2025年中考数学复习专题01 实数中考专题复习讲义

专题01 实数的核心知识点精讲 考点1．实数的分类 1.按定义： 无理数的判断：①开方开不尽的数，如等； ②化简后含有π的数，如π+3； ③某些三角函数，如sin60°。 2.按正负：。 考点2．实数的相关概念 1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应。 2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0。 3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1。（0没有倒数） 4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|。 拓展：①正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数。 即。 ②任意数的绝对值都为非负数，即|a|≥0。 ③若数轴上A、B两点表示的数分别是a、b，则线段AB的长度为。 5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数。当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）。 6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 7．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根。 （2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根。 （3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为。 （4）①正数的平方根有两个，且互为相反数，正数的算术平方根就是正的平方根。 ②0的平方根和算术平方根都为0。 ③负数没有平方根和算术平方根。 （5）常用公式：，。 8．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根。 （2）表示：a的立方根表示为。 （3）常用公式：，，。 9．常用n次方数：22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，32=9，33=27，34=81，35=243，42=16，43=64，44=256，52=25，53=125，112=121，122=144，132=169，142=196，152=225，162=256，172=289。 考点3．实数的大小比较 （1）数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大； （2）类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小； （3）作差法比较法：若a>b，则a-b>0；若a=b，则a-b=0；若a<b，则a-b<0； （4）平方比较法：。 考点4．实数的运算 1．数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数。 正数的任何数次方都为正数；负数的偶数次方为正，负数的奇数次方为负；0的任何数次方都为0。 2．实数的运算： （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交 换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律。 （2）运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. 3．零次幂：a≠0，则a0=1。 4.负整数指数幂：若a≠0，n为正整数， 则。2 题型1：实数的概念 例1.﹣5的绝对值是（　　） A．5 B． C． D．﹣5 跟踪训练： 1.如果向东走10m记作+10m，那么向西走9m记作（　　） A．﹣10m B．+10m C．﹣9m D．+9m 2.的相反数是（　　） A． B． C．﹣6 D．6 3.2023的倒数是（　　） A．2023 B．﹣2023 C． D． 4.月球表面的白天平均温度零上126℃记作+126℃，夜间平均温度零下150℃应记作（　　） A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃ 题型2：实数的分类 例1.在实数-1，，，3.14中，无理数是（　　） A．﹣1 B． C． D．3.14 跟踪训练： 1.下列四个实数中，最小的数是（　　） A．﹣5 B．0 C． D． 2.下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 3.下列各数中，为有理数的是（　　） A． B．3.232232223… C． D． 题型3：数轴 例3.如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数的 点应在（　　） A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上 跟踪训练： 1.二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（　　） A．​ B． C． D． 2.如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（　　） A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣ 3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．ab＞0 B．a+b＞0 C．a+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b 题型4：科学记数法 例4.健康成年人的心脏每分钟流过的血液约4900mL．数据4900用科学记数法表示为（　　） A．0.49×104 B．4.9×104 C．4.9×103 D．49×102 跟踪训练： 1.截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000 用科学记数法表示应为（　　） A．23.9×107 B．2.39×108 C．2.39×109 D．0.239×109 2.据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科 学记数法表示是（　　） A．27.4×107 B．2.74×108 C．0.274×109 D．2.74×109 题型5：实数的大小比较 例5.已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（　　） A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a 跟踪训练： 1.在实数1，﹣1，0，中，最大的数是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D． 2.写出一个比﹣大且比小的整数　 　． 3.比较大小：　 　2．（填“＜”或“＞”） 题型6：平方根、算术平方根和立方根 例6.﹣8的立方根是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在 跟踪训练： 1.实数9的算术平方根是（　　） A． B．±3 C．3 D．﹣9 2.计算＝　 　． 3.的立方根是 　 　． 题型7：实数的运算 例7.计算：． 跟踪训练： 1.计算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）． 2.计算：4sin60°++|﹣2|． 3.计算：（π﹣2023）0+|1﹣|+﹣tan60°． 专题练习-基础过关 1.若零下2摄氏度记为﹣2℃，则零上2摄氏度记为（　　） A．﹣2℃ B．0℃ C．+2℃ D．+4℃ 2.据2023年5月21日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同 播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到935000000人 次，将数据935000000用科学记数法表示应为（　　） A．0.935×109 B．9.35×108 C．93.5×107 D．935×106 3.﹣（﹣2023）＝（　　） A．﹣2023 B．2023 C． D． 4.第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州举行，其主体育场及田径项目比赛场地—— 杭州奥体中心体育场，俗称“大莲花”，总建筑面积约216000平方米，将数216000用科学记 数法表示为（　　） A．216×103 B．21.6×104 C．2.16×105 D．0.216×106 5.下列实数中，无理数是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．5 6.如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 7.若|a|＝﹣a，a一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 8.已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2023的值是（　　） A．﹣2023 B．﹣1 C．1 D．2023 9.4的算术平方根是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D． 10.代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　． 11.的平方根是 　 　． 12.若a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b＝　 　． 13.某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作 　 　． 14．计算：|﹣1|﹣（﹣）2﹣12×． 15.计算：（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4． 16.计算：2cos30°+（﹣）﹣1+|﹣2|+（2）0+． 17.计算：． 18．计算：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数的核心知识点精讲 考点1．实数的分类 1.按定义： 无理数的判断：①开方开不尽的数，如等； ②化简后含有π的数，如π+3； ③某些三角函数，如sin60°。 2.按正负：。 考点2．实数的相关概念 1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应。 2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0。 3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1。（0没有倒数） 4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|。 拓展：①正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数。 即。 ②任意数的绝对值都为非负数，即|a|≥0。 ③若数轴上A、B两点表示的数分别是a、b，则线段AB的长度为。 5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数。当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）。 6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 7．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根。 （2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根。 （3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为。 （4）①正数的平方根有两个，且互为相反数，正数的算术平方根就是正的平方根。 ②0的平方根和算术平方根都为0。 ③负数没有平方根和算术平方根。 （5）常用公式：，。 8．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根。 （2）表示：a的立方根表示为。 （3）常用公式：，，。 9．常用n次方数：22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，32=9，33=27，34=81，35=243，42=16，43=64，44=256，52=25，53=125，112=121，122=144，132=169，142=196，152=225，162=256，172=289。 考点3．实数的大小比较 （1）数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大； （2）类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小； （3）作差法比较法：若a>b，则a-b>0；若a=b，则a-b=0；若a<b，则a-b<0； （4）平方比较法：。 考点4．实数的运算 1．数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数。 正数的任何数次方都为正数；负数的偶数次方为正，负数的奇数次方为负；0的任何数次方都为0。 2．实数的运算： （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交 换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律。 （2）运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. 3．零次幂：a≠0，则a0=1。 4.负整数指数幂：若a≠0，n为正整数， 则。2 题型1：实数的概念 例1.﹣5的绝对值是（　　） A．5 B． C． D．﹣5 解：﹣5的绝对值是5．故选：A． 跟踪训练： 1.如果向东走10m记作+10m，那么向西走9m记作（　　） A．﹣10m B．+10m C．﹣9m D．+9m 解：如果向东走10m记作+10m，那么向西走9m记作﹣9m．故选：C． 2.的相反数是（　　） A． B． C．﹣6 D．6 解：的相反数是，故选：B． 3.2023的倒数是（　　） A．2023 B．﹣2023 C． D． 解：2023的倒数是．故选：D． 4.月球表面的白天平均温度零上126℃记作+126℃，夜间平均温度零下150℃应记作（　　） A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃ 解：零上126℃记作+126℃，则零下150℃应记作﹣150℃，故选：B． 题型2：实数的分类 例1.在实数-1，，，3.14中，无理数是（　　） A．﹣1 B． C． D．3.14 解：实数﹣1，，，3.14中，无理数是，故选：B． 跟踪训练： 1.下列四个实数中，最小的数是（　　） A．﹣5 B．0 C． D． 解：∵1＜2，∴＜，即1＜，则＜，那么﹣5＜0＜＜，则最小的数为： ﹣5，故选：A． 2.下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 解：A．∵1＞，∴＞，即1＞，且是正无理数，则A符合题意； B．是负数，则B不符合题意； C．是分数，不是无理数，则C不符合题意； D．∵π＞3，∴＞1，则D不符合题意；故选：A． 3.下列各数中，为有理数的是（　　） A． B．3.232232223… C． D． 解：∵＝2，∴选项A符合题意； ∵3.232232223…， ，是无理数，∴选项B，C，D不符合题意，故选：C． 题型3：数轴 例3.如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数的 点应在（　　） A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上 解：∵3＜＜4，而数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，∴表示数的点应在线段CD上，故选：C． 跟踪训练： 1.二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（　　） A．​ B． C． D． 解：二次根式在实数范围内有意义，则1﹣x≥0，解得：x≤1，则实数x的取值范围在数轴上表示为：，故选：A． 2.如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（　　） A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣ 解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，∴OB＝2023， ∵点B在O点左侧，∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，故选：B． 3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．ab＞0 B．a+b＞0 C．a+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b 解：从图中得出：a＝2，﹣3＜b＜﹣2． （1）a和b相乘是负数，所以ab＜0，故A选项错误； （2）a和b相加是负数，所以a+b＜0，故B选项错误； （3）因为a＞b，所以a+3＞b+3，故C选项错误； （4）因为a是正数，所以﹣3a＜0，又因为b是负数，所以﹣3b＞0，即﹣3a＜﹣3b，故选项D正确，所以选择D；答案为：D． 题型4：科学记数法 例4.健康成年人的心脏每分钟流过的血液约4900mL．数据4900用科学记数法表示为（　　） A．0.49×104 B．4.9×104 C．4.9×103 D．49×102 解：4900＝4.9×103．故选：C． 跟踪训练： 1.截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000 用科学记数法表示应为（　　） A．23.9×107 B．2.39×108 C．2.39×109 D．0.239×109 解：239000000＝2.39×108，故选：B． 2.据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科 学记数法表示是（　　） A．27.4×107 B．2.74×108 C．0.274×109 D．2.74×109 解：274000000＝2.74×108．故选：B． 题型5：实数的大小比较 例5.已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（　　） A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a 解：∵3＜4＜5，∴＜＜，即＜2＜，则a＞b＞c，故选：C． 跟踪训练： 1.在实数1，﹣1，0，中，最大的数是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D． 解：∵﹣1＜0＜1＜，∴在实数1，﹣1，0，中，最大的数是，故选：D． 2.写出一个比﹣大且比小的整数　﹣1（或0或1）　． 解：∵1＜2＜4，∴1＜＜2，∴﹣2＜＜﹣1，∴比大且比小的整数有﹣1，0，1．故答案为：﹣1（或0或1）． 3.比较大小：　＞　2．（填“＜”或“＞”） 解：∵，又∵，∴，故答案为：＞. 题型6：平方根、算术平方根和立方根 例6.﹣8的立方根是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在 解：﹣8的立方根是，故选：A 跟踪训练： 1.实数9的算术平方根是（　　） A． B．±3 C．3 D．﹣9 解：实数9的算术平方根是3，故选：C． 2.计算＝　3　． 解：＝3．故答案为：3． 3.的立方根是 　2　． 解：＝8，＝2．故答案为：2． 题型7：实数的运算 例7.计算：． 解：原式＝. 跟踪训练： 1.计算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）． 解：原式＝（﹣1）×（﹣4）+4÷2＝4+2＝6 2.计算：4sin60°++|﹣2|． 解：原式＝4×+3+2﹣＝+3+2﹣＝5． 3.计算：（π﹣2023）0+|1﹣|+﹣tan60°． 解：原式＝1+﹣1+2﹣＝2． 专题练习-基础过关 1.若零下2摄氏度记为﹣2℃，则零上2摄氏度记为（　　） A．﹣2℃ B．0℃ C．+2℃ D．+4℃ 解：由零下2摄氏度记为﹣2℃可知，零下记为“﹣“，零上记为“+”，∴零上2摄氏度记为：+2℃．故选：C． 2.据2023年5月21日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同 播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到935000000人 次，将数据935000000用科学记数法表示应为（　　） A．0.935×109 B．9.35×108 C．93.5×107 D．935×106 解：935000000＝9.35×108，故选：B． 3.﹣（﹣2023）＝（　　） A．﹣2023 B．2023 C． D． 解：﹣（﹣2023）＝2023，故选：B． 4.第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州举行，其主体育场及田径项目比赛场地—— 杭州奥体中心体育场，俗称“大莲花”，总建筑面积约216000平方米，将数216000用科学记 数法表示为（　　） A．216×103 B．21.6×104 C．2.16×105 D．0.216×106 解：216000用科学记数法表示为2.16×105．故选：C． 5.下列实数中，无理数是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．5 解：A、﹣2是有理数，故此选项不符合题意； B、0是有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、5是有理数，故此选项不符合题意；故选：C． 6.如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 解：由数轴得：A表示﹣1，则比数轴上点A表示的数大3的数是：﹣1+3＝2．故选：D． 7.若|a|＝﹣a，a一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 解：∵非正数的绝对值等于他的相反数，|a|＝﹣a，a一定是非正数，故选：C． 8.已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2023的值是（　　） A．﹣2023 B．﹣1 C．1 D．2023 解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，（a+2）2≥0，|b﹣1|≥0，∴a+2＝0，b﹣1＝0， 解得a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故选：B． 9.4的算术平方根是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D． 解：4的算术平方根是：.故选：C． 10.代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥5　． 解：由题意得，x﹣5≥0，解得x≥5.故答案为：x≥5． 11.的平方根是 　±2　． 解：由于＝4，所以的平方根是＝±2，故答案为：±2． 12.若a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b＝　3　． 解：∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴a＝1，b＝2，则a+b＝1+2＝3，故答案为：3． 13.某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作 　﹣5　． 解：∵进货10件记作+10，∴出货5件应记作﹣5，故答案为：﹣5． 14．计算：|﹣1|﹣（﹣）2﹣12×． 解：原式＝﹣1﹣3+4＝． 15.计算：（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4． 解：（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4＝1×2﹣8×＝2﹣2＝0． 16.计算：2cos30°+（﹣）﹣1+|﹣2|+（2）0+． 解：原式＝2×﹣2+2﹣+1+3＝4． 17.计算：． 解：原式＝+9﹣1﹣2＝+6． 18．计算：. 解：原式=. 1 学科网（北京）股份有限公司 $