第五章一元一次方程 专题八 动点压轴题专项练习2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

专题八 动点压轴题专项练习 1．点A，B，C在数轴上，若点B与点A之间的距离是点B与点C之间的距离的3倍，则称B是【A，C】的伙伴点．如图1，点A，B，C，D在数轴上，O是原点，O是【D，A】的伙伴点，O也是【D，B】的伙伴点． 【概念认识】 （1）如图1，在点A，B，D中，　 　 是【C，O】的伙伴点． 【深入探究】 （2）已知点E，F，P在数轴上，P是【E，F】的伙伴点． ①如图2，利用刻度尺或圆规在数轴上画出所有的点E． （保留画图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点E，F表示的数分别为e，f，则点P表示的数是 　 　 （用含e，f的代数式表示）． 【问题解决】 （3）如图1，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点O，D分别以每秒3个单位长度、1个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，直接写出O是【A，D】的伙伴点时t的值． 2．问题情境：在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，点B在点A的右侧，点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“二倍点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“二倍点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示数3，点M是点A，B的“二倍点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为　 　 ； （2）若点A表示数﹣2，点B表示数2，下列各数所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“二倍点”的是　 　 （横线上填写C1或C2或C3或C4）； （3）点A表示数﹣15，点B表示数25，P为数轴上一点． ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“二倍点”，此时点P表示的数是　 　 ； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“二倍点”，此时点P表示的数是　 　 ． 3．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b， ②线段AB的中点表示的数为； ③点A向右运动m个单位长度（m＞0）后，点A表示的数为：a+m，点A向左运动m个单位长度（m＞0）后，点A表示的数为：a﹣m． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 如图：在数轴上点A表示数﹣3，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：AB表示点A到点B之间的距离，运动之前，AB的距离为 　 　 ，A点与C点的中点为D，则点D表示的数为 　 　 ；运动t秒后，点A表示的数为 　 　 （用含t的式子表示）． （2）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （3）当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 4．如图A在数轴上对应的数为﹣2． （1）点B在点A右边距离A点4个单位长度，则点B所对应的数是 　 　 ； （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒3个单位长度沿数轴向右运动．现两点同时运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A、B两点间的距离； （3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原速沿数轴向左运动，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度． 5．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．通过研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图①，若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝b﹣a． 【问题情境】如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4个单位长度到达点A，再向右移动5个单位长度到达点B，然后再向右移动6个单位长度到达点C． 【问题探究】根据以上信息，请你解答下列问题． （1）请你在图②中表示出A，B，C三点的位置． （2）A，C两点之间的距离AC＝　 　 ． （3）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M，点N从点B，点C分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（t＞0）． ①在数轴上，点P表示的数为　 　 ，点M表示的数为　 　 ，点N表示的数为　 　 ．（含t的式子表示） ②在点移动的过程中，求出3PN﹣4PM的值． 6．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动．设运动的时间为t秒．问： （1）用含t的代数式表示A、P两点在数轴上相距的长度为 　 　 ；C、Q两点在数轴上相距的长度为 　 　 ； （2）P、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？ （3）是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请计算t的取值；若不存在，请说明理由． 7．已知，A、B两点在数轴上的位置如图所示，点A距原点20个单位长度，AB＝30． （1）直接写出点A、点B表示的数； （2）点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设M的运动时间是t秒，请用含t的式子表示线段BM的长； （3）在（2）的条件下，点M出发2秒后，动点N从B出发沿数轴向点A运动，到点A后原路返回，并且点N出发3秒后速度变为每秒1个单位长度，当点N出发7秒时，MN＝6，求点N刚出发时的速度是每秒多少个单位长度？ 8．如图所示，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度． （1）点B表示的数是 　 　 ． （2）动点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．设运动时间为t（t＞0）秒． ①点P所表示的数为 　 　 ；（用含t的代数式表示） ②当t＝ 　 　 秒时，点P与点A相距4个单位长度． 9．如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别是﹣3，3和1，两动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒6个单位的速度沿A→B→A往返运动，回到点A停止运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→B向终点B匀速运动，设点P的运动时间为t（s）． （1）当点P到达点B时，求点Q所表示的数是 　 　 ； （2）当t＝0.5时，求线段PQ的长； （3）当点P从点A向点B运动时，用含t的式子表示点P，Q之间的距离． 10．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“3倍分点”． （1）如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为1，4，5，点B，A之间的距离为　 　 ，点B，C之间的距离为　 　 ，因为点B，A之间的距离是点B，C之间距离的3倍，所以称点B为点A，C的“3倍分点”； （2）若点A，B分别在原点O的两侧，且到原点的距离均为6个单位长度．有理数﹣3，﹣2，1，3所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，这四点中是点A，B的“3倍分点”的是　 　 ； （3）在数轴上，点A，B，C所表示的数分别为﹣4，5，﹣20，点P从点C出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右移动，设点P的移动时间为t秒． ①若点P在点A的左侧，则点P所表示的数为　 　 （用含t的式子表示），点A，P之间的距离为　 　 （用含t的式子表示）； ②若点P在点A的左侧，且点A是点B，P的“3倍分点”，求t的值． 11．【发现猜想】 （1）如图1，已知线段AC上有一点B，点D为BC的中点，AB＝4，AC＝16，则AD的长度为 　 　 ； 【探索归纳】 （2）如图1，已知线段AC上有一点B，点D为BC的中点，AB＝m，AC＝n，猜想AD的长度（用含m、n的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为﹣4，点A的右侧有三点B、C、D，AB＝9，AC＝25，AD＝21．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 12．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0． （1）请求出a、b、c的值； （2）数轴上点A、B、C对应的数分别是a、b、c，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x，若满足PC＝2PA，求x的值． （3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 13．已知数轴上A，B，C三点表示的数分别为﹣12、20、4，点M，N分别从A，B两处同时出发相向匀速运动，点M的速度为5个单位长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，设两点运动时间为t秒： （1）当t＝2秒时，线段CM＝　 　 ，BN＝　 　 ； （2）当点M在A，C之间，线段CM＝　 　 ，BN＝　 　 （用含字母t的代数式表示）．若CM＝BN，求出此时t的值； （3）当点N运动到点A时，立刻以原来的速度返回，到达点C后停止运动；当点M运动到点B时，立刻以原来速度返回，到达点A后再次以相同速度返回向B点运动，如此在A，B之间不断往返，直至点N停止运动时，点M也停止运动．求在此运动过程中，当M，N两点运动了多少秒时，它们第二次相遇． 14．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B与点P同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：出发几秒后，点P与点Q相遇？ （3）若点P、Q出发的同时，点M从原点O以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：出发几秒后MP＝MQ？ 15．如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为11，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，当点P运动到AB中点时，它所表示的数是 　 　 ； （2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若P，Q两点同时出发，求点P与Q运动多少秒时重合？ （3）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P，Q两点同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P与点Q之间的距离为8个单位长度时，求此时点P在数轴上所表示的数． 参考答案 1．点A，B，C在数轴上，若点B与点A之间的距离是点B与点C之间的距离的3倍，则称B是【A，C】的伙伴点．如图1，点A，B，C，D在数轴上，O是原点，O是【D，A】的伙伴点，O也是【D，B】的伙伴点． 【概念认识】 （1）如图1，在点A，B，D中，A 是【C，O】的伙伴点． 【深入探究】 （2）已知点E，F，P在数轴上，P是【E，F】的伙伴点． ①如图2，利用刻度尺或圆规在数轴上画出所有的点E． （保留画图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点E，F表示的数分别为e，f，则点P表示的数是 　或　 （用含e，f的代数式表示）． 【问题解决】 （3）如图1，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点O，D分别以每秒3个单位长度、1个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，直接写出O是【A，D】的伙伴点时t的值． 【分析】（1）先求出两点AC、AO的距离，再根据伙伴点的定义判断即可； （2）①分类讨论，点P在EF之间，点P在点F的右侧，画出图形即可； ②根据①的图形结合PE＝3PF，分类讨论，列式求解即可； （3）由题意得点A表示的数为﹣1﹣t，点O表示的数为3t，点D表示的数为3+t，分当点O在点A和点D之间和当点D在点A和点O之间时，两种情况进行讨论． 【解答】解：（1）∵AC＝2﹣（﹣1）＝3，AO＝0﹣（﹣1）＝1，BC＝2﹣1＝1，BO＝1﹣0＝1， ∴AC＝3AO，BC≠3BO， ∴点A是【C，O】的伙伴点；点B不是【C，O】的伙伴点； 同理， ∵DC＝3﹣2＝1，DO＝3﹣0＝3， ∴DC≠3DO， ∴点D不是【C，O】的伙伴点； 故答案为：点A； （2）①根据点P是【E，F】的伙伴点的定义得PE＝3PF， 如图，点E1和E2是所作的点； ②设点P表示的数为y， 若点E1，F表示的数分别为e，f，且PE＝3PF， ∴e﹣y＝3（y﹣f），解得； 若点E2，F表示的数分别为e，f，且PE＝3PF， ∴y﹣e＝3（y﹣f），解得：y； 综上，点P表示的数是或； 故答案为：或； （3）由题意得，点A表示的数为﹣1﹣t，点O表示的数为3t，点D表示的数为3+t， 当点O在点A和点D之间时，且OA＝3OD， ∴3t﹣（﹣1﹣t）＝3（3+t﹣3t），解得， 当点D在点A和点O之间时，且OA＝3OD， ∴3t﹣（﹣1﹣t）＝3〔3t﹣（3+t）〕， 解得t＝5； 综上所述，t的值为或5． 【点评】本题主要考查了数轴动点问题、一元一次方程实际应用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．问题情境：在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，点B在点A的右侧，点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“二倍点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“二倍点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示数3，点M是点A，B的“二倍点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为　　 ； （2）若点A表示数﹣2，点B表示数2，下列各数所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“二倍点”的是C1，C4 （横线上填写C1或C2或C3或C4）； （3）点A表示数﹣15，点B表示数25，P为数轴上一点． ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“二倍点”，此时点P表示的数是　或或﹣55　 ； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“二倍点”，此时点P表示的数是　65或45或105　 ． 【分析】（1）根据“二倍点”的定义可得AM＝2BM或BM＝2AM，设点M表示的数为m，得出m的取值范围为﹣2＜m＜3，然后进行分类讨论即可； （2）根据题目所给“二倍点”的定义，逐个进行判断即可； （3）①设点P标示的数为x，进行分类讨论：当点P在点A和点B之间时，当点P在点A左边时，即可解答； ②设点P表示的数为x，然后进行分类讨论：当点A是点B和点P的“二倍点”时，当点B是点A和点P的“二倍点”时，当点P是点A和点B的“二倍点”时． 【解答】解：（1）∵点M是点A，B的“二倍点”，∴MA＝2BM或MB＝2AM， 设点M表示数为m， ∵点M在A、B之间，且表示负数， ∴﹣2＜m＜3， 若MA＝2MB，则m+2＝2（3﹣m）， ∴m，舍去； 若BM＝2AM，则3﹣m＝2（m+2）， ∴m． 故答案为：； （2）根据题意可得： AC1（﹣2），BC1＝2﹣（）， ∵2AC1＝BC1， ∴C1是点A，B的“二倍点”， AC2＝0﹣（﹣2）＝2，BC2＝2﹣0＝2， ∵AC2＝BC2， ∴C2不是点A，B的“二倍点”， AC3＝4﹣（﹣2）＝6，BC2＝4﹣2＝2， ∵AC3＝3BC3， ∴C3不是点A，B的“二倍点”， AC4＝6﹣（﹣2）＝8，BC4＝6﹣2＝4， ∵AC4＝2BC4， ∴C4是点A，B的“二倍点”， 总之，C1，C4是点A，B的“二倍点”， 故答案为：C1，C4； （3）①设点P标示的数为x， 当点P在A和B之间时， 若AP＝2BP，则x﹣（﹣15）＝2（25﹣x）， 解得x；若2AP＝BP，则2[x﹣（﹣15）]＝25﹣x， 解得x；当P在A左边时，2PA＝PB， 则2（﹣15﹣x）＝25﹣x， 解得：x＝﹣55； 故答案为：或或﹣55；②设点P表示的数为x， 当A是B和P的“联盟点”时，AP＝2AB， 则x﹣（﹣15）＝2[25﹣（﹣15）]， 解得x＝65； 当B是A和P的“二倍点”时， 若BA＝2PB，则25﹣（﹣15）＝2（x﹣25）， 解得x＝45， 若2BA＝PB，则2[25﹣（﹣15）]＝x﹣25， 解得x＝105； 当P是A和B的“二倍点”时，AP＝2BP， 则x﹣（﹣15）＝2（x﹣25）， 解得x＝﹣35（舍去）， 总之，点P表示的数为65或45或105， 故答案为：65或45或105． 【点评】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是正确理解题目所给“二倍点”的定义，以及求数轴上两点之间距离的方法． 3．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b， ②线段AB的中点表示的数为； ③点A向右运动m个单位长度（m＞0）后，点A表示的数为：a+m，点A向左运动m个单位长度（m＞0）后，点A表示的数为：a﹣m． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 如图：在数轴上点A表示数﹣3，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：AB表示点A到点B之间的距离，运动之前，AB的距离为 　4　 ，A点与C点的中点为D，则点D表示的数为 　3　 ；运动t秒后，点A表示的数为 　﹣3﹣2t （用含t的式子表示）． （2）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （3）当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别根据数轴上两点之间的距离公式、线段的中点公式计算即可； （2）分别表示出A、B、C三个点t秒时表示的数，分点A是点B、C的中点，点B是点A、C的中点，点C是点A、B的中点三种情况讨论，分别列关于t的一元一次方程并求解即可； （3）当点C在点B右侧时，分别用含t的代数式表示出AB、BC并代入mBC﹣2AB，化简并提取公因式t，令t的系数为0，求出m的值即可． 【解答】解：（1）AB的距离为|﹣3﹣1|＝4， A点与C点的中点D表示的数为3， 运动t秒后，点A表示的数为﹣3﹣2t． 故答案为：4，3，﹣3﹣2t． （2）t秒钟过后，点A表示的数为﹣3﹣2t，点B表示的数为1﹣t，点C表示的数为9﹣4t． 当点A是点B、C的中点时，得（1﹣t+9﹣4t）＝﹣3﹣2t， 解得t＝16； 当点B是点A、C的中点时，得（﹣3﹣2t+9﹣4t）＝1﹣t， 解得t＝1； 当点C是点A、B的中点时，得（﹣3﹣2t+1﹣t）＝9﹣4t， 解得t＝4． 综上，t的值为1或4或16． （3）当点C在点B右侧时，BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t， ∵AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝t+4， ∴mBC﹣2AB＝m（8﹣3t）﹣2（t+4）＝﹣（3m+2）t+8m﹣8， ∵mBC﹣2AB的值为定值， ∴﹣（3m+2）t+8m﹣8的值与t无关， ∴3m+2＝0， ∴m． 【点评】本题考查一元一次方程的应用、数轴、列代数式，掌握数轴上两点之间的距离公式、线段的中点公式和一元一次方程的解法是解题的关键． 4．如图A在数轴上对应的数为﹣2． （1）点B在点A右边距离A点4个单位长度，则点B所对应的数是 　2　 ； （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒3个单位长度沿数轴向右运动．现两点同时运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A、B两点间的距离； （3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原速沿数轴向左运动，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度． 【分析】（1）根据左减右加可求点B所对应的数； （2）先根据时间＝路程÷速度，求出运动时间，再根据列出＝速度×时间求解即可； （3）分两种情况①运动后的B点在A点右边4个单位长度；②运动后的B点在A点左边4个单位长度；列出方程求解即可． 【解答】解：（1）﹣2+4＝2． 故点B所对应的数是2； 故答案为：2； （2）（﹣2+6）÷2＝2（秒）， 2+2+（2+3）×2＝14（个单位长度）． 答：A，B两点间距离是14个单位长度． （3）①运动后的B点在A点右边相距4个单位长度时， 设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度， 依题意得：3x＝14﹣4， 解得x； ②运动后的B点在A点左边相距4个单位长度时， 设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度， 依题意得：3x＝14+4， 解得x＝6． 答：经过秒或6秒时间A，B两点相距4个单位长度． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用；根据行程问题的数量关系建立方程是解题的关键． 5．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．通过研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图①，若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝b﹣a． 【问题情境】如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4个单位长度到达点A，再向右移动5个单位长度到达点B，然后再向右移动6个单位长度到达点C． 【问题探究】根据以上信息，请你解答下列问题． （1）请你在图②中表示出A，B，C三点的位置． （2）A，C两点之间的距离AC＝　11　 ． （3）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M，点N从点B，点C分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（t＞0）． ①在数轴上，点P表示的数为　﹣4﹣t ，点M表示的数为　1+2t ，点N表示的数为　7+3t ．（含t的式子表示） ②在点移动的过程中，求出3PN﹣4PM的值． 【分析】（1）根据题意画出数轴即可； （2）利用数轴上两点间距离公式求解即可； （3）①点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，可得t秒时，点P表示的数为﹣4﹣t，同理可得点M、点N的代数式； ②根据两点之间的距离公式得PN＝11+4t、PM＝5+3t，再代入求解即可． 【解答】解：（1）一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4个单位长度到达点A，再向右移动5个单位长度到达点B，然后再向右移动6个单位长度到达点C． 即：点A表示的数为﹣4，点B表示的数为1，点C表示的数为7， A、B、C三点如图所示： （2）由（1）可得点A表示的数为﹣4，点C表示的数为7， ∴AC＝7﹣（﹣4）＝11． 故答案为：11； （3）①设移动时间为t秒， 点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点P表示的数为﹣4﹣t； 点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，则点M表示的数为1+2t； 点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，则点N表示的数为7+3t， 故答案为：﹣4﹣t，1+2t，7+3t； ②由①得：PN＝（7+3t）﹣（﹣4﹣t）＝11+4t， PM＝（1+2t）﹣（﹣4﹣t）＝5+3t， ∴3PN﹣4PM＝3（11+4t）﹣4（5+3t）＝13． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，数轴，列代数式，熟练掌握数轴上两点间距离公式是解题关键． 6．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动．设运动的时间为t秒．问： （1）用含t的代数式表示A、P两点在数轴上相距的长度为 　2t（0≤t≤5）或t+5（5＜t≤15）　 ；C、Q两点在数轴上相距的长度为 t ； （2）P、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？ （3）是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请计算t的取值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分①当0≤t≤5时，②当5＜t≤15时，两种情况进行讨论； （2）设经过a秒，P、Q两点相遇，根据题意列出方程，求出a的值，即可得到点M所对应的数； （3）分三种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）①当0≤t≤5时，A、P两点在数轴上相距的长度为2t； ②当5＜t≤15时，A、P两点在数轴上相距的长度为10+1（t﹣5）＝t+5； C、Q两点在数轴上相距的长度为t； 故答案为：2t（0≤t≤5）或t+5（5＜t≤15）；t； （2）设经过a秒，P、Q两点相遇， [a﹣（10÷2）]×1+[a﹣（18﹣10）÷1]×1＝10﹣0， 解得：， 则点M所对应的数是：， 即点M所对应的数是； （3）存在，t＝2或，理由如下： ①当0≤t≤5时， 10﹣2t＝（18﹣10﹣t）×1， 解得：t＝2； ②当5＜t≤8时， （t﹣10÷2）×1＝（18﹣10﹣t）×1， 解得：； ③当8＜t≤15时， （t﹣10÷2）×1＝[t﹣（18﹣10）÷1]×1， 该方程无解； 综上所述：t＝2或． 【点评】本题考查了一元一次方程，数轴，掌握一元一次方程是解题的关键． 7．已知，A、B两点在数轴上的位置如图所示，点A距原点20个单位长度，AB＝30． （1）直接写出点A、点B表示的数； （2）点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设M的运动时间是t秒，请用含t的式子表示线段BM的长； （3）在（2）的条件下，点M出发2秒后，动点N从B出发沿数轴向点A运动，到点A后原路返回，并且点N出发3秒后速度变为每秒1个单位长度，当点N出发7秒时，MN＝6，求点N刚出发时的速度是每秒多少个单位长度？ 【分析】（1）根据题意及数轴即可解答； （2）根据题意知AB＝30，AM＝2t，分情况讨论，当点M在线段AB上时，当点M在线段AB的延长线上时，列式即可解答； （3）根据题意可知当t＝9时，AM＝2t＝18，点M表示的数是﹣20+18＝﹣2，MN＝6，点N表示的数是4或﹣8， 设点N的速度为x个单位每秒，分情况讨论，当点N表示的数是4时，当点N表示的数是﹣8时，再分点N返回前，点N到A返回后，列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵点A距原点20个单位长度，AB＝30， ∴由数轴可知点A表示的数是﹣20，点B表示的数是10． （2）根据题意知AB＝30，AM＝2t， 当点M在线段AB上时，BM＝30﹣2t， 当点M在线段AB的延长线上时，BM＝2t﹣30， 综上，BM＝30﹣2t或BM＝2t﹣30； （3）当t＝9时，AM＝2t＝18， 点M表示的数是﹣20+18＝﹣2，MN＝6，点N表示的数是4或﹣8， 设点N的速度为x个单位每秒， 当点N表示的数是4时，BN＝10﹣4＝6， 情况1，当点N返回前，3x+1×（7﹣3）＝6， 解得； 情况2，当点N到A返回后，3x+1×（7﹣3）＝30+30﹣6， 解得； 当点N表示的数是﹣8时，BN＝10﹣（﹣8）＝18， 情况1，当点N返回前，3x+1×（7﹣3）＝18， 解得； 情况2，当点N到A返回后，3x+1×（7﹣3）＝30+30﹣18， 解得； 综上，点N刚出发时的速度是个单位每秒或个单位每秒或个单位每秒或个单位每秒． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，列代数式，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 8．如图所示，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度． （1）点B表示的数是 　﹣6　 ． （2）动点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．设运动时间为t（t＞0）秒． ①点P所表示的数为 　﹣6+2t ；（用含t的代数式表示） ②当t＝ 　3或7　 秒时，点P与点A相距4个单位长度． 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）①根据两点间距离公式列出代数式即可； ②分点P在点A左侧和右侧两种情况，根据两点间距离公式列出方程解答即可． 【解答】解：（1）由题意可得，点B表示的数为4﹣10＝﹣6， 故答案为：﹣6； （2）①点P所表示的数为﹣6+2t， 故答案为：﹣6+2t； ②当点P在点A右侧时，﹣6+2t＝4+4， 解得t＝7； 当点P在点A左侧时，﹣6+2t+4＝4， 解得t＝3； ∴t＝3或7， ∴t＝3或7时，点P与点A相距4个单位长度． 故答案为：3或7． 【点评】本题考查了数轴与有理数，列代数式，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 9．如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别是﹣3，3和1，两动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒6个单位的速度沿A→B→A往返运动，回到点A停止运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→B向终点B匀速运动，设点P的运动时间为t（s）． （1）当点P到达点B时，求点Q所表示的数是 　2　 ； （2）当t＝0.5时，求线段PQ的长； （3）当点P从点A向点B运动时，用含t的式子表示点P，Q之间的距离． 【分析】（1）根据两点之间的距离公式，时间＝路程+速度，路程＝速度x时间，列式计算即可求解； （2）求出t＝0.5时，P、Q点的坐标，再根据两点间的距离公式可求线段PQ的长； （3）分两种情况讨论可求线段PQ的长． 【解答】解：（1）根据题意可得[3﹣（﹣3）]+6×1+1＝2， 故点Q所表示的数是2， 故答案为：2； （2）|PQ|＝（1×0.5+1）﹣（﹣3+6×0.5）＝1.5， 故线段PQ的长是1.5； （3）PQ的长度分以下几种情况： ①当点P在点Q的左边时，可得PQ＝1+t﹣（﹣3+6t）＝4﹣5t； ②当点P在点Q的右边时，可得PQ＝﹣3+6t﹣（1+t）＝5t﹣4， ∴P，Q之间的距离为4﹣5t或5t﹣4． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴和两点间的距离，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 10．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“3倍分点”． （1）如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为1，4，5，点B，A之间的距离为　3　 ，点B，C之间的距离为　1　 ，因为点B，A之间的距离是点B，C之间距离的3倍，所以称点B为点A，C的“3倍分点”； （2）若点A，B分别在原点O的两侧，且到原点的距离均为6个单位长度．有理数﹣3，﹣2，1，3所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，这四点中是点A，B的“3倍分点”的是C1或C4 ； （3）在数轴上，点A，B，C所表示的数分别为﹣4，5，﹣20，点P从点C出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右移动，设点P的移动时间为t秒． ①若点P在点A的左侧，则点P所表示的数为　﹣20+2t （用含t的式子表示），点A，P之间的距离为　16﹣2t （用含t的式子表示）； ②若点P在点A的左侧，且点A是点B，P的“3倍分点”，求t的值． 【分析】（1）根据数轴上两点的距离求解即可． （2）当A表示的数为﹣6，B表示的数为6时，则AB＝12，AC1＝3，BC1＝9，AC2＝4，BC2＝8，AC3＝7，BC3＝5，AC4＝9，BC3＝3，所以BC1＝3AC1，AC4＝3BC4，即可得出答案；当A表示的数为6，B表示的数为﹣6时，同理可求解． （3）①根据数轴上两点的距离求解即可； ②因为点A是点B，P的“3倍分点”，所以点A，B之间的距离是点A，P之间距离的3倍或点A，P之间的距离是点A，B之间距离的3倍，即9＝3（16﹣2t）或16﹣2t＝3×9，求解即可； 【解答】解：（1）∵数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为1，4，5， ∴BC＝|5﹣4|＝1，AB＝|4﹣1|＝3， 故答案为：3，1； （2）∵点A，B分别在原点O的两侧，且到原点的距离均为6个单位长度． ∴AB＝|6﹣（﹣6）|＝12， ∵有理数﹣3，﹣2，1，3所对应的点分别是C1，C2，C3，C4， ∴BC1＝6﹣（﹣3）＝9，AC1＝﹣3﹣（﹣6）＝3， BC2＝6﹣（﹣2）＝8，AC2＝﹣2﹣（﹣6）＝4， BC3＝6﹣1＝5，AC3＝1﹣（﹣6）＝7， BC4＝6﹣3＝3，AC4＝3﹣（﹣6）＝9， ∴AC4＝3BC4，BC1＝3AC1， ∴这四点中是点A，B的“3倍分点”的是C1或C4； 当A表示的数为6，B表示的数为﹣6时，同理可得这四点中是点A，B的“3倍分点”的是C1或C4； 综上，这四点中是点A，B的“3倍分点”的是C1或C4， 故答案为：是C1或C4； （3）①点P在点A的左侧，则点P所表示的数为﹣20+2t， AP＝|﹣4﹣（﹣20+2t）|＝16﹣2t ②∵点A，B所表示的数分别为﹣4，5， ∴AB＝5﹣（﹣4）＝9． ∵点A是点B，P的“3倍分点”， 当点A，B之间的距离是点A，P之间距离的3倍时， 可得：9＝3（16﹣2t）， 解得：t＝6.5， 当点A，P之间的距离是点A，B之间距离的3倍时， 可得：16﹣2t＝3×9， 解得：t＝﹣5.5（不符合题意，舍去）， ∴t的值为6.5． 【点评】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，弄懂新定义是解题的关键． 11．【发现猜想】 （1）如图1，已知线段AC上有一点B，点D为BC的中点，AB＝4，AC＝16，则AD的长度为 　10　 ； 【探索归纳】 （2）如图1，已知线段AC上有一点B，点D为BC的中点，AB＝m，AC＝n，猜想AD的长度（用含m、n的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为﹣4，点A的右侧有三点B、C、D，AB＝9，AC＝25，AD＝21．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 【分析】（1）设AD的长为未知数，因为点D是BC的中点，所以可以得到：2（AD﹣AB）＝AC﹣AB，列一元一次方程求解； （2）结合第一问和中点公式可以猜想出AD的长度（用m、n表示），然后直接证明； （3）已知A表示的数然后根据AB＝9，AC＝25，AD＝21分别计算出B、C、D三点在数轴上表示的数，最后分情况结合中点公式列出一元一次方程求出时间t． 【解答】（1）解：设AD的长为x， ∵AB＝4，AC＝16， ∴BC＝AC﹣AB＝12， ∵点D为BC的中点， ∴BC＝2BD＝2（AD﹣AB）， ∴2（AD﹣AB）＝AC﹣AB， ∴2（x﹣4）＝12， ∴x＝10， 故答案为：10； （2）解：猜想AD， ∵AB＝m，AC＝n， 又∵2（AD﹣AB）＝AC﹣AB， ∴2AD＝AB+AC， ∴AD； （3）解：∵A表示的数是﹣4，AB＝9，AC＝25，AD＝21， ∴在数轴上B表示的数是5，C表示的数是21，D表示的数是17， ∵由题意可知，B运动t秒以后在数轴上表示的数为：5+2t，C运动t运动t秒以后在数轴上表示的数为：21﹣3t，D运动t运动t秒以后在数轴上表示的数为：17﹣t， 又∵点C运动到A点时，三个点都停止运动， ∴21﹣3t＝﹣4， ∴t， ∴t的取值范围为：0≤t， ∴①当点B是线段CD的中点时：2（5+2t）＝21﹣3t+17﹣t， ∴t， ②当点C是线段BD的中点时：2（21﹣3t）＝5+2t+17﹣t， ∴t， ③当点D是线段BC的中点时：2（17﹣t）＝5+2t+21﹣3t， ∴t＝8， 答：当t为：，，8时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，线段中点公式，关键是要运用中点公式建立一元一次方程． 12．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0． （1）请求出a、b、c的值； （2）数轴上点A、B、C对应的数分别是a、b、c，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x，若满足PC＝2PA，求x的值． （3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【分析】（1）由于最小的正整数为1，则b＝1，根据非负数的性质可得a+b＝0，c﹣5＝0，则a＝﹣1，c＝5； （2）根据数轴上两点距离公式可得方程|x﹣5|＝2|x﹣（﹣1）|，解方程即可得到答案； （3）运动t秒后，点A表示的数为﹣1﹣t，点B表示的数为1+2t，点C表示的数为5+5t，根据数轴上两点距离计算公式得到BC＝3t+4，AB＝3t+2，则BC﹣AB＝2，据此可得答案． 【解答】解：（1）∵b是最小的正整数， ∴b＝1， ∵（c﹣5）2+|a+b|＝0，（c﹣5）2≥0，|a+b|≥0， ∴a+b＝0，c﹣5＝0， ∴a＝﹣1，c＝5． （2）∵PC＝2PA， ∴|x﹣5|＝2|x﹣（﹣1）|， ∴x﹣5＝2（x+1）或x﹣5＝﹣2（x+1）， 解得：x＝﹣7或x＝1． （3）BC﹣AB的值不随着随着时间t的变化而改变且为定值2，理由如下： 由题意得，运动t秒后，点A表示的数为﹣1﹣t，点B表示的数为1+2t，点C表示的数为5+5t， ∴BC＝5+5t﹣（1+2t）＝3t+4， AB＝1+2t﹣（﹣1﹣t）＝3t+2， ∴BC﹣AB＝3t+4﹣（3t+2）＝3t+4﹣3t﹣2＝2， ∴BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变且为定值2． 【点评】本题主要考查了根据已知条件列代数式，数轴上两点的距离计算及一元一次方程的应用，解题的关键是熟记数轴上两点距离计算公式． 13．已知数轴上A，B，C三点表示的数分别为﹣12、20、4，点M，N分别从A，B两处同时出发相向匀速运动，点M的速度为5个单位长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，设两点运动时间为t秒： （1）当t＝2秒时，线段CM＝　6　 ，BN＝　6　 ； （2）当点M在A，C之间，线段CM＝　16﹣5t ，BN＝　3t （用含字母t的代数式表示）．若CM＝BN，求出此时t的值； （3）当点N运动到点A时，立刻以原来的速度返回，到达点C后停止运动；当点M运动到点B时，立刻以原来速度返回，到达点A后再次以相同速度返回向B点运动，如此在A，B之间不断往返，直至点N停止运动时，点M也停止运动．求在此运动过程中，当M，N两点运动了多少秒时，它们第二次相遇． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离以及点的运动情况即可解答； （2）由数轴上两点间的距离公式先求出AC＝16，由题意得BN＝3t，则CM＝16﹣5t，根据CM＝BN列出关于t的方程，解方程即可； （3）由题意得AC＝16，AB＝32，点M的运动路程为5t，点N的运动路程为3，点N运动的时间为16秒，当点M、N第一次相遇时有：5t+3t＝32；当点M到达点B返回但未到达回A，且点N到达点A返回时，M、N两点第二次相遇，则（3t﹣32）+（5t﹣32）＝32，解方程判断是否符合题意即可解答． 【解答】解：（1）∵点M的速度为5个单位长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，点M，N分别从A，B两处同时出发相向匀速运动，且t＝2秒， ∴CM＝4﹣（﹣12+2×5）＝6，BN＝2×3＝6， 故答案为：6，6； （2）∵A点表示的数是﹣12，B点表示的数是20，C点表示的数是4， ∴AC＝4﹣（﹣12）＝16， ∵点M的速度为5个单位长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，点M，N分别从A，B两处同时出发相向匀速运动， ∴BN＝3t，CM＝16﹣5t， ∵CM＝BN， ∴3t＝16﹣5t， 解得：t＝2， 故答案为：16﹣5t，3t，t＝2； （3）由题意得：AC＝16，AB＝20﹣（﹣12）＝32， ∵点M的运动路程为5t，点N的运动路程为3t，点N运动的时间为（32+4+12）+3＝16（秒）， 当点M、N第一次相遇时有：5t+3t＝32，解得：t＝4； 当点M到达点B返回但未到达回A，且点N到达点A返回时，M、N两点第二次相遇，则（3t﹣32）+（5t﹣32）＝32， 解得：t＝12， ∵12＜16，符合题意， ∴当M，N两点运动12秒时，它们第二次相遇． 【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点之间距离的表示方法，以及仔细分析点的运动情况是解题的关键． 14．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　 ，点P表示的数是 　6﹣t （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B与点P同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：出发几秒后，点P与点Q相遇？ （3）若点P、Q出发的同时，点M从原点O以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：出发几秒后MP＝MQ？ 【分析】（1）设点B所表示的数为x，根据A，B两点间的距离为10得6﹣x＝10，解此方程求出x即可；设点P所表示的数为y，根据AP＝t得6﹣y＝t，解此方程求出y即可； （2）先求出点Q所表示的数为4t﹣4，然后根据点P与点Q同时出发，相遇时，点P与点Q所表示的数相同得6﹣t＝4t﹣4，解此方程求出t即可； （3）首先求出点M所表示的数为3t，然后分两种情况讨论：①当点M是线段AB的中点时，由MP＝MQ得3t﹣（4t﹣4）＝6﹣t﹣3t，解此方程求出t即可；②当点P，Q重合时由（2）可知t的值，据此可得出答案． 【解答】解：（1）设点B所表示的数为x， ∵点A表示的数为6，点B在点A左侧，且AB＝10， ∴6﹣x＝10， 解得：x＝﹣4， ∴点B所表示的数为﹣4； ∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 运动的时间为t（t＞0）秒， ∴AP＝t， 设点P所表示的数为y， ∴6﹣y＝t， 解得：y＝6﹣t， ∴点P所表示的数为6﹣t． 故答案为：﹣4，6﹣t． （2）∵动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， 运动的时间为t（t＞0）秒， ∴BQ＝4t， 设点Q所表示的数为z， ∴z﹣（﹣4）＝4t， 解得：z＝4t﹣4， 由（1）可知：点P所表示的数为6﹣t， 当点P与点Q同时出发，相遇时，点P与点Q所表示的数相同， ∴6﹣t＝4t﹣4， 解得：t＝2． 答：出发2秒后，点P与点Q相遇． （3）∵点M从原点O以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点M所表示的数为3t， 依题意，有以下两种情况： ①当点M是线段PQ的中点时，即点P在点M的右侧，点Q在点M的左侧， 由MP＝MQ得：3t﹣（4t﹣4）＝6﹣t﹣3t， 解得：t， ②当点P，Q重合时，有MP＝MQ， 由（2）可知，此时t＝2． 综上所述：出发秒或2秒时，MP＝MQ． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴与有理数，数轴上两点间的距离，理解数轴与有理数，根据数轴上两点间的距离列出一元一次方程是解决问题的关键． 15．如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为11，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　﹣5　 ，当点P运动到AB中点时，它所表示的数是 　0.5　 ； （2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若P，Q两点同时出发，求点P与Q运动多少秒时重合？ （3）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P，Q两点同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P与点Q之间的距离为8个单位长度时，求此时点P在数轴上所表示的数． 【分析】（1）由题意得出数轴上点B表示的数是﹣5，由点P运动到AB中点得出点P对应的数是（﹣5+6）＝0.5即可； （2）设点P与Q运动t秒时重合，点P对应的数为6﹣3t，点Q对应的数为﹣5+2t，得出方程6﹣3t＝﹣5+2t，解方程即可； （3）①运动t秒时，点P对应的数为6﹣3t，点Q对应的数为﹣5﹣2t，由题意得出方程6﹣3t＝﹣5﹣2t，解方程即可； ②由题意得出|6﹣3t﹣（﹣5﹣2t）|＝8，解得t＝3或t＝19，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为11， ∴数轴上点B表示的数是6﹣11＝﹣5， ∵点P运动到AB中点， ∴点P对应的数是：（﹣5+6）＝0.5， 故答案为：﹣5，0.5； （2）设点P与Q运动t秒时重合，点P对应的数为：6﹣3t，点Q对应的数为：﹣5+2t， ∴6﹣3t＝﹣5+2t， 解得：t＝2.2， ∴点P与Q运动2.2秒时重合； （3）①运动t秒时，点P对应的数为：6﹣3t，点Q对应的数为：﹣5﹣2t， ∵点P追上点Q， ∴6﹣3t＝﹣5﹣2t， 解得：t＝11， ∴当点P运动11秒时，点P追上点Q； ②∵点P与点Q之间的距离为8个单位长度， ∴|6﹣3t﹣（﹣5﹣2t）|＝8， 解得：t＝3或t＝19， 当t＝3时，点P对应的数为：6﹣3t＝6﹣9＝﹣3， 当t＝19时，点P对应的数为：6﹣3t＝6﹣57＝﹣51， ∴当点P与点Q之间的距离为8个单位长度时，此时点P在数轴上所表示的数为﹣3或﹣51． 【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用与两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $