精品解析：河北省张家口市2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

张家口市2025-2026学年度高一年级第一学期期中考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章､第二章､第三章. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，则的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 7. 定义集合和的运算：，若集合，则的真子集个数为（ ） A. 31 B. 32 C. 62 D. 63 8. 某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 11. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则__________. 13. 若，则的最小值为______． 14. 已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. （1）已知，求的解析式； （2）已知为二次函数，且，求的解析式. 16. 已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题均为假命题，求实数的取值范围. 17. 定义在上的函数满足当时，，且对任意的，有. （1）求的值，并证明：当时，； （2）证明：函数在上是增函数； （3）求在上的值域. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （3）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 19. 设函数在区间上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数为区间上的“关联函数”. （1）判断函数在区间上是否为“关联函数”，并说明理由； （2）若函数为区间上的“关联函数”，求实数的取值范围； （3）若存在唯一的实数，使得函数为上的“关联函数”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张家口市2025-2026学年度高一年级第一学期期中考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章､第二章､第三章. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据集合补集运算的定义进行求解即可. 【详解】全集，所以. 故选：B. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判断求解. 【详解】因为命题，则. 故选:A. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得出等价条件，再结合必要不充分条件定义判断求解. 【详解】，解得， 可以推出“”，“”不能推出， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 又的单调递增区间为， 在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故选：B. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据抽象函数定义域的求法求得：，再根据分母不能为零得：，最后联立即可求解函数定义域. 【详解】由的定义域为，可得：，解得：. 所以的定义域为， 因为，所以的定义域为. 故选：C. 6. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，则的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调区间结合偶函数性质化简比较求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减， ，得， 所以. 故选:C. 7. 定义集合和的运算：，若集合，则的真子集个数为（ ） A. 31 B. 32 C. 62 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】先根据新定义求出集合的所有元素，确定其元素个数，再代入真子集个数公式计算即可. 【详解】由新定义知，，一共6个元素，所以的真子集的个数为. 故选：D. 8. 某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对选项ABC，根据不等式的基本性质直接推导即可判断，对选项D，通过举反例即可判断. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故，C正确； 对于D，取，满足且，但，不满足，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；利用基本初等函数的单调性可判断CD选项. 【详解】由题可知，的定义域为，的定义域为， 对于AC选项，，函数的定义域为， 因为，函数为偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误，C正确； 对于BD选项，；定义域为， ， 函数为奇函数， 因为函数、在上也为增函数， 所以函数在上也为增函数，故B正确，D正确. 故选：BCD. 11. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由基本不等式“1”的妙用方法即可计算得解；对于B，由题设结合基本不等式即可求解判断；对于C，转化为一元二次函数配方后求最小值即可判断；对于D，先由将变形为，再由基本不等式即可计算得解. 【详解】对于A，因为且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，故，当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，由得，则， 当时等号成立，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：AD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先得到，从而得到. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 若，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】将配凑成基本不等式形式，然后利用基本不等式，求出其最小值，得到答案. 【详解】因为， 所以 所以 . 当且仅当时，即时，等号成立. 所以答案为 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题. 14. 已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数，代入已知点求出，确定函数解析式；然后分析该幂函数的单调性和奇偶性；最后将不等式利用奇偶性转化，再结合单调性得到关于的不等式，即可求解. 【详解】由题意可设，由于函数的图象过点，故，所以， 即，所以函数在上单调递增，且为奇函数. 由可得，所以，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. （1）已知，求的解析式； （2）已知为二次函数，且，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）已知的解析式，求，只需将替换为，然后按照代数运算规则展开、化简即可. （2）已知为二次函数，设其一般式为，将和分别代入该式，然后将两个式子相加，展开并合并同类项， 再与已知的对比对应项的系数，得到关于的方程组，解方程组即可求出的值，即可得的解析式. 【详解】（1）由题意得. （2）设，则， 整理可得. 由题意得, 所以，解得， 所以. 16. 已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）命题为真命题时，分和两种情况讨论，得到的取值范围，最后取并集即可. （2）先求出命题是真命题时，的取值范围，再取其补集得到为假命题时的取值范围，同时由（1）求得为假命题时的取值范围，最后取交集即可. 【小问1详解】 由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需，解得， 综上，，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 若是真命题，则，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 17. 定义在上的函数满足当时，，且对任意的，有. （1）求的值，并证明：当时，； （2）证明：函数在上是增函数； （3）求在上的值域. 【答案】（1）， 证明：令，则， 当时，，所以，可得，解得. （2） 法一：由（1）知， ，且，令， 则，则， 因为，所以， 所以在上是增函数. 法二：，且， 所以， 由，得，则，又， 所以，即， 所以在上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）首先通过已知条件令即可求得的值；再令，可得，然后通过当时，，即可证明结论. （2）法一：应用作商法，结合函数单调性定义判断证明；法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. （3）首先根据已知，通过赋值法求解得：及，然后利用函数的单调性求解函数的值域即可. 【小问1详解】 令，则， 又，故. 证明略. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，得， 由（1）可得， 因为在上是增函数， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为. 综上可得：在上的值域为. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （3）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小值为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入函数，通过配方法将二次函数化为顶点式，直接得出最小值即可. （2）根据一元二次不等式解集的端点是对应方程的根，利用韦达定理列出关于的方程组，解出的值即可. （3）先对二次函数因式分解，得到，然后根据零点的大小分类讨论，并结合和，即可得出的取值范围. 【小问1详解】 当时，函数， 则当时，函数取得最小值，最小值为. 【小问2详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以1和5是一元二次方程的两个根， 所以，解得. 【小问3详解】 由，可得， ①当，即时，， 要使，则或， 解得或，又，可得或； ②当，即时，，满足； ③当，即时，， 要使，则或， 解得或，又，可得. 综上，实数的取值范围为. 19. 设函数在区间上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数为区间上的“关联函数”. （1）判断函数在区间上是否为“关联函数”，并说明理由； （2）若函数为区间上的“关联函数”，求实数的取值范围； （3）若存在唯一的实数，使得函数为上的“关联函数”，求的值. 【答案】（1）在区间上不是“关联函数”，理由如下： 由题知：对任意，都存在，使得， 设函数在区间上值域在区间上值域，则， 因为函数在区间上是增函数，所以值域， 函数在区间上单调递减，所以值域， 因为不是的子集，所以函数在区间上不是“关联函数”. （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）通过“关联函数”的定义，分别求解函数及在区间上的值域，通过判断两个函数值域的子集关系即可判断是否为“关联函数” （2）通过“关联函数”的定义可得：对任意，都存在，使得，可得，然后由可以求得：，进而可得：，最后根据子集关系求解参数取值范围即可； （3）首先分、及三种情况，分别根据函数的单调性求解函数及函数的值域，然后根据“关联函数”的定义确定两个函数值域的子集关系，最后根据实数的唯一性求解参数的值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数为区间上的“关联函数”， 所以对任意，都存在，使得，可得， 因为，所以， 又，所以， 即解得， 因此实数的取值范围为. 【小问3详解】 的值域为，即， 的对称轴为直线，且开口向下， ①当时，在上单调递减，又， 则值域为，由，得 解得，因为唯一，所以，解得，不满足，故舍去； ②当时，在上单调递增，又， 则值域为，由，得 解得，因为唯一，所以，解得，不满足，故舍去； ③当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，又， （i）当，即时，的值域， 由，得解得， 因为唯一，所以，解得，其中符合题意； （ii）当，即时，的值域， 由，得解得， 因为唯一，所以，解得，其中符合题意. 综上所述，的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $