第02讲 一元一次方程及其解法（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第02讲 一元一次方程及其解法 知识点1：解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 【题型一 解一元一次方程】 【典例1】解方程： (1) (2) 【变式1】解方程： (1)； (2)． 【变式2】解下列方程： (1) ； (2)； (3)． 【变式3】解方程： (1) (2) 【题型二 一元一次方程的整数解问题】 【典例2】已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A．14 B．45 C． D． 【变式3】已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【题型三 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 【典例3】已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值． 【变式1】若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【变式2】已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为 ． 【变式3】已知方程的解比关于的方程的解大5． (1)求方程的解； (2)求的值． 【题型四 错解一元一次方程的问题】 【典例4】在解关于的方程时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为． (1)求出m的值； (2)写出正确的求解过程． 【变式1】小明同学在解方程时，把数字看错了，解得，则小明把看成了（   ） A． B．8 C． D．3 【变式2】小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 【变式3】在解关于的方程时，小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12，从而得到该方程的解是（小华同学其它过程都正确）．你能得到该方程的正确解吗？请写出你的解答过程． 【题型五 一元一次方程的解在新定义中运用】 【典例5】定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1） ． （2）若，则x的值为 ． 【变式1】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为 【变式2】定义：叫作，的三等分点，叫做，的2倍距离．如：，，试求： (1) ， ． (2)若，则的值． 【变式3】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如． (1)求的值； (2)若，求的值． 一、单选题 1．若与为同类项，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．若方程，则x的值是（   ） A．1 B． C． D．0 3．下列变形过程中，属于移项的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．若，且，则的值为（    ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 5．已知是关于的方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 6.若，则数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是（   ） A．2 B． C．2或 D．或4 7．如果与的值互为相反数，那么的值是（   ） A． B． C． D． 8．规定以下两种变换：， ； 例如：， ；若，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．或3 D．4或 二、填空题 9．是的相反数，则 ． 10．若的相反数为5，则m的值为 ． 11．关于x的方程与的解相同，则a的值为 ． 三、解答题 12.解下列方程： (1)． (2)． (3)． 13．方程与解的关系 关于的方程与的解互为相反数． (1)求的值； (2)求这两个方程的解． 14．已知数轴上A、B两点表示的数分别为和3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x． (1)A、B两点之间的距离是多少？ (2)若点P到A、B两点的距离相等，求x的值． (3)当点P到A点的距离为6时，求点P到B点的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 一元一次方程及其解法 知识点1：解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 【题型一 解一元一次方程】 【典例1】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键． （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）移项，合并同类项，的系数化为，即可得到答案； （2）去括号，移项，合并同类项，的系数化为，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤，确保每一步变形符合等式的基本性质． （1）先将含未知数的项移到左边、常数项移到右边，再合并同类项，最后将未知数系数化为1； （2）先移项使含未知数的项集中在左边、常数项在右边，再合并同类项，最后系数化为1； （3）先去括号消除括号结构，再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （3）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 【变式3】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1，． 【题型二 一元一次方程的整数解问题】 【典例2】已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴， ∵ 方程有正整数解， ∴ 且为整数， ∴且是的约数， ∵的负约数有和， ∴或， 解得或， ∴整数的所有可能取值的和为， 故选：． 【变式1】已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案； 【详解】解：解方程得， ， ∵方程有负整数解， ∴等于或或或， 解得：或或或， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值之和为：， 故选：A． 【变式2】已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A．14 B．45 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．先解一元一次方程可得，再由方程的解为正整数，则或，求出的值即可求解． 【详解】解：， ， ， 方程有正整数解， ， ， 方程的解是正整数， 或， 解得或， ， 故选：D． 【变式3】已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，把当做已知量表示出方程的解，再根据方程的解为整数的条件即可得出值，根据解得的条件确定的可能取值解题的关键． 【详解】解：由得， ， ∴， ∵关于的方程有整数解， ∴或， 解得：或或或， ∴整数有个， 故选：． 【题型三 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 【典例3】已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． 分别求出两个方程的解，然后根据两个方程解的关系得到关于m的方程，由此求解即可． 【详解】解：方程， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得：， ∵关于x的方程的解比的解小5， 因此方程的解为， 将代入，得， 解得：． 【变式1】若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】求出第一个一元一次方程的解得到的值，再代入第二个方程中即可求出的值． 【详解】解：解方程得 两个方程的解相同， 把代入,得 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了同解方程及解一元一次方程，两方程未知数的值相同即为同解方程，解决问题的关键是准确计算. 【变式2】已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有的方程，从而求出即可．先将的解求出，然后将的相反数代入求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 解互为相反数， 将代入得， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 故答案为： ． 【变式3】已知方程的解比关于的方程的解大5． (1)求方程的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次方程的解，熟练掌握方程解的定义和解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）直接解方程即可； （2）通过前面方程的解推出后面方程的解，再将解代入后面方程，解出k即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）∵方程的解比关于的方程的解大5． ∴方程的解为， 将代入方程得到， ∴， 解得， 故的值为． 【题型四 错解一元一次方程的问题】 【典例4】在解关于的方程时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为． (1)求出m的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键． （1）将错就错，把x的值代入小亮去分母出错的方程求出m的值即可； （2）由题意直接把m的值代入方程计算即可求出解． 【详解】（1）解：由题可知，，即， ∵， ∴； （2）由（1）可知，原方程为， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】小明同学在解方程时，把数字看错了，解得，则小明把看成了（   ） A． B．8 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，将代入方程，求出此时对应的值，即为小明看错的． 【详解】解：将代入方程，得： ∴， 解得：， 因此，小明将看成了8， 故选：B． 【变式2】小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案． 【详解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程为 ， 解得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：3． 【变式3】在解关于的方程时，小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12，从而得到该方程的解是（小华同学其它过程都正确）．你能得到该方程的正确解吗？请写出你的解答过程． 【答案】，过程见解析 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．先根据题意求出k的值，再代入，利用去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求解即可． 【详解】解：小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12， 则原方程变为， 该方程的解是， ， 解得：， 关于的方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 【题型五 一元一次方程的解在新定义中运用】 【典例5】定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1） ． （2）若，则x的值为 ． 【答案】 2 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）根据新定义分情况列出方程并解方程即可． 【详解】（1）． 故答案为：， （2）当，即时，则． 因为，所以，解得． 当，即时，则． 因为，所以，解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，若，则x的值为2， 故答案为：2． 【变式1】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合新定义得，整理得，再解得的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3 【变式2】定义：叫作，的三等分点，叫做，的2倍距离．如：，，试求： (1) ， ． (2)若，则的值． 【答案】(1)；20 (2)9 【分析】本题考查了新定义，求代数式的值，解一元一次方程等知识，理解题中的新定义是解题的关键； （1）由两个数的三等分点及2倍距离含义即可求解； （2）由两个数的三等分点及2倍距离含义得到关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，再代入可求出两个数的三等分点． 【详解】（1）解：；； 故答案为：；20； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：， 则． 【变式3】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查新定义题型，理解新定义题型的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义计算即可得到的值； （2）根据新定义进行计算，解一元一次方程即可求得的值． 【详解】（1）解： （2）解：， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．若与为同类项，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，熟练掌握同类项的定义是解题的关键； 根据同类项的定义，两个单项式中相同字母的指数必须相等，因此可列出关于和的方程求解． 【详解】∵ 与 为同类项， ∴ 的指数相等：， ∴ 的指数相等：， 解得：，， ∴ ． 故选：D． 2．若方程，则x的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的求解，解题的关键是通过移项求出未知数的值． 通过移项，将常数项移到等号右边，计算得出的值． 【详解】解：方程，根据等式的基本性质，进行移项操作，将2移到等号右边，变为，解得：． 故选：B． 3．下列变形过程中，属于移项的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程的解法：移项，移项要变号是解题的关键． 逐个选项判断是否是移项即可． 【详解】解：A、由，得，这是系数化为，故选项不符合题意； B、由，得，这是系数化为，故选项不符合题意； C、由，得，变号后从方程左边移到右边成，选项符合题意， D、由，得，这是方程左边进行了加法交换律，故选项不符合题意． 故选：． 4．若，且，则的值为（    ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 【答案】A 【分析】根据，求出x、y的值，代入即可求得答案． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴，或， ∴或1， 故选：A． 5．已知是关于的方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．所谓方程的解，是指能使方程左右两边相等的未知数值．因此，将已知解代入，可建立关于a的等式，进而求解． 【详解】解∶∵是关于的方程的一个解， ∴， ∴． 故选：A． 6.若，则数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是（   ） A．2 B． C．2或 D．或4 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．先求出m的值，再设数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是x，根据题意得出或，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是x， 由题意得 ① 当时，满足上式， 即， 解得； ② 当时，满足上式， 即， 解得； 综上，数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是2或， 故选：C． 7．如果与的值互为相反数，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去括号、移项、合并、将未知数系数化为，求出解． 根据互为相反数两数之和为列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故选：D． 8．规定以下两种变换：， ； 例如：， ；若，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．或3 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，化简绝对值，绝对值方程，正确理解新定义是解题的关键．根据得出含绝对值的方程，解方程可得答案． 【详解】解：由题可得：， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 综上，x的值为4或． 故选：D． 二、填空题 9．是的相反数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数、一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．根据相反数的定义可得，解方程即可得． 【详解】解：∵是的相反数，的相反数是5， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．若的相反数为5，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的应用，解一元一次方程，根据相反数的定义可得，解方程即可求解． 【详解】解：∵的相反数为5， ∴， ∴， 故答案为：． 11．关于x的方程与的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程中的同解方程，求出方程的解，再把解代入即可求出的值. 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 将代入得： 解得： 故答案为： ． 三、解答题 12.解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （3）解：去分母，得。 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 13．方程与解的关系 关于的方程与的解互为相反数． (1)求的值； (2)求这两个方程的解． 【答案】(1)1 (2)第一个方程解为，第二个方程解为 【分析】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． （1）先分别解关于x的一次方程得到和，再利用相反数的定义得到，然后解关于m的方程即可； （2）把m的值分别代入和中得到两方程的解． 【详解】（1）解：解第一个方程得：， 解第二个方程：， 因为两方程的解互为相反数，则有：， 解得； （2）解：第一个方程解为：， 第二个方程解为：． 14．已知数轴上A、B两点表示的数分别为和3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x． (1)A、B两点之间的距离是多少？ (2)若点P到A、B两点的距离相等，求x的值． (3)当点P到A点的距离为6时，求点P到B点的距离． 【答案】(1) (2) (3)14或2 【分析】该题成立两点之间的距离，一元一次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （2）根据点P到A、B两点的距离相等，列方程求解即可． （3）分为①当点P在A左侧时，②当点P在A右侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， 解得：． （3）解：①当点P在A左侧时，， 点P到B点的距离为：； ②当点P在A右侧时，， 点P到B点的距离为：， 综上所述：当点P到A点的距离为6时，点P到B点的距离为14或2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $