八年级数学上学期第二次月考·培优卷（华东师大版2024，举一反三，测试范围：第10章 数的开方～第13章 勾股定理）

八年级数学上学期第二次月考·培优卷 【华东师大版2024】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第10章 数的开方~第13章 勾股定理 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）大约在公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他们的发现，人们把这些数叫做无理数．下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川泸州·阶段练习）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·海南海口·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A．：：：： B．：：：： C． D．：：：： 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在长方形纸片中，，点为边上的一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，则的长为（　　） A．7 B．8 C． D．9 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·甘肃张掖·三模）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 10．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．7.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级上·全国·期末）已知命题：如果两个三角形完全重合，那么这两个三角形的面积相等，写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 12．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 13．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是 ． 14．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个风车的外围（实线）周长是 ． 15．（25-26八年级上·北京·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ． 16．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）计算 (1) (2) 18．（6分）（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 19．（8分）（25-26八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． (1)试说明：； (2)探索线段之间的数量关系并说明理由． 20．（8分）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 21．（10分）（25-26八年级上·四川绵阳·期中）在中，，，过点C作于点D，点E是边上（不含端点A、B）一动点，连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G． (1)当点E在上时，如图（1），试说明； (2)当点E在上时，如图（2），（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以说明；若不成立，请直接写出与之间的数量关系． 22．（10分）（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片1张，乙种纸片1张，丙种纸片2张拼成了如图（b）所示的一个大正方形． (1)理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 ； (2)拓展升华：利用上面的等式解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 23．（12分）（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点，在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 24．（12分）（2025·辽宁抚顺·一模）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点． (1)如图1，当经过点时，求证：； (2)如图2，当，交于点，交于点，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第二次月考·培优卷 【华东师大版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）大约在公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他们的发现，人们把这些数叫做无理数．下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的判断，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在，，，中，只有是无理数； 故选B． 2．（25-26八年级上·四川泸州·阶段练习）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，幂的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·海南海口·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴ a与a， c与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， 故选：D． 4．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 5．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，结合全等三角形的角度性质，推导的度数． 【详解】解：设小正方形的边长为，如图， ∵，，， ∴（）． ∴ ∴ ∴ 故答案为：A． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A．：：：： B．：：：： C． D．：：：： 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理， 根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，判断各选项是否能推出直角三角形． 【详解】解： A.设，则，∴是直角三角形； B.设，则，∴不能判断为直角三角形； C.∵ ， ∴是直角三角形； D.设，则，∴是直角三角形． 故选：B． 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在长方形纸片中，，点为边上的一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，则的长为（　　） A．7 B．8 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理．由折叠前后对应边相等可得，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 故选：B 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出的度数． 【详解】解： 是的中线，，， ， ， 是的角平分线， ， 故选：B． 9．（2025·甘肃张掖·三模）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，拼成大正方形时，总面积需为完全平方式，现有面积为，需添加张纸片，使 为完全平方式，据此求解即可． 【详解】解：∵为完全平方式，且， ∴还需要抽取面积为的正方形纸片 4 张， 故选：B． 10．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵ 是等边三角形，是等腰三角形，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ． ∴ 的周长． ∵ ， ∴的周长为． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级上·全国·期末）已知命题：如果两个三角形完全重合，那么这两个三角形的面积相等，写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形完全重合 假 【分析】本题考查逆命题的概念，以及真假命题的判断．先交换原命题的条件和结论即可得到该命题的逆命题，再判断命题真假即可． 【详解】解：如果两个三角形完全重合，那么这两个三角形的面积相等的逆命题是： 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形完全重合， 该逆命题是假命题. 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形完全重合；假 12．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 13．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个风车的外围（实线）周长是 ． 【答案】76 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意得出，，，根据勾股定理求出，再求出这个风车的外围（实线）周长即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴这个风车的外围（实线）周长是：． 故答案为：76． 15．（25-26八年级上·北京·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ． 【答案】7 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】设，则 ， 结果中的一次项系数为 ， 由题意得 ， 解得． 故答案为 7． 16．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．如图，连接，延长与交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到， 再次利用等腰三角形的性质得到：，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长与交于点F， ∵平分，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据积的乘方运算法则，单项式乘单项式和单项式除以单项式运算法则，进行计算即可； （2）根据平方差公式和单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的定义以及无理数的估算，解题关键是根据算术平方根、立方根的定义求出，通过估算无理数确定，再结合平方根定义求解． （1）根据算术平方根定义，由得，解得；根据立方根定义，；估算，因为，所以． （2）将代入中求出结果36，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是， ， ， 是的立方根， ， ， ， 的整数部分为， 是的整数部分， ， 综上所述：． （2）， 的平方根是， 的平方根是． 19．（8分）（25-26八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． (1)试说明：； (2)探索线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明得出，再由角平分线的定义得出，即可得证； （2）由得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2）解：，理由如下， 由（1）可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴． 20．（8分）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形综合问题以及勾股定理，证是解题关键． （1）证得，结合、可得，即可求证； （2）由得，结合，得，根据勾股定理即可求解. 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（10分）（25-26八年级上·四川绵阳·期中）在中，，，过点C作于点D，点E是边上（不含端点A、B）一动点，连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G． (1)当点E在上时，如图（1），试说明； (2)当点E在上时，如图（2），（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以说明；若不成立，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论依然成立，说明见解析 【分析】本题考查了互余，全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键． （1）根据同角的余角相等，得到，，进而证明出，得到即可； （2）同（1）理可证，得到即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：（1）中的结论依然成立，说明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（1）知． 在和中， ， ∴， ∴． 22．（10分）（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片1张，乙种纸片1张，丙种纸片2张拼成了如图（b）所示的一个大正方形． (1)理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 ； (2)拓展升华：利用上面的等式解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题考查了完全平方公式，灵活运用该公式是解决本题的关键． （1）图中阴影部分面积=大正方形的面积减去两个长方形的面积，阴影部分的面积=两个正方形的面积和，即可得到等式； （2）①根据（1）中的公式，将，代入即可；②令，根据（1）中的公式，将代入即可． 【详解】（1）解：图（b）中阴影部分的面积，图b中阴影部分的面积， ∴等式为； （2）①由（1）知，， 当时，， 解得：； ②令， ∴， ， ， ， 即． 23．（12分）（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点，在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，注意计算的准确性； （1）作，则四边形是矩形，推出，，求出即可求解； （2）延长至点，连接，推出，求出；据此即可判断； 【详解】（1）解：作，如图所示; 则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设风筝能沿射线方向再上升，如图所示，延长至点，连接， 则； ∴， ∴； ∵余线仅剩，，且 ∴不能成功； 24．（12分）（2025·辽宁抚顺·一模）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点． (1)如图1，当经过点时，求证：； (2)如图2，当，交于点，交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据旋转，得到，得到，推出是等边三角形，得到，平角求出，三角形的内角和定理推出，即可得证； （2）过点作，垂足为，旋转得到，等积法求出，进而得到是的角平分线，平行加上角平分线的定义，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：是旋转得到的图形， ，， 是等边三角形． ． ， ， ． ， ． （2）证明：过点作，垂足为． ， ， ． 是旋转得到的图形， ，． ． ． ． 是的角平分线， ． ， 是等腰三角形， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $