青海省西宁市虎台中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年青海省西宁市虎台中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”Ai应用，以下是一些常见Ai应用的图案，其中是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列说法：①长度相等的弧是等弧；②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等，④平分弦的直径垂直于弦.你认为正确的共有(    ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3.已知二次函数的y与x的部分对应值如表，则下列判断中错误的是(    ) x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 为时， D. 若，是图象上两点，则 4.如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边CD与抛物线交于点P，则点P的坐标为(    ) A. B. C. D. 5.已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： x 31 32 33 34 35 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为(    ) A. B. C. D. 6.如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤其中正确的个数为(    ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7.如图，点A、B、C、D、E在上，且的度数为，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在菱形ABCD中，，，点E从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿CD以每秒1个单位长度的速度运动到点在此过程中的面积y与运动时间t的函数关系大致是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.若函数是二次函数，则______. 10.若实数x，y满足，则的值为      . 11.若点和点关于原点对称，则的值为      . 12.关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是      . 13.二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是      . 14.如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为      . 15.如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面AB宽为20m，拱桥的最高点O到水面AB的距离为如果此时水位上升3m就达到警戒水位CD，那么CD宽为      . 16.如图，MN是的直径，，点A在上，，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则的最小值为______. 17.当时，二次函数有最大值4，则a的值为      . 18.在平面直角坐标系中，将点向右平移一个单位得到点B，再取点B关于原点的对称点C，然后把点C绕原点顺时针旋转得到点，称作一个周期变化，第二个周期变化后得到的点为，第三个周期变化后得到的点为，以此类推，则点的坐标为      . 三、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 解下列方程： ； 20.本小题8分 若二次函数图象的顶点为，且经过点 求a，b，c的值； 向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，则平移后的抛物线的函数表达式为______. 21.本小题8分 已知关于x的一元二次方程为常数 求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； 若该方程有两个实数根，，且，求m的值. 22.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，， 画出关于原点O对称的； 将绕原点O顺时针旋转，得到，写出点坐标. 23.本小题10分 如图，AB是的直径，点C，D是上的点，且，AC分别与BD，OD相交于点E， 求证：点D为的中点； 若，，求的直径． 24.本小题10分 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元，每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件． 请写出y与x之间的函数表达式； 当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ 设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时，w最大，最大值是多少？ 25.本小题12分 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知， 求抛物线的表达式； 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； 点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 26.本小题12分 探究发现 下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，若求证 证明：将绕点A逆时针旋转，得到，则≌， ______. 连接，则为______三角形， ， ， 在中，由勾股定理可得，______，即 类比延伸 如图2，在等腰三角形ABC中，，三角形内部有一点P，若，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A，B，C不是中心对称图形，D是中心对称图形， 故选： 2.【答案】B  【解析】解：①能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故错误； ②直径是圆中最大的弦，正确； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误， ④平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误； 所以正确的共有1个． 故选： 分别根据等弧的概念、圆的概念、圆心角、弧、弦直径的关系、垂径定理判断即可． 本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系、等弧的概念等，掌握相关的定理、概念和性质是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：设抛物线解析式为， 把代入解得， 抛物线解析式为，开口向上，所以A选项不符合题意； ， 抛物线的对称轴为直线，所以B选项不符合题意； 把代入， 解得：，所以C选项不符合题意； ，是图象上两点， 且， 离对称轴越近越小，则，所以选项D符合题意， 故选： 先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；把代入函数解析式求出y值即可判断C；根据二次函数的图象和性质可对D进行判断． 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键． 4.【答案】A  【解析】解：将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为 由题意得，， 将绕点O顺时针旋转得到， ，， 点P的纵坐标为 令，得， 解得或舍去， 点P的坐标为 故选： 将代入，可得，则抛物线的解析式为由旋转的性质可得，，则可知点P的纵坐标为令，求出x的值，即可得点P的坐标． 本题考查旋转的性质、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5.【答案】C  【解析】解：根据表格数据可知当时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选： 根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握该知识点是关键． 6.【答案】C  【解析】解：抛物线与x轴交于点，， 抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，故①正确； 对称轴为直线， 整理得，故②正确； 由图象可知，当时，即图象在x轴上方时， 或，故③错误， 由图象可知，当时，， 当时，， ， 即， 则，故④不正确； ， ， ， ， ， 即，故⑤错误． 则正确的有①②，共2个， 故选： 根据二次函数的图象与性质，逐一判断即可． 本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，掌握其相关知识点的性质是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：连接AB、DE，则， 的度数为， ， 点A、B、C、D在上， 四边形ABCD是圆内接四边形， ， 即， 故选： 连接AB、DE，先求得，根据圆内接四边形的性质得出，即可求得 本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：过点A作于T，连接AC， 四边形ABCD是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， 由题意可知， ≌， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， 当时，，则， 当时，，则， 故选： 过点A作于T，连接AC，可证明是等边三角形，得到，，再证明是等边三角形，得到，证明≌，得到，，则可证明是等边三角形，进而可求出，当时，，则，当时，，则，据此可得答案． 本题主要考查了动点函数图象分析，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：是二次函数， ， 解得 故答案为： 根据二次函数的定义解答． 本题考查了二次函数的定义，要知道，形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．、b、c是常数，也叫做二次函数的一般形式． 10.【答案】8  【解析】解：令，则原方程转化为， ， ，， 不合题意，舍去，， 的值为 故答案为： 将看成一个整体，令，转换成一个关于m的一元二次方程，利用因式分解法求出m的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 本题考查的是解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键． 11.【答案】1  【解析】解：点和点关于原点对称， ，， 解得，， 故答案为： 关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得m，n的值，进而可得答案． 本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 12.【答案】：且  【解析】解：由条件可知， 解得， 的取值范围是且 故答案为：且 因为一元二次方程有两个实数根，所以二次项系数不为零，且根的判别式为非负数，由此得到不等式组，求解即可． 本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键． 13.【答案】或  【解析】解：当时，即 由图象可得，当或时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 当时，自变量x的取值范围是或， 故答案为：或 根据函数图象中的数据，可以写出当，即时，自变量x的取值范围． 本题考查二次函数与不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14.【答案】  【解析】解：将绕直角顶点C顺时针旋转，得到连接， ，， ，且， ， ，， ， ， ， 故答案为： 由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可求，然后得到，，利用勾股定理求得，最后利用解答即可． 本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解答本题的关键． 15.【答案】10m  【解析】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 点到水面AB的距离为4米， 、B点的纵坐标为， 水面AB宽为20米， ，， 将A代入， ， ， ， 水位上升3米就达到警戒水位CD， 点的纵坐标为， ， ， ， 故答案为： 以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长． 本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点． 此时最小，且等于AC的长． 连接OA，OC， ， ， 的度数是， 则的度数是， 根据垂径定理得的度数是， 则， ， ， 故答案为 首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算． 此题主要考查了轴对称-最短路线问题，垂径定理，直角三角形的性质等，确定点P的位置是本题的关键． 17.【答案】1或  【解析】解：由可知抛物线的对称轴为y轴， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越大， 由条件可知当时，函数有最大值， 即， 解得或不合，舍去； 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小， 由条件可知当时，函数有最大值， 即， 解得或不合，舍去； 综上，a的值为1或， 故答案为：1或 由函数解析式可得抛物线的对称轴为y轴，再分和两种情况，根据二次函数的图象和性质解答即可求解． 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：如图： 由题意得，，即， 由题意可得：，， 同理，由题意得，， 由旋转得：，， 过点，N分别作y轴的垂线，垂足为点G，H，则， ， ≌， ，， ， 同上操作可求：，，⋯， 发现，，，次一循环， ， 点的坐标与点的坐标一样为， 故答案为： 依据题意求出，，，的坐标，发现，，，次一循环，那么得到点的坐标与点的坐标一样，即可求解． 本题考查了平面直角坐标系中点的规律探索，旋转的性质，点的平移，全等三角形的判定与性质等知识点，找出点的变化规律是解题的关键． 19.【答案】；   ，  【解析】，，， ， 原方程移项可得： ， ， 或， 解得：， 根据公式法解一元二次方程即可； 根据因式分解法解一元二次方程即可． 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 20.【答案】设抛物线的解析式为， 将代入得， ， 函数解析式为， 该抛物线的函数解析式为， ，，   【解析】【分析】 本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象于几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握掌握待定系数法是解题的关键. 设抛物线的解析式为，将点代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式. 设平移后的抛物线为，把代入求得k的值，即可求得平移后的抛物线的函数表达式. 【解答】 解：见答案； 设平移后的抛物线为， 平移后的抛物线经过原点， ， ， 平移后的抛物线的函数表达式为 故答案为： 21.【答案】证明：， 无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．   ，  【解析】证明：， 无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 解：由条件可得 由条件可得， ，即， 解得， 先求求出一元二次方程根的判别式，然后进行配方判断判别式的符号即可求解； 先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再整理，最后将，代入整理后的方程求解即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 22.【答案】   点坐标为  【解析】如图，即为所求． 由图可得，点坐标为 根据中心对称的性质作图即可． 根据旋转的性质可得答案． 本题考查作图-旋转变换、关于原点对称的点的坐标，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 23.【答案】证明：是的直径， ， ， ， ， ， 点D为的中点； 解：， ， 在中，， ， ， ， 的直径为  【解析】根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答； 利用垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键． 24.【答案】解：根据题意得，； 根据题意得，， 解得：，， 每件利润不能超过60元， ， 答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元； 根据题意得，， ， 当时，w随x的增大而增大，且每件利润不能超过60元， 当时，， 答：当x为20时w最大，最大值是2400元．  【解析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 根据题意列函数关系式即可； 根据题意列方程即可得到结论； 根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，w随x的增大而增大，于是得到结论． 25.【答案】解：把，代入， 得，解得， 抛物线解析式为； 存在． 抛物线的对称轴为直线， 则， ， 如图1，当时，则； 当时，则，， 综上所述，满足条件的P点坐标为或或； 当时，，解得，， 则， 设直线BC的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线BC的解析式为， 设，则， ， ， 而， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时E点坐标为  【解析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用三角形的面积公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题． 直接把A点和C点坐标代入得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式； 先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线，则，则利用勾股定理计算出，然后分类讨论：如图1，当时，利用等腰三角形的性质易得；当时，易得，； 先根据抛物线与x轴的交点问题求出，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设，则，则，由于和共底边，高的和为4，则，加上，所以，然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标． 26.【答案】，等边，；     【解析】探究发现 证明：如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，则≌， 连接，则为等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理可得，，即 故答案为：，等边，； 类比延伸 理由如下： 将绕A点逆时针旋转得到，连接，如图2， ，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，则≌，连接，则为等边三角形，所以，再计算出，接着利用勾股定理计算出，即； 将绕A点逆时针旋转得到，连接，如图2，则为等腰直角三角形，所以，，再计算出，则利用勾股定理得到，从而得到 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理． 第1页，共1页 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