第01讲 从算式到方程（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第01讲 从算式到方程 知识点1：一元一次方程 知识点2：等式的性质 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 【题型一 判断各式是否是方程】 【典例1】下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】下列式子：①； ②； ③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型二 判断各式是否是一元一次方程】 【典例2】下列式子属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在方程①，②，③，④中，一元一次方程共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】若是一元一次方程，则m等于（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．任何数 【变式3】若是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．任何实数 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc; 如果a=b，c0，那么； 【题型三 等式的性质】 【典例3】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【变式1】下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】下列方程变形中，正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式3】下列各式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型四 列方程】 【典例4】列等式表示：“的一半与10的和等于8”，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】根据“的倍与的和比的少”可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式3】某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【题型五 判断是否是方程的解】 【典例5】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【题型六 已知方程的解，求参数】 【典例6】已知是关于x的方程的解，则a的值是（　　） A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6 【变式1】已知关于x的方程的解是，则m的值为（  ） A． B． C．1 D．3 【变式2】若是方程的解，则a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式13】若是方程的解，则a的值是（   ） A． B．36 C．72 D． 一、单选题 1．下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．如果均为正数，且，那么（    ） A． B． C． 4．已知关于的方程的解是，则的值是（　 　）． A．4 B． C．2 D． 5．已知方程，利用等式的性质求得这个方程的解为（　） A． B． C． D． 6．如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 7．代数式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的代数式的值，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 3 8 6 4 2 0 A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在天平处于平衡状态下，左盘中物体的质量等于 ． 9．若，则 10．若是关于的一元一次方程，则 ． 三、解答题 11．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 12．方程与方程的解相等，求a的值． 13．如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有颗黑色棋子，…，按此规律摆下去． (1)则第4个图中有________颗黑色棋子； (2)用含n的代数式表示第n个图中黑色棋子的颗数； (3)若第n个图中有颗黑色棋子，求n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 从算式到方程 知识点1：一元一次方程 知识点2：等式的性质 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 【题型一 判断各式是否是方程】 【典例1】下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，根据定义即可选出答案． 【详解】解：A．选项式子不是等式，不符合题意； B．选项式子是方程，故符合题意； C．选项式子没有未知数，不符合题意； D．选项式子不是等式，故不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程． 根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、，是方程，符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、不是等式，故不是方程，不符合题意． 故选：B． 【变式2】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据方程的定义，判断所给式子是否为含有未知数的等式，从而确定方程的个数．本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 【详解】解：方程是含有未知数的等式 ①，是含有未知数的等式，是方程 ②，不是等式，不是方程 ③，是含有未知数的等式，是方程 ④，是含有未知数的等式，是方程 ⑤，不是等式，不是方程 ⑥，是含有未知数的等式，是方程 ⑦，是含有未知数的等式，是方程 ⑧，是含有未知数的等式，是方程 ①③④⑥⑦⑧是方程，共个 故选：． 【变式3】下列式子：①； ②； ③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，根据方程的定义逐个判断即可，理解方程的定义：“含有未知数的等式叫方程．”是解题的关键． 【详解】解：①，不含有未知数，不是方程； ②，是方程； ③，不是等式，不是方程； ④，是方程； ⑤，不是等式，不是方程； ⑥，是方程； ⑦，是方程； ⑧，是不等式，不是方程； 所以方程有②④⑥⑦，共4个， 故选：B． 【题型二 判断各式是否是一元一次方程】 【典例2】下列式子属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意； D、不是方程，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：A． 【变式1】在方程①，②，③，④中，一元一次方程共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是是常数且，据此逐个判断即可． 【详解】解：①的最高项的次数是2，故不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③含有2个未知数，故不是一元一次方程； ④不是整式方程，故不是一元一次方程． 故选：A． 【变式2】若是一元一次方程，则m等于（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．任何数 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：∵是一元一次方程， ∴ ∴ 故选：A 【变式3】若是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．任何实数 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义可得到且，即可求出的值． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， 根据题意得：且， 解得：， 故选：B． 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc; 如果a=b，c0，那么； 【题型三 等式的性质】 【典例3】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 依据等式的性质依次作出判断即可． 【详解】解：A、若，等式两边不能同时除以0，此选项错误，故不符合题意； B、若，等式两边乘以，可得，此选项错误，故不符合题意； C、若，等式两边都加1，可得，此选项错误，故不符合题意； D、若，等式两边同时除以3，可得，此选项正确，故符合题意； 故选：D． 【变式1】下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】此题主要考查等式的性质．根据等式的性质逐一分析即可求解． 【详解】解：A．若，则，正确；     B．若，则，原变形错误； C．若，则，正确；     D．若，则，正确； 故选：B． 【变式2】下列方程变形中，正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的方法，根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵由，得， ∴选项A不符合题意； B、∵由，得， ∴选项B不符合题意； C、∵由，得， ∴选项C符合题意； D、∵由，得， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 【变式3】下列各式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握并灵活运用等式的两个基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，变形正确，不符合题意； B、若，则或，变形错误，符合题意； C、若，则，变形正确，不符合题意； D、若，则，变形正确，不符合题意； 故选：B． 【题型四 列方程】 【典例4】列等式表示：“的一半与10的和等于8”，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列方程，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选B． 【变式1】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮， 由题意得． 故选：． 【变式2】有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是列一元一次方程，解题关键是正确找出题目中的等量关系并列出方程． 学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排人，将会空出间宿舍，则宿舍数可表示为；如果每间宿舍安排人，就会有人没床位，则宿舍数可表示为，从而列出方程． 【详解】解：设在学校住宿的学生有人， 依题得：． 故选：． 【变式2】根据“的倍与的和比的少”可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出方程即可求解． 【详解】根据题意列方程：， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据题意列方程，正确理解题意是解题关键． 【变式3】某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是从实际问题中抽象出一元一次方程．设计划做x个“中国结”，根据人数不变列出方程即可． 【详解】解：设计划做x个“中国结”， 由题意得，， 故选：A． 【题型五 判断是否是方程的解】 【典例5】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，把代入各个方程进行验证即可． 【详解】解：A、，，故不是方程的解，不符合题意； B、，，故不是方程的解，不符合题意； C、，故不是方程的解，不符合题意； D、，故是方程的解，符合题意； 故选D． 【变式1】下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 将分别代入方程，逐项计算判断，即可解答． 【详解】解：A． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； B． 当时，， ∴是的解，符合题意； C． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； D． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； 故选B． 【变式2】下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把分别代入四个方程中，看对应方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； B、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边相等， ∴是方程的解，符合题意； C、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； D、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 【变式3】下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，将分别代入各选项，进行判断即可． 【详解】解：A、：代入，左边，右边为3，不等，排除； B、：代入，左边，右边为1，不等，排除； C、：代入，左边，右边，相等，符合条件； D、：代入，左边，右边为1，不等，排除； 故选：C 【题型六 已知方程的解，求参数】 【典例6】已知是关于x的方程的解，则a的值是（　　） A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6 【答案】B 【分析】本题考查了方程解的定义．已知是方程的解实际就是得到了一个关于的方程方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：B． 【变式1】已知关于x的方程的解是，则m的值为（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴， 即， ∴． 因此，m的值为3． 故选：D． 【变式2】若是方程的解，则a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：是方程的解， 把代入得：， 解得：， 故选：B． 【变式13】若是方程的解，则a的值是（   ） A． B．36 C．72 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入到方程中 得： 解得： 故选：． 一、单选题 1．下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，解决本题的关键是知道方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值． 根据一元一次方程的解的概念解答即可． 【详解】解：A、将代入原方程，，左边右边，符合题意； B、将代入原方程，，左边右边，不符合题意； C、将代入原方程，，左边右边，不符合题意； D、将代入原方程，，左边右边，不符合题意． 故选A． 2．下列各式中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，逐项分析判定即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 即，故该选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴，故该选项正确，不符合题意； C．∵， ∴①当时，a为任意实数；②当时，，故该选项错误，符合题意； D．∵， ∴，即，故该选项正确，不符合题意． 故选C． 3．如果均为正数，且，那么（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质及有理数的比较，解题的关键是掌握等式的基本性质． 根据等式的性质得出，即可比较与的大小． 【详解】解：∵， ∴等式两边同时乘以，得， ∵如果、均为正数， ∴， 故选：B． 4．已知关于的方程的解是，则的值是（　 　）． A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义及解一元一次方程，解题的关键是利用“方程的解能使方程左右两边相等”的性质，将代入原方程，转化为关于的一元一次方程求解． 根据方程的解的定义，将代入原方程，得到关于的方程；对该方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出的值；将求出的值与选项对比，确定答案． 【详解】解：∵方程的解是， ∴将代入方程得：， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 即． 系数化为1： 故选：B． 5．已知方程，利用等式的性质求得这个方程的解为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质求解即可． 【详解】根据等式的性质2，方程两边同时乘以4得，． 故选：D． 6．如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 7．代数式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的代数式的值，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 3 8 6 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值及方程的解，先整理得，根据表格数据，得出当时，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 观察表格数据，得出当时，则； 即关于的方程的解是 故选：D． 二、填空题 8．如图，在天平处于平衡状态下，左盘中物体的质量等于 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．设左盘中物体的质量等于，根据题意列方程并解得x的值即可． 【详解】解：设左盘中物体的质量等于， 由题意得， 解得：， 即左盘中物体的质量等于， 故答案为：． 9．若，则 【答案】 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题关键是对代数式进行变形，利用已知条件整体代入求值． 先对进行变形，提取公因式3，得到，再代入求值即可． 【详解】解：， 将代入，原式， 故答案为：． 10．若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据未知数的指数为列出方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 【答案】(1) (2)不是方程的解；是方程的解 (3) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，可知，，解之即可得到答案； （2）将（1）中得到的的值代入原方程，分别将，，代入方程中，若能使等式成立，即为方程的解，否则就不是； （3）化简求值后，将（1）中得到的的值代入即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． （2）解：由（1）可知，，则方程为． 把代入，左边右边，故不是方程的解； 把代入，左边右边，故是方程的解． （3）解：原式． 当时，原式． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解及其定义，熟练掌握一元一次方程的概念及解法是解题的关键． 12．方程与方程的解相等，求a的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的同解方程，解答本题的关键是理解方程的解．先求出方程的解，再代入方程，即可求a的值 【详解】解：由解得， ∴方程的解也是， ∴把代入， 得， 移项，得， 合并同类项，得系数化为1， 得， ∴故的值为4． 13．如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有颗黑色棋子，…，按此规律摆下去． (1)则第4个图中有________颗黑色棋子； (2)用含n的代数式表示第n个图中黑色棋子的颗数； (3)若第n个图中有颗黑色棋子，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，涉及了列代数式、一元一次方程的求解，根据图示确定一般规律即可求解． （1）由图即可求解； （2）根据图1中有颗黑色棋子，图2中有颗黑色棋子，图3中有颗黑色棋子，图4中有颗黑色棋子，即可求解； （3）令，即可求解 【详解】（1）解：由图可知：第4个图中有颗黑色棋子， 故答案为：； （2）解：图1中有颗黑色棋子， 图2中有颗黑色棋子， 图3中有颗黑色棋子， 图4中有颗黑色棋子， … ∴第n个图中黑色棋子的颗数为：； （3）解：令， 解得： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $