专题五 几何综合型问题-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学精讲本

专题五 几何综合型问题 类型1 平移型问题 类型2 折叠型问题 紧扣平移的性质：把一个图形整体沿某一 探究以折叠为背景的几何问题时，注意折 直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与 叠的性质的灵活运用，寻找相等的边和角，利用 原图形的形状和大小完全相同：新图形中的每 全等、相似、勾股定理寻找几何量之间的关系 一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的， ☑即时演练 这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平 2.【课本再现】(1)如图1，四边形ABCD是一个 行（或共线）且相等，找到相等线段和角是解题 正方形，E是BC延长线上一点，且AC=EC, 关键， 则∠DAE的度数为 心即时演练 【变式探究】(2)如图2，将(1)中的△ABE沿 1.原可如图1，在矩形ABCD中，AB=4, AE折叠，得到△AB'E,延长CD交BE于点 BC=8,E为BC边上一点，将Rt△ABE在 F,若AB=2,求B'F的长， 直线BC上向右平移，得到Rt△FGC. 【延伸拓展】(3)如图3，当(2)中的点E在射 (1)求证：四边形AECF是平行四边形： 线BC上运动时，连接BB与AE交于点P. (2)若四边形AECF为菱形，求该菱形的面积： 探究：当点E在运动的过程中，存在使D,P (3)如图2，在(2)的条件下，作EH⊥AE交 两点间的距离最短的点P,请求出D,P两点 CD于点H,交CF于点K,求HK的长， 间的最短距离。 N☒ 图2 156中考复习指南·数学 3.(2024·湖北)在矩形ABCD中，点E,F分别 在边AD,BC上，将矩形ABCD沿EF折叠， 使点A的对应点P落在边CD上，点B的对 应点为点G,PG交BC于点H. (1)如图1，求证：△DEP∽△CPH: (2)如图2，当P为CD的中点，AB=2,AD= 图1 图2 3时，求GH的长： (1)求证：△ABC∽△CBO: (3)如图3，连接BG,当P,H分别为CD,BC (2)如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到 的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说 △A'OC',旋转角为a(0°<a<360),连接 明理由。 A'M.C'M. ①求△A'MC'面积的最大值及此时旋转角a 的度数，并说明理由： ②当△A'MC‘是直角三角形时，请直接写出 旋转角a的度数. 类型3 旋转型问题 以旋转为背景的几何综合题，注意通过旋 转构造“手拉手”全等或相似模型；构造“半角” 5.(2024·成都)数学活动课上，同学们将两个 全等模型：构造“对角互补”全等或相似模型来 全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个 解决几何问题.在压轴题中求最值时注意隐藏 顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转， 条件的应用：注意求线段长或角度时由于旋转 来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片 位置不定，常要分类讨论 ABC和ADE中，AB=AD=3,BC=DE=4, ∠ABC=∠ADE=90 心即时演练 【初步感知】 4.(2024·广西)如图1，△ABC中，∠B=90°， (1)如图1，连接BD,CE,在纸片ADE绕点 AB=6,AC的垂直平分线分别交AC,AB于 点M,O,CO平分∠ACB. A旋转过程中，试探究配的值。 专题五几何综合型问题157 【深入探究】 (2)若正方形的面积为S,重叠部分的面积为 (2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中， S,在旋转过程中S与S的关系为 当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角 线上时，延长ED交AC于点F,求CF的长 顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边 【拓展延伸】 分别交正方形两边于E,F两点，小宇经过多 (3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究 次实验得到结论BE+DF=√2OC,请你帮他 C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直 进行证明. 接写出所有直角三角形CDE的面积：若不 能，请说明理由。 图 图2 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一 图1 图2 备用闲 个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在 旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点 M,斜边交BC于点N,且BM=BN时，请求 出重叠部分的面积 (参考数据：m15=6,巨os15=6+2 4 4 tan15°=2-√3) 6.综合与实变问题提出：在一次综合与实践活动 2024·眉山 中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板 的一个顶点放在正方形的中心O处，并绕点 O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重 叠部分的面积变化情况。 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点 O处，在旋转过程中： (1)若正方形边长为4，当一条直角边与对角 线重合时，重叠部分的面积为 :当一 条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分 的面积为 158中考复习指南·数学 类型4 动点型问题 8.(2024·南充)如图，正方形ABCD的边长为 解决几何探究中的动点问题，常将动态化 6cm,点E为对角线AC上一点，CE=2AE, 成静态，“动中取静”，找到不变的位置关系或等 点P在AB边上以1cms的速度由点A向 量关系，通过动点处于某种特殊位置产生几何 点B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的 关系建立某种数量关系列方程求解.在动点背 速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒 景下求最小值时，注意区分动点的运动轨迹是 (0<t3). “线”还是“弧” 心即时演练 7.(2024·凉山)如图，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，AB=2,E是BC边上一个动点，连接 AE,AE的垂直平分线MN交AE于点M, (1)求证：△AEP∽△CEQ: 交BD于点N,连接EN,CN. (2)当△EPQ是直角三角形时，求t的值： (3)连接AQ,当tan∠AQE=号时，求△AEQ 的面积 (1)求证：EN=CN; (2)求2EN+BN的最小值. 专题六二次函数综合 类型1二次函数与线段有关的问题 表示线段长，如点A(x1,y),点B(x2),则 一、线段的数量关系 AB=V(x1-x2)+(y-y2) 1.线段长度的表示 2.求解线段数量关系问题 (1)当线段为竖直线时，线段的长度为线段上 (1)两条线段在同一条直线上 端点与下端点纵坐标的差： ①线段与坐标轴平行：先表示出两条线段的 (2)当线段为水平线时，线段的长度为线段右 长，再根据线段数量关系列方程求解： 端点与左端点横坐标的差： ②斜线段：先表示出两条线段的长，再根据线 (3)当线段为斜线段时，利用两点间距离公式 段数量关系列方程求解：或先以两条线段为 专题六二次函数综合159由若a十g45,iama=3,则tan月=号可得 ∴tan∠OBM- tam∠NAE=2 8删30A=20r (3)由2知am∠NME-名票- (3)过O作∠BG=∠AOF,OG交BC于点G, .A(4,3),.AN=4,ON=3, Y平-NE=2. B G C .OE=ON-NE=3-2=1,∴.E(0,1), ,四边形ABCD是平行四边形，∴.CD=AB, 设直线AE的解析式为y=kx十b, ∠C=∠BAD 把A(4,3,E(0,1D代人得6-1. 4k+b=3, :∠BOG=∠AOF,∴∠AOB=∠FOG 解得 :∠ABF+∠AOF=∠ABF+∠BAD=18O°， .∠OAB+∠OFB=180°. k=- “直线AE的解析式为)y=2+1 又，∠OFG+∠OFB=180°， b=1, ∴.∠OFG=∠OAB.∴.△OFG∽△OAB, 5.证明：(1)，四边形ABCD,ABCO是正方形， ∴.∠BC=90°，∠EOF=90°，OB=0C,∠OBE= 號器 ∠OCF=45°. '∠C=∠BAD,∠AOF=∠BAD,∠BOG= ∴.∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°， ∠AOF,∴.∠BOG=∠C. .∠BOE=∠COF. 又，∠OBG是公共角，∴△BOG∽△BCD, I∠BOE=∠COF, 品0畏器提 在△BOE与△COF中，OB=OC, ∠OBE=∠OCF, 专题五几何综合型问题 ∴.△BOE≌△COF(ASA),∴.OE=OF 1.(1)证明：△ABE平移得到△FGC,即AE∥ (2)过点O作OM⊥BC于点M,反向延长 CF,AF∥EC,故四边形AECF是平行四边形 OM交AD于点N, (2)解：，四边形AECF为菱形，.AE=EC 设EC=x,∴AE=x,BE=8-x, 在Rt△ABE中，AB=4,∠ABE=90°， 根据勾股定理得AB2十BE=AE, B ∴.4+(8-x)2=x2,.x=5,.EC=5, 四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AB,∠C=90°，AD∥BC, .S菱形Ar=EC·AB=5×4=20. (3)解：：∠HEC=90°-∠AEB=∠BAE, .MN⊥BC,∴.MN⊥AD, ∠B=∠HCE=90°，∴△ABE△ECH, ∴.∠OMF=∠ANO=90°，BM=AN, .∠OAN+∠AON=90° 器器H孕 :∠AOF=90°，∴.∠FOM+∠AON=90°， ,AE∥CF,∴∠EKC=∠AEK=90°=∠B, ∴∠OAN=∠FOM. 又∠HEC=∠BAE, △aANn△FOM8需兴 △ABEn△KC震坠-号 'tan∠DBC=DC-L BC 2' EK=4.:HK-EH-EK=9 41 ·35· 2.解：(1)22.5°. :P为CD的中点DP=CP=号×2=1， (2),四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=2,∴AC=√AB+BC=2√2， 设EP=AE=x,∴.ED=AD-AE=3-x, 在Rt△EDP中，EP=ED+DP, ∴.CE=AC=2√2，∴.BE=BC+CE=2+2√2， 由折叠的性质得到BE=BE=2+2√2， 即2=(8-x)P+13,解得x-号 ∠CEB'=2∠AEC, :∠AEC=∠DAE=∠EAC=22.5, EP=AE=x=号ED=AD-AE-号 ∴∠CEB=2∠CEA=45°，.CF=CE=2√2， 4 ∴.EF=√CE+CF=4, :△DEPn△CPH肥-3即 3 .BF=BE-EF=2+2√2-4=2√2-2. (3)由折叠知BB⊥AE,∴.∠APB=90°， PmPH=是GH=PG-PH= ∴.点P在以AB为直径的圆上运动， (3)解：如图，延长AB,PG交于一点M,连接 设AB的中点为Q,连接DQ,则当点P在 AP. DQ上时，D,P两点间的距离最短，设AE交 CD于点G,如图， ,E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE 沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上， DQ-/AD FAQ-5.PQ=AB=1. ∴.AP⊥EF,BG⊥直线EF, .DP=5-1, ∴.BG∥AP,AE=EP, ∴.∠EAP=∠EPA,.∠BAP=∠GPA, 即D,P两点间的最短距离为5一1. ∴.△MAP是等腰三角形，∴.MA=MP, 3.(1)证明：如图， P为CD的中点，∴设DP=CP=y, ∴.AB=PG=CD=2y, H为BC的中点，.BH=CH, .'∠BHM=∠CHP,∠HBM=∠PCH, |∠BHM=∠CHP, ,四边形ABCD是矩形， 在△MBH与△PCH中，BH=CH, .∠A=∠D=∠C=90°，∴.∠1+∠3=90°， ∠HBM=∠PCH,. ,E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE '.△MBH≌△PCH(ASA),∴.BM=CP= 沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上， y,HM=HP,..MP=MA=MB+AB=3y, ∴∠EPH=∠A=90°，∴.∠1+∠2=90°， ∴.∠3=∠2，.△DEP∽△CPH. .HP-3PM-y (2)解：，四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D= 在Rt△PCH中，CH=√PF-PC=5 , ∠C=90°. ..BC=2CH=V5y,..AD=BC=V5y, ·36· 在Rt△APD中，AP=√AD+PD=6y, 同理MA'<A'C',∴.△A'MC为直角三角形 ,BG∥AP,∴.△BMG∽△AMP, 时，只有∠A'MC'=90°， 0别-方- 当A和C重合时，如图， 3y, ,A5=2义=6，AB=6BG. …BG 33 A(C) 4.(1)证明：，MO垂直平分AC, .OA=OC,∴∠A=∠ACO, ,CO平分∠ACB,∴.∠ACO=∠OCB, △AOC≌△A'OA,∴.∠A'=∠CAO=30°， ∴.∠A=∠OCB, ∠OAA'=∠OCA=30°，∴∠AOA=120°， 又∠B=∠B,∴.△ABC∽△CBO. ∴.∠AOM=60°，∴.∠A'OA+∠AOM=180°， (2)解：①∠B=90°， ∴.A',O,M三点共线， ∴.∠A+∠ACO+∠OCB=90°， ∴.△AMC'为直角三角形， ∴.∠A=∠ACO=∠OCB=30°， 此时旋转角a=∠A'OA=120°； ∴B0-2C0-2A0, 当A'和C重合时，如图， C(A) 又AB=AO+BO=6,∴.BO=2,AO=4, ,MO垂直平分AC, ∴0M=2A0=2,AC=2AM, B ∴.AM=√AO-M=2√/3，∴.AC=4√5. 取A'C'中点M',连接OM',MM',作MN⊥ 同理∠0CC=∠CAO=30°，∠C=∠CCA= A'C于N, 30°，∴.∠C0C=120°， :AO=CO,∠AOM=60°，.∠COM= ∠AOM=60°，∴.∠COM+∠COC'=180°， ∴.C,O,M三点共线，又∠AMO=90°， ∴.△AMC'为直角三角形， 此时旋转角a=360°-∠A'OA=240°， 综上，旋转角aα的度数为120或240°时， 由旋转的性质知△AOC≌△A'OC',OM为 OM旋转α所得线段， △AMC'为直角三角形. 5.解：(1)，AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC= ∴.OM⊥A'C',A'C'=AC=43,OM=OM=2, ∠ADE=90°，∴.△ADE≌△ABC(SAS), 根据垂线段最短知MV≤MM, ∴.AC=AE=√JAB+BC=√AD+DE= 又MM≤OM+OM',∴.当M,O,M'三点共 5,∠DAE=∠BAC, 线，且点O在线段MM'上时，MN取最大值， ∴.∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC, 最大值为2+2=4，此时a=180°， 即∠CAE=∠BAD, ∴△AMC面积的最大值为)×43×4=8V3. ..ABAC ·ADAE =1,.△CAEP△BAD, ②：MC≤MO+OC=2+4=6,A'C'=4V3, ∴.MC<A'C', 罂怨是 5 ·37· (2)如图，连接CE,延长BD交CE于点Q,连 25+7 接AQ交DE于点P,延长EF交BC于点N. 84 示，解得CF- 5 391 4 (3)如图，当AD在AC边上时，DE⊥AC,此 时△CDE是直角三角形， 根据(1)得△CAEp△BAD,.∴.∠ABD=∠ACE, :BM是中线，.BM=AM=CM=2AC= 3ZMBC-∠MCa. 故S△DE= 2CD·DE=号X(AC-AD)× :∠ABD+∠MBC=90°， DE=号×2X4=4 .∠ACE+∠MCB=90°，即∠BCE=90°， 如图，当AD在CA的延长线上时，DE LAC,此 .AB∥CQ,.∠BAM=∠QCM,∠ABM= 时△CDE是直角三角形， ∠CQM, ∠BAM=∠QCM, ·∠ABM=∠CQM, AM=CM, ∴.△BAM≌△QCM(AAS),∴.BM=QM, .四边形ABCQ是平行四边形， 故SE=CD·DE=)X(AC+AD)X 又，∠ABC=90°，∴.四边形ABCQ是矩形， .AB=CQ=3,BC=AQ=4,∠AQC=90°， DE=×8X4=16: ∴.PQ∥CN,EQ=√AE-AQ=3, 如图，当DE⊥EC时，△CDE是直角三角形， 职器g-10Cw. 过点A作AQ⊥EC于点Q, 设PQ=x,CN=2x,则AP=4-x, I∠EPQ=∠APD, ∠EQP=∠ADP=90°， EQ=AD=3, ∴△EQP≌△ADP(AAS), ..AP=EP=4-..EP2=PQ2+EQ2, :AE=AC=5,∴EQ=QC=专EC, 4-=父+3解得x名： AQ⊥EC,DE⊥EC,DE⊥AD, ∴.四边形ADEQ是矩形， AP=4-x=g,CN=2x=子， AD=EQ=QC=号EC=3,∴EC=6, :PQ∥CN,AC=5, AAPPO△CNFS-￥. 故SE=2EC·DE=号×6×4=12： ..AP+CN_AF+CF 如图，当DC⊥EC时，△CDE是直角三角形， CN CF 过点A作AQ⊥EC于点Q,交DE于点N, ·38· 易证四边形OGBH是正方形， ∴.BG=BH=OG=OH, .BM=BN,∴.GM=NH, .∠OGM=∠OHN=90°， ∴EQ-QC=号EC=,NQ/CD, ∴.△OGM≌△OHN(SAS), 、器1， .SAaM=SAOHN,∠GOM=∠NOH, ∠MON=60°， DN-EN-DE-2.QN-7DC. ∴∠G0M=号×(90°-609=15， :'∠AND=∠ENQ,∠ADN=∠EQN=90°， .∠DAN=∠QEN, OG=2,S正方形0GBH=4, .∴.tan∠DAN=tan∠QEN, tan∠G0M=tan15°-g-2-5, OG 器号QN-导 ∴.GM=2×(2-3)=4-23, DC-3,CE=2, ∴Saw=20G.GM=号×2X(4-23) ED=DCe+EC,=(2x)P+(传)， 4-25, r2 36 ∴.重叠部分的面积为S四边彩ON=S正方形BH 13 2S△0aM=4-2×(4-23)=43-4. 故Sm-号CDC-×2xX号-r 7.(1)证明：连接ANV, D 告×-提 综上所述，C,D,E三点能构成直角三角形， 且直角三角形的面积为4或16或12或号， 四边形ABCD是菱形： 6.解：操作发现：(1)4,4. (2)S=4S. ∴∠ABD-=∠CBD-号∠ABC-30,BA=BC, 类比探究： 证明：，四边形ABCD是正方形， .BN=BN. ∴.AC⊥BD,OB=OC=OD=OA,∠BCO= .△ABN≌△CBN(SAS),.∴.AN=CN, ∠OCD=45°， ,MN是AE的垂直平分线， :∠FOE=∠BOC,∴.∠EOB=∠FOC, ..AN=NE,..EN=CN. .△EOB≌△FOC(ASA),∴.BE=CF, (2)解：过点N作NF⊥BC于点F,连接 .'BE+DF=CF+DF=CD, AN.AF, .CD=2OC,∴.BE+DF=√2OC. 拓展延伸： 过点O作OG⊥AB于点G,OH BC于点H. DBC=30,..NF=BN,AN=EN, :.2EN+BN=2(EN+7BN)=2 (AN+ NF)≥2AF, ·39· 当点A,V,F三点共线时，取得最小值，如图： 即2-41+8=52-361+72+42-16t+32, 整理得一6t十12=0，该方程无实数解. 综上所述，当△EPQ是直角三角形时，t的值 为6-2√3秒或2秒. B(E F (3)解：过点A作AF⊥AC,交CB的延长线 即AF⊥BC,∴.在Rt△ABF中，AF=AB· 于点F,连接FE交AQ于点G. sAc-2×9-a, 'AF⊥AC,∠ACF=45°，∴.AF=AC. .2EN+BN的最小值为2√3. 8.(1)证明：四边形ABCD是正方形， .∠PAE=∠QCE=45°. .CE=2AE,AP=t.CQ=2t. S2△ME△Cm 又CE-2AE-- (2)解：过点E作EM⊥AB于点M,EN⊥BC aan∠APE-号 于点N. :an∠AQE-3∴∠AFE-∠AQE, ,∠AGF=∠EGQ, △AGF△BCQ8-需 ∠AGE=∠FGQ, ∴.△AGE∽△FGQ,∴.∠AEG=∠FQG. 由题意知AC=√2AB=6√2， :∠AFE+∠AEF=90°， CE=2AE,∴.AE=2V2,,∠PAE=45°， ∴.∠FQG+∠EQG=90°，即∠FQE=90°， ∴.AM=ME=2,EN=CN=4. .△EQC是等腰直角三角形，∴.QC=4, 由题意得AP=t,CQ=2t,BQ=6-2t,MP= lt-21,BP=6-t.QN=BN-BQI=2t-41, ∴SAoe=SAae-Se=号QC·AB- ∴.EP=Ef+MPP,即EP=22+(2-t)2= 2QC·EQ-号×4X6-号×4X4=4(cm㎡2). t2-4t+8. PQ=BP2+BQ.PQ=(6-)2+(6- 专题六二次函数综合 2t)2=5t2-36t+72, 1.解：(1)抛物线y=x2十bz十c过A(-1,0), EQ=EN2+NQ,即EQ=42+(2t-4)2= C(0,-3)两点， 4t2-16t+32. 1一b叶=0·解得 =-2, ①当∠EPQ=90时，有EQ=EP2+PQ, c=-3, =-3, 即4t-16t+32=-4t+8+5-36t+72, ∴y=x2-2x-3. 整理得2一12t十24=0， (2)点P的横坐标为2， 解得=6-2√5,2=6十2√3（不合题意，舍去）. 当x=2时，y=22-2×2-3=-3, ②当∠PEQ=90时，有PQ=EP2+EQ, .P(2,-3),A(-1,0) 即5t2-36t+72=t-4t+8+42-16t+32, 设直线AP的解析式为y=kx十d, 整理得t一2=0，解得t=2. ③当∠PQE=90时，有EP=PQ+EQ, ；路合 2k+d=-3, ·40·