精品解析：广东省中山市中山共进联盟2025-2026学年上学期中段水平测试八年级数学试卷

2025-2026学年第一学期中段水平测试八年级数学试卷 （测试时间：120 分钟 满分：120 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. 2，5，7 B. 4， 4，8 C. 4，5，6 D. 1，3，5 2. 《国语·楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个三角形三个内角的度数之比为4：5：6，这个三角形一定是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 4. 已知点与关于x轴对称，则a，b分别为 （ ） A. 3， B. ， C. 3，4 D. ，4 5. 等腰三角形一个角等于，则它的底角是（ ） A. B. C. D. 或 6. 下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点落到点 处）折出的是边上的高的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 甲、乙、丙都是 7. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 8. 如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中蕴含的数学知识是（ ） A. 三角形的任意两边之和大于第三边 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形三个内角的和等于 D. 三角形的三条中线交于一点 9. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 2米 B. 4米 C. 6米 D. 8米 10. 如图,，在中，，，，的垂直平分线分别交， 边于点，，若为边的中点，为线段 上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 12. 在中，，，若第三边 c的长是奇数，则 c的长是___________． 13. 已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为 ________． 14. 如图，在中，边的垂直平分线l交于点D，连接，若，，则的周长为___________ ． 15. 当三角形中一个内角β是另一个内角α的 时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角α称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为_______． 三、解答题（一）（共3个小题，每小题7分，满分21分） 16. 已知：如图，点A，D，C在同一直线上，．求证：． 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作上的高； （2）求的长． 18. 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】若的面积为m，求的面积．（用含m的式子表示） 四、解答题（二）（共3个小题，每小题9分，满分27分） 19. 在平面直角坐标系中，A(0，2)，B(6，1)，C(5，3)，如图所示： （1）以x轴为对称轴，作△ABC的轴对称图形△DEF； （2）求△ABC的面积； （3）在x轴上找一点M，使M点到A、B两点的距离之和最小，请你通过作图观察，直接写出点M的坐标； 20. 如图，在中，是的平分线，于点F，E是上一点，且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 21. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，，． （1）试说明； （2）求的长． 五、解答题（三）（共2个小题，第22题13分，第23题14分，满分27分） 22. 阅读理解： 【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”． 23. 如图①，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限内，，． （1）求证：是等边三角形； （2）为轴正半轴上一点，以 为边向右侧作等边三角形，连接并延长，交于点，交轴于点 ，求证： ； （3）如图②，若，且，连接，点为的中点，连接与相交于点 ，判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期中段水平测试八年级数学试卷 （测试时间：120 分钟 满分：120 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. 2，5，7 B. 4， 4，8 C. 4，5，6 D. 1，3，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边．判断时，只需计算较短两条线段的和是否大于最长线段，据此进行分析，即可解答． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，故该选项不符合题意； B、，不符合三角形三边关系，故该选项不符合题意； C、，符合三角形三边关系，故该选项符合题意； D、，不符合三角形三边关系，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 《国语·楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 一个三角形三个内角的度数之比为4：5：6，这个三角形一定是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出三角形的内角即可判断． 【详解】解：∵三角形三个内角的度数之比为4：5：6， ∴这个三角形的内角分别为180°×＝48°，180°×＝60°，180°×＝72°， ∴这个三角形是锐角三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4. 已知点与关于x轴对称，则a，b分别为 （ ） A. 3， B. ， C. 3，4 D. ，4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标，根据关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此即可作答． 【详解】解：∵点与关于x轴对称， ∴， 故选：A． 5. 等腰三角形一个角等于，则它的底角是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，等腰三角形中，已知一个角为，需分该角为顶角或底角两种情况讨论，结合三角形内角和定理求解底角． 【详解】解：当为顶角时： 底角之和为，因底角相等，故每个底角为． 当为底角时：等腰三角形两底角相等，故另一底角也为． 故选D． 6. 下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点落到点 处）折出的是边上的高的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 甲、乙、丙都是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的高，理解三角形的高的概念，掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得到，根据高的定义得到当时，为高，由此即可求解． 【详解】解：甲：，点在线段上， ∴， ∴，则是边上的高； 乙：点不在线段上， ∴，则不是边上的高； 丙：， ∴不是边上的高； 故只有甲符合题意， 故选：A ． 7. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 8. 如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中蕴含的数学知识是（ ） A. 三角形的任意两边之和大于第三边 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形三个内角的和等于 D. 三角形的三条中线交于一点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，结合题意得跪姿射击由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，进行作答即可． 【详解】解：依题意，跪姿射击由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定， ∴蕴含的数学知识是三角形具有稳定性， 故选：B 9. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 2米 B. 4米 C. 6米 D. 8米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质．根据直角三角形中，所对边是斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图： 米， 在中，， ∴（米）， ∴这棵树在折断前的高度为（米）， 故选：C． 10. 如图,，在中，，，，的垂直平分线分别交， 边于点，，若为边的中点，为线段 上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、根据线段垂直平分线的性质可知，根据两点之间线段最短可知当点、、三点共线时，的值最小，根据等腰三角形的三线合一性质可知是边上的高，利用三角形面积求出的长，即可得到的周长的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接、， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 点为边的中点， ， 当的值最小时，的周长的最小， 当点、、三点共线时，的值最小， ，点是的中点， ， ， ， 的周长最小值为． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 12. 在中，，，若第三边 c的长是奇数，则 c的长是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形的三边关系，可以得到c的取值范围，又由c为奇数，可得到c的值． 【详解】解：根据三角形的三边关系定理可得， 解得：， ∵第三边c的长是奇数， ∴， 故答案为：5． 13. 已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为 ________． 【答案】19或20 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分x的值是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：根据题意得x﹣6＝0，y﹣7＝0， 解得x＝6，y＝7， ①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、7，能组成三角形，三角形的周长为19． ②6是底边时，三角形的三边分别为6、7、7，能组成三角形，三角形的周长为20． 故答案为：19或20． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断． 14. 如图，在中，边的垂直平分线l交于点D，连接，若，，则的周长为___________ ． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，进而即可求解． 【详解】解：边的垂直平分线l交于点D， ， ，， ， 即的周长为． 故答案为：17． 15. 当三角形中一个内角β是另一个内角α的 时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角α称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．分为角是α或是β或既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：依题意，（1）角是，则“希望角”度数为； （2）角是，则， ， 此时，不合题意； （3）角既不是也不是， 则， ， 解得， ∴“希望角”度数为； 综上所述，“希望角”度数为或． 故答案为：或． 三、解答题（一）（共3个小题，每小题7分，满分21分） 16. 已知：如图，点A，D，C在同一直线上，．求证：． 【答案】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，邻补角互补，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，结合，以及邻补角的性质，得，又因为，即可证明． 【详解】略 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作上的高； （2）求的长． 【答案】（1） 高如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，作，即可作答． （2）先求出，再根据等面积法进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，． ∴， 由（1）得， 则， 解得． 18. 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】若的面积为m，求的面积．（用含m的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算，结合图形求解是解题关键． 根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出． 【详解】解：∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，， ， ． 四、解答题（二）（共3个小题，每小题9分，满分27分） 19. 在平面直角坐标系中，A(0，2)，B(6，1)，C(5，3)，如图所示： （1）以x轴为对称轴，作△ABC的轴对称图形△DEF； （2）求△ABC的面积； （3）在x轴上找一点M，使M点到A、B两点的距离之和最小，请你通过作图观察，直接写出点M的坐标； 【答案】 （1）如图，△DEF即为所求． （2）S△ABC=2×6-×1×5-×1×2-×1×6=； （3）如图，点M即为所求， 观察图形知点M的坐标为（4，0）． 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，然后顺次连接； （2）用三角形所在矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可求解； （3）连接BD交x轴于点M，点M即为所求． 【详解】 略 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 20. 如图，在中，是的平分线，于点F，E是上一点，且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵在与中， ∴． （2） 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，关键是根据证明直角三角形的全等解答． （1）利用证明即可； （2）由是的平分线可得，再由可得，最后求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，，． （1）试说明； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，据此证明即可． （2）利用线段的和差关系直接代值求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． ∴． 五、解答题（三）（共2个小题，第22题13分，第23题14分，满分27分） 22. 阅读理解： 【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”． 【答案】（1）是 （2） ∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“巧妙分割线”． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解． （1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； 【小问2详解】 略 23. 如图①，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限内，，． （1）求证：是等边三角形； （2）为轴正半轴上一点，以 为边向右侧作等边三角形，连接并延长，交于点，交轴于点 ，求证： ； （3）如图②，若，且，连接，点为的中点，连接与相交于点 ，判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， 又， 是等边三角形． （2） 证明：由（）得是等边三角形． 是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又， ． 又 ． （3） 解：．理由如下： 如图，在上截取，连接，则，即． ， ， ，点为的中点， 平分， ． 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【解析】 【分析】()根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可证明； ()根据证明，得，由字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论； ()如图，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，以及含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $