第十六章 整式的乘法单元复习（全章知识点总结+13种题型 ）2025-2026学年人教版数学八年级上册专题复习

第十六章 整式的乘法 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1.幂的运算 运算名称 法则描述 表达式（，、为正整数，，为正整数） 核心区别 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 针对“同底数幂相乘”，核心是指数的加法运算 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减 针对“同底数幂相除”，核心是指数的减法运算，需满足 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘 针对“幂的二次乘方”，核心是指数的乘法运算 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 针对“积的乘方”，需对每个因式单独乘方后再相乘 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1 针对“指数为0”的特殊运算，结果固定为1，需满足 负指数幂 任何不等于0的数的次幂，等于这个数的次幂的倒数 针对“负指数”的特殊运算，需转化为正指数幂的倒数，满足 2.整式乘法法则 单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母连同指数保留 单项式×多项式：（分配律转化） 多项式×多项式：（逐项相乘再合并） 3.乘法公式 平方差公式： 完全平方公式：， 公式变形：； 4.整式除法法则 单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，单独字母连同指数保留 多项式÷单项式：（逐项相除再合并） 二、重难点突破 1.重点内容 幂的四种运算的灵活运用（正向+逆向） 乘法公式的准确应用（直接用、变形用、整体用） 整式混合运算的顺序（先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内） 2.难点突破 逆向运用幂的运算和乘法公式（如，） 整体思想的应用（如将、看作一个整体代入公式） 数形结合理解乘法公式（通过图形面积验证公式的几何意义） 三、高频易错点警示 1.符号错误：多项式相乘时漏变项的符号；完全平方公式中间项符号出错 2.指数运算错误：混淆同底数幂乘法（指数相加）与幂的乘方（指数相乘） 3.公式记忆错误：完全平方公式漏写中间项；平方差公式与完全平方公式混淆 4.漏项问题：多项式×多项式时未逐项相乘，导致漏项 5.系数运算错误：单项式乘除时系数计算失误(尤其负系数、分数系数) 6.零指数幂、负指数幂条件遗漏：忽略的前提条件 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】幂的基本运算 1.核心知识点总结 掌握同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的运算法则 明确零指数幂、负指数幂的定义及限制条件 2.高频考点梳理 单一运算法则的直接应用 多种幂运算的混合计算 3.易错点警示 混淆运算法则：如将算成，算成 忽略零指数幂、负指数幂中的条件 4.解题技巧拆解 先判断运算类型，再对应法则计算 负指数幂先转化为正指数幂，再计算： 【例题1】．（25-26八年级上·北京·期中）下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·四川德阳·月考）计算 ． 【变式题1-2】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【变式题1-3】．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，，则 ． 【题型2】单项式与单项式的乘除运算 1.核心知识点总结 系数：相乘(或相除)，注意符号法则 同底数幂：按乘除法则计算指数 单独字母：连同指数作为积(或商)的因式 2.高频考点梳理 含数字系数、字母系数的乘除运算 结合幂的运算的综合计算 3.易错点警示 系数计算失误：负号忘记参与运算；分数系数相乘除时通分错误 遗漏单独字母的指数：如，不可漏写 4.解题技巧拆解 分步计算：先算系数→再算同底数幂→最后保留单独字母 结果整理：按字母顺序排列，系数化为最简形式 【例题2】．（25-26八年级上·广东中山·期中）计算： 【变式题2-1】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知，则“”所表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·北京丰台·期中）计算： (1) (2) 【题型3】单项式与多项式的乘除运算 1.核心知识点总结 乘法：利用分配律转化为单项式×单项式，再求和 除法：利用分配律转化为单项式÷单项式，再求和 2.高频考点梳理 不含常数项的多项式运算 含负系数、括号的混合运算 3.易错点警示 乘法分配律漏乘：如漏乘项 除法分配律误用：不可将多项式÷单项式转化为单项式÷多项式 符号错误：多项式中负项的符号未保留 4.解题技巧拆解 乘法：“逐个相乘，符号跟随”，先确定每一项的符号再计算 除法：“逐项相除，再合并”，避免漏项或符号出错 【例题3】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【变式题3-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【变式题3-3】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型4】多项式与多项式的乘法运算 1.核心知识点总结 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项 特殊形式：(一次项系数为1的二次三项式相乘) 2.高频考点梳理 两项×两项的基本运算 含括号、负系数的多项式相乘 3.易错点警示 漏项：如漏算或项 符号错误：负项相乘时符号判断失误 同类项未合并或合并错误 4.解题技巧拆解 采用“横向逐项乘”或“表格法”避免漏项 先确定各项符号，再计算系数和指数，最后合并同类项 【例题4】．（25-26八年级上·福建福州·期中）计算 (1) (2) 【变式题4-1】．（25-26八年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）计算： (1)； (2)． 【题型5】平方差公式的直接应用 1.核心知识点总结 公式结构：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数 结果形式：相同项的平方减去相反项的平方 2.高频考点梳理 直接符合公式结构的运算 项的位置调整、系数变形后应用公式 3.易错点警示 混淆公式结构：非“同号项-异号项”的形式误用公式 结果符号错误：如误算为 系数未平方：如误算为 4.解题技巧拆解 先识别“同号项”和“异号项”，整理为形式 套用公式：，注意系数和字母的平方都要计算 【例题5】．（25-26八年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·青海西宁·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) （利用乘法公式求解） 【题型6】完全平方公式的直接应用 1.核心知识点总结 公式结构：二项式的平方，结果为“平方和±2倍乘积” 符号规律：和的平方中间项为正，差的平方中间项为负 2.高频考点梳理 直接符合公式结构的运算 含括号、系数的二项式平方 3.易错点警示 漏写中间项：如误算为 中间项系数错误：如误算为 符号错误：如误算为 4.解题技巧拆解 牢记公式结构： 先确定“首项”和“尾项”，再分步计算各项，最后合并 【例题6】．（25-26七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·北京西城·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式题6-2】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值． 【变式题6-3】．（海南省儋州市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）【教材呈现】教材复习题13题： 已知，求的值． 【例题讲解】 小明探究出解题方法如下： 已知，求的值． 已知，求的值． ， ． ，， ，， ，_____． 【方法运用】 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)小明发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你帮助小明在表格中将解答过程补充完整； (2)若，求和的值． 【题型7】幂的运算逆向应用(提升) 1.核心知识点总结 逆向公式：，， 利用逆向运算进行幂的变形、比较大小、简便计算 2.高频考点梳理 已知幂的结果求指数或底数 幂的大小比较(转化为同底数或同指数) 利用逆向运算简化计算 3.易错点警示 逆向公式记忆混淆：如将误转为 指数变形错误：如将误转为(应为) 4.解题技巧拆解 明确目标：根据题目需求选择逆向公式(如比较大小转化为同指数) 分步变形：先将幂转化为目标形式，再进行计算或比较 【例题7】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【变式题7-1】．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知，求的值． 【变式题7-2】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值． (1) (2) 【变式题7-3】．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，， ，求的值． 【题型8】乘法公式逆向变形求值(提升) 1.核心知识点总结 平方差逆向： 完全平方逆向：， 变形公式：， 2.高频考点梳理 已知、、、中的两项，求第三项 代数式化简求值(先变形再代入) 3.易错点警示 变形公式记忆错误：如将误转为 代入数值时符号错误：尤其是负号的平方运算 4.解题技巧拆解 先分析已知条件与所求代数式的关系，选择合适的变形公式 代入计算时先确定符号，再计算数值，最后化简结果 【例题8】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第57页B组的第12题和第13题. 12．已知，求的值． 13．已知，求的值． 【例题讲解】老师讲解了第12题的两种方法： 方法一 方法二 ， ． ． ． ． ． ， ． 【方法运用】请你任选第12题的解法之一，解答教材第57页B组的第13题． 【类比迁移】若，则___________ 【拓展】如图，在中，，分别以、为边向其外部作正方形和正方形．若，正方形和正方形的面积和为18，则的面积为___________． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·海南海口·期中）综合与实践 【知识回顾】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． 【拓展探究】 主题：制作“回字形”正方形． 素材：一张长方形纸板（长为，宽为）． 步骤1：如图1，将长方形沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形； 步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回字形”大正方形纸板． 猜想与计算，请回答下列问题： （1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长为______； （2）如图2，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：． 方法2：______，由此可以得出，，之间的等量关系是______； 【迁移运用】 （3）若，，求的值． 【变式题8-3】．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）面积割补的证明方法最早是由我国古代数学家赵爽提出来的，利用面积割补法可以对平方差公式进行直观的证明． (1)请认真观察下图，根据图中信息直接写出可以得到的平方差公式___________（用含的式子表示）； (2)运用（1）中的结论计算； (3)利用平方差公式可以解稍复杂的方程组， 例如：解方程组 解：设，于是可得 ， 解得，， 将，，分别代入，得 ，；，， 所以，原方程组的解为，. 请根据上述材料解方程组. 【题型9】整式混合运算化简求值(提升) 1.核心知识点总结 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内 结合幂的运算、整式乘除、乘法公式进行综合化简 2.高频考点梳理 含括号的混合运算化简 代入特殊值(如绝对值、平方数非负性求出的、值)求值 3.易错点警示 运算顺序错误：先算加减再算乘除 乘法公式应用错误：化简过程中公式误用导致结果出错 代入数值时计算失误：尤其是分数、负数的运算 4.解题技巧拆解 分步化简：先去括号→再合并同类项→最后整理为最简形式 求值准备：先根据已知条件求出字母的值(如利用求、) 代入计算：将字母值代入最简式，按运算顺序计算 【例题9】．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 【变式题9-3】．（19-20六年级下·山东淄博·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【题型10】整式乘法中不含某项问题(提升) 1.核心知识点总结 不含某一项的条件：该项目的系数为0 通过多项式相乘展开，合并同类项后，令目标项系数为0求解参数 2.高频考点梳理 不含一次项、二次项求参数值 含多个参数时，根据多项不含的条件列方程组求解 3.易错点警示 展开多项式时漏项或符号错误，导致系数计算失误 合并同类项错误：同类项识别不准确 忽略隐含条件：参数求解后未验证是否符合题意 4.解题技巧拆解 按法则完整展开多项式，确保不遗漏任何一项 合并同类项时，单独列出目标项的系数(如一次项系数、二次项系数) 令目标项系数为0，解方程求出参数值 【例题10】．（25-26七年级上·北京·期中）若关于的多项式展开后不含有二次项，则的值为 ． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·全国·期末）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【变式题10-2】．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【变式题10-3】．（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0．具体解题过程是： 原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）如图1，小长方形的长为，宽为，7张图1的小长方形放入图2的大长方形中，其中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【题型11】乘法公式的几何背景应用(培优) 1.核心知识点总结 平方差公式几何意义：大正方形面积减去小正方形面积等于长方形面积 完全平方公式几何意义：大正方形面积等于两个小正方形面积加两个长方形面积 利用图形面积的两种表示方法推导或验证乘法公式 2.高频考点梳理 根据图形写出代数恒等式 利用图形面积解决实际问题(如求阴影部分面积) 结合已知条件(如边长和、面积和)求未知量 3.易错点警示 图形分割错误：无法正确将图形转化为已知公式的结构 面积表示错误：混淆图形各部分的边长关系 代数与几何转化脱节：不能通过面积等式建立代数关系 4.解题技巧拆解 观察图形：确定图形的组成部分(正方形、长方形、三角形等) 两种表示：分别用整体和部分表示图形面积，建立等式 转化公式：根据等式推导或验证乘法公式，或求解未知量 【例题11】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图①，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图②）．图①中阴影部分面积可表示为，图②中阴影部分面积可表示为．因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【知识应用】图③是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图④中阴影部分面积：方法1：_____，方法2：_____ （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是_____ （3）应用（2）中所得结论回答问题：若，则_____． 【知识迁移】 （4）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图⑤，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成右边的一个长方体．根据不同方法表示它的体积可以写出一个代数恒等式是_____． 【变式题11-1】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在下列横线上用含有，的代数式表示相应图形的面积； (1)①   ②   ③   ④ ． (2)请在图④中利用图①、图②、图③画出拼图，并通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子来表达： ； (3)利用（2）的结论计算下列式子的值： ① ② 【变式题11-2】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）数学活动：面积与代数恒等式 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我们可以利用几何图形的面积解释代数恒等式． 【方法呈现】如图①，将三个正方形分别按照甲、乙、丙三种方法进行分割． 已知以下三个代数恒等式： ①； ②； ③． 甲、乙、丙三种分割方法表示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式对应的序号依次为__________． 【方法探究】利用【方法呈现】中所得到的代数恒等式，解决下面的问题： （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【方法应用】如图②，在数轴上，从左到右的三个点、、表示的数分别是、8、10．以为边向上作正方形，以为边向上作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为100，求长方形的面积． 【变式题11-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列文字： 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： (1)类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：______________； (2)小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值； (3)已知：，求的值． 【题型12】整式运算中的规律探究问题(培优) 1.核心知识点总结 杨辉三角与完全平方公式展开式系数的关系 整式运算中的递推规律、恒等式规律 利用规律进行计算或推导一般性结论 2.高频考点梳理 杨辉三角规律应用(求展开式系数、项数) 恒等式规律探究(如的计算） 自定义运算规律探究 3.易错点警示 规律总结不全面：只观察部分项，忽略整体规律 规律应用错误：将特殊规律推广到一般情况时出错 运算失误：根据规律计算时，步骤繁琐导致计算错误 4.解题技巧拆解 观察特例：计算前3-4项的结果，寻找共性规律 验证规律：用第n+1项验证总结的规律是否成立 应用规律：根据规律简化计算或推导一般性结论 【例题12】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【变式题12-1】．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式： 例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数， (1)根据表中规律，写出的展开式； (2)多项式的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； (3)请你猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）； (4)利用表中规律计算：（不用表中规律计算不给分）． 【变式题12-2】．（25-26八年级上·重庆·开学考试）观察下列等式： ；；；；… 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则： 十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21． 例如，计算，因为，，所以． (1)利用以上规律直接写出结果：______； (2)设两个因数的十位数字为a，用含a的代数式表示上述速算法则：__________________； (3)善于思考的小聪通过计算                                                           … 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．设两个因数的十位数字为a，个位数字分别为m，n，且，请用含a、m、n的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 【变式题12-3】．（25-26八年级上·海南海口·阶段练习）（1）计算下列式子： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． （2）从上面的计算中总结出规律：___________ （3）运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． 【题型13】新定义型整式运算问题（培优） 1.核心知识点总结 理解新定义的运算规则（如二阶行列式、自定义乘法） 将新定义运算转化为熟悉的整式运算（乘除、乘方、公式应用） 2.高频考点梳理 根据新定义进行计算 结合新定义求参数值（如结果与x无关、结果为定值） 新定义运算的性质探究 3.易错点警示 新定义理解错误：误解运算规则或符号含义 转化错误：不能将新定义准确转化为整式运算 忽略新定义的限制条件：如参数的取值范围 4.解题技巧拆解 精读定义：明确新运算的符号、运算顺序、运算方法 转化运算：将新定义表达式转化为整式的乘除、乘方等熟悉运算 按要求求解：根据题目条件（如结果与x无关）列方程或化简计算 【例题13】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）对于任意的实数，，定义一种新运算◆，规定，若，则的值为 ． 【变式题13-1】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，则是的“好多项式”，但不是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？是不是的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【变式题13-2】．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________ (2)已知，则___________； (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； (4)已知实数满足，求的最值． 【变式题13-3】．（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 同步练习 一、单选题 1．（海南省儋州市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）如图，书画店为一幅正方形福字书法作品装裱，装裱后形成一个长方形画框．已知装裱后的画框长为米、宽为米，中间待装裱的正方形福字书法作品边长为米，求用于装裱的边框（即长方形画框与正方形作品之间的区域）面积是（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（海南省儋州市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）已知，则“▲”所表示的式子是（    ） A． B． C． D． 4．（海南省儋州市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）若，则的值为（    ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D．4 二、填空题 6．（25-26八年级上·四川德阳·月考）若，则 ． 7．（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则 ． 8．（25-26八年级上·福建福州·期中）计算： ． 9．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，那么的值为 ． 10．（25-26七年级上·上海虹口·期中）如果是一个完全平方式，那么常数的值为 ． 三、解答题 11．（重庆川外基础教育集团2025一2026学年上学期半期定时作业八年级数学试题）先化简，再求值：，其中m，n满足（）． 12．（重庆川外基础教育集团2025一2026学年上学期半期定时作业八年级数学试题）计算： (1) (2) 13．（25-26七年级上·上海·期中）阅读理解：我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）将两个正方形，如图，摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和． 14．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，，求和的值． 15．（25-26八年级上·福建福州·期中）运用乘法公式进行简便计算． (1) (2) 16．（25-26八年级上·北京·期中）我们在数学课上学习过积的乘方公式：，将这个公式从右往左看，得到公式：，我们可以借助这个公式用整体思想解决一些代数式求值的问题． (1)若，则_______；若，则_______． (2)已知，求代数式的值． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们在学习“整式的乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，得到一些代数恒等式． 如图1，沿长方形中的虚线将这个长方形平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)观察图2，用两种不同的方法表示图2阴影部分的面积： 方法1：______，方法2：______； (2)根据（1）中得到的关系式，填空：若，，则______； (3)实际上，有许多代数恒等式都可以用图形的面积来表示．如图3，从整体来看是边长为的正方形，可得图3的面积为；从部分来看，图3是由1个边长为的正方形、1个边长为的正方形以及2个长为，宽为的长方形组成，可得图3的面积为因此可以得到完全平方公式． ①由图4可得等式：______； ②若实数、、满足，，求的值． 18．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）小明和小刚共同解一道题，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中前面的符号，得到的结果为；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求a，b的值； (2)计算出正确的结果． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1.幂的运算 运算名称 法则描述 表达式（，、为正整数，，为正整数） 核心区别 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 针对“同底数幂相乘”，核心是指数的加法运算 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减 针对“同底数幂相除”，核心是指数的减法运算，需满足 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘 针对“幂的二次乘方”，核心是指数的乘法运算 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 针对“积的乘方”，需对每个因式单独乘方后再相乘 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1 针对“指数为0”的特殊运算，结果固定为1，需满足 负指数幂 任何不等于0的数的次幂，等于这个数的次幂的倒数 针对“负指数”的特殊运算，需转化为正指数幂的倒数，满足 2.整式乘法法则 单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母连同指数保留 单项式×多项式：（分配律转化） 多项式×多项式：（逐项相乘再合并） 3.乘法公式 平方差公式： 完全平方公式：， 公式变形：； 4.整式除法法则 单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，单独字母连同指数保留 多项式÷单项式：（逐项相除再合并） 二、重难点突破 1.重点内容 幂的四种运算的灵活运用（正向+逆向） 乘法公式的准确应用（直接用、变形用、整体用） 整式混合运算的顺序（先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内） 2.难点突破 逆向运用幂的运算和乘法公式（如，） 整体思想的应用（如将、看作一个整体代入公式） 数形结合理解乘法公式（通过图形面积验证公式的几何意义） 三、高频易错点警示 1.符号错误：多项式相乘时漏变项的符号；完全平方公式中间项符号出错 2.指数运算错误：混淆同底数幂乘法（指数相加）与幂的乘方（指数相乘） 3.公式记忆错误：完全平方公式漏写中间项；平方差公式与完全平方公式混淆 4.漏项问题：多项式×多项式时未逐项相乘，导致漏项 5.系数运算错误：单项式乘除时系数计算失误(尤其负系数、分数系数) 6.零指数幂、负指数幂条件遗漏：忽略的前提条件 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】幂的基本运算 1.核心知识点总结 掌握同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的运算法则 明确零指数幂、负指数幂的定义及限制条件 2.高频考点梳理 单一运算法则的直接应用 多种幂运算的混合计算 3.易错点警示 混淆运算法则：如将算成，算成 忽略零指数幂、负指数幂中的条件 4.解题技巧拆解 先判断运算类型，再对应法则计算 负指数幂先转化为正指数幂，再计算： 【例题1】．（25-26八年级上·北京·期中）下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和合并同类项．运用相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴A错误，不符合题意； B、∵，∴B错误，不符合题意； C、∵，∴C正确，符合题意； D、∵，∴D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·四川德阳·月考）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的关键． 根据幂的乘方与积的乘方的计算方法将原式写成即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式题1-2】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，将看成一个整体是解题关键．通过观察表达式，发现和，从而将看作整体，再应用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：24． 【题型2】单项式与单项式的乘除运算 1.核心知识点总结 系数：相乘(或相除)，注意符号法则 同底数幂：按乘除法则计算指数 单独字母：连同指数作为积(或商)的因式 2.高频考点梳理 含数字系数、字母系数的乘除运算 结合幂的运算的综合计算 3.易错点警示 系数计算失误：负号忘记参与运算；分数系数相乘除时通分错误 遗漏单独字母的指数：如，不可漏写 4.解题技巧拆解 分步计算：先算系数→再算同底数幂→最后保留单独字母 结果整理：按字母顺序排列，系数化为最简形式 【例题2】．（25-26八年级上·广东中山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据积的乘方，单项式乘单项式进行展开，即可作答． 【详解】解： 【变式题2-1】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算，需分别计算系数和同底数幂的乘法． 根据单项式乘单项式及同底数幂相乘的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知，则“”所表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了单项式乘除法运算，根据除法运算，被除数等于除数乘以商，因此将除数与商相乘即可求出“”，计算时注意单项式乘法的法则． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：A． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·北京丰台·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式的乘方、乘法与除法运算，熟练运用幂的运算法则（ 积和幂的乘方、同底数幂的乘除）是解答本题的关键． （1）先运用积和幂的乘方法则计算乘方项，再运用单项式乘法法则计算乘积； （2）先运用幂的乘方法则计算乘方项，再运用单项式除法法则计算商式． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【题型3】单项式与多项式的乘除运算 1.核心知识点总结 乘法：利用分配律转化为单项式×单项式，再求和 除法：利用分配律转化为单项式÷单项式，再求和 2.高频考点梳理 不含常数项的多项式运算 含负系数、括号的混合运算 3.易错点警示 乘法分配律漏乘：如漏乘项 除法分配律误用：不可将多项式÷单项式转化为单项式÷多项式 符号错误：多项式中负项的符号未保留 4.解题技巧拆解 乘法：“逐个相乘，符号跟随”，先确定每一项的符号再计算 除法：“逐项相除，再合并”，避免漏项或符号出错 【例题3】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式与单项式的乘法运算，运用分配律将单项式分别乘以多项式中的每一项，再计算系数和变量的乘积． 【详解】原式 ． 故答案为 ． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式和多项式除以单项式，根据单项式乘以多项式法则和多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式题3-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于正确掌握整式的混合运算法则．根据整式混合运算步骤计算求解，即可解题． 【详解】解：原式              ． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算单项式乘单项式，再算积的乘方，然后合并同类项即可； （2）先根据单项式乘多项式展开，再计算单项式乘单项式即可； （3）根据多项式乘多项式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型4】多项式与多项式的乘法运算 1.核心知识点总结 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项 特殊形式：(一次项系数为1的二次三项式相乘) 2.高频考点梳理 两项×两项的基本运算 含括号、负系数的多项式相乘 3.易错点警示 漏项：如漏算或项 符号错误：负项相乘时符号判断失误 同类项未合并或合并错误 4.解题技巧拆解 采用“横向逐项乘”或“表格法”避免漏项 先确定各项符号，再计算系数和指数，最后合并同类项 【例题4】．（25-26八年级上·福建福州·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，包括幂的乘方、同底数幂的乘法以及多项式的乘法与合并同类项． （1）根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可； （2）根据多项式乘以多项式和单项式乘以单项式展开，再进行合并即可； 【详解】（1）原式； （2）原式． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，熟练掌握整式的四则混合运算法则是解题的关键． （1）先算括号内的运算，再进行同底数幂相除计算即可； （2）根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】本题考查了整式的乘方、乘法运算（包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方以及多项式乘多项式、多项式乘单项式）．解题关键是熟练掌握整式乘法的各种运算法则，按照先乘方后乘法的顺序逐步计算． （1）先根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则分别计算各项，再合并同类项． （2）利用多项式乘单项式的法则，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再合并同类项． （3）运用多项式乘多项式的法则，用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再合并同类项． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）根据幂的运算法则和单项式除以单项式的法则进行计算即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则，多项式除以单项式的法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【题型5】平方差公式的直接应用 1.核心知识点总结 公式结构：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数 结果形式：相同项的平方减去相反项的平方 2.高频考点梳理 直接符合公式结构的运算 项的位置调整、系数变形后应用公式 3.易错点警示 混淆公式结构：非“同号项-异号项”的形式误用公式 结果符号错误：如误算为 系数未平方：如误算为 4.解题技巧拆解 先识别“同号项”和“异号项”，整理为形式 套用公式：，注意系数和字母的平方都要计算 【例题5】．（25-26八年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘以多项式，平方差公式，多项式除以单项式，积的乘方，掌握知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可； （2）先计算积的乘方，再根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出两个图形阴影部分的面积，进而根据两个图形阴影部分面积相等即可得出等式，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，第一个图形阴影部分的面积为，第二个图形阴影部分的面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴等式为， 故选：． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．平方差公式适用于两数和与两数差的乘积，即的形式，需逐一检查各选项是否匹配此结构，即可作答． 【详解】解： A、两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； B、两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； C、两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； D、具有相同项和相反项，符合平方差公式，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·青海西宁·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) （利用乘法公式求解） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)9996 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算积的乘方，然后根据单项式乘单项式的法则计算； （2）根据单项式乘多项式的法则计算，然后合并即可； （3）根据多项式除以单项式的法则计算； （4）首先计算积的乘方，然后计算单项式乘单项式，最后计算单项式除以单项式； （5）首先用平方差公式，然后利用完全平方公式求解即可； （6）根据平方差公式求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【题型6】完全平方公式的直接应用 1.核心知识点总结 公式结构：二项式的平方，结果为“平方和±2倍乘积” 符号规律：和的平方中间项为正，差的平方中间项为负 2.高频考点梳理 直接符合公式结构的运算 含括号、系数的二项式平方 3.易错点警示 漏写中间项：如误算为 中间项系数错误：如误算为 符号错误：如误算为 4.解题技巧拆解 牢记公式结构： 先确定“首项”和“尾项”，再分步计算各项，最后合并 【例题6】．（25-26七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，利用乘法公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·北京西城·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，首先利用平方差公式和完全平方公式把整式展开，再合并同类项，把字母的值代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式题6-2】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值． 【答案】8 【分析】本题考查了多项式的乘法，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．化简已知式子，得的值，所求式子利用完全平方公式变形后，将的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题6-3】．（海南省儋州市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）【教材呈现】教材复习题13题： 已知，求的值． 【例题讲解】 小明探究出解题方法如下： 已知，求的值． 已知，求的值． ， ． ，， ，， ，_____． 【方法运用】 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)小明发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你帮助小明在表格中将解答过程补充完整； (2)若，求和的值． 【答案】(1) (2)5，9 【分析】本题考查完全平方公式的应用，理解并掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式展开，代入数据求解即可； （2）根据例题的方法，利用完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴． 【题型7】幂的运算逆向应用(提升) 1.核心知识点总结 逆向公式：，， 利用逆向运算进行幂的变形、比较大小、简便计算 2.高频考点梳理 已知幂的结果求指数或底数 幂的大小比较(转化为同底数或同指数) 利用逆向运算简化计算 3.易错点警示 逆向公式记忆混淆：如将误转为 指数变形错误：如将误转为(应为) 4.解题技巧拆解 明确目标：根据题目需求选择逆向公式(如比较大小转化为同指数) 分步变形：先将幂转化为目标形式，再进行计算或比较 【例题7】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)512； 【分析】（1）根据同底数幂相乘的逆用求解， （2）根据同底数幂相乘的逆用求解， 【详解】（1）， ． （2）， ． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘的逆用，解题的关键是熟练运用运算法则. 【变式题7-1】．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、整体代入法求代数式的值，根据幂的乘方的运算法则，可得：原式，把整体代入化简后的代数式计算求值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式题7-2】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1)63 (2)196 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则． （1）利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将转化为，再代入已知值计算； （2）利用积的乘方法则和幂的乘方法则，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】（1）解： 已知，代入得： ； （2）解： 已知，代入得： ． 【变式题7-3】．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，， ，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用和同底数幂除法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 运用幂的乘方、同底数幂相乘和同底数幂除法的逆用法则进行求解即可． 【详解】解：∵，， ， ∴ ． 【题型8】乘法公式逆向变形求值(提升) 1.核心知识点总结 平方差逆向： 完全平方逆向：， 变形公式：， 2.高频考点梳理 已知、、、中的两项，求第三项 代数式化简求值(先变形再代入) 3.易错点警示 变形公式记忆错误：如将误转为 代入数值时符号错误：尤其是负号的平方运算 4.解题技巧拆解 先分析已知条件与所求代数式的关系，选择合适的变形公式 代入计算时先确定符号，再计算数值，最后化简结果 【例题8】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 【答案】(1)7 (2)①29；②8 (3) 【分析】本题考查完全平方公式，将实际问题转化为数学问题是正确解答的关键． （1）根据完全平方公式的变形，即可求出的值； （2）①根据完全平方公式的变形，即可求出答案； ②根据完全平方公式的变形，即可求出答案； （3）设，将问题转化为，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ， 即， 又 ∵， ． （2）解：①∵，， ∴， 故答案为：29； ②∵，， ∴， ∴， 故答案为：8； （3）解：设，则， 由可得，，则， ∵， ∴， ， ， ． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第57页B组的第12题和第13题. 12．已知，求的值． 13．已知，求的值． 【例题讲解】老师讲解了第12题的两种方法： 方法一 方法二 ， ． ． ． ． ． ， ． 【方法运用】请你任选第12题的解法之一，解答教材第57页B组的第13题． 【类比迁移】若，则___________ 【拓展】如图，在中，，分别以、为边向其外部作正方形和正方形．若，正方形和正方形的面积和为18，则的面积为___________． 【答案】12，7， 【分析】本题考查了根据完全平方公式求代数式的值等知识． （1）根据，得到，即可得到，从而求出 ； （2）根据，得到，进而得到，即可求出； （3）根据正方形和正方形的面积和为18，得到，求出，即可得到，从而求出，问题得解． 【详解】解：【方法运用】∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 【类比迁移】∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7 【拓展】∵正方形和正方形的面积和为18， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式题8-2】．（25-26八年级上·海南海口·期中）综合与实践 【知识回顾】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． 【拓展探究】 主题：制作“回字形”正方形． 素材：一张长方形纸板（长为，宽为）． 步骤1：如图1，将长方形沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形； 步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回字形”大正方形纸板． 猜想与计算，请回答下列问题： （1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长为______； （2）如图2，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：． 方法2：______，由此可以得出，，之间的等量关系是______； 【迁移运用】 （3）若，，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用． （1）直接根据图2作答即可； （2）用大正方形面积减去四个长方形面积得出阴影部分的面积，进而可得，，之间的等量关系； （3）根据（2）得到，即，将，代入求出，可知． 【详解】解：（1）图2中阴影部分的正方形的边长为， 故答案为：； （2）用大正方形面积减去四个长方形面积得 由此可以得出，，之间的等量关系是； 故答案为：；； （3）， ． ，， ． ． 【变式题8-3】．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）面积割补的证明方法最早是由我国古代数学家赵爽提出来的，利用面积割补法可以对平方差公式进行直观的证明． (1)请认真观察下图，根据图中信息直接写出可以得到的平方差公式___________（用含的式子表示）； (2)运用（1）中的结论计算； (3)利用平方差公式可以解稍复杂的方程组， 例如：解方程组 解：设，于是可得 ， 解得，， 将，，分别代入，得 ，；，， 所以，原方程组的解为，. 请根据上述材料解方程组. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查平方差公式的几何背景及平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式，并进行灵活运用； （1）根据两个图中阴影部分的面积相等即可得出答案； （2）利用平方差公式计算即可； （3）利用所给的方法解方程组即可. 【详解】（1）解：∵从左图看阴影部分面积为，从右图看阴影部分面积为 ∵两边阴影部分面积相等 ∴ （2）解： . （3）解：设，，于是可得， 解得，， 将，，分别代入，得 ，；，， 所以，原方程组的解为，. 【题型9】整式混合运算化简求值(提升) 1.核心知识点总结 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内 结合幂的运算、整式乘除、乘法公式进行综合化简 2.高频考点梳理 含括号的混合运算化简 代入特殊值(如绝对值、平方数非负性求出的、值)求值 3.易错点警示 运算顺序错误：先算加减再算乘除 乘法公式应用错误：化简过程中公式误用导致结果出错 代入数值时计算失误：尤其是分数、负数的运算 4.解题技巧拆解 分步化简：先去括号→再合并同类项→最后整理为最简形式 求值准备：先根据已知条件求出字母的值(如利用求、) 代入计算：将字母值代入最简式，按运算顺序计算 【例题9】．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先根据整式的运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题主要考查了整式的化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把已知式子变形整体代入求值．先用完全平方公式及多项式乘多项式法则展开，合并同类项，由得，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，根据多项式乘以多项式的法则，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，利用整体思想，代入求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 【变式题9-3】．（19-20六年级下·山东淄博·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)，1 (2)，2 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，完全平方公式，平方差公式的运用，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先利用完全平方公式，平方差公式计算各项，再合并同类项，再将代入求值即可； （2）先利用平方差公式，多项式除以单项式计算各项，再合并同类项，再将，代入求值即可． 【详解】（1）解： 当时， 原式； （2）解： ． 当，时， 原式． 【题型10】整式乘法中不含某项问题(提升) 1.核心知识点总结 不含某一项的条件：该项目的系数为0 通过多项式相乘展开，合并同类项后，令目标项系数为0求解参数 2.高频考点梳理 不含一次项、二次项求参数值 含多个参数时，根据多项不含的条件列方程组求解 3.易错点警示 展开多项式时漏项或符号错误，导致系数计算失误 合并同类项错误：同类项识别不准确 忽略隐含条件：参数求解后未验证是否符合题意 4.解题技巧拆解 按法则完整展开多项式，确保不遗漏任何一项 合并同类项时，单独列出目标项的系数(如一次项系数、二次项系数) 令目标项系数为0，解方程求出参数值 【例题10】．（25-26七年级上·北京·期中）若关于的多项式展开后不含有二次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．利用多项式乘多项式的法则展开后，使二次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， ∵乘积不含二次项， ∴二次项系数， 解得：． 故答案为：． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·全国·期末）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，，根据题意得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式题10-2】．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】理解应用：；能力提升： 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题、单项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题关键． 理解应用：先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； 能力提升：设，则，，先计算，再根据含项的系数为0求解即可得． 【详解】解：理解应用： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 能力提升：设，则，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与无关， ∴， ∴． 【变式题10-3】．（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0．具体解题过程是： 原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）如图1，小长方形的长为，宽为，7张图1的小长方形放入图2的大长方形中，其中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令的系数为 0 ，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将、的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为 0 ，即可求出的值； （3）设，由图可得，即可得到关于的代数式，根据其值不变，令的系数为 0 ，即可求得与的关系． 【详解】解：（1） ∵多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）∵，， ， ∵的值与的取值无关， ， 解得：； （3）设，由图可知， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． 的值与的取值无关， ， ． 【题型11】乘法公式的几何背景应用(培优) 1.核心知识点总结 平方差公式几何意义：大正方形面积减去小正方形面积等于长方形面积 完全平方公式几何意义：大正方形面积等于两个小正方形面积加两个长方形面积 利用图形面积的两种表示方法推导或验证乘法公式 2.高频考点梳理 根据图形写出代数恒等式 利用图形面积解决实际问题(如求阴影部分面积) 结合已知条件(如边长和、面积和)求未知量 3.易错点警示 图形分割错误：无法正确将图形转化为已知公式的结构 面积表示错误：混淆图形各部分的边长关系 代数与几何转化脱节：不能通过面积等式建立代数关系 4.解题技巧拆解 观察图形：确定图形的组成部分(正方形、长方形、三角形等) 两种表示：分别用整体和部分表示图形面积，建立等式 转化公式：根据等式推导或验证乘法公式，或求解未知量 【例题11】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图①，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图②）．图①中阴影部分面积可表示为，图②中阴影部分面积可表示为．因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【知识应用】图③是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图④中阴影部分面积：方法1：_____，方法2：_____ （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是_____ （3）应用（2）中所得结论回答问题：若，则_____． 【知识迁移】 （4）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图⑤，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成右边的一个长方体．根据不同方法表示它的体积可以写出一个代数恒等式是_____． 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）图④中阴影部分是一个边长为的正方形，图④中阴影部分面积等于边长为的正方形面积，减去4个长为a，宽为b的长方形面积，据此用两种方法表示出阴影部分的面积即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设，则，，则，据此可得答案； （4）原几何体的体积是棱长为x的正方体体积减去一个长为x，宽和高都为1的长方体体积，原几何体的体积等于一个长为，宽为x，高为的长方体体积，据此用两种方法表示出原几何体的体积即可得到答案． 【详解】解：（1）图④中阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为， 图④中阴影部分面积等于边长为的正方形面积，减去4个长为a，宽为b的长方形面积，则其面积为； （2）由（1）可得； （3）设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）原几何体的体积是棱长为x的正方体体积减去一个长为x，宽和高都为1的长方体体积，即原几何体的体积为， 原几何体的体积等于一个长为，宽为x，高为的长方体体积，即原几何体的体积为， ∴ 【变式题11-1】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在下列横线上用含有，的代数式表示相应图形的面积； (1)①   ②   ③   ④ ． (2)请在图④中利用图①、图②、图③画出拼图，并通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子来表达： ； (3)利用（2）的结论计算下列式子的值： ① ② 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式及其应用． （1）根据正方形、长方形面积公式即可解答； （2）前三个图形的面积之和等于第四个正方形的面积； （3）借助于（2）中的结论解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：①；②；③；④； （2）解：画出的拼图为： 观察图形可知，； （3）解：① ； ② ． 【变式题11-2】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）数学活动：面积与代数恒等式 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我们可以利用几何图形的面积解释代数恒等式． 【方法呈现】如图①，将三个正方形分别按照甲、乙、丙三种方法进行分割． 已知以下三个代数恒等式： ①； ②； ③． 甲、乙、丙三种分割方法表示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式对应的序号依次为__________． 【方法探究】利用【方法呈现】中所得到的代数恒等式，解决下面的问题： （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【方法应用】如图②，在数轴上，从左到右的三个点、、表示的数分别是、8、10．以为边向上作正方形，以为边向上作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为100，求长方形的面积． 【答案】【方法呈现】③②①；【方法探究】（1）6；（2）3；【方法应用】48 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式变形求值；能熟练利用完全平方公式进行求解是解题的关键． 方法呈现：观察图形即可求解； 方法探究： （1）由完全平方公式变形得，即可求解； （2）由完全平方公式变形得，即可求解； 方法应用：由图得，由完全平方公式变形得，即可求解． 【详解】解：方法呈现： 甲、乙、丙三种分割方法表示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式对应的序号依次为③②①； 故答案为：③②①； 方法探究： （1） ， ， ， ； （2） ， ， ， ； 方法应用： 由图得：， ， ， ， 长方形的面积为． 【变式题11-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列文字： 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： (1)类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：______________； (2)小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值； (3)已知：，求的值． 【答案】(1) (2)14 (3)-4 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，求一个数的平方根，完全平方公式的应用． （1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论； （2）计算多项式乘以多项式，进而求得的值，计算，即可求解； （3）设，利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1） （2） ； ． （3）令， ， ， ， ， ． 【题型12】整式运算中的规律探究问题(培优) 1.核心知识点总结 杨辉三角与完全平方公式展开式系数的关系 整式运算中的递推规律、恒等式规律 利用规律进行计算或推导一般性结论 2.高频考点梳理 杨辉三角规律应用(求展开式系数、项数) 恒等式规律探究(如的计算） 自定义运算规律探究 3.易错点警示 规律总结不全面：只观察部分项，忽略整体规律 规律应用错误：将特殊规律推广到一般情况时出错 运算失误：根据规律计算时，步骤繁琐导致计算错误 4.解题技巧拆解 观察特例：计算前3-4项的结果，寻找共性规律 验证规律：用第n+1项验证总结的规律是否成立 应用规律：根据规律简化计算或推导一般性结论 【例题12】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行： ； 的系数行： ； 对于含项的系数是从左向右第个数，即； 故选：A． 【变式题12-1】．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式： 例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数， (1)根据表中规律，写出的展开式； (2)多项式的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； (3)请你猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）； (4)利用表中规律计算：（不用表中规律计算不给分）． 【答案】(1) (2)n次项式，第三项的系数为： (3) (4)1 【分析】本题考查的是多项式乘法的规律性问题，找出规律是解题的关键． （1）可以根据题意写出答案， （2）分别用、、去探究它们之间的关系，找出规律即可， （3）分别用、、先求出它们的系数和，找出规律即可， （4）通过观察可把正负号转化为的偶次方和奇次方，然后把式子转化为题中所给的形式即可得出答案． 【详解】（1）解：观察表中信息可写出： ； （2）解：当时，多项式的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为， 当时，多项式的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为 当时，多项式的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为， …… ∴多项式的展开式是一个n次项式，第三项的系数为； （3）解：当时，多项式的各项系数之和为：， 当时，多项式的各项系数之和为： ， 当时，多项式（的各项系数之和为： ， …… 多项式展开式的各项系数之和为； （4）解： ． 【变式题12-2】．（25-26八年级上·重庆·开学考试）观察下列等式： ；；；；… 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则： 十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21． 例如，计算，因为，，所以． (1)利用以上规律直接写出结果：______； (2)设两个因数的十位数字为a，用含a的代数式表示上述速算法则：__________________； (3)善于思考的小聪通过计算                                                           … 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．设两个因数的十位数字为a，个位数字分别为m，n，且，请用含a、m、n的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 【答案】(1)7221 (2)；； (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查了整式乘法中的相关数学规律，数字规律探究，用代数式表示数字规律，解题的关键在于理解题意，熟练掌握整式乘法运算法则． （1）根据题意直接写出答案即可； （2）根据观察规律可得，即可求解； （3）利用代数式表示两个乘数，根据整式的运算计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：7221； （2）解：由题意可知： … ∴， 故答案为：；；； （3）解：，理由如下： 两个因数分别表示为：，， 则 ， ∵， ∴ ． 【变式题12-3】．（25-26八年级上·海南海口·阶段练习）（1）计算下列式子： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． （2）从上面的计算中总结出规律：___________ （3）运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）①；②；③；④ 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的规律问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据多项式乘以多项式的法则求解即可； （2）由（1）中的运算总结出规律即可； （3）由（2）总结出的规律求解即可； 【详解】解：①； ②． ③； ④． （2）从上面的计算中总结出规律：； （3）①； ②． ③； ④． 【题型13】新定义型整式运算问题（培优） 1.核心知识点总结 理解新定义的运算规则（如二阶行列式、自定义乘法） 将新定义运算转化为熟悉的整式运算（乘除、乘方、公式应用） 2.高频考点梳理 根据新定义进行计算 结合新定义求参数值（如结果与x无关、结果为定值） 新定义运算的性质探究 3.易错点警示 新定义理解错误：误解运算规则或符号含义 转化错误：不能将新定义准确转化为整式运算 忽略新定义的限制条件：如参数的取值范围 4.解题技巧拆解 精读定义：明确新运算的符号、运算顺序、运算方法 转化运算：将新定义表达式转化为整式的乘除、乘方等熟悉运算 按要求求解：根据题目条件（如结果与x无关）列方程或化简计算 【例题13】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）对于任意的实数，，定义一种新运算◆，规定，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义的运算，将条件转化为方程，然后求解一元一次方程即可． 【详解】∵，， ∴， 展开得 ， 化简得 ， 解得 ． 故答案为：． 【变式题13-1】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，则是的“好多项式”，但不是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？是不是的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【答案】(1)B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由见解析 (2)3 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，理解“好多项式”和“极好多项式”的定义是解答本题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”， 理由如下： ， ∵，， ∴， ∴B是A的“好多项式”，不是A的“极好多项式”． （2）解： ， ∵B是A的“极好多项式”，， ∴， ∴且， 解得． 【变式题13-2】．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________ (2)已知，则___________； (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； (4)已知实数满足，求的最值． 【答案】(1) (2)5 (3)，理由见解析 (4)的最小值是 【分析】本题考查的是配方法的应用，“完美数”的定义，熟记完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义解答； （2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性计算； （3）利用配方法把原式变形，根据“完美数”的定义解答； （4）对原式进行变形，再根据配方法进行求最小值即可． 【详解】（1）解：是完美数， ； 故答案为：； （2）解：， ，即， 且， 解得：， 则； 故答案为：5； （3）解：可取，理由如下： 对配方， 得，要使为“完美数”，可取，即，此时，因为是整数，所以和是整数，符合“完美数”的定义，故符合条件的一个值为10； （4）解：， ∵， ∴， 的最小值是． 【变式题13-3】．（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式加减法的应用，解题关键是理解反对称式的定义． （1）根据反对称式的定义，交换字母位置后值变为相反数，判断各代数式是否满足条件． （2）将代数式化简后，根据反对称式的定义，交换m和n后令其值等于原式的相反数，解方程求k． （3）由反对称式的定义可得：代数式中两个字母交换位置后两个代数式的和为0，可得，进而可得，，由此得出m和n奇偶性不同，，结合两者条件得到的值． 【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④． （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且 不一定为0， 故， 解得． （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故． 同步练习 一、单选题 1．（海南省儋州市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）如图，书画店为一幅正方形福字书法作品装裱，装裱后形成一个长方形画框．已知装裱后的画框长为米、宽为米，中间待装裱的正方形福字书法作品边长为米，求用于装裱的边框（即长方形画框与正方形作品之间的区域）面积是（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据装裱的边框（即长方形画框与正方形作品之间的区域）面积等于长方形的面积减去正方形的面积进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意， 平方米， ∴用于装裱的边框（即长方形画框与正方形作品之间的区域）面积是平方米， 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法，根据这些性质逐一判断各选项即可 【详解】∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，选项A正确； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，选项B错误； ∵ 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， ∴，选项C错误； ∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ ，选项D错误； 故选：A 3．（海南省儋州市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）已知，则“▲”所表示的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据被除式、除式、商之间的关系列出式子是解题的关键． 根据除法运算，将等式变形为求除数的形式，然后利用同底数幂的除法法则计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ “▲”所表示的式子是 ． 故选：B． 4．（海南省儋州市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）若，则的值为（    ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握整式乘法的运算． 根据多项式乘以多项式可得，，由题意可得，，代入求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 则，， 则， 故选：A． 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 利用指数运算性质，将已知条件转化为以9为底的幂，然后代入所求表达式求解． 【详解】解： 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·四川德阳·月考）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方与同底数幂的乘法． 根据幂的乘方与同底数幂乘法的计算方法将写成即可． 【详解】解：，， ， 故答案为： 7．（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是零次幂的含义，根据零指数幂的法则，任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴． 故答案为： 0． 8．（25-26八年级上·福建福州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是积的乘方运算，根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为 ． 9．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用指数运算性质，将化为，再结合已知条件求解． 【详解】解：由，得， 因为， 所以， 因此，． 故答案为：9． 10．（25-26七年级上·上海虹口·期中）如果是一个完全平方式，那么常数的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：或 三、解答题 11．（重庆川外基础教育集团2025一2026学年上学期半期定时作业八年级数学试题）先化简，再求值：，其中m，n满足（）． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．先化简表达式，利用完全平方公式和多项式乘法展开，合并同类项后约分，得到简化形式 ，再代入已知条件 求值． 【详解】解：原式 ∵ ∴ 原式 12．（重庆川外基础教育集团2025一2026学年上学期半期定时作业八年级数学试题）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法，平方差公式与完全平方公式． （1）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算，最后合并同类项，即可求解； （2）根据平方差公式，单项式乘以多项式进行计算，最后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26七年级上·上海·期中）阅读理解：我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）将两个正方形，如图，摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1） （2）45 （3）80 （4） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活运用． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，先求出，再求出的值，求出阴影部分的面积代入计算即可． 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，所以， 所以这个图形可以验证公式：， 故答案为：； （2）， ， 故答案为：； （3） ； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得， ，， ， ， ， ， ． 14．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，，求和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 逆用同底数幂乘法和幂的乘方计算即可； 【详解】解： ，， ， ． 15．（25-26八年级上·福建福州·期中）运用乘法公式进行简便计算． (1) (2) 【答案】(1)10201 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先将原式化为，再运用完全平方公式进行计算，即可作答． （2）先将原式化为，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 16．（25-26八年级上·北京·期中）我们在数学课上学习过积的乘方公式：，将这个公式从右往左看，得到公式：，我们可以借助这个公式用整体思想解决一些代数式求值的问题． (1)若，则_______；若，则_______． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题关键． （1）利用积的乘方逆运算变形，然后整体代入求值即可． （2）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； 故答案为：；． （2）解： ， ∵， ∴原式 ． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们在学习“整式的乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，得到一些代数恒等式． 如图1，沿长方形中的虚线将这个长方形平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)观察图2，用两种不同的方法表示图2阴影部分的面积： 方法1：______，方法2：______； (2)根据（1）中得到的关系式，填空：若，，则______； (3)实际上，有许多代数恒等式都可以用图形的面积来表示．如图3，从整体来看是边长为的正方形，可得图3的面积为；从部分来看，图3是由1个边长为的正方形、1个边长为的正方形以及2个长为，宽为的长方形组成，可得图3的面积为因此可以得到完全平方公式． ①由图4可得等式：______； ②若实数、、满足，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)①；②45 【分析】本题考查列代数式、完全平方公式，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据图形可得阴影部分为边长为的正方形， 阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，即可解答； （2）由（1）得：，再代入计算，即可解答； （3）①根据图形得：大正方形的边长为； 大正方形是由1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，1个边长为c的正方形，2个长和宽为a和b的小长方形，2个长和宽为a和c的小长方形，2个长和宽为b和c的小长方形组成，即可解答；②由①中等式解答即可． 【详解】（1）解：根据图形得：阴影部分为边长为的正方形，此时阴影部分的面积为； 阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，即； 故答案为：；； （2）解：由（1）得：， ∵，， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：①根据图形得：大正方形的边长为，大正方形的面积为， 大正方形是由1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，1个边长为c的正方形，2个长和宽为a和b的小长方形，2个长和宽为a和c的小长方形，2个长和宽为b和c的小长方形组成，此时大正方形的面积为， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：45 18．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）小明和小刚共同解一道题，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中前面的符号，得到的结果为；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求a，b的值； (2)计算出正确的结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意并结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，   ， ∴，， 解得，； （2）解：由（1）可得：． 学科网（北京）股份有限公司 $