河北省保定市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二年级上学期期中考试 数学参考答案 1.C若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为3，所以这四条直线中，倾斜角为的是y= √3x-7. 2.A依题意得所求椭圆的焦距为2√25-14=2√11. 6=36x一1)，解得=3， 3.B因为A店，/C方，3=1×3，所以CD=3A店，则=3x, y=9. 4.D圆A,圆B的圆心分别为A(-2,2),B(2,一2)，则|AB|=4√2， 圆A,圆B的半径分别为√2,3√2，则|AB|=√2十3V2,则这两个圆的位置关系是外切 5.D设P(xoy),Mx,y),则H(,0),因为P立=Mi,所以0-，代人+y=20, yo=2y, 工+(2②y2=20,即十1，则动点M的轨迹是长轴长为2v20=45,短轴长为2 焦点在x轴上的椭圆. 6.A由y=√9-x2,得x2十y2=9(y≥0)，则曲线y=√9-x表示圆 x2十y2=9的上半部分，当直线y=x一m经过点A(一3,0)时，m= 一3，当直线y=x一m经过点B(3,0)时，m=3.由-m=3,得m= √2 士3√2，由图可知，m的取值范围是（一3,3]U{一3√2. 7.A取AC的中点F,AC1的中点E,连接EF,BF,B,E.因为 A B AB=BC=/10,AC=2,所以BF⊥AC,且BF=3. 以F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(一1,0， 0),C(1,0,0),D(0,3,1),G(0,1,3),AC=(2,0,0),AD=(1,3, 1),DG=(0,-2,2). 设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则n·AC=2x=0,n· AD=x十3y+之=0， y1得n三0,1。，所以点G到平面ACD的距离为”，_8 /10 5 8.B设球的半径为r,则椭圆的短轴长2b=2r,即b=r.过椭圆的长轴作 α的垂面，得到如图所示的截面图，其中DE是椭圆的长轴，BC∥DE, AD,BE是光线，A,B是光线与球面的切点，则∠ACB=0,AB=2r,椭D4 圆的长轴长2a=DE=BC=g即a- 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 ·B2· 故椭圆的离心率e=C 1、b =√1-sin0=cos0. 9.AB因为D,E分别为棱PB,AC的中点，所以D成-D+P它-号P店+号(P+P心) =2(P店-Pi-F)心，A正确，C错误.因为PALPB,∠APC=∠BPC=60,且PB=1, PA=2,PC=3,所以PB.AC=P3.(P心-PA)=P3.PC-P官.PA=1X3Xcos60° -1X2Xas90-B正确心.A店-P心.P店-Pi)=7心.店-P元.Pi=3X1X c0s60°-3X2Xcos60°=- 之D错误 10.BCD圆(x-m)2+(y-1)2=4的圆心为(m,1),半径r=2,圆心到直线3.x十4y十m=0 的距离4m十，依题意可得，一1<d<,十1，即1<n士4<3，解得m(-9。 5 )u(4). 11.ABD由题意知F1(一c,0),F2(c,0),A1(-a,0),A2(a,0),设P(xo,yo),则-a≤xo≤ aPA].PA:-i-ay=( -后i-cso,所以p所 的最大值为0，A正确. 因为p丽·PF=xi-c2+=x话-e2+ az6+b-c≤b, 所以PF·PF。的最大值为b2,B正确. yo xo十c =k, 设 得”。·-2，得x=3c,又x<a,所以0<e=行<号，C错误D yo xo-c yo =2k, xo-c 正确. 1235 这两条平行直线之间的距离为3X2-（一3)！_36 √2+(25)2 4 若=1，得x2=3-之(-6≤y≤6)，设P(x,),则1PA1=V+(y-D √3-号+y2-2+1√号2十4√合0-2y+2,当y=2时，PA取得最小值， 且最小值为√2. 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 ·B2· 14.6以A为原点，AB,AD,AA的方向分别为xy,x轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(6√2,62,0)，E(0, 32,6√2)，C1(6√2,6√2,6√2).设F(a,0,b),a∈[0,62]，b ∈[0,6√2]，则CE=(-62,-32,6√2)，C京=(a-62, -62,b-6V2).因为CF⊥CE,所以C京.C它=0，即 -6V2(a-62)+36+6V2(b-62)=0,所以a-b-3√2 0.当a=6√2时，b=3√2，此时F为棱BB1的中点；当a=3√2 时，b=O,此时F为棱AB的中点.设棱AB的中点为M,棱BB,的中点为N,连接MN,则 点F的轨迹是线段MN.因为MN=√18+18=6，所以点F的轨迹长度为6. 15.解：（1)（方法一）油号-之=2，得6十兰41，… …2分 所以直线号-名-=2在x轴、y轴上的截距分别为10，一4. …4分 (方法二)令x=0,得y=-4, …1分 令y=0,得x=10,… …2分 所以直线号一之=2在x轴y轴上的截距分别为10，一4 …4分 (2)(方法一)依题意设所求直线方程为2x一y十t=0, 6分 将点(1，一1)的坐标代入得3十t=0,………7分 解得t=一3，… 8分 所以所求直线的方程为2x一y一3=0. 9分 (方法二)因为直线x十2y=0的斜率为-2， 5分 所以所求直线的斜率为2，… 7分 所以所求直线的方程为y十1=2(x一1)，… 8分 即y=2x一3（或2x一y-3=0).… 9分 (3)(方法一)因为直线Ax十By+C=0的倾斜角为20°， A 所以tan20°=- B 10分 又直线Ax-By一C=0的斜率为合， ...abla .........。 11分 所以含 =-tan20°=tan160°，… 12分 所以直线Ax一By一C=0的倾斜角为160°.… 13分 (方法二)因为直线Ax十By+C=0的斜率与直线Ax一By-一C=0的斜率互为相反数， …11分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 ·B2· 所以这两条直线的倾斜角互补，… …12分 所以直线Ax一By-C=0的倾斜角为180°-20°=160°.…13分 16.解：(1)因为PF1十|PF2=2=2√11，…3分 所以P,1=2yT+2=√T+1. 2 …………。 6分 (2)|PA+|PF1|=|PA|+2a-PF,|=2√II+|PA-|PF2,…8分 因为A,F2(3,0)这两点都在C的内部，…9分 所以||PA|-PF2|≤|AF2=√5，则-√5≤|PA|-|PF2≤5，…11分 当P,A,F2三点共线且P在A的上方时，|PA|+PF1取得最小值，且最小值为2√IT一 5, …13分 当P,A,F2三点共线且P在F2的下方时，|PA|十PF|取得最大值，且最大值为2√1I 十W5.…15分 17.(1)证明：因为AB/CD,CDC平面CDE,AB￠平面CDE, 所以AB/平面CDE.…2分 (2)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0),D(0,0,4),E(4,0,0),B(0,4,0),C(0,1,4),…4分 则CE=(4,-1,-4),BC=(0,-3,4).…5分 设平面BCE的法向量为n=(x,y,x),则n·CE=4x-y-4x= 0,n·BC=-3y十4之=0，…6分 令y=4,得n=(4,4,3).…7分 （1)解：因为A市=(0,0,4)，所以cosn,A市)=n·A正 123√/41 |nIAD4√4I =41，…9分 所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为3V④ 41 …10分 (i)证明：设平面CDE的法向量为m=(x',y',x),DC=(0,l,0), 则m…C它=4x'-y-4之'=0，m.DC=y'=0,…11分 令x=1,得m=(1,0,1).…12分 7 7 77 由cosn,ml=nm√/IX2V82W879, ……14分 所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于号. …15分 18.解：(1)设T(x,y),因为TA=2TO|,所以√(x十3)2+y=2Wx2+y2,…1分 则x2十6.x十9+y2=4(x2十y2),即x2-2x十y2=3,…2分 所以C的标准方程为(x一1)2十y2=4.…3分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 ·B2· (2)由(1)知曲线C为一个圆，且圆心为C(1,0),半径为2， …4分 k 因为圆心C到直线y=kx的距离d= …5分 √k2+1 所以|EF=2√4-d严=2， k2+1-1 k2+1 =23+ 2+1 …7分 又一2≤k≤-1，所以1≤k2≤4，所以当k=一1时，EF|取得最大值，且最大值为√/14.… …9分 (3)(方法一)假设存在点B(a,0),不妨设P在Q的上方 当直线l的斜率不存在时，P(0,w3),Q(0,一√3)，则BP·BQ=a2-3. …10分 当直线1的斜率为2时，将y=2z代入x-1)2十y=4,得x=-3或1，则P1,2, Q(-3,-g)则丽.破=a-1(a+)-号-aa-3. …11分 所以a2-3=a2-名a-3,解得a=0,此时B与0重合. 2 …12分 下面证明OP.O=一3.… …13分 当直线1的斜率存在时，设直线l的方程为y=m.x,代人(x-1)2十y2=4, 得(m2+1)x2-2x-3=0. …14分 3 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1x2= m2+1’ …15分 所以Op.O反=x1x2十y1y2=x1x2十m2x1x2=(1十m2)x1x2=(1十m2) 3 m2+1 =-3 …16分 所以存在点B,使得B户.BQ为定值，且B的坐标为(0,0).…17分 (方法二)当直线l的斜率存在时，设直线1的方程为y=m.x,代入(x一1)2十y2=4,得(m 十1)x2-2x—3=0,…10分 3 2 设P(x1,y1),Q(x2,y2),B(t,0),则x1x2= m2+1x1十x2= m2+1…11分 且△=4十12(m2十1)>0恒成立，…12分 所以BP·BG=(.x1-t)(x2-t)十y1y2=x1x2-t(x1+x2)+t2十m2x1x2=(1十 ma+=1-mm名）=-3-n异小… …14分 当且仅当t=0时，BP·BQ的值与m无关，且BP·BQ=-3,此时B与O重合.… ……15分 当直线1的斜率不存在时，P(0,W3),Q(0,一√3)，则O户.O反=一3. …16分 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 ·B2· 故存在点B,使得BP.BQ为定值，且B的坐标为(0,0).…17分 b=1, 19.解：(1)由题意知 b …2分 a 2 则a2=4,b=1,所以C的方程为十x2=1. …3分 (2)设A(xy).B(g）.将y=kx+5代入号+2=1. 得(k2十4)x2十2W3k.x-1=0,…4分 则△=12k2+4(k2+4)=16(k2+1)>0恒成立，… 5分 2V3k x1十x2= k2+4x12= k2+4 6分 1 (1)若k=-43,则有52x2-24x-1=0,解得x=- 26或2…7分 1 1 依题意得x1= 26则y1=15v3 132=2y%=3,…8分 因为点B关于y轴的对称点为D,所以D(一x2y2),…9分 则kAD= y2-y1_14W3 一x2一x13 …10分 )直线AD的方程为y一y+2, …11分 假设直线AD过定点，根据对称性可知，定点必在y轴上，…12分 令x=0,得y=y1一 x1(y1一y2）x1y2+x2y1 13分 x1十无2 x1十x2 =x1(kx2十3)十x(kx1十3) …14分 x1+x2 2k 261+5=+4+3=4图 x1+x2 23k 3, 16分 k2+4 所以直线AD过定点，且定点的坐标为(0,3 W3 …17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】 ·B2·高二年级上学期期中考试 △A,B1C的重心，则点G到平面ACD的距离为 数 学 A4⑩ 5 号 C 4 8.如图，若平行光线与平而a所成的角9∈(0，牙)，其照射在球O上，在平面a上形成的投影星 注意事项： 椭圆形，则该椭圆的离心率为 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 A.sin 0 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 B.cos 0 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 1 答题卡上。写在本试卷上无效。 C.1+cos0 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第三章第一节。 D.1+sin 0 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题目要求的 9.在四面体PABC中，PA⊥PB,∠APC=∠BPC=60°，D,E分别为棱PB,AC的中点，且 1.下列直线中，倾斜角为的是 PB=1,PA=2,PC=3,则 A.y=-V3x-7 By=- ADE=2P丽-Pi-P RPi,aC=号 37 CD亟=-2i-PA+P心) D.P元.AB=-2 C.y=3x-7 ny-9-7 10,若圆(x-m)2+(y一1)2=4上到直线3x十4y十m=0的距离为1的点有且仅有2个，则m 之精圆后+片1的焦距为 的取值可以是 A2/1T B.10 A号 A C.2 4 a兴 C.52 D.2√14 3.设空间向量A=(x,1,x-1).CD=(y,3,6),AB/CD,则y 1.已知椭圆C后+若-1a>60的左，右焦点分别为R,F,左，右页点分别为AAP A.6 B.9 C.-6 D.-9 为C上的动点，则下列说法正确的是 4.圆A:(x十2)+(y-2)2=2与圆B:(x一2)+(y+2)=18的位置关系是 A.PA,·PA2的最大值为0 A.内切 B.相交 C,外离 D.外切 BPF·PF:的最大值为b 5.设P是圆O:x2+y2=20上的动点，点H在x轴上，H的横坐标与P的横坐标相等，且PM C若存在点P.使得PF,PF,的斜率分别为，2≠0).则C的离心率可能为号 =Mi,则动点M的轨迹为 A.长轴长为45，短轴长为4，焦点在x轴上的椭圆 D.若存在点P,使得PF1,PF,的斜率分别为k,2(k≠0)，则C的离心率可能为号 B.长轴长为45，短轴长为4，焦点在y轴上的椭圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 C.长轴长为45，短轴长为25，焦点在y轴上的椭圆 12.两条平行直线x+5y+3=0,2x+25y一3=0之间的距离为▲· D.长轴长为45，短轴长为2V5,焦点在x轴上的椭圆 1点已知P为横圆C:写+苦1上任意-点Ao,D测则PA的最小值为人一 6.若直线y=x一m与曲线y=√9一x只有一个公共点，则m的取值范围是 14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1D1的中点，F为侧面BAA1B1上的动点.若 A.(-3,3]U(-3√2】 B.{-3√2,3V2 AB=6、2,且C,F⊥CE,则点F的轨迹长度为▲· C.[-3,3)U{32} D.(-3,3)U(-32 7.在直三棱柱ABC-A1B1C中，AB=BC=10,AC=2,AA1=3,BB=3BD,G为 【高二数学第1页（共4页】 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18.(17分) 15.(13分) 已知点A(-3,0),O为坐标原点，动点T满足|TA|=2TO引，记点T的轨迹为曲线C. (1)分别求直线亏-兰=2在x轴，y轴上的裁距： (1)求C的标准方程. (2)若直线y=kx(一2k≤一1)与C交于E,F两点，求EF|的最大值. (2)求过点(1，一1)，且与直线x十2y=0垂直的直线方程： (3)过点O的动直线/与C交于P,Q两点，试问x轴上是否存在点B,使得B驴，B戒为定 (3)若直线Ax十By十C=0的倾斜角为20°，求直线Ax-By-C=0的倾斜角. 值？若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由。 16.(15分) 已知椭圆C:后+苦=1的左，右焦点分别为FF,且P为C上的动点 (1)若|PF,-PF2|=2,求|PF: (2)设点A(1,1),求PA十|PF,|的最小值与最大值， 19.(17分) 已知精圆C塔+云=1a>60)的右顶点为1,0，高心率为号 (1)求C的方程. (2)设直线L:y=kx十√3与C相交于A,B两点，B关于y轴的对称点为D (1)若k=一43，B的横坐标大于A的横坐标，求直线AD的斜率 ()试问直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标：若不过定点，请说明理由。 17.(15分) 在四棱锥E-ABCD中，EA⊥底面ABCD,ABCD,AD⊥AB. (1)证明：AB平面CDE. (2)AB=AD=AE=4,CD=1. (I)求直线AD与平面BCE所成角的正弦值： ()证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于 7 【高二数学第3页（共4页】 【高二数学第4页（共4页）】