精品解析：天津市小站第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

高一第一学期数学期中考试试卷 一、单选题（共9题，每题4分，共36分） 1. 下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数集和点集的区别可判断A，根据空集的定义可判断B，根据自然数集和有理数集的定义可判断CD. 【详解】是点集，是数集，故A错误； 是含有元素0的集合，空集是不含任何元素的集合，故B错误； 0是自然数，所以，故C正确； 是有理数，故，故D错误. 故选：C 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合集合的交集运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断集合的包含关系，再判断充分、必要条件. 【详解】因为， 所以：”是：的充分不必要条件. 故选：A 4. 若为实数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】代入特殊值，可判断A的正误；利用作差法，可判断B的正误；根据不等式的性质，可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：当时，满足， 此时，，故A错误； 选项B：， 因为，所以， 所以，即，故B错误； 选项C：若，则，故C错误； 选项D：若，则，， 所以，故D正确. 故选：D 5. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】对选项中的两函数从定义域、值域、对应关系进行逐一分析可得结论. 【详解】对于A，易知两函数定义均为，值域为，对应关系均为，因此两函数为同一函数，即A正确； 对于B，易知函数的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，因此B错误； 对于C，易知函数的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，因此C错误； 对于D，易知函数的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，因此D错误. 故选：A 6. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，再代入即可求解. 【详解】因为函数， 所以可得， 则， 故选：B 7. 下列函数中，不满足既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及在的单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，函数是奇函数，不是偶函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，且在上单调递增，B不是； 对于C，函数是偶函数，在上单调递减，C是； 对于D，函数不是偶函数，在上单调递增，D是. 故选：ACD 8. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义关于原点对称求得，然后利用偶函数性质列式求得，即可得解. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为0，故，则． 故选：B 9. 若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论的取值，结合恒成立不等式和二次函数的性质求解的取值范围. 【详解】当时，不等式不恒成立，不符合题意； 当时，不等式恒成立，符合题意； 当时，由得． 故m的取值集合为． 故选； 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 10. 已知集合，则集合A的真子集的个数为______. 【答案】7 【解析】 【分析】先求出集合的元素个数，再求解集合的真子集个数. 【详解】因为，所以集合的真子集的个数为. 故答案为：. 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，即可求解. 【详解】因为，所以或，解得. 当时，，符合题意； 当时，，不符合集合元素互异性，舍去， 综上所述，， 故答案为： 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据具体的函数定义域的限制列不等式即可得结论. 【详解】函数的定义域满足，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知函数是幂函数，且是奇函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数由求参数值，再由幂函数为奇函数确定参数m即可. 【详解】由题设，可得，则或， 当，则为奇函数，满足题设； 当，则为偶函数，不满足题设. 所以. 故答案为： 14. 函数的值域为___________； 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合二次函数最值分析求解即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 15. 已知函数在上为严格增函数，则实数取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性列不等式组可得； 【详解】根据题意，函数在上为严格增函数， 则有，解可得，即的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题（共5题，每题12分，共60分） 16. 已知集合， （1）若时，求出集合与； （2）若时，全集， 求出集合 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 分析】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由并集及补集运算即可求解. 【小问1详解】 当时，， 所以，. 【小问2详解】 当时，， 所以， 所以或. 17. 求下列不等式的解集． （1）； （2）； （3）． （4）． 【答案】（1）或 （2）或 （3） （4）答案见解析 【解析】 【分析】（1）（2）根据题意，利用一元二次不等式的解法，即可求解； （3）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解； （4）根据题意，利用一元二次不等式的解法，分情况讨论，即可求解； 【小问1详解】 解：由不等式，可得，解得或， 所以不等式的解集为或； 【小问2详解】 解：由不等式，可得， 解得或，所以不等式的解集为或. 【小问3详解】 解：由不等式，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. 【小问4详解】 解：由不等式， 当时，原不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式， ①当时，原不等式等价于，解得，所以解集为； ②当时，原不等式等价于， （i）当时，解得或，不等式的解集为； （ii）当时，原不等式等价于，不等式解集为； （iii）当时，解得或，不等式的解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明． 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据反比例函数及一次函数的性质判断函数的单调性，再利用单调性的定义证明，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可. 【小问1详解】 解：为奇函数， 证明：因为的定义域为， 且， 所以为奇函数. 【小问2详解】 解：因为与在上的单调递减， 所以在上的单调递减， 证明：设任意的，且， 所以 ， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以在上的单调递减. 19. 已知为上的奇函数，当时，． （1）求； （2）求的解析式； （3）画的草图，并通过图象写出的单调区间． 【答案】（1）0 （2） （3）作图见解析，增区间为和，减区间为 【解析】 【分析】（1）利用奇函数，直接代入求得； （2）利用代入法求出x<0时的解析式，即可得到的解析式； （3）先作出的图象，利用图象法求出单调区间. 【小问1详解】 因为为上的奇函数，当时，， 所以. 【小问2详解】 因为为上的奇函数，所以. 令x=0得：，所以. 任取，则. 所以. 由，所以 综上所述： 【小问3详解】 作出的图象如图所示： 从图象可以看出：的增区间为和，减区间为. 20. 已知函数． （1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （2）试求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可； （2）结合对称轴分，，三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 因为在区间上是单调函数， 所以或， 所以或， 故实数的取值范围为或. 【小问2详解】 当，即时，函数在上单调递增， 则，； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 此时，， 则， 则时，，即； 时，，即； 时，，即； 当，即时，函数在上单调递减， 则，. 综上所述，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第一学期数学期中考试试卷 一、单选题（共9题，每题4分，共36分） 1. 下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 4. 若为实数，下列结论正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 7. 下列函数中，不满足既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 或 9. 若，则的取值集合为（ ） A B. C D. 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 10. 已知集合，则集合A的真子集的个数为______. 11. 已知，则______． 12. 函数的定义域为______. 13. 已知函数是幂函数，且是奇函数，则______． 14. 函数的值域为___________； 15. 已知函数在上为严格增函数，则实数的取值范围为__________. 三、解答题（共5题，每题12分，共60分） 16. 已知集合， （1）若时，求出集合与； （2）若时，全集， 求出集合 17. 求下列不等式的解集． （1）； （2）； （3）． （4）． 18. 已知函数． （1）判断函数奇偶性，并证明； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明． 19. 已知为上的奇函数，当时，． （1）求； （2）求解析式； （3）画的草图，并通过图象写出的单调区间． 20. 已知函数． （1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （2）试求在区间上的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $