精品解析：广西钦州市大寺中学2026届高三上学期10月月考数学试卷

广西钦州市钦北区大寺中学2026届高三年级上学期10月份考试考试数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2.四答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.四答非选择题时，将答案写在签题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ） A. 6 B. 1 C. 3 D. 2 2. 若函数的最小正周期为，函数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A. B. C. 或 D. 或 4. 过点作的两条切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 5. 在锐角中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数若时，的最小值为，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 当函数的值域为 C. 函数在区间上的零点个数共有6个 D. 函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为奇函数 7. 把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，，点为的外接圆圆心，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的内角所对的边分别为，，.则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且有唯一解，则 C. 若，则 D. 若，则面积最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，且，则________. 13. 若，则_____． 14. 已知，则___________ 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若，求函数的值域； （3）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 17. 已知图象关于点对称. （1）求的值； （2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域. 18. 已知在中，，，所对的边分别为a，b，c，的平分线交于K. （1）求证：； （2）若，，，求的面积. 19. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）设，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西钦州市钦北区大寺中学2026届高三年级上学期10月份考试考试数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2.四答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.四答非选择题时，将答案写在签题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ） A. 6 B. 1 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式以及两角和的正切公式解方程即可求得结果. 【详解】由可得，解得， 所以， 由可得，解得或（舍）， 故. 故选：C. 2. 若函数的最小正周期为，函数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式求出的值，可得出函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可得出正数的最小值. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 则函数. 因为函数满足，所以函数是奇函数， 则，解得， 而，因此最小可取. 故选：D. 3. 已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理解三角形，求出角的正弦值，判断角的大小即可. 【详解】由正弦定理知，，即，解得， 又，所以，所以． 故选：A． 4. 过点作的两条切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象，利用二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为平分，且，， 所以， 故选：D. 5. 在锐角中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过正弦定理化边为角，结合辅助角公式和锐角三角形的角范围求解. 【详解】由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 得：， 因，故，两边同除以，得：， 将左边化为辅助角形式：， 因此：， 因为锐角三角形，，故， 所以. 故选：A 6. 已知函数若时，的最小值为，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 当函数的值域为 C. 函数在区间上的零点个数共有6个 D. 函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求得，求得函数解析式，进而逐项计算判断即可. 【详解】若时，的最小值为，可得，解得， 所以，解得，所以，故A不正确； 当时，可得，所以， 所以函数的值域为，故B错误； 令，可得，所以， 解得，可得时，， 所以函数在区间上的零点个数共有6个，故C正确； 函数的图象向左平移个单位长度， 得函数的图像， 所以为偶函数，故D错误. 故选：C. 7. 把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】得到的解析式后，结合正弦函数的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得， 又的图象关于点对称， 则，，解得，， 则，，又， 则当时，有最小值. 故选：B. 8. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，结合正弦函数的性质分析图象即可. 【详解】函数 的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数， 又时，，可排除A、B选项， 同时时，有无数零点，同时也有的情况， 故有无数个零点，且时有的情况，可排除C，即D正确. 故选：D 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，，点为的外接圆圆心，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设的外接圆半径为，根据余弦定理求解判断AB； 根据投影向量与数量积的关系判断C；结合，建立的方程求解判断D. 【详解】对于A，由余弦定理得，又，故，A选项错误； 对于B，设的外接圆半径为，由于点为的外接圆圆心， 故， ， ， 所以，B选项正确； 对于C选项，由于， 由向量数量积的几何意义得： 在上的投影向量为， ， 同理， 故，故C选项正确； 对于D，因为， 由于， 即， 由于， 即 所以，解得，. 所以，故D 选项错误； 故选：BC 10. 已知的内角所对的边分别为，，.则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两角和差正弦公式和诱导公式可推导得到，讨论角的关系可确定A正确；利用正弦定理边化角、角之间的关系、诱导公式及二倍角公式可将转化为方程，令，，利用导数可确定的范围，进而确定、的范围，得到BCD正误. 【详解】对于A，，， ， ，，又， 或，即或； 当时，，此时，不合题意， ，A正确； 对于BCD，，， ，， 即， 整理可得：， 令，，，，即， 令，则， 在上单调递减，又，， ，； 由得：， ，，又， ，，，，B正确，C错误； ，，即， ，即，D正确. 故选：ABD. 11. 中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且有唯一解，则 C. 若，则 D. 若，则面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，即可判断A，根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定理和三角形的面积公式求解，可判断D. 【详解】由，则， 则， 由于，所以，，，故A正确； 由正弦定理得，即， 又有唯一解，所以或，故B错误； 由，则，， 则，即，, 所以，则，所以，故C正确； 若，则由余弦定理得， 所以有，即，当且仅当时取等号， 的面积为，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】应用二倍角公式及同角三角函数关系计算化简，再结合同角三角函数关系求得，最后应用二倍角正切公式计算求解. 【详解】 ， 又因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或不合题意，所以， 所以. 故答案为：. 13. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式以及二倍角公式计算可求得结果. 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 14. 已知，则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式展开已知条件中的，通过移项化简得到的值，再利用余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由题知， 所以，即， 所以. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，即可求出、，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， ∴， ∴， 在中，，得， ，， ，. 【小问2详解】 ，又， ，所以，得， 又∵，∴或， 由余弦定理得， 所以. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若，求函数的值域； （3）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，求出最小正周期； （2）在（1）基础上，得到，求出； （3）转化为在上有且仅有两个解，求出，数形结合得到，求出答案. 【小问1详解】 ， 的最小正周期； 【小问2详解】 ，， 故，， 故函数值域为； 【小问3详解】 函数， 即，， 故在上有且仅有两个零点， 等价于在上有且仅有两个解， ，， 要想在上有且仅有两个解， 则，解得， 故m的取值范围为. 17. 已知图象关于点对称. （1）求的值； （2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）化简，代入对称点得，结合即可得到答案； （2）根据平移和收缩的原则得，再根据余弦型函数的性质即可得到值域. 【小问1详解】 由题知，， 所以， 即，所以． 因为图象关于点对称，所以， 所以，又因为，所以． 【小问2详解】 由（1）知，． 将函数图象上各点横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）， 得到， 再将得到的图象向左平移个单位，故得到函数． 当时，， 故当，即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增． 所以，则值域为. 18. 已知在中，，，所对的边分别为a，b，c，的平分线交于K. （1）求证：； （2）若，，，求的面积. 【答案】（1） 证明：在中，由正弦定理得. 在中，由正弦定理得. 又，， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）分别在和由正弦定理得到，，再结合，即可求证； （2）由（1）得到，分别在和中使用余弦定理得到，，再由面积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，即. 在中，，，， 所以. 因为，所以. 在中，， 解得，. 所以， 所以的面积为. 19. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）设，且，证明：. 【答案】（1） （2） （3） 当时，由（2）得， 对任意的，有，即， 因此（，且），即， 设，，则， 令，， 则，可得在区间上单调递减， 所以， 所以在区间上单调递减，所以， 所以当时，， 可得当且时，， 所以， 因此，. 【解析】 【分析】（1）先求出为函数的一个正周期，接着利用导数求解时的值域即可； （2）记，求其导数，因为，由，解得，分和分别讨论函数单调性，从而分析不等式是否恒成立； （3）当时，由（2）得，对任意的，有，因此（，且），即，令，，利用导数证明，进而得，即可得证. 【小问1详解】 因为， 所以为函数的一个正周期，所以可求时的值域， 对求导得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 又，，，， 所以函数的值域为； 【小问2详解】 记， ， 因为，由，解得， 当时，，因此在区间上单调递减， 所以，即在区间上恒成立， 当时，存在，使得当时，，因此在区间上单调递增， 当时，，即在区间上不恒成立， 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $