精品解析：山东省烟台市2025-2026学年高三上学期期中学业水平诊断数学试题

2025~2026学年度第一学期期中学业水平诊断 高三数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先结合绝对值不等式得出集合，再应用对数函数定义域及一元二次不等式得出集合，最后得出交集即可. 【详解】由题意得集合， ， 则，故C正确. 故选：C. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题可得． 【详解】全称量词命题“，”的否定为“，”. 故选：B. 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用基本不等式计算判断B，C，D，应用特殊值法计算判断A. 【详解】因为，且，则，所以，当且仅当时取等号，B选项错误； 因为，当时，，A选项错误； 因为，所以，当且仅当时取等号，C选项错误； 因为，当且仅当时取等号，D选项正确； 故选：D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列部分和性质有为等差数列，结合等差中项的性质列方程求值即可. 【详解】由题意为等差数列，则， 所以，则. 故选：C 5. 在等腰直角三角形中，，，为边上一动点，则（ ） A. 为定值4 B. 为定值8 C. 最大值为4 D. 最大值为8 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法及向量数量积的几何意义直接可得. 【详解】如图：因为等腰直角三角形中，，所以. 设E为的中点，由平行四边形法则可知，且，. 由数量积的几何意义可知，. 故选：A. 6. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象求解即可. 【详解】设， 作出函数的图象，如图， 结合选项，由图可知，当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，，而始终不可能. 故选：D 7. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得到是周期为4的奇函数，再利用奇函数的性质、周期性及已知区间解析式求函数值. 【详解】由，则， 因是上的奇函数，则， 所以，即， 所以，即是周期为4的奇函数， 由，而， 所以. 故选：B 8. 已知锐角满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可知，通过已知条件与和差角公式化简得的值，解方程得到，的值，再由二倍角公式求得的值，从而得出角的值. 【详解】由，得， 所以，又， 则， 解得或， 当时，因为，所以，此时不存在； 当时，因为，所以，而， 则， 因为为锐角，所以. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 若有两个零点，则 D. 若的值域为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对数函数、二次函数的性质研究的区间单调性及对称性、值域判断A、B、D，令，结合判别式求参数范围判断C. 【详解】由题设，且，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，若是的两个根，且，则上， 此时在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，在时在上单调递增，且其图象关于对称，A错误，B正确， 令，即， 若有两个零点，则，可得，C正确， 若的值域为，则，此时，D错误. 故选：BC 10. 若等比数列的公比为2，且，令，且数列的前项积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意得，对于A项直接计算；对于B项，作差利用和差化积公式求解；对于C项，进行判断；对于D项，，利用二倍角公式求解． 【详解】因为，所以， 对于A项，， 故A项正确； 对于B项， ， 则，故B项正确； 对于C项，因为，而的取值具有周期性变换，则无法比较大小，故C项错误； 对于D项， ， 故D项正确． 故选：ABD 11. 若函数有3个零点，则下列结论正确的有（ ） A. 为定值 B. C. 存在，使得的图象关于点对称 D. 若对任意的，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由题意，可得，进而得到即可判断A；对于B，求导，分析函数的单调性，易得，再结合即可判断；对于C，结合B可知若的图象关于点对称，则，解得即可判断；对于D，结合B分、两种情况讨论求解，即可判断. 【详解】对于A，由题意，可得 ， 则，即为定值，故A正确； 对于B，由， 则， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 要使函数有3个零点， 且，解得， 由于大小不确定， 当最小时，可得， 由A知，，则，故B错误； 对于C，由B知，函数在和上单调递增，在上单调递减， 若的图象关于点对称， 则，解得，不符合题意，故C错误； 对于D，由B知，，则，且函数在和上单调递增，在上单调递减， 若，即时，函数在上单调递增， 则， 所以， 由于对任意，， 则，解得，则； 若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则 由于对任意，， 则，解得，与矛盾. 综上所述，，故D正确. 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，的夹角为，且满足，与垂直，则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】由与垂直可得，进而根据平面向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由与垂直， 则，则， 又，向量，的夹角为， 所以，解得（舍去）或. 故答案为：1. 13. 已知三个内角的对边分别为，且，若求时有两解，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，结合题意可得，进而求解即可. 【详解】由余弦定理得，， 则， 由题意，有两解，且，则，解得， 又，则， 即的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，，且对任意的，不等式和均成立，则的值为_____；满足的的最小正整数为_____. 【答案】 ①. 5； ②. . 【解析】 【分析】第一问根据不等式的累加求分别可得及，进而可得；第二问同理由累加求和得，再由进行累加求得及，进而得，即得最小数. 【详解】（1）由对任意的，不等式成立，分别令得， ，两式相加得，即. 又，得，即， 再与相加得，， 令，得，即.所以. （2）由，即， 所以，， 以上n个式子相加得，， 即，所以. 同理有，， 以上n个式子相加得，， 即，所以. 再由（1）可知，进而， 所以 ， 以上5式相加得， 所以，再由，得. 同理有 ， 以上5式相加得， 即，再由前可知，所以. 所以的的最小正整数为. 故答案为：5；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知图象关于点对称. （1）求的值； （2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）化简，代入对称点得，结合即可得到答案； （2）根据平移和收缩的原则得，再根据余弦型函数的性质即可得到值域. 【小问1详解】 由题知，， 所以， 即，所以． 因为图象关于点对称，所以， 所以，又因为，所以． 【小问2详解】 由（1）知，． 将函数图象上各点横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）， 得到， 再将得到的图象向左平移个单位，故得到函数． 当时，， 故当，即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增． 所以，则值域为. 16. 某企业生产某种电子产品的年固定成本为万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本万元，设该企业每年生产该电子产品万件并全部销售完，年销售收入（单位：万元）.已知当时，该企业生产该电子产品年利润为万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本） （1）求该企业生产该电子产品所获年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量. 【答案】（1）答案见解析； （2）10万件. 【解析】 【分析】（1）根据年利润的计算公式，结合已知条件求出年利润关于年产量的函数解析式； （2）分别讨论不同区间内函数的最大值，进而得出年利润最大时的年产量. 【小问1详解】 由 题当时，该企业生产该电子产品年利润为万元， 所以， 解得， 所以当时，； 当时，，则； 综上，； 【小问2详解】 当时，对求导，可得， 令，即，解得， 当时，，所以在上单调递增， 则当时，取得最大值，（万元）； 当时，（万元），当且仅当，即时等号成立， 综上可得该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量为10万件. 17. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明详见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证； （2）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，再用两角和的余弦公式可得． 【小问1详解】 由正弦定理得， 故， 于是， 又，故，所以或， 因此（舍去）或， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理得， 又，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 故. 18. 已知数列的前项和为，且，数列满足且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据和的关系计算通项公式，再根据数列的递推公式证明的奇数项和偶数项分别是等比数列，进而得通项公式； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； 【小问1详解】 因为，故当时，； 当时，，满足上式， 所以，； 因为，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得：， ， ， 当为偶数时，， 记 ， ． 19. 已知，. （1）若函数在处的切线与直线垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若，当且时，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义及垂直条件列方程，解方程即可； （2）分情况讨论导数的零点情况及正负情况，即可得函数单调性情况； （3）由（2）可知当时，函数在上单调递减，在上单调递增，再由题意可知，即可确定，且，由，分离参数，配凑，构造函数，求导，判断函数单调性，进而可得函数的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由，得， 则， 由直线，即， 由切线与直线垂直可知，解得； 【小问2详解】 由， 当时，，令，解得， 且当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 当时，，， 当时，恒成立，即函数恒成立，函数在上单调递减； 当时，令，解得，，且， 即函数在和上单调递减，在上的单调递增； 当时，令，解得，， 即当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增； 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上的单调递； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 由（2）得，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由可知，即， 又，则，且， 由，即， 因， 所以， 设，， 则， 设，则恒成立， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，即， 所以在上单调递增， 所以， 所以，即， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中学业水平诊断 高三数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3 若，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在等腰直角三角形中，，，为边上一动点，则（ ） A. 定值4 B. 为定值8 C. 最大值为4 D. 最大值为8 6. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 若有两个零点，则 D. 若的值域为，则 10. 若等比数列的公比为2，且，令，且数列的前项积为，则（ ） A. B. C. D. 11. 若函数有3个零点，则下列结论正确的有（ ） A. 为定值 B C. 存在，使得的图象关于点对称 D. 若对任意的，，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，的夹角为，且满足，与垂直，则_____. 13. 已知三个内角的对边分别为，且，若求时有两解，则的取值范围为_____. 14. 已知函数的定义域为，，且对任意的，不等式和均成立，则的值为_____；满足的的最小正整数为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知图象关于点对称. （1）求的值； （2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域. 16. 某企业生产某种电子产品的年固定成本为万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本万元，设该企业每年生产该电子产品万件并全部销售完，年销售收入（单位：万元）.已知当时，该企业生产该电子产品年利润为万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本） （1）求该企业生产该电子产品所获年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量. 17. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）证明：； （2）若，求. 18. 已知数列的前项和为，且，数列满足且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和. 19. 已知，. （1）若函数在处切线与直线垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若，当且时，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $