特点，可先将方程组中的一个方程或方程的部分看成一个整体，再用代入法或加减法，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解。 4.解二元一次方程组的一般步骤 二元一次方程组消元化为一元一次方程，求出一个未知数的值再求出另一个未知数的值，得出方程的解。 考点6、一次方程（组）的应用题 1.列一元一次方程或二元一次方程组解应用题步骤 ①审→分析题目中已知条件，求什么，明确各数量之间的关系。 ②设→用一个字母或两个字母表示题目中的未知数。 ③列→找出题目中等量关系列出方程。 ④解→解出列出方程。 ⑤验→检验所得结果是不是方程的解，是否符合问题的实际意义。 ⑥答→作答。 2.应用题常见的类型 （1）行程问题 ①航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度。 ②相遇问题 直线运动：甲、乙从两地出发，相向而行，则。 圆周运动：甲、乙由同一地点相背而行，则。 ③追及问题 若同时同地，慢者先出法，则慢者先行的路程+慢者被追及的路程=快者追及的路程。 若同时不同地，则快、慢两者间的距离+慢者所行的路程=快者所行的路程。 若在圆周上同时同地同向而行，则第一次追上时慢者所行路程+圆周长=快者所行路程。 （2）工程问题 ①工作量=工作效率×工作时间。 ②两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量（一般工作总量看作是1）。 （3）配套问题 若m件A产品与n件B产品配套，则A产品的数量×n=B产品的数量×m。 （4）利润（率）问题 利润=售价—进价（成本）；利润率= （5）积分问题 比赛总场数=胜场总数+平均总数+负场总数；比赛总分=胜场积分+平均积分+负场积分。 （6）储蓄问题 利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）。 （7）等积变形问题 常用等量关系：同一物体，变形前后体积相等。 （8）数字问题 两位数的表示：十位上的数字×10+个位上的数字。 三位数的表示：百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字。 （9）增长（降低）率的问题 原量×(1+增长率)=增长后的量；原量×(1-降低率)=减少后的量。 题型1：等式的性质 例1.如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（　　） A．x+y＝0 B． C．x﹣2＝y﹣2 D．x+7＝y﹣7 解：A、由x＝y，得到x﹣y＝0，原变形错误，故此选项不符合题意； B、由x＝y，得到，原变形错误，故此选项不符合题意； C、由x＝y，得到x﹣2＝y﹣2，原变形正确，故此选项符合题意； D、由x＝y，得到x+7＝y+7，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：C． 跟踪训练： 1.根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　） A．若，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b C．若a2＝b2，则a＝b D．若x＝6，则x＝﹣2 解：选：A． 2.在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝， 去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（　　） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2 解：将等式I＝，去分母得IR＝U，实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等式的基本性质2．故选：B． 3.设a，b，c为互不相等的实数，且b＝a+c，则下列结论正确的是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b） 解：∵b＝a+c，∴5b＝4a+c， 在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a， 在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）＝a﹣c．故选：D． 题型2：一次方程（组）的相关概念 例1.解一元一次方程时，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x 解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，故选：D． 例2.已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，则a的值为 　2　． 解：，①﹣②得：x﹣y＝a+2， 又∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，∴a+2＝4，∴a＝2． 跟踪训练： 1.解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（　　） A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x 解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，去括号得：﹣4x﹣2＝x，故选：D． 2.若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2解的取值范围为（　　） A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5 解：x+a＝2，x＝﹣a+2，∵﹣3＜a≤3，∴﹣3≤﹣a＜3， ∴﹣1≤﹣a+2＜5，∴﹣1≤x＜5，故选：A． 3.关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 解：∵x＝1是关于x的一元一次方程2x+m＝5的解，∴2×1+m＝5，∴m＝3，故选：A． 4.已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 解：∵关于x、y的二元一次方程组为， ①﹣②，得：2x﹣2y＝2m+6， ∴x﹣y＝m+3， ∵x﹣y＝4， ∴m+3＝4， ∴m＝1．故选：B． 题型3：一次方程（组）的解法 例1.解方程：． 解：15﹣3（x﹣3）＝5（4﹣x）， 15﹣3x+9＝20﹣5x， ﹣3x+5x＝20﹣15﹣9， 2x＝﹣4， x＝﹣2． 例2.解方程组． 解：①+②，得4x+4y＝12， ∴x+y＝3③． ①﹣③，得2x＝2， ∴x＝1． ②﹣①，得2y＝4， ∴y＝2． ∴原方程组的解为． 跟踪训练： 1.解方程：． 解：， 3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24， 3x﹣9+2x﹣2＝24， 3x+2x＝24+9+2， 5x＝35， x＝7． 2.解二元一次方程组：． 解：， ①×2得：2x﹣2y＝2③， ②+③得：5x＝10， 解得：x＝2， 把x＝2代入①中得：2﹣y＝1， 解得：y＝1， ∴原方程组的解为：． 3.解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5． 解：4x﹣1＝2x+5， 4x﹣2x＝5+1， 2x＝6， x＝3． 4.解方程组：． 解：①×2+②得：5x＝25， 解得：x＝5， 将x＝5代入①得：5﹣2y＝1， 解得：y＝2，所以原方程组的解是． 题型4：一次方程（组）的应用 例1.某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后 车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． （1）求调入多少名工人； （2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 解：（1）设调入x名工人，根据题意得：16+x＝3x+4，解得x＝6， 答：调入6名工人； （2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6＝22（名）， 设y名工人生产螺栓，则（22﹣y）名工人生产螺母， ∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，∴240y×2＝400（22﹣y），解得y＝10， ∴22﹣y＝22﹣10＝12， 答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 例2学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍． （1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格； （2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的3倍，请问最多能购买多少支羽毛球拍？ 解：（1）设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元， 依题意得：，解得：． 答：每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元． （2）设购买m支羽毛球拍，则购买3m支乒乓球拍， 依题意得：80m+60×3m≤5300，解得：m≤． 又∵m为整数，∴m的最大值为20． 答：最多能购买20支羽毛球拍． 跟踪训练： 1.“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了 一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就 会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？ 解：设学校这次共买了x棵树苗，由题意的： ，解得：x＝81， 答：学校这次共买了81棵树苗． 2.某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位； 租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量． 解：设该客车的载客量为x人，由题意得： 4x+30＝5x﹣10，解得：x＝40． 答：该客车的载客量为40人． 3.对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头， 左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等， 均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若 要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长． 解：设天头长为6x cm，地头长为4x cm， 则左、右边的宽为x cm， 由题意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]， 解得x＝4， 答：边的宽为4cm，天头长为24cm． 4.根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价． 解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元， 由题意得：，解得：， 答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元． 5.某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元， 且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元． （1）求A，B玩具的单价； （2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ 解：（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为（x+25）元， 根据题意得：2（x+25）+x＝200， 解得：x＝50， 可得x+25＝50+25＝75， 则每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元； （2）设商场可以购置A玩具y个， 根据题意得：50y+75×2y≤20000， 解得：y≤100， 则最多可以购置A玩具100个． 6.学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元． （1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？ （2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 解：（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元， 由题意得：，解得：． 答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元． （2） ∵该班级计划购买A、B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳m根， （3） ∴购买B种跳绳（45﹣m）根．依题意得：， 解得：23≤m≤25.4， 又∵m为整数，∴m可以取23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳； 方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳； 方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳． （3）设购买跳绳所需总费用为w元，则w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675． ∵﹣5＜0，∴w随m的增大而减小， ∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝550． 答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是550元． 专题练习-基础过关 1.下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（　　） A． B． C． D． 解：A．当x＝1，y＝2时，方程左边＝2×1+3×2＝8，方程右边＝8， ∴方程左边＝方程右边，选项A符合题意； B．当x＝2，y＝1时，方程左边＝2×2+3×1＝7，方程右边＝8，7≠8， ∴方程左边≠方程右边，选项B不符合题意； C．当x＝﹣1，y＝2时，方程左边＝2×（﹣1）+3×2＝4，方程右边＝8，4≠8， ∴方程左边≠方程右边，选项C不符合题意； D．当x＝2，y＝4时，方程左边＝2×2+3×4＝16，方程右边＝8，16≠8， ∴方程左边≠方程右边，选项D不符合题意．故选：A． 2.方程3x＝2x+7的解是（　　） A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7 解：移项得：3x﹣2x＝7，合并同类项得：x＝7．故选：C． 3.若x＝﹣4是方程a+3x＝﹣15的解，则a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣3 解：把x＝﹣4代入方程得：a﹣12＝﹣15，解得：a＝﹣3．故选：D． 4.解方程，去分母正确的是（　　） A．2（2x+1）＝1﹣3（x﹣1） B．2（2x+1）＝6﹣3x﹣3 C．2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1） D．3（2x+1）＝6﹣2（x﹣1） 解：，去分母得2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）．故选：C． 5.若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 解：解2x＝8，得x＝4．由同解方程，得4a+2×4＝4．解得a＝﹣1，故选：B． 6.已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（　　） A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝2 解：根据题意得|m|＝1且m+1≠0，所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣1，所以m＝1． 故选：A． 7.若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 （　　） A．k≤1 B．k≤2 C．k≤﹣1 D．k≤﹣2 解：两方程相加，得3x+3y＝5k﹣1，∴， ∵，∴，解得：k≤1，故选：A． 8.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，∴x﹣y＝4.5； ∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，∴．∴所列方程组为 ． 故选：B． 9.若解得x，y的值互为相反数，则k的值为（　　） A．4 B．﹣1 C．2 D．﹣5 解：由题意可知：x+y＝0，∴，解得：， 将代入2x﹣ky＝6，得2×（﹣2）﹣2k＝6，解得：k＝﹣5．故选：D． 10.若关于x的方程的解是x＝2，则a的值为　3　． 解：把x＝2代入方程得：，解得：a＝3，故答案为：3． 11.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为　1　． 解：依题意，得：6+m+8＝15，解得：m＝1．故答案为：1． 12.已知关于x，y的二元一次方程组为，则3x+2y的值为　7　． 解：，①+②得：3x+2y＝7． 13. 解下列方程及方程组 （1）. 解：①+②得：5x＝15，解得：x＝3， 将x＝3代入①得：3×3+y＝8，解得：y＝﹣1，故原方程组的解为：． （2）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x）. 解：2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x）， 2x﹣3x+3＝5﹣5x， 2x﹣3x+5x＝5﹣3， 4x＝2，x＝． （3）. 解：方程组整理得：， ②×2﹣①得：5x＝12，解得：x＝， 把x＝代入②得：﹣y＝8，解得：y＝， 则方程组的解为． 14.已知方程组的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围． 解：①+②得：2x＝4， ∴x＝2， ①﹣②得：2y＝2， ∴y＝1， 代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5， ∴k＜2． ∴k的取值范围为：k＜2． 15.已知方程组和有相同的解，求a、b的值． 解：先解方程组， 解得：， 将x＝2、y＝3代入另两个方程， 得方程组：， 解得：． 16.一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离． 解：解法1：设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x-4)千米/时，由两码头的距离不变得方程： 3(x+4)＝5(x-4)，解得：x=16. （16+4）×3=60（千米）． 答：两码头之间的距离为60千米． 解法2：设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为千米/时，逆水航行时速度为千米/时，由船在静水中的速度不变得方程： ，解得：x=60． 答：两码头之间的距离为60千米． 17.为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元． （1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？ （2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？ 解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元． 根据题意得：， 解得：. 答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元． （2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳（46﹣a）根， 由题意得：30（46﹣a）+50a≤1780， 解得：a≤20， 答：至多可以购买B种跳绳20根． 18.某商店在一笔交易中卖了两个进价不同的随身听，售价都为132元，按成本计算，其中一个盈利20%，另一个盈利10%，则该商店在这笔交易中共赚了多少钱？ 解：设一个的进价为x元，根据题意可得： x（1+20%）=132， 解得：x=110， 设另一个的进价为y元，根据题意可得： y（1+10%）=132， 解得：y=120， 故该商店在这笔交易中共赚了：132+132﹣120﹣110=34（元）． 答：该商店在这笔交易中共赚了34元． 19.如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元． 求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？ （2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？ 解：（1）设该工厂从湖州购买了x吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干y吨， 根据题意得：，解得：． 答：该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨． （2）8000×20﹣2000×50﹣960﹣1900＝57140（元）． 答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57140元. 学科网（北京）股份有限公司 $