精品解析：安徽省六安市第九中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025秋学期九年级期中综合素质评价数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 4. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 7. 已知两个直角三角形的三边长分别是，和，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ） A. B. 15 C. D. 或 8. 古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的，一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 9. 如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（ ） A. B. C. D. 10. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知线段a=3cm，c=6cm，那么线段a、c的比例中项b=__________cm． 12. 如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 13. 抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________ 14. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． （1）当时，______； （2）的最大值为_______． 三、解答题（共9小题，共90分） 15. 已知实数，，满足，求的值． 16. 若，试求的值 17. 如图，已知，．求证：． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 20. 请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图3，已知中，，，平分，求的周长． 21. 如图，点是的边上一点，点在外部，且． （1）求证：； （2）交于点，如果，平分，求证：． 22. ［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 23. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋学期九年级期中综合素质评价数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 2. 若反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．利用反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大， ∴，即， 故选：A． 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 4. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 6. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 7. 已知两个直角三角形的三边长分别是，和，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ） A. B. 15 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理．根据勾股定理，分别计算两个直角三角形中未知边和的可能值，再根据两个三角形不相似的条件，排除相似组合，得到的可能值，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵第一个直角三角形的边长： 则斜边可能为或， 若为斜边，则， 若为直角边，则斜边为，， 对于第二个直角三角形，边长： ∵ 斜边可能为或， 若为斜边，则； 若为直角边，则斜边为 ，， ∵ 两个直角三角形不相似， ∴ 不能同时且（此时三边对应成比例）， 也不能同时且（此时三边对应成比例）， ∴可能情况：① ，则； ② ，则， ∴ 的值为 或． 故选：D 8. 古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的，一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可． 【详解】解：根据题意，设她穿的高跟鞋的高度是x cm，则 ， 解得：， ∴我认为选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用；关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 9. 如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即； 故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥． 【详解】解：①由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵对称轴为直线，则与的函数值相等， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是①②④⑤⑥共5个， 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知线段a=3cm，c=6cm，那么线段a、c的比例中项b=__________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质：比例中项的平方等于两条线段的乘积解答即可． 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积， 所以c2=ab，即b2=3×6=18， 解得b=． 故答案为 【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数． 12. 如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 13. 抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________ 【答案】，. 【解析】 【分析】由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得. 【详解】依题意，得：， 解得：， 所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：， 即：， 化为：， 解得：，， 故答案为，. 【点睛】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键. 14. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． （1）当时，______； （2）的最大值为_______． 【答案】（1）##0.5 （2）##0.5625 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用一次函数求出点A、C的坐标，结合再设出交点式，代入点C坐标求出抛物线解析式，由可得D的坐标，再利用平行线分线段成比例性质得到，即可解答； （2）作轴交于F，轴交于G，先得出比例，结合三角形的面积公式得到，设，则，表示出，进而表示出，再求出最大值即可解答． 【小问1详解】 解：对于， 令，则，即， 令，则，即， 又， 设抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 设抛物线解析式为， ， 的纵坐标与的纵坐标相同，均为3， 对于，令，则， 解得：， ， ， 又， ． 故答案为：． 【小问2详解】 如图，作轴交于F，轴交于G， ， ， ， ， 当时，， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共90分） 15. 已知实数，，满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．令，，（），代入求解即可． 【详解】解：， 设，，（）， . 16. 若，试求的值 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟知比例的性质，根据题意分和两种情况分类讨论即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴； 当时， ． 故答案为：或 17. 如图，已知，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由可得，从而得到，得到即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】（1） 如图所示，点D即为边的中点， 点D的坐标为． （2） 如图所示，即为所求作的三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 【答案】（1）， （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出a、k的值解题的关键． （1）把A、B横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求可得直线的解析式，则可求出点C和点D的坐标，坐标可得的长，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得，． 【小问2详解】 解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为． 在中，令，得，令，得， ∴，， ∴．． ∴的面积为． 20. 请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图3，已知中，，，平分，求的周长． 【答案】（1） 证明：如图2，过作，交的延长线于， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． （1）过作，交的延长线于，则，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先利用勾股定理可得，再根据（1）的结论可得的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据三角形的周长公式求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵在中，平分， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴的周长为． 21. 如图，点是的边上一点，点在外部，且． （1）求证：； （2）交于点，如果，平分，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定方法，证明，即可证明结论； （2）证明，得到，即可得到，证明，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 证明：， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）得，，， ， ， ． 22. ［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 23. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】（1） （2）（ⅰ），当时，， 点坐标为， 当时，，解得或， 点A在点的左侧， 点A坐标为，点坐标为， ，，， ，， ， 是直角三角形； （ⅱ）或或或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可； （2）①利用勾股定理的逆定理证明即可； ②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， ， 解得 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：（ⅰ）略 （ⅱ）， 抛物线的对称轴是直线， 点坐标为，设点坐标为， 分两种情况：①当时，， 即， 解得， 此时点的坐标为或； ②当时，，即， 解得， 此时点的坐标为或； 综上，点坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $