精品解析：天津市南开区2025-2026学年第二学期期末学情调研高二年级数学学科试卷

天津市南开区2025-2026学年第二学期期末学情调研高二年级数学学科试卷 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间100分钟． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球．记事件为“甲摸到红球”，事件为“乙摸到红球”，则下列说法错误的是（ ）． A. 若摸球后放回，则 B. 若摸球后不放回，则 C. 若摸球后放回，则 D. 若摸球后不放回，则 5. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高（单位：）近似服从正态分布，则身高落在区间内的男生人数约为（ ） （参考数据：若，则） A. 3413 B. 5120 C. 6827 D. 10328 8. 已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（ ） A. 0 B. C. 120 D. 9. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 12 B. 6 C. D. 10. 定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则所有实数，，，，之和为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11. 某产品的广告投入（万元）与销售额（万元）的统计数据如下： 2 3 5 6 20 35 50 55 若关于的线性回归方程为，则__________. 12. 已知，则的值为___________． 13. 计算=____________． 14. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 15. 用分别写有数字“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“4”的六张卡片可以组成_____________个六位整数．（用数字作答） 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求； （2）求含的项的系数； （3）求展开式中所有的有理项． 17. 某闯关游戏规则如下：闯关按关卡依次进行，若连续两个关卡任务都闯关失败，则游戏结束；每一个关卡系统随机派发一个简易关卡或高难关卡，派发简易关卡的概率为，派发高难关卡的概率为．已知玩家顺利通关简易关卡与高难关卡的概率分别为，且各关卡闯关完成情况相互独立． （1）求该玩家在一个关卡中顺利通关的概率； （2）记该玩家在完成第个关卡后，整个游戏还未结束的概率为，求的值． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）求的单调区间和极小值． 19. 科技馆趣味概率实验装置内装有8个同款发光小球，4颗红光球体，4颗白光球体．参与者分两轮操作，每轮一键弹出两颗小球，第一轮弹出的小球直接弹出装置无法回收，再进行第二轮弹射．两轮里单次弹出两颗光色相同即为实验通关，光色不同则本轮通关失败． （1）求实验通关次数的分布列和数学期望； （2）求第二轮实验通关的概率． 20. 已知函数． （1）当时，求函数的最值； （2）讨论方程解的个数； （3）若方程存在两个非零解，且满足，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南开区2025-2026学年第二学期期末学情调研高二年级数学学科试卷 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间100分钟． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算法则计算. 【详解】由已知，，所以, 故选：B. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接写出结论即可． 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定为：． 故选：A． 3. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得为奇函数，即可排除A、C，由函数在上的函数值的特征排除D，即可得解. 【详解】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数， 对于A ：定义域为，定义域关于原点对称，， 所以为偶函数，不符合题意，故A错误； 对于C：定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为偶函数，不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数， 当时，，，所以恒成立，不符合题意，故D错误； 故利用排除法可知选项B符合题意. 故选：B 4. 已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球．记事件为“甲摸到红球”，事件为“乙摸到红球”，则下列说法错误的是（ ）． A. 若摸球后放回，则 B. 若摸球后不放回，则 C. 若摸球后放回，则 D. 若摸球后不放回，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及有无放回，利用古典概型的概率求法及独立事件乘法公式、互斥事件加法、独立事件的定义依次判断各项的正误. 【详解】A：甲摸到红球的概率且有放回，乙摸球时口袋中球的情况没有变化， 所以乙摸到红球的概率，故，正确， B：甲摸到红球的概率且不放回， 乙摸到红球可以分为两种情况： 甲摸到红球的概率，乙摸到红球的概率为，则， 甲摸到白球的概率，乙摸到红球的概率，则， 所以乙摸到红球的总概率，故，正确， C：由A分析知且放回，甲摸到红球对乙摸球没有影响， 所以，故，正确， D：由B分析知且不放回，已知甲摸到红球后，袋中剩余2个球（1红1白）， 此时乙摸到红球的概率为，显然，即，错误. 5. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数、对数的运算性质及函数单调性确定的取值范围，再逐一判断选项正误. 【详解】根据指数幂的运算性质，得. 又因为，显然，故A错误； 再由对数函数在定义域上单调递增，由于， 因此，即，因此，故C错误. 所以，故B错误，D正确； 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则满足，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 7. 某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高（单位：）近似服从正态分布，则身高落在区间内的男生人数约为（ ） （参考数据：若，则） A. 3413 B. 5120 C. 6827 D. 10328 【答案】C 【解析】 【详解】，则，， ， 因此身高落在区间内的男生人数为. 8. 已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（ ） A. 0 B. C. 120 D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，构建方程可得，再根据的展开式，令和，代入运算求解． 【详解】因为的展开式中各项系数的和为， 所以令，得，解得， ∵的展开式为 则展开式中含的项为，故的系数为0. 故选：A． 9. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 10. 定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则所有实数，，，，之和为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】设，作出函数的图象，根据关于的方程恰有5个不同的实数解，得到的取值情况，结合图象利用对称性，即可求出结论． 【详解】设，则关于的方程等价为， 作出的图象如图：由图象可知当时，方程有三个根， 当时方程有两个不同的实根， ∴若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，， 则等价为有两个根，一个根，另外一个根， 不妨设，对应的两个根与，与分别关于对称， 则，则，且， 则， 故选：C． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11. 某产品的广告投入（万元）与销售额（万元）的统计数据如下： 2 3 5 6 20 35 50 55 若关于的线性回归方程为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用回归方程过样本中心点代入求解即可. 【详解】由已知， 代入线性回归直线方程得，解得. 故答案为：2. 12. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由是等式右侧项的系数，可先判断左侧个二项式中含有的项及系数，再结合组合数的性质可得. 【详解】由多项式恒等的性质可知，为等式左侧多项式展开后项的系数. 左侧是由个二项式的和构成的多项式，根据多项式的展开式特征， 左侧中只有展开式中含有， 且多项式展开式中含的系数分别为， 由等式的性质得 . 因此. 13. 计算=____________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据对数的运算法则即可计算． 【详解】原式， 故答案为：6． 14. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数单调性，对数函数底数和真数取值范围解题即可. 【详解】令，则函数可看成由 与复合而成， 因为对数的底数且，所以是单调递减函数， 又因为函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到， 又在区间上，作为的真数要大于0恒成立， 所以，所以， 综上所述实数的取值范围为. 15. 用分别写有数字“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“4”的六张卡片可以组成_____________个六位整数．（用数字作答） 【答案】300 【解析】 【分析】分首位为4，和首位不为4，分两类，利用分类加法计数原理求解. 【详解】分两类： 第一类首位从“1”、“2”、“3”中取，有种取法，其余5张卡片有种排法，但有2张“4”， 所以能得到不同的6位整数共有个； 第二类，首位取“4”，其余位置5张卡片全排列，共有个6位整数， 根据分类加法计数原理，共有个六位整数. 故答案为：300 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求； （2）求含的项的系数； （3）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1）； （2）； （3）有理项为 ，，． 【解析】 【分析】（1）求出二项式的展开式通项，根据常数项赋值即可求解； （2）令，即可求出，从而得到含的项的系数； （3）利用二项式展开式通项中的指数为整数且求出，再根据通项即可求解． 【小问1详解】 的展开式的通项为， 因为第项为常数项，所以时，有，解得． 【小问2详解】 令，得， 所以含的项的系数为． 【小问3详解】 根据通项公式与题意得，令， 则，即，，所以应为偶数，又， 所以可取，即可取.所以第项，第项与第项为有理项， 它们分别为，，，即，，． 17. 某闯关游戏规则如下：闯关按关卡依次进行，若连续两个关卡任务都闯关失败，则游戏结束；每一个关卡系统随机派发一个简易关卡或高难关卡，派发简易关卡的概率为，派发高难关卡的概率为．已知玩家顺利通关简易关卡与高难关卡的概率分别为，且各关卡闯关完成情况相互独立． （1）求该玩家在一个关卡中顺利通关的概率； （2）记该玩家在完成第个关卡后，整个游戏还未结束的概率为，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式按关卡类型分类计算单关卡通关概率； （2）先求单关卡失败概率，通过对立事件计算前两关未出现连续失败的概率即可得解． 【小问1详解】 设事件表示“玩家在一个关卡中顺利通关”，事件表示“派发简易关卡”，事件表示“派发高难关卡”， 由题设可知：，，条件概率， ， 根据全概率公式： ， 即玩家在一个关卡中顺利通关的概率为． 【小问2详解】 由（1）可知，单个关卡闯关失败的概率为， 完成第2关后游戏未结束的等价条件为前2关未出现连续两次失败，其对立事件为“第1、2关均闯关失败”， 由于各关卡闯关情况相互独立，故(前两关均失败)=，因此：(前两关均失败)． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）求的单调区间和极小值． 【答案】（1） （2）的增区间为，，减区间为；的极小值为 【解析】 【分析】（1）由切点为，求出切线斜率，写出切线的点斜式方程，得到切线方程的横纵截距，即可求得切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）由导数的正负，解出的定义域内的范围，即可求出的单调区间，由的单调情况，可以得到的极小值． 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 令得，令得， 故所求三角形的面积为． 【小问2详解】 因为，， 令得或， 令得或，令得， 又函数的定义域为， 所以的增区间为，，减区间为， 所以的极小值为． 19. 科技馆趣味概率实验装置内装有8个同款发光小球，4颗红光球体，4颗白光球体．参与者分两轮操作，每轮一键弹出两颗小球，第一轮弹出的小球直接弹出装置无法回收，再进行第二轮弹射．两轮里单次弹出两颗光色相同即为实验通关，光色不同则本轮通关失败． （1）求实验通关次数的分布列和数学期望； （2）求第二轮实验通关的概率． 【答案】（1）分布列： 0 1 2 期望：. （2） 【解析】 【分析】（1）讨论在第一轮为两红、两白、一红一白的条件下第二轮通过的概率，再求分布列即可； （2）根据全概率公式求解即可. 【小问1详解】 第一轮是从 8 个球中取 2 个，总情况数：， 两球同为红：，两球同为白：，P（第一轮双红） P（第一轮双红），P（第一轮双白） P（第一轮异色）. 第二轮的情况取决于第一轮抽出的球的颜色组合， 情况 A：第一轮抽出两个红球，此时剩下：红 2 个，白 4 个（共 6 个） 第二轮取两球同色的概率： 同为红：，同为白：，总数： P（第二轮通关/第一轮双红） ， 情况 B：第一轮抽出两个白球 同理对称，剩下：红 4，白 2， P（第二轮通关/第一轮双白）， 情况C：第一轮抽出一白一红 此时剩下：红 3，白 3（共 6 个），第二轮一红一白：，总数：， P（第二轮异色/第一轮异色）， 设为两轮通关次数，， ，. 分布列： 0 1 2 期望：. 【小问2详解】 根据全概率公式： P（第二轮通关）= P（第一轮双红） P（第一轮双白） P（第一轮异色） 20. 已知函数． （1）当时，求函数的最值； （2）讨论方程解的个数； （3）若方程存在两个非零解，且满足，证明：． 【答案】（1）最大值，无最小值． （2）当，方程有一个解；当，方程有三个解． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对时的函数求导，根据导数符号判断单调性，进而得到函数的最值； （2）利用奇函数性质将方程解的问题转化为时的情况，构造辅助函数，通过导数分析其单调性，分和两种情况讨论零点个数，再结合奇函数对称性得到方程总解数； （3）由（2）的结论设方程的两个非零解，，将待证不等式转化为 ，利用方程解的条件消去参数，构造新函数并通过导数判断其符号，从而证明不等式. 【小问1详解】 当时，，求导可得 函数在单调递增，在单调递减． 函数有最大值，无最小值． 【小问2详解】 函数是奇函数，始终是方程的一个解． 不妨令， ，可化简为 构造函数， 求导可得 ， ，令 ，则， ①当 恒成立，因此在单调递增． 故在单调递增，故． 即方程在无解． 根据函数是奇函数可知在也无解. ②当，由，可得在单调递减，在单调递增． 由 可得，存在使． 当 单调递减；当 单调递增． ，函数在有一个零点． 即方程在有一个解． 根据函数是奇函数可知在有另一个根． 综上，当，方程有一个解；当，方程有三个解． 【小问3详解】 由（2）可得此时，且． ． 即证： ． 因为是方程的解，代入可得． 消可得， 设， ， 函数在单调递增，所以 ． 又因为 ，所以 ， 即原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $