精品解析：广东省肇庆第一中学初中部 2025-2026学年上学期九年级期中学业质量监测试卷数学（试题卷）

2025年下期九年级期中学业质量监测试卷数学（试题卷） 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，变量是的反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 3. 解一元二次方程x2－6x－4＝0，配方后正确的是（ ） A. (x＋3)2＝13 B. (x－3)2＝5 C. (x－3)2＝4 D. (x－3)2＝13 4. 已知实数、满足，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 6. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 7. 已知点都在反比例函数的图象上，那么（　　） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，E为上一点，与相交于点F，且，若，则为（　　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 27 10. 如图，点分别在反比例函数的图象上．若，，则a的值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一元二次方程的解是__． 12. 若线段是成比例线段，且，则___________． 13. 反比例函数的图象经过点（2，－1），则k的值为______. 14. 如图，如果，，则___________． 15. 已知是一元二次方程的两根，则的值是___________． 16. 若，相似比为，则对应高的比为__________． 17. 如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______． 18. 如图，已知是的边延长线上的一点，，交边于点，且．则的值为___________． 三、解答题（本题共8小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： 20. 如图，在中，点在边上，点在边上，．求的长． 21. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出使一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围． 22. 已知关于的方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有一个根为0，求另一个根． 23. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率． （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？ 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和矩形的性质时，做了如下探究：在矩形中，点E在上，． （1）【观察与猜想】 如图1，连接，过点E作，交于点F，连接，求证：； （2）【类比探究】 如图2，点P在矩形的边上（点P不与点A、D重合），连接，过点E作，交于点F，连接．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，点P在矩形的边上（点P不与点A、D重合），连接，过点E作，交于点F，连接，且的面积是2.16，求的长． 26. Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）． （1）求反比例函数的解析式和n值； （2）当＝时，求直线AB的解析式； （3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期九年级期中学业质量监测试卷数学（试题卷） 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，变量是的反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（为常数，且）的函数是反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个函数中只有函数是反比例函数， 故选：B． 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质求参数范围，当时，反比例函数的图象在第二、四象限，得到求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：若反比例函数的图象分布在第二、四象限， 则， 解得， 故选：A． 3. 解一元二次方程x2－6x－4＝0，配方后正确的是（ ） A. (x＋3)2＝13 B. (x－3)2＝5 C. (x－3)2＝4 D. (x－3)2＝13 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法即可求出答案． 【详解】解：∵x2﹣6x﹣4＝0， ∴x2﹣6x＝4， ∴x2﹣6x+9＝13， ∴（x﹣3）2＝13， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解方程，注意配方时先把常数项移到右边，然后把二次项系数化为1，最后等号两面同时加上一次项系数一半的平方． 4. 已知实数、满足，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程，，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法“两组角对应相等的两个三角形相似”，“两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似”是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 如果，需满足的条件有： ①或平分，②； 故选D． 7. 已知点都在反比例函数的图象上，那么（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数解析式可得函数图象分布的象限以及在每个象限内的增减性，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象分别在第一和第三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，根据题意，将图中小路平移，如图所示，得到种植面积为的地方即是图中空白部分，有题中条件得到空白矩形的长与宽，利用矩形面积公式代值即可得到方程，掌握平移方法处理此类问题是解决问题的关键． 【详解】解：将小路平移到边上，如图所示： 图中空白部分即是种植面积为的地方，则， 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，E为上一点，与相交于点F，且，若，则为（　　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行得到，则可证明，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，点分别在反比例函数的图象上．若，，则a的值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分别过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A所在的图象可设点A的坐标为（x, ），根据相似三角形的判定证出△BDO∽△OCA，列出比例式即可求出点B的坐标，然后代入中即可求出a的值． 【详解】解：分别过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D， ∵点A在反比例函数上， 设点A的坐标为（x, ），则OC=x，AC=， ∴∠BDO=∠OCA=90° ∵OA⊥OB， ∴∠BOD＋∠AOC=180°－∠AOB=90°，∠OAC＋∠AOC=90° ∴∠BOD=∠OAC ∴△BDO∽△OCA ∴ 解得：OD=2AC=，BD=2OC=2x， ∵点B在第二象限 ∴点B的坐标为（，2x） 将点B坐标代入中，解得a=﹣4 故选：B． 【点睛】此题考查的是求反比例函数解析式相似三角形的判定及性质，掌握用待定系数法求反比例函数的解析式和构造相似三角形的方法是解决此题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一元二次方程的解是__． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【解析】 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 12. 若线段是成比例线段，且，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，根据成比例线段的定义，可得比例关系，进而利用比例性质求解． 【详解】解：∵线段是成比例线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 13. 反比例函数的图象经过点（2，－1），则k的值为______. 【答案】-2 【解析】 【详解】解：由题意得，， 14. 如图，如果，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解． 根据平行线分线段成比例定理，由得，代入已知求，进而得出． 【详解】， ， ，，， ， 解得， ． 故答案为． 15. 已知是一元二次方程的两根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为：． 16. 若，相似比为，则对应高的比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2， ∴对应高的比为3：2． 故答案为：3：2. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，正确记忆相关性质是解题关键． 17. 如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点． 直接利用黄金分割的定义列式计算即可． 【详解】解：为的黄金分割点，， ． 故答案为：． 18. 如图，已知是的边延长线上的一点，，交边于点，且．则的值为___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，过点C作交于G，证明可推出，证明可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作交于G， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用配方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 20. 如图，在中，点在边上，点在边上，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 21. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出使一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考虑一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数与反比例函数解析式的求解，一次函数与不等式之间的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）先将点A代入反比例函数解析式，即可求解反比例函数解析式，再根据反比例函数解析式将点B代入，即可求解点B，再将点A与点B代入一次函数解析式中即可求解． （2）先求解出直线与轴交点坐标，再利用三角形面积公式求解的面积． （3）根据函数图象确定一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围． 【小问1详解】 解：把点代入反比例函数中， 即，解得， ∴反比例函数解析式为， 把点代入反比例函数中， 即，解得． ∴点， 把点、点代入中， 得：，解得：， ∴一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，一次函数解析式为． 令，即，解得， ∴记直线与轴交点坐标为， ． 【小问3详解】 解：一次函数值大于反比例函数值时， 其对应一次函数图象在反比例函数图象上方部分， 即或． 22. 已知关于的方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有一个根为0，求另一个根． 【答案】（1） （2）另一个根为2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知根与系数的关系和根的判别式是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有实数根， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为2． 23. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论； 根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】证明：（1）略． 解：（2）∵， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴在中，． 又∵， ∴， ∴． 【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 24. 某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率． （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？ 【答案】（1） （2）10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据商场获利1250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价10元时，商场获利1250元． 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和矩形的性质时，做了如下探究：在矩形中，点E在上，． （1）【观察与猜想】 如图1，连接，过点E作，交于点F，连接，求证：； （2）【类比探究】 如图2，点P在矩形的边上（点P不与点A、D重合），连接，过点E作，交于点F，连接．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，点P在矩形的边上（点P不与点A、D重合），连接，过点E作，交于点F，连接，且的面积是2.16，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和已知数据，证明，即可推出； （2）根据矩形的性质可得，再通过导角证明，即可证明； （3）过F作于G，根据的面积可得，同（2）可证，推出，进而求出，再利用勾股定理解求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过F作于G， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同（2）可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是综合应用上述知识点． 26. Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）． （1）求反比例函数的解析式和n值； （2）当＝时，求直线AB的解析式； （3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），n=2；（2）；（3）（1，），（，） 【解析】 【分析】（1）将、代入反比例函数解析式，进而得出的值； （2）根据题意进而得出，，的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可； （3）利用与 相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可． 【详解】解：（1）、在反比例函数的图象上， ，， ，， 反比例函数的解析式为； （2）如图1，过点作，垂足为． 在中，， ，， ， ． ． 设直线的解析式为，代入、， 得，解得：， 因此直线的函数解析式为：； （3）存在， 如图2，作于，于， 当时，， ， ， ， ，可得，， 点的坐标为； 如图3，当时，， ，，由勾股定理，， ， ， ，，， ，可得，， 点的坐标为，， 点的坐标为；，． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解析式，相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $