精品解析：天津市第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

天津一中2025-2026-1高一年级 数学学科期中质量调查试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟. 第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2-3页.考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 一.选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，，则＝（ ） A. {1，6} B. {3，6} C. {1，3，5，6} D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的补集和交集运算求解. 【详解】，，，，. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题“，”是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即，， 故答案为：A， 3. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】由，，得， 反之，满足，而，此时不成立， 所以“”是“”充分不必要条件. 故选：A 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】举出反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断BD；利用作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，， 由，得，所以，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，故D正确． 故选：A． 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断. 【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD； 当时，，排除C，故A正确. 故选：A 6. 已知是上的偶函数，且，当时，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用周期性与奇偶性转换求值即可. 【详解】由条件得. 故选：D. 7. 函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的单调性可求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数， 则，解得． 故选：D． 8. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算得，，由题意得，根据集合间的包含关系可得结果. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以在上是增函数， 因为，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：. 9. 定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对变形得到，构造新函数，得到在上单调递减，再对变形为，结合，得到，根据的单调性，得到解集. 【详解】，不妨设，故，即， 令，则，故在上单调递减，， 不等式两边同除以得：，因为，所以，即， 根据在上单调递减，故，综上： 故选：B 10. 对实数a和b，定义运算“◎”：，设函数（），若函数的图象与x轴恰有1个公共点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义求出的解析式，在同一个坐标系作出与的图像，即可得到答案. 【详解】因为，， 所以：当，即：，解得：，此时：； 当时，在区间上有最小值：， 当时，在区间上有最大值： 所以：当时， 当，即：，解得：或，此时， 当时，单调递增，所以：， 当时，单调递减，所以：， 所以：当或， 作出的图象，如图所示： 函数的图象与轴恰有1个公共点，转化为函数的图象与直线恰有1个交点， 由图象并结合各分段区间上的的值，可得：或， 则实数m的取值范围是.故D项正确. 故选：D. 第Ⅱ卷 二.填空题：（每小题4分，共24分） 11. 已知函数，则______. 【答案】0 【解析】 【分析】分段函数求值，根据自变量取值所在区间确定解析式代入求值. 【详解】已知函数， 则，所以． 故答案为：. 12. 函数的单调递增区间为_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性可得出原函数的增区间. 【详解】由得或， 故函数的定义域为， 令，， 内层函数在上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知函数的增区间为. 故答案为：. 13. 若不等式的解集是，则不等式的解集是_______. 【答案】或 【解析】 【分析】分析可知、为关于的方程的两根，且，结合韦达定理可求出、的值，再利用二次不等式的解法可得出不等式的解集. 【详解】因为不等式的解集是， 则、为关于的方程的两根，且， 由韦达定理可得，，故，， 故不等式即为，即，解得或， 因此不等式的解集为或. 故答案为：或. 14. 若集合，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先计算绝对值不等式得出集合，再解分式不等式及一元二次不等式得出集合，最后应用并集定义计算求解. 【详解】令，解得，则 令，化简得，解得， 则，可得. 故答案为：. 15. 已知，，，则的最小值为__________． 【答案】##4.5 【解析】 【分析】根据条件消去，再利用“1”的变形技巧，结合均值不等式求解即可. 【详解】由可得，解得， 又，所以， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 16. 已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数．定义若，则实数a的所有可能取值构成的集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由题中条件，得到或，结合方程分别求解，即可得出结果. 【详解】因为，，所以或． 当时，或． 当时，关于x的方程有3个实数解， 所以关于x的方程只有一个解且不为1和， 则，解得． 当时，的解为1，不符合题意； 当时，的解为-1，符合题意． 综上，a的所有可能取值为0，1，，即所求集合为． 故答案为：. 三.解答题：（本大题共4小题共46分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 已知全集，集合，集合 （1）求 （2）若集合，且满足，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到A，B，再求交集即可. （2）由，可得，利用含参集合间关系求解即可. 【小问1详解】 由题，， ，等价于， 解得，故， 所以 【小问2详解】 由可得，， ①当，即，即时，满足条件； ②当时，有，解得， 综上，，故实数m的取值范围为 18. 已知． （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为对于任意的实数恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）把不等式转化为，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为， 则不等式，可化为， 即对于任意的实数恒成立， 当时，即时，不等式为，解得，不符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由不等式，可得，即， ①当时，不等式可化为，解得 当时，方程解，或， ②当时， 或； ③当时， （i）当时，即， ； （ii）当时不等式解集为， （iii）当时，， ， 综上可得： 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于t的不等式. 【答案】（1）增函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质求b，由可得a，然后利用单调性定义证明即可； （2）利用单调性和奇偶性去掉函数符号，结合定义域求解可得. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数， 得，解得， 经检验，时，， 所以是上的奇函数，满足题意， 又，解得，故，. 函数在上为增函数.证明如下： 且， 则， 因为， 所以，，，， 所以，即， 所以在上为增函数. 【小问2详解】 因为为奇函数，所以， 不等式可化为，即， 又在上是增函数，所以，解得， 所以关于t的不等式解集为. 20. 已知函数， （1）当时，求函数的最小值； （2）若且存在三个不同的实数，，使得，记的最小值为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出分段函数解析式，再利用二次函数的性质可得； （2）结合二次函数的性质和图象分析可得. 【小问1详解】 当时，， 由二次函数的性质可得，当时对称轴为时，最小值为； 当时，对称轴为，最小值为， 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 ，对称轴为， 此时时，， 又，对称轴为， 此时当时，， 不妨设，因为，所以 由对称性可得， 令，此时取得最小值，，解得， 所以， 所以 因为，所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2025-2026-1高一年级 数学学科期中质量调查试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟. 第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2-3页.考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 一.选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设集合，，，则＝（ ） A. {1，6} B. {3，6} C. {1，3，5，6} D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是上的偶函数，且，当时，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 9. 定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 对实数a和b，定义运算“◎”：，设函数（），若函数的图象与x轴恰有1个公共点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二.填空题：（每小题4分，共24分） 11. 已知函数，则______. 12. 函数的单调递增区间为_______. 13. 若不等式的解集是，则不等式的解集是_______. 14 若集合，，则_______. 15. 已知，，，则的最小值为__________． 16. 已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数．定义若，则实数a的所有可能取值构成的集合为______． 三.解答题：（本大题共4小题共46分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17 已知全集，集合，集合 （1）求 （2）若集合，且满足，求实数m取值范围. 18. 已知． （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 19. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于t的不等式. 20. 已知函数， （1）当时，求函数的最小值； （2）若且存在三个不同的实数，，使得，记的最小值为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $