精品解析：浙江省绍兴市新昌县七星中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025学年第一学期九年级数学期中质量检测卷 考生注意：本试卷共三道大题，24道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 从这几个自然数中任取一个，是2的倍数的数的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 水落石出 B. 水中捞月 C. 水涨船高 D. 水到渠成 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 如图，点在上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 若四边形是的内接四边形，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 平分弦的直线必垂直于弦 B. 平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧 C. 平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D. 垂直于弦的直线平分弦 8. 如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知A，B，C，D是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，，若的半径为10，则在，值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 已知一个正多边形的一个外角为，则这是个正_______边形． 12. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得拋物线的解析式为________． 13. 已知线段，，且点为线段的黄金分割点，则________． 14. 如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则______． 15. 已知的直径为10，现内有两条弦，，则的度数为________． 16. 如图，在矩形中，，，点为中点，点是从点出发，沿点的路径移动，到达点即停止运动．现将沿翻折，得到点B的对称点，连接，则线段长度的最小值为________． 三、解答题（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24每题12分共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中1个黄球、1个白球、2个红球． （1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率； （2）现再将个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求的值． 18. 已知：抛物线，经过． （1）求a的值． （2）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标． 19. 如图，在中，于点，且．求证：是直角三角形． 20. 在如图所示的方格纸中建立平面直角坐标系，小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． （1）绕点顺时针旋转，使得点落在轴正半轴上，旋转后的三角形为，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下，线段所扫过的面积是______． 21. 如图，是的直径，是的弦，如果． （1）求的度数． （2）若，求的长． 22. 某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元． （1）当时，求销售该水果的总利润； （2）设每天销售该水果的总利润为w元． ①求w与x之间的函数解析式： ②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值． 23. 如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，． （1）求证：平分． （2）如图2，延长，相交于点E． ①求证：． ②若，，求的半径． 24. 如图，是的直径，为上一点（点不与、重合），与是过点的两条弦，且，，于点，于点N． （1）求证：平分； （2）若，，求的长； （3）求证：当点在上运动时，的值不变，并求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级数学期中质量检测卷 考生注意：本试卷共三道大题，24道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 从这几个自然数中任取一个，是2的倍数的数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，总共有9个自然数，其中2的倍数（即偶数）有4个，然后根据概率公式求解即可． 【详解】∵从中，总共有9个数，其中2的倍数有2、4、6、8，共4个， ∴从这几个自然数中任取一个，是2的倍数的数的概率是． 故选：D． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、分式的基本性质等知识点，掌握分式的基本性质是解题的关键． 设，然后代入并化简约分即可解答． 【详解】解：∵， ∴设． ∴ = = = ． 故选B． 3. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 水落石出 B. 水中捞月 C. 水涨船高 D. 水到渠成 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，根据“必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”，逐项判断即可． 【详解】解：A、水落石出，是必然事件，故不符合题意； B．水中捞月，是不可能事件，故符合题意； C．水涨船高，是必然事件，故不符合题意； D．水到渠成，是必然事件，故不符合题意； 故选：B． 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称轴，解答本题的关键是利用解析式找到对称轴． 根据题目中的抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的对称轴即可． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的对称轴是直线， 故选：D． 5. 如图，点在上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 6. 若四边形是的内接四边形，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角． 根据圆内接四边形的性质得，则利用可计算出，然后利用互补计算出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ， ， 设，则， ， 解得：， ∴， ， 故选：A． 7. 下列命题正确的是（ ） A. 平分弦的直线必垂直于弦 B. 平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧 C. 平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D. 垂直于弦的直线平分弦 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及其推论． 根据垂径定理，平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧． 【详解】A． 平分弦的直线不一定垂直于弦，原命题错误； B． 平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧，原命题正确； C． 平分弦的直线不一定平分弦所对的两条弧，原命题错误； D． 垂直于弦的直线不一定平分弦，原命题错误； 故选：B． 8. 如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ， ． 故选C． 9. 如图，已知A，B，C，D是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，，若的半径为10，则在，值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识点理解圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理是解题的关键． 如图：过点A作直径，过点B作的直径，连接、，依题意得，则，由此可依据“”判定和全等，则，然后在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点A作直径，过点B作的直径，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径，的半径是10， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：，即． ∴在x，y值的变化过程中，代数式的值不变． 故选：C． 10. 二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可． 【详解】二次函数 的大致图象如下： ①当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即， 解得：或(均不合题意，舍去)； ②当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即, 解得： 或时，取最小值， 时取最大值， ， ， ， ∴此种情形不合题意， 所以， 故选：D． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 已知一个正多边形的一个外角为，则这是个正_______边形． 【答案】八## 【解析】 【分析】本题考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为．利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出答案． 【详解】解：多边形的每个外角相等，且其和为，可得 ， 故答案为：八． 12. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得拋物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接根据抛物线的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线 向右平移2个单位，得到 ；再向上平移1个单位，得到． 故答案为． 13. 已知线段，，且点为线段的黄金分割点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要黄金分割点的定义，点将线段分成两部分和，且，则与的比值为，这个比值叫作黄金比例． 先根据黄金比例列式，然后将代入比例式计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴． 又∵， ∴． 故答案为． 14. 如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设的距离为，则，即，证明，则，计算求解即可． 【详解】解：设的距离为， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知的直径为10，现内有两条弦，，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先证明出是等边三角形，得到，然后证明出，得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵的直径为10，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 点C的位置有两种情况，如左图时，； 如右图时，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆的基础知识，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 16. 如图，在矩形中，，，点为中点，点是从点出发，沿点的路径移动，到达点即停止运动．现将沿翻折，得到点B的对称点，连接，则线段长度的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，灵活运用三角形的三边关系求最值是解题的关键．由矩形的性质可得、，根据线段中点的定义可得，连接，再根据勾股定理可得，由折叠的性质可得，最后根据三角形的三边关系求最值即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∵，点为中点， ∴， 如图：连接，则， ∵将沿翻折，得到点B的对称点， ∴， ∵， ∴当E、、D共线时，最小，且最小值为． 故答案为：8． 三、解答题（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24每题12分共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中1个黄球、1个白球、2个红球． （1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率； （2）现再将个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求的值． 【答案】（1）两次摸出的球恰好都是红球的概率 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是概率问题： （1）先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球恰好都是红球的所占的结果数，然后根据概率公式求解； （2）根据概率公式得到，解出方程，即可． 【小问1详解】 解：根据题意，画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好都是红球的占2种， 所以两次摸出的球恰好都是红球的概率； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 故． 18. 已知：抛物线，经过． （1）求a的值． （2）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）抛物线与x轴的交点坐标为和；与y轴的交点坐标为 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴、y轴的交点坐标． （1）将代入即可求解； （2）首先得到抛物线解析式为，然后分别令和即可求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：将代入 得， 解得； 【小问2详解】 解：∵ ∴ 当时， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 当时， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 19. 如图，在中，于点，且．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． 由垂直的定义可得，再证明，再根据相似三角形的性质可得即可证明结论． 【详解】略 20. 在如图所示的方格纸中建立平面直角坐标系，小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． （1）绕点顺时针旋转，使得点落在轴正半轴上，旋转后的三角形为，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下，线段所扫过的面积是______． 【答案】（1） 如图，即为所求 （2） 【解析】 【分析】（1）绕点顺时针旋转，使得点在轴正半轴上，可得旋转角，根据旋转的性质即可画出； （2）根据旋转可知，线段所扫过的图形为圆心角为，半径为的扇形，根据扇形面积公式，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由旋转可得 ∵ ∴线段所扫过的面积为 故答案为 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，扇形的面积，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 21. 如图，是的直径，是的弦，如果． （1）求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． （1）根据圆周角定理得到，利用互余可计算出，再利用圆周角定理即可求解； （2）利用圆周角定理结合含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理求解即可 【小问1详解】 解：是的直径， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 22. 某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元． （1）当时，求销售该水果的总利润； （2）设每天销售该水果的总利润为w元． ①求w与x之间的函数解析式： ②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值． 【答案】（1）元 （2）① ②不能达到，最大值是8100元 【解析】 【分析】（1）利用每箱利润每箱降低的价格及平均每天的销售量120+20，即可求出结论； （2）①设每箱应降价x元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润每箱的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的函数解析式，②利用二次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为(元)， 平均每天可售出(箱) 总利润为：(元)． 【小问2详解】 ①设每箱应降价x元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱，依题意得： w与x之间的函数解析式为 ； ②w不能达到8200元； . ∵， ∴当时，w取到最大值，， ∴w不能达到8200元，w的最大值是8100元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用的应用，找准等量关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键． 23. 如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，． （1）求证：平分． （2）如图2，延长，相交于点E． ①求证：． ②若，，求的半径． 【答案】（1） 证明∵点C为弧的中点， ∴， ∴，， ∴平分； （2）①证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ② 【解析】 【分析】(1)由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的三线合一证明结论； (2)由直径所对的圆周角为直角得，则，再根据垂径定理得：，得结论；②连接，则，由，，由平行线的性质再证，得，由，得，，求出，设的半径为r，由勾股定理求出符合题意的r值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图2，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质、平行线的判定与性质、、勾股定理、一元二次方程的解法，解题的关键是综合运用以上知识解决问题． 24. 如图，是的直径，为上一点（点不与、重合），与是过点的两条弦，且，，于点，于点N． （1）求证：平分； （2）若，，求的长； （3）求证：当点在上运动时，的值不变，并求出这个定值． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图：连接，证明，再根据全等三角形的性质可得，再运用角平分线的判定定理即可证明结论； （2）证明为等腰直角三角形，则，则，进而求得的长； （3）如图：连接，设圆O的半径为r， 是等腰直角三角形则、，由 ，，然后代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 证明：的值不变，且值为，理由， 如图：连接，设圆O的半径为r， 由（2）知，是等腰直角三角形， ∴、， 在中，， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $