精品解析：江苏省徐州市2025-2026学年上学期期中学情调研九年级数学试卷

2025-2026 学年度第一学期期中学情调研 九年级数学试卷 （全卷140分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 抛物线有（ ） A. 最小值3 B. 最大值3 C. 最大值 D. 最小值 4. 如图， 四边形是的内接四边形， 若， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ） A. B. C. D. 或 7. 二次函数 的图象如图所示，对于下列说法：①，②，③，其中正确的个数有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共10小题，每题3分，共30分．) 9. 方程的根为__________ 10. 已知m是方程的一个根，则的值为______． 11. 若抛物线与x轴没有交点，则k的取值范围_______________． 12. 已知一个二次函数的图象形状和开口方向与 相同，且顶点坐标为，则这个二次函数的表达式为______． 13. 已知和是抛物线上的两点，则和的大小关系是______． 14. 如图，PA、PB分别切于A、B，并与的另一条切线分别相交于D、C两点，已知，则的周长=_______． 15. 如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为_______． 16. 物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A 的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A 转过的度数为时，重物上升了_______（结果保留π）． 17. 如图，的半径为1，点O到直线l的距离为4，点P 是直线l上的一个动点，切于点 Q， 则的最小值为______． 18. 如图， 在平面直角坐标系中， 点A、B、P的坐标分别为． 若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ______． 三、解答题（本大题共7小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程∶ （1）； （2）． 20. 已知：关于的一元二次方程． （1）若为方程的一个根，求的值； （2）求证：无论为何值，方程总有两个实数根． 21. 已知二次函数． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象： x … 0 1 2 … … 4 … （2）该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； （3）当时，的取值范围是__________________________________． 22. 尺规作图：作已知圆的一条直径． 要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 24. 如图，是的直径，C是上一点，于点 D，延长至点 F，使得． （1）求证：与相切； （2）当，时，请直接写出阴影部分的面积_______．（结果保留） 25. 定义：若抛物线与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”． （1）已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是______；（填序号） （2）如图1，已知直线，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为A、B． ①在x轴上找一点E，使周长最小，请直接写出此时点E的坐标______； ②在直线l上方的抛物线上是否存在点P使面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点P坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年度第一学期期中学情调研 九年级数学试卷 （全卷140分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义判断． 【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意； B、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、当时，是一元二次方程，时，不是一元二次方程，不符合题意； D、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 2. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外， ∴OP＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 3. 抛物线有（ ） A. 最小值3 B. 最大值3 C. 最大值 D. 最小值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据二次函数顶点式知，当二次项系数为负时，函数有最大值，据此即可求解． 【详解】解：对于， 二次项系数为负，从而函数有最大值3； 故选：B． 4. 如图， 四边形是的内接四边形， 若， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形性质和圆周角定理，运用转化思想，关键是由圆内接四边形对角互补得，再由圆周角定理求，易错点为对圆内接四边形性质或圆周角定理的概念混淆． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴（圆内接四边形的对角互补）； ∵， ∴； ∴（圆周角定理）， 故选C． 5. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键． 先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内外角和定理可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 6. 如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个数为，列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意，设这个数为， ∴， ， ， ∴， 故选：． 7. 二次函数 的图象如图所示，对于下列说法：①，②，③，其中正确的个数有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的关系．关键是熟悉各项系数与抛物线的各性质的联系． ①由开口方向及对称轴的位置可判断b的符号，根据抛物线与y轴的交点位置可判断c的符号；②由抛物线与x轴的交点个数可判断的符号；③观察当时，对应的函数值，可判断的符号． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，，对称轴， ∴， 故，正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点，∴，正确． ③当时，函数值，即，正确； 正确的有3个， 故选：D． 8. 已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∵函数的对称轴为直线， 则， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 二、填空题(本大题共10小题，每题3分，共30分．) 9. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 10. 已知m是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据方程根的定义，将已知条件代入所求表达式进行化简． 【详解】解：因为m是方程 的一个根， 所以代入得 ，即 ． 则 ． 故答案为：． 11. 若抛物线与x轴没有交点，则k的取值范围_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 抛物线与轴没有交点，则，进而求解． 【详解】若抛物线与轴没有交点， 则， 解得． 故答案为：． 12. 已知一个二次函数的图象形状和开口方向与 相同，且顶点坐标为，则这个二次函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握形状和开口方向相同的二次函数二次项系数相等是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标可设二次函数的解析式为，再根据图象的形状和开口方向与相同，可得a的值，即可解答． 【详解】解：∵该二次函数的顶点坐标为， ∴可设二次函数的解析式为， 又∵图象的形状和开口方向与抛物线相同， ∴， ∴这个二次函数的解析式为． 故答案为：． 13. 已知和是抛物线上的两点，则和的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数性质．根据抛物线的开口向下，对称轴为直线，得到当时，y随x的增大而减少，根据和，得到． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减少， ∵和在抛物线上，且， ∴． 故答案为：． 14. 如图，PA、PB分别切于A、B，并与的另一条切线分别相交于D、C两点，已知，则的周长=_______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角，得到，，，并把的周长转化为，即可解答. 【详解】设与的切点为E， ∵、分别是的切线，且切点为A、B ∴ 同理可得， 则的周长. 故答案为：12 15. 如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，过点O作于点D，交于点C，由垂径定理可得，再在中解得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：2． 16. 物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A 的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A 转过的度数为时，重物上升了_______（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据题意使用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了． 故答案为：． 17. 如图，的半径为1，点O到直线l的距离为4，点P 是直线l上的一个动点，切于点 Q， 则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质及垂线段最短，确定最小时点的位置是解题的关键，由于为切线，故是直角三角形，又为定值，所以当最小时，最小，根据垂线段最短，知时最小，根据勾股定理得出结论即可． 【详解】解：∵切于点 Q， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 当最小时，最小， ∵点O到直线l的距离为4， ∴的最小值为4， ∴的最小值为：， 故答案为：． 18. 如图， 在平面直角坐标系中， 点A、B、P的坐标分别为． 若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键． 如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求． 【详解】解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆， 在圆上的格点有，，， ∵P是的外心，即点C在圆P上，且点C在第一象限， ∴点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共7小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程∶ （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法求解即可； （2）移项后根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，． 20. 已知：关于的一元二次方程． （1）若为方程的一个根，求的值； （2）求证：无论为何值，方程总有两个实数根． 【答案】（1） （2） 解：， 无论为何值，方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根的判别式： （1）将代入一元二次方程求解即可； （2）用根的判别式求出再判断即可． 【小问1详解】 解：将代入一元二次方程． 得， 解得：． 【小问2详解】 略 21. 已知二次函数． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象： x … 0 1 2 … … 4 … （2）该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； （3）当时，的取值范围是__________________________________． 【答案】（1）解：此抛物线的大致图像如下： （2）向上平移个单位 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的最值以及平移： （1）将表格中的各依次代入，求出对应，依次描点作图即可得到的图像； （2）根据二次函数图象平移规律，“上加下减，左加右减”即可； （3）分别解出不等式和的解，综合两个解即可． 【小问1详解】 时，， 时，， 时，， 时，． 【小问2详解】 抛物线是在的基础上，在值上加了，所以是向上平移个单位． 【小问3详解】 二次函数， 当时，， 即且， 当时，解得， 当时，解得或， 或， 当时，的取值范围是或． 22. 尺规作图：作已知圆的一条直径． 要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图． 【答案】 如图所示，直径与即为所作． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 方法1：在圆上任取弦，作线段的垂直平分线，与圆分别交于点，，连接，根据垂径定理可知为已知圆的一条直径； 方法2：在圆上任取弦，过点作的垂线，交圆于点，连接，由圆周角定理可知为已知圆的一条直径． 【详解】解：略． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 24. 如图，是的直径，C是上一点，于点 D，延长至点 F，使得． （1）求证：与相切； （2）当，时，请直接写出阴影部分的面积_______．（结果保留） 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰三角形性质得到，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出，进而得到，从而证明与相切； （2）先根据，，求出，证明出是等边三角形，求出，然后根据阴影部分的面积代数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， 是等边三角形， ， ∵ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判定，不规则图形的面积，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 定义：若抛物线与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”． （1）已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是______；（填序号） （2）如图1，已知直线，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为A、B． ①在x轴上找一点E，使周长最小，请直接写出此时点E的坐标______； ②在直线l上方的抛物线上是否存在点P使面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）② （2）①；②，的最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据“双幸运曲线”的定义及一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）①由题意易得，则有，的周长，要使的周长最小，即为的值最小，然后根据轴对称的性质可进行求解； ②过点P作轴，交直线于点H，由题意可设，则有，然后根据铅垂法可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ①联立得：，则有， 由于，方程无解， 所以一次函数与二次函数没有交点； ②联立得：，则有， 由于，方程有两个不相等的实数根， 所以一次函数与二次函数有两个交点，满足“双幸运曲线”的定义； ③联立得：，则有， 由于，方程有两个相等的实数根， 所以一次函数与二次函数有一个交点，不满足“双幸运曲线”的定义； 故答案为：②； 【小问2详解】 解：①由题意可联立， 解得：或， ∴， ∴， ∴的周长， 如图，过点B作关于x轴的对称点C，则，连接，与x轴交于点E，根据轴对称的性质可知， 所以的周长最小值即为的最小值，则当点A、E、C三点共线时，的值最小，即为的长，图中点E满足题意， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令时，则有， 解得：， ∴； 故答案为； ②过点P作轴，交直线于点H，如图所示： ∴， 由题意可设，则有， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $