第五章一元一次方程 专题四 幻方的应用专项练习2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

专题四 幻方的应用专项练习 1．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数分别填入九个空格内，使每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．如图是一个未完成的“幻方”，则图中x的值是（　　） A．8 B．6 C．3 D．2 2．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图1即“洛书”，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，用1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字表示，分别填入图2中正方形对应方格内，得到一个每一横、每一列以及对角线上的数的和均为15的幻方，则x﹣y的值是（　　） A．﹣1 B．﹣11 C．1 D．﹣2 3．把1—9这9个正整数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则x的值为（　　） A．1 B．3 C．4 D．6 4．洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入3×3的方格中．在图3的幻方中也有与图2相同的数字规律，给定a、b、c、d中一个字母的值不能补全图3的是（　　） A．a B．b C．c D．d 5．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”．中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3方格，每一行、每一列及斜对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母m表示的数是（　　） A．5 B．7 C．8 D．6 6．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母m表示的数是（　　） 5 3 p 8 m A．6 B．7 C．9 D．11 7．在如图的九个方格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则n＝　 　 ，a+b+c+d＝　 　 ． 8．幻方是中国古代一种填数游戏，幻方最早出现于我国的“洛书”．对于“n×n”的幻方，其填数规则为：使同一行、同一列和同一对角线上的n个数的和都相等．如图为“洛书”对应的“3×3”幻方，则图中a的值为　 　 ． 9．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有2∼10之间不同的数字，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是　 　 ． 2 6 P 3 10．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．将9个数填在三行三列的方格中，若每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，就构成一个三阶幻方．图1是一个三阶幻方，图2是一个未完成的三阶幻方，则m•n＝　 　 ． 11．把9个数填入3×3方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，它源于我国古代的“洛书”，如图所示的三阶幻方仅可以看到部分数值，其中x的值应为 　 　 ． 12．幻方是中国古代的一种谜题，又称九宫图，即在正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等，图中给出了幻方的部分数字，则m＝ 　 　 ． 13．九宫格源于我国古代的“洛書”，是世界上最早的“幻方”．将数字﹣1、﹣2、﹣3、﹣4、﹣5、﹣6、﹣7、﹣8、﹣9填入3×3的方格中，使其任意一行、一列及两条斜对角线上的三个数字之和都相等，这样便构成了一个九宫格．如图是部分的九宫格，则x的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣6 14． 课题 幻方的探索与学习 参与人员 7（3）班全体人员2025年×月×日 定义学习 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”． “九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最图1图2早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）． 幻方探究 （1）横行、竖列、对角线上的三个数之和分别是多少？你能发现哪些相等的关系？ （2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些线段会构成一个怎样的图形？ （3）你能改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然满足你发现的那些相等关系吗？ 幻方制作 将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入图1中，得到图2中的幻方，在此基础上，将原来幻方中的每个数分别增加任意一个相同的数，每个数同时扩大相同的倍数，先扩大相同的倍数、再同时增加另一个数，仍构成一个幻方． 实践应用 小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，﹣2，﹣1，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是　 　 ．（写出一个符合题意的数即可） 变式探究 将1～9分别填入图中的〇中，使得3条线上的4个数的和都相等，求和的最大值． 15．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），洛书是一种关于天地空间变化的脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．把洛书用今天的数学符号表示出来就是一个三阶幻方（如图2）．将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方． 【实践应用】 （1）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）图4的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则m＝　 　 ，n＝　 　 ； 【拓展延伸】 （3）如图5，有三个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”，将﹣11，﹣9，﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，2，4，6，8，10，12，这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的四个顶点处“〇”中的和都为2．试求m，n的值． 参考答案 1．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数分别填入九个空格内，使每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．如图是一个未完成的“幻方”，则图中x的值是（　　） A．8 B．6 C．3 D．2 【分析】依据题意，根据幻方的意义，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，结合1+2+3+…+9＝45，从而每一行、每一列和每条对角线的幻和为15，故x+5+4＝15，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，根据幻方的意义，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， 又∵1+2+3+…+9＝45， ∴每一行、每一列和每条对角线的幻和为15． ∴x+5+4＝15． ∴x＝6． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． 2．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图1即“洛书”，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，用1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字表示，分别填入图2中正方形对应方格内，得到一个每一横、每一列以及对角线上的数的和均为15的幻方，则x﹣y的值是（　　） A．﹣1 B．﹣11 C．1 D．﹣2 【分析】先根据每一列上的数的和为15建立方程9+x+1＝15，则x＝5，再根据对角线上的数的和为15建立方程4+x+y＝4+5+y＝15，则y＝6，由此即可得． 【解答】解：∵在图2的正方形中，每一列上的数的和为15， ∴根据题意列一元一次方程得，9+x+1＝15， 解得x＝5， ∵在图2正方形中，对角线上的数的和为15， ∴4+x+y＝4+5+y＝15， 即4+5+y＝15， 解得y＝6， ∴x﹣y＝5﹣6＝﹣1，则x﹣y的值是1， 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 3．把1—9这9个正整数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则x的值为（　　） A．1 B．3 C．4 D．6 【分析】根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，先求出第二行的第一个数，再得第一列与第三行上的两个数之和相等，依此列出方程即可． 【解答】解：由题意可得，第二行第一个数为：4+5+6﹣（5+7）＝3， ∴根据题意列一元一次方程得，4+3＝x+6， 解得x＝1，则x的值为1， 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程是解题的关键． 4．洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入3×3的方格中．在图3的幻方中也有与图2相同的数字规律，给定a、b、c、d中一个字母的值不能补全图3的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【分析】每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，利用方程分别求解图3中未知的数据（用a的代数式表示）从而确定各未知数之间关系，从而可得答案． 【解答】解：如图，设空白处三个数分别为：x、y、z， 依题意得：a+x+b＝b+4﹣2，即：a+x＝4﹣2， ∴x＝2﹣a， 又∵﹣2+c+d＝x+4+c，即﹣2+d＝x+4， ∴d＝x+6＝2﹣a+6＝8﹣a， ∴a+4+（8﹣a）＝12， ∴b＝12﹣4﹣（﹣2）＝10， ∴y＝12﹣（﹣2）﹣a＝14﹣a， z＝12﹣b﹣d＝12﹣10﹣（8﹣a）＝a﹣6， c＝12﹣4﹣x＝12﹣4﹣（2﹣a）＝6+a， ∴给定a的值能补全图3． 当给定c值时，即可确定a＝c﹣6，也可补全图3， 当给定d值时，即可确定a＝8﹣d，也可补全图3， 当给定b≠10时，不能满足每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和为12，不能补全图3． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”．中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3方格，每一行、每一列及斜对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母m表示的数是（　　） A．5 B．7 C．8 D．6 【分析】根据题意和表格中的数据，可以先求出p的值，然后可以表示出第一列第三个数，再根据一列的三个数之和等于第二排的三个数之和，可以列出关于m的方程，从而可以求得m的值． 【解答】解：由题意可得， 4+p+m＝2+7+m， 解得p＝5， 设第一列第三个数为x， 则4+5+m＝2+5+x， 解得x＝m+2， ∵第一列的三个数之和等于第二排的三个数之和， ∴4+m+2＝5+7， 解得m＝6， 故选：D． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 6．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母m表示的数是（　　） 5 3 p 8 m A．6 B．7 C．9 D．11 【分析】根据题意和表格中的数据，可以先求出p的值，然后可以表示出第一列第三个数，再根据一列的三个数之和等于第二排的三个数之和，可以列出关于m的方程，从而可以求得m的值． 【解答】解：由题意可得， 5+p+m＝3+8+m， 解得p＝6， 设第一列第三个数为x， 则5+6+m＝3+6+x， 解得x＝m+2， ∵第一列的三个数之和等于第二排的三个数之和， ∴5+m+2＝6+8， 解得m＝7， 故选：B． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 7．在如图的九个方格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则n＝　2　 ，a+b+c+d＝　29　 ． 【分析】由第一列及第三行上的三个数的和相等，可列出关于n的一元一次方程，解之可得出n的值，将其代入c中，可求出c的值，结合每行上的三个数的和为3c，可求出每行上的三个数的和均为21，结合第一、二行第一个方格中的数，可求出a+b，c+d的值，再将其代入a+b+c+d中，即可求出结论． 【解答】解：根据题意得：12+1+m＝m+11+n， 即12+1＝11+n， 解得：n＝2， ∴c7， ∴每行上的三个数的和均为3c＝3×7＝21， ∴a+b＝21﹣12＝9，c+d＝21﹣1＝20， ∴a+b+c+d＝9+20＝29． 故答案为：2，29． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．幻方是中国古代一种填数游戏，幻方最早出现于我国的“洛书”．对于“n×n”的幻方，其填数规则为：使同一行、同一列和同一对角线上的n个数的和都相等．如图为“洛书”对应的“3×3”幻方，则图中a的值为　5　 ． 【分析】根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列方程，即可求出a的值． 【解答】解：设第三行第三个数为x， 则根据题意列一元一次方程，4+a+x＝8+1+x， 解得a＝5． 则图中a的值为5， 故答案为：5． 【点评】此题考查一元一次方程的应用，由题中的等量关系表示出右下角的数是解题的关键． 9．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有2∼10之间不同的数字，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是　4　 ． 2 6 P 3 【分析】设下面中间的数为x，分别表示出相应的数，再根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，列出方程求解即可． 【解答】解：设下面中间的数为x，则三个数字之和为8+x， 8﹣3＝5， 根据题意列一元一次方程得，8+x﹣3﹣6＝x﹣1， 即8+x﹣2﹣（x﹣1）＝7， 所以5+6+7﹣7﹣3＝8， 如图所示： 7 2 x﹣1 8 6 P 3 x 5 根据题意列一元一次方程得，P+6+8＝7+6+5， 解得P＝4． 则P处对应的数字为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 10．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．将9个数填在三行三列的方格中，若每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，就构成一个三阶幻方．图1是一个三阶幻方，图2是一个未完成的三阶幻方，则m•n＝　48　 ． 【分析】根据幻方的规律逐一列出等式求解即可． 【解答】解：如图， 由题可知11+9+n＝b+15+n， 解得b＝5， ∵11+d+b＝m+d+n， ∴m+n＝11+b＝11+5＝16， ∵c+d+15＝m+d+n， ∴c＝m+n﹣15＝1， ∵m+a+b＝m+c+11， ∴a＝c+11﹣b＝1+11﹣5＝7， ∵m+a+b＝n+15+b， ∴m﹣n＝15﹣a＝8， 结合m+n＝16可得，m＝12，n＝4， ∴m•n＝48， 故答案为：48． 【点评】本题主要考查了利用一元一次方程解决幻方问题，逐一列出等式是解题的关键． 11．把9个数填入3×3方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，它源于我国古代的“洛书”，如图所示的三阶幻方仅可以看到部分数值，其中x的值应为 　2　 ． 【分析】设第三行、第三列的数字为y，根据每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，先求出y的值，进而求解x即可． 【解答】解：设第三行、第三列的数字为y， 由题意可得：1+（﹣2）+（﹣5）＝（﹣5）+0+y， ∴y＝﹣1， ∴x+（﹣5）＝﹣2+（﹣1）， ∴x＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． 12．幻方是中国古代的一种谜题，又称九宫图，即在正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等，图中给出了幻方的部分数字，则m＝ 　9　 ． 【分析】设第一行第一列的方格中的数字为a，由每行、每列上的数字之和都相等，得到a+（﹣1）+7＝a+m+（﹣3），即（﹣1）+7＝m+（﹣3），解之即可得出结论． 【解答】解：设第一行第一列的方格中的数字为a，如图所示， ∵每行、每列上的数字之和都相等， ∴a+（﹣1）+7＝a+m+（﹣3）， ∴（﹣1）+7＝m+（﹣3）， 解得：m＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 13．九宫格源于我国古代的“洛書”，是世界上最早的“幻方”．将数字﹣1、﹣2、﹣3、﹣4、﹣5、﹣6、﹣7、﹣8、﹣9填入3×3的方格中，使其任意一行、一列及两条斜对角线上的三个数字之和都相等，这样便构成了一个九宫格．如图是部分的九宫格，则x的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣6 【分析】根据题意正确列出方程求解即可． 【解答】解：根据题意列一元一次方程得，x+（﹣8）＝（﹣5）+（﹣7）， 解得x＝﹣4， 故选：C． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 14． 课题 幻方的探索与学习 参与人员 7（3）班全体人员2025年×月×日 定义学习 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”． “九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最图1图2早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）． 幻方探究 （1）横行、竖列、对角线上的三个数之和分别是多少？你能发现哪些相等的关系？ （2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些线段会构成一个怎样的图形？ （3）你能改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然满足你发现的那些相等关系吗？ 幻方制作 将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入图1中，得到图2中的幻方，在此基础上，将原来幻方中的每个数分别增加任意一个相同的数，每个数同时扩大相同的倍数，先扩大相同的倍数、再同时增加另一个数，仍构成一个幻方． 实践应用 小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，﹣2，﹣1，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是　0（答案不唯一）　 ．（写出一个符合题意的数即可） 变式探究 将1～9分别填入图中的〇中，使得3条线上的4个数的和都相等，求和的最大值． 【分析】幻方探究： （1）观察三阶幻方，将每行、每列、每条对角线上的三个数相加即可确定相等关系； （2）将相等的每一组数分别连线即可画出一个图形，利用轴对称和中心对称说明图形的特点； （3）根据三阶幻方的特点，重新写出一个三阶幻方，即可验证以上的相等关系； 实践应用：根据题意，填写数字即可； 变式探究：从图中分析可知，中间的三个数加了两次，这3条线上的4个数的和都相等，也就是每条线4个数的和×3＝1到9个数的总和+中间的三个数．1到9个数的总和是45，那么最大的情况就是这三个数的和最大时候．即这三个数是7、8、9时，和最大为24．则每条线4个数的和＝（1到9个数的总和+中间的三个数）÷3． 【解答】解：幻方探究： （1）每一行三个数之和与每一列三个数之和以及斜对角三个数之和相等，且和为15；5上下两数之和等于5左右两数之和等于左上方的数与右下方的数之和，等于右上方的数与左下方的数之和，且和为10； （2）可构成一个“米”字图形；所构成的图形是轴对称图形、是中心对称图形（答案不唯一，正确即可）； （3）能，交换4和8.9和1，2和6的位置就满足图形中的相等关系（答案不唯一，正确 即可）． 实践应用： 解法一：由题意，填写如下： 1+0+（﹣1）＝0，2+0+（﹣2）＝0，满足题意， 故答案为：0（答案不唯一）． 解法二：由题意，填写如下： 1+（﹣2）+0＝﹣1，2+（﹣2）+（﹣1）＝﹣1，满足题意， 故答案为：﹣2（答案不唯一）． 解法三：由题意，填写如下： （﹣1）+2+0＝1，（﹣2）+2+1＝1，满足题意， 故答案为：2（答案不唯一）． 变式探究：如图， 1+2+3+4+5+6+7+8+9+（7+8+9）＝69， 69÷3＝23， 答：这个和最大是23． 【点评】本题主要以幻方为背景考查了探究题型，变式探究难度无需将每个圆圈的数都确定出来，情况有很多种且比较复杂，只需要根据题目的意思，对难题目通过数量分析成简单的意思即可． 15．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），洛书是一种关于天地空间变化的脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．把洛书用今天的数学符号表示出来就是一个三阶幻方（如图2）．将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方． 【实践应用】 （1）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则a＝　6　 ，b＝　5　 ，c＝　4　 ； （2）图4的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则m＝　7　 ，n＝　0　 ； 【拓展延伸】 （3）如图5，有三个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”，将﹣11，﹣9，﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，2，4，6，8，10，12，这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的四个顶点处“〇”中的和都为2．试求m，n的值． 【分析】（1）根据图2先确定b＝5，每行、列和对角线上的数字和都相等列出方程，求解即可； （2）设底边两角的数分别为p，q，再根据广义的三阶幻方可得﹣5+2+q＝n﹣3+q和﹣5+m+p＝n+2+p，再解方程即可； （3）根据使每个正方形的4个顶点处“”中的数的和都为2求出m、n的值，然后求出结果即可． 【解答】解：（1）根据图2中的幻方可知，图中填的是1到9这9个数，根据幻方规律可知，中间一个数应该为5， ∴b＝5， ∴a+2+7＝7+5+3， 解得：a＝6， c+3+8＝7+5+3， 解得：c＝4， 2 7 6 9 5 1 4 3 8 故答案为：6；5；4； （2）设如图两个数分别为p，q， ﹣5+m+p＝n+2+p＝2+p，解得m＝7， ﹣5+2+q＝n﹣3+q，解得n＝0， 故答案为：7；0； （3）如图，设另外两个圆圈中的数分别为p、q， m+4+2+（﹣3）＝2， 解得：m＝﹣1， q+8+（﹣7）+（﹣5）＝2， 解得：q＝6， p+12+n+（﹣9）＝2， ∴p+n＝﹣1， ∵圆圈中的12个数为：﹣11、﹣9、﹣7、﹣5、﹣3、﹣1、2、4、6、8、10、12， ∴p＝10，n＝﹣11或p＝﹣11，n＝10， ∴m＝﹣1，n＝﹣11或m＝﹣1，n＝10． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出幻方中的数字规律． 1 学科网（北京）股份有限公司 $