考点培优练03 空间向量在立体几何中的应用5大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练03 空间向量在立体几何中的应用 考点01 向量法求异面直线的夹角 1 考点02 向量法求线面角 1 考点03 向量法求二面角 34 考点04 空间中距离问题 34 考点05 空间中的探索性问题 57 考点01 向量法求异面直线的夹角 1.异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ=|cos〈u，v〉|=. 1．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 2．已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过的母线为，连接，则，又因为，所以，    以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以与所成角的余弦值为. 故选：A. 3．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 4．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设三棱柱棱长为， 所以，，， ， ，则， 设异面直线与所成角为，. 故选：D 5．在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的夹角公式求解，再根据异面直线所成角的范围得到结果. 【详解】解法一：过点作，交于点，则为异面直线与所成的角或其补角. 设该正四棱台的高为，则，得. ，故. 过点作交于点，则， .连接，易得， 在中，利用余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 解法二：设该正四棱台的高为，上底面与下底面的中心分别为，，连接，由题知，得.由正四棱台的性质知平面， 以为坐标原点，过点分别与平行的直线为轴，轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 6．在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如下图所示：设，则，，，， 可得， 设直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 7．(24-25高三下·河北文安县第一中学·模拟)如图，分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正八面体结构特征知，， 若正八面体的棱长为2，且各侧面都是正三角形，为正方形， 所以 ， ， 同理得， 所以，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 8．(24-25高三下·北京中国人民大学附属中学·)北京天桥艺术中心旁边的四面钟是天桥附近颇有意趣的传统景观之一.这个主体建筑可以近似看做正四棱柱.四面钟的每一面都挂在该正四棱柱的一个侧面上.当四面钟都正常显示标准北京时间时，相邻两面钟的时针所在直线所成角最大为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    由题意，在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设平面上的时钟的时针的方向向量，不同时为0， 因为四面钟都正常显示标准北京时间，所以设平面上的时钟的时针的方向向量. 设相邻两面钟的时针所在直线所成角为， 则， ①当时，，则； ②当时，，因为，则， 即，则； 综上所述：，则的最大值为， 因此，相邻两面钟的时针所在直线所成角最大为. 故选：C. 9．(24-25高二上·河北承德·期末)在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，则，即， 又平面平面，平面平面 ，平面， 则平面，又平面，于是 ， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 于是，得， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 10．(20-21高三上·浙江温州中学·月考)如图，四边形中，，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为． 因为，所以．又，所以， 取中点，连接，，则，， 所以，又因为，． 所以在中，，即， 又由，． 因为，所以 ． 所以，即 又因为，所以． 因为异面直线所成角范围为， 所以直线与所成角的余弦值取值范围是． 故选：D. 11．直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，则， 所以，解得(负值舍去). 故选：A． 12．在正方体中，是棱的中点，是底面内（包括边界）的一个动点，若平面，则异面直线与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：取中点，中点，连接，，，取中点，连接， 在正方体中，是棱的中点， ，，， ，， 平面平面， 是底面内（包括边界）的一个动点，平面， 的轨迹是线段， 如图，以D为原点，为轴建立空间之间坐标系，设正方体棱长为2 则，，，， 由于在线段上，设，且 所以 则 ，又 所以 由于，所以 所以异面直线与所成角的取值范围. 故选：C. 13．已知正方体的棱长为，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】建立空间直角坐标系如图所示，因为点在线段上， 不妨设， 易得，，，， 则，． 由题意得， 整理可得：，解得：或（舍去）， 所以，， 故选：A.    14．如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）连结交于点，连结， 因为正四棱锥，所以平面， 又平面， 所以，因为正四棱锥， 所以四边形是正方形， 所以，因为，，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 因为，，， 所以以为原点建立空间直角坐标系， ，，，， 所以， ， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 15．如图，直线平面，四边形是正方形，且，点，，分别是线段，，的中点. (1)求异面直线与所成角的大小(结果用反三角表示)； (2)在线段上是否存在一点，使，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题意，可得、、两两垂直，以点为坐标原点，分别以、、为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，点，，分别是线段，，的中点. 所以，，，， 因此， 设异面直线与所成角为， 则， 因此，即异面直线与所成角为； （2）假设线段上存在一点，使， 设，则，，因此，， 因为，所以，即，解得. 故，所以线段上存在一点，使，此时. 考点02 向量法求线面角 直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ=|cos〈u，n〉|==. 1．已知正方体的棱长为，点N是四边形内一点，且满足，则DN与平面所成角的正切值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，平面的法向量为， 由于点N是四边形内一点，故可设，， 由于，所以，所以， 所以点在线段上，设DN与平面所成角为，， 则，所以， 当时，，不存在. 当时，，当时，取得最小值为. 故选：D 2．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角均为θ，平面α截此正方体所得截面为图形Ω，下列说法错误的是（    ）    A．平面α可以是平面 B． C．图形Ω可能是六边形 D． 【答案】B 【详解】在正方体中，可得三棱锥为正三棱锥， 则三条棱与平面与三条棱成等角， 根据正方体的对称性，可得所有棱与平面所成的角都相等，所以A正确； 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 设正方体的棱与平面的角为，所以， 则，所以B不正确，D正确； 分别取的中点， 分别连接，得到六边形为平行六边形， 且满足平面平面，所以图形Ω可能是六边形，所以C正确. 故选：B    3．在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示， 以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成的角为，所以， 故选：B. 4．已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， 由余弦定理得，即， 则有，所以， 又平面ABCD，以D为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由，， 得，，，，， ， ， ， 设平面PAC的法向量为 ， 则 ， 令，则，，所以 ， 直线PD与平面PAC所成角为，所以  ， 则有，解得， 则. 故选：C. 5．如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（    ） ①∥平面；    ②平面平面； ③直线与所成的角为；    ④直线与平面所成的角为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为， ， 由正方体的性质可知：平面，则平面的法向量为， ，因为，所以，而平面， 因此∥平面，故①对； 设平面的法向量为，，， 所以有， 同理可求出平面的法向量， 因为，所以，因此平面平面，故②正确； 因为，， 所以， 因为异面直线所成的角范围为，所以直线与所成的角为，故③正确； 设直线与平面所成的角为， 因为，平面的法向量为， 所以， 所以直线与平面所成的角不是，因此④错误， 一共有个结论正确， 故选：C 6．已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在平面中过作，连接， 则四边形为平行四边形，且， 故与平面所成角即为与平面所成的角. 而，故， 故即即，故， 不妨设的边长为， 则的轨迹为以为直径的球面（除去平面中以为直径的圆），如图， 设为的中点，连接， 当在球面上且平面平面时，与平面所成的角最大且为， 此时，故， 故此时， 故选：D. 7．正方体的棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥的体积为 【答案】C 根据线面角的计算，可得C选项错误；应用空间向量法可求得点到平面距离，再结合三棱锥的体积公式，计算可得D正确. 【详解】对于A，连接、，相交于点，连接，如图所示， 因为四边形为正方形，所以是中点， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为原点，以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，,,， 所以,，，所以，故B正确； 对于C，由B选项知，，，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，解得， 因为，所以， 点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为，故D正确. 故选：C. 8．是正四棱柱表面上的一个动点，，当直线与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，设，则 易知平面一个法向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面、平面、平面所成的角分别为， 由已知可得. 又，，， 所以有. 又由是正四棱柱表面上的一个动点，易知，所以. 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点重合，舍去； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点重合，舍去； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点重合，舍去； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，点可以为； 若是平面上的一个动点，可知，，，没有满足条件的点； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，重复舍去. 综上所述，. 所以. 又 所以，与所成角的余弦值为. 故选：A. 9．在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【详解】由题设，构建如下空间直角坐标系，令， 则，所以， 又面的法向量为， 由与平面所成的角为，则， 所以，可得，则， 所以该长方体的体积为. 故选：C 10．已知正方体的棱长为，分别为和的中点,为线段上的动点，为上底面内的动点，下列判断正确的是（    ） ①三棱锥的体积是定值；②若不为线段的端点，且恒成立，则线段的最大值为；③当与所成的角为时，点的轨迹为双曲线的一部分； A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【详解】如图（1）所示，因为点为的中点，又由是的中点，可得， 又因为点为上的动点，所以点到直线的距离等于点到的距离， 所以点到直线的距离等于点到直线的距离的一半， 因为正方体的棱长为4，可得， 因为面，且面，所以 ， 可得点到直线的距离为，所以点到直线的距离， 所以的面积为， 由，且，平面， 所以平面，且， 所以三棱锥的体积为（定值），所以①正确；    如图（2）所示，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得， 设， 由 设，则， 因为，所以，可得， 所以 ， 又因为且，可得， 所以当时，线段取得最大值，最大值为，所以②正确； 因为， 又因为与的所成的角为， 所以， 整理得且，所以点的轨迹为抛物线的一部分，所以③错误. 故选：A.    二、解答题 11．(25-26高三上·河北沧州·)如图，在直三棱柱中，平面，. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，求. 【详解】（1）由平面，平面，可得， 在直三棱柱中， 平面 ，平面，则 ， 又，平面，所以平面， 又平面，可得. （2）由平面，平面，可得. 因四边形是矩形，故四边形是正方形，则， 由（1）已得 平面，， 故可以为坐标原点，，，所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，故， 由题易知平面的一个法向量为， 则， 解得，因，则. 12．如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，是上靠近点的三等分点． (1)证明：平面； (2)求线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）因为平面平面，所以． 因为六边形是边长为3的正六边形，所以． 又平面平面，故平面． （2）以点为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，，． 设平面的一个法向量为，由于， 所以，令，得， 即平面的一个法向量为， 所以直线和平面所成角的正弦值为 13．(24-25高三下·山西部分学校·)如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且． (1)证明：与相交且交点在直线上． (2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【详解】（1）连接，因为，所以，， 所以 ， 因为分别是棱上异于端点的点， 所以，故四边形为梯形，故与相交， 记， 因为平面平面，平面平面， 所以，即与的交点在直线上． （2）因为是正方体，所以以为原点，，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 所以， 设为平面的法向量， 由，可得， 令，得，则， 因为，设直线与平面所成的角为， 所以，又， 解得，故当直线与平面所成角的正弦值为时，． 14．底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 15．如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．    (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因是正方形，则,因,故. 由,则.因,则平面， 又平面,故平面平面. （2）    如图，取的中点，连接,易得,因， 故即二面角的平面角，即， 易得,取中点，连接,过点作,交于， 因,故得正三角形，则, 由（1）得平面平面，且平面平面，平面， 故得平面. 因此可分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 则, 依题意，设,， 则， 因，设平面的法向量为， 则，故可取. 设直线与平面所成的角为， 则，解得或， 因，故，即, 故当点是的一个四等分点（靠近点）时，直线与平面所成角的正弦值为,此时 考点03 向量法求二面角 平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ=|cos〈n1，n2〉|=. 一、单选题 1．(24-25高三下·浙江北斗星盟·三模)在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面的所成角为最小时，截面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、，设平面交直线于点， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的所成角为， ， 当且仅当时，取最大值，此时平面与平面所成角最小， 则， 设平面交棱于点，， 因为，则，解得，即点， 结合图形可知，平面分别交棱、于点、， 先证明射影面积法：设点在平面内的射影点为，如下图所示： 过点在平面内作，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，所以， 故为锐二面角的平面角， 在中，， 推广到其他多边形的面积也成立， 本题中，， 设截面的面积为，由射影面积法可得， 故. 故选：B. 2．(24-25高三下·四川成都石室中学·适考)如图，图象上两点关于原点对称，点的横坐标，过点分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为.将图象沿轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，设二面角的大小为， 因为，所以 ， 所以，因为，所以. 故选：B. 3．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设正八面体的棱长为，连接、相较于点，连接， 根据正八面体的性质可知为正方形，，平面， 建立如图所示，以为坐标原点， 分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， ，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 故选：D 4．如图，直四棱柱，点M，N，P分别为，和的中点，底面为菱形，且记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，由底面为菱形，， 所以为等边三角形，故 取中点，连接， 因为是直四棱柱，所以平面， 又平面，所以 不妨设，所以，故， 由三线两两互相垂直，故以P为原点， 所在方向建立x，y，z轴，如下图所示： 则,， ， 由平面ABCD，所以平面ABCD可取， 设平面PMN的法向量为， 所以， 取，则，故 由MN与所成的角为，MN与平面ABCD所成的角为， 二面角的平面角为， 其中 所以， ， 所以， ， 因为在上递减，， 又， 所以 故选：C 5．(24-25高二上·福建部分学校教学联盟·月考)在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，作于，于.    在中，，， 在中，， ， 同理可得，，， 因为， 所以 ， 又因为， 所以. 因为与的夹角即为二面角的大小， 所以二面角的余弦值为. 故选：A. 6．如图，在几何体中，底面为平行四边形， 平面⊥平面.    (1)证明:四边形为菱形; (2)若，且，，求平面与平面的夹角的正弦值. 【详解】（1）设，连接，过向作垂线，垂足为， 因为平面⊥平面，平面 平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为 平面，所以， 因为,平面，所以平面，所以， 因为为平行四边形，所以为菱形.    （2）因为，结合（1）可知底面为正方形， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则; ,; 设平面的一个法向量为，则， 令得，. 设平面的一个法向量为，则， 令得，. 设平面与平面的夹角为，则， 所以，即平面与平面的夹角的正弦值为.    7．如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小. 【详解】（1）连接交于点，连结，. 因为底面是正方形，所以是的中点. 又，所以，故. 由棱台的定义，与共面，因为棱台的上、下底面平行，所以它们与平面的交线平行，即. 所以四边形为平行四边形，故. 又因为平面，平面，所以平面. （2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 故，，，. 设平面的法向量，由得. 取，得平面的一个法向量. 设平面的法向量，由得. 取，得平面的一个法向量. 故. 所以平面与平面夹角的大小为. 8．如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1） 取中点，连接，可得四边形是边长为1的正方形， 则，，又，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面 （2） 分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，由得，， 在平面中，，，设平面的法向量为， 则有，令，解得，，， 故平面的一个法向量为， 同理,,设平面的一个法向量为, 则有,令，则，故， 设平面与平面的夹角为，则， 综上，平面与平面的夹角的余弦值为 9．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面， 所以平面． （2） 因为平面，即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 因为，所以， 所以．   设平面的法向量为， 则 取，得， 所以． 因为平面， 所以平面． 所以为平面的一个法向量．   设平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 10．如图，在直角梯形中，，，，，于，沿将折起，使得点到点的位置，使，，分别是棱，的中点.    (1)证明：； (2)求平面和平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）根据题意，沿将折起后，， 平面，则平面， 因平面，则，由左图易得矩形，故，故，得证. （2）由（1）平面，平面，则， 故可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系(如图).    则， 因，分别是棱，的中点，则， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取； 因， 设平面的法向量为， 则，故可取. 设平面和平面的夹角为， 则. 即平面和平面的夹角的余弦值为. 11．(25-26高三上·甘肃武威凉州区·)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，分别为棱，的中点，且，. (1)证明：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积. 【详解】（1）证明：如下图，取中点G，连接， 因为E，F分别为棱BC，PA的中点，G为AD中点，所以， 由在平面内，不在平面内，故平面， 由在平面内，不在平面内，故平面， 又且都在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）如下图，过C点作的垂线交于M，以C为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 已知，则， ，，. 设平面的法向量为，则， 令可得，所以. 设平面的法向量为，则 所以，令可得，所以. 又平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得或（舍），所以. 所以四棱锥的底面积，高. 由四棱锥体积公式可得. 所以四棱锥的体积为. 12．(25-26高三上·湖南益阳·)如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.    (1)证明：平面平面； (2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，因为侧面为菱形，，    所以.又因为平面平面， 平面平面， 平面，所以平面. 又因为是的中点，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）连接，因为为等边三角形，则.    所以两两垂直.则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为AB=2，所以. 故， . 设，则， 即.， . 设平面的一个法向量为， 则则，取，则，. 故平面的一个法向量为. 又由（1）可知平面的一个法向量为， 由题意可得，即. 解得.又，所以，线段CF的长为2. 13．(24-25高三下·河北部分学校·)如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足. (1)当时，证明：平面平面； (2)已知 ，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【详解】（1）当时，即为线段的中点， 因为，所以，所以， 又，所以， 又因为平面，平面//平面， 所以平面，平面，所以， 且，，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）因为，为的中点，所以，且平面， 故以为坐标原点，，，分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，， 所以，，，， 可得，， 所以，. 设平面的法向量为， 则化简得 令，则，， 可得， 由题意可知，平面的法向量， 所以， 又平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得或，所以的值为或. 14．在直三棱柱中，，，，，， (1)若平面，求的值； (2)若二面角与二面角的大小相等，求的值． 【详解】（1）连接交于点，连接， 平面，平面，平面平面， ， 又是的中点，故是的中点，. （2）因为二面角与二面角的大小相等， 所以二面角是二面角的大小的一半， 法一：几何法 过点在平面内作，垂足为，连接、， ，，，、平面， 平面， 平面，， 又，，、平面，平面， 又、平面，，， 二面角和二面角的平面角分别为、， 分别记作和，则为锐角，且， 因为，，，故， 所以，， 即，解得， 又，解得，所以． 法二：空间向量法 在直三棱柱中，平面，， 以为原点，、、分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、， 则，，， 易知平面的一个法向量， 设平面与平面的一个法向量分别为、， 设二面角与二面角的平面角分别为、，且， 则，取，可得， ，取，可得 则，， 由，即，因为，解得. 15．(24-25高三下·陕西延安·)如图，三棱锥中，底面，是的中点，是的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，，且二面角的正弦值为，求三棱锥外接球的表面积． 【详解】（1） 因为底面，平面，故， 而，故，故， 而平面，故平面， 而平面，故平面平面. （2）由（1）平面，而，故平面， 因为，故，故， 故可以为原点，以所在的直线建立如图所示的空间直角坐标系， 故，设， 则， 设平面的法向量为，则， 所以，取. 设平面的法向量为，则， 所以，取. 因为二面角的正弦值为， 故，故， 因为平面，而平面，故， 同理，故的中点到的距离相等， 故的中点为三棱锥外接球的球心，而， 故三棱锥外接球的表面积为. 考点04 空间中距离问题 1.点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，PQ==. 2.点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ===. 一、单选题 1．已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（    ）. A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由题意取，则， 所以到的距离为 . 故选：C 2．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，平面，平面， ∴平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，建立直角坐标系. 则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 设点到平面的距离为， 则， 故直线到平面的距离为. 故选：C. 3．如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接， 因为、均为等腰直角三角形，所以 , 由二面角是直二面角，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 如图，以为原点, 所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所 示的空间直角坐标系, 则 , 所以 , 所以 , 所以, , 设直线的单位方向向量为，则, 所以点 到直线的距离为 . 故选：B 4．(24-25高三下·山东齐鲁名校教研共同体·)已知正方体的棱长为，是棱的中点，点，分别在平面与平面内、则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】如图所示，设点关于平面的对称点为，延长交平面于点， 记点，到平面的距离分别为，，易知， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 故， 故，则，所以. 故选：C. 5．在棱长为的正方体 中，， 分别为棱 ，的中点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 以 为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ． 则 ，，，， 所以 ，，， 设平面 的法向量为，则 令 ，则 ，，所以平面 的一个法向量为． 所以点 到平面 的距离为， 故选：A 6．(24-25高三下·天津和平区·)如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，、分别是、延长线上的点，且，． (1)求平面与平面的夹角的正弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【详解】（1）因为四棱柱为正四棱柱，所以底面，又因为， 所以以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的正弦值为； （2）由（1）可得，所以， 设直线与平面所成角为； 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）由（1）可得，则到平面的距离为． 7．如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 【详解】（1）因为底面，底面，所以 ， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； （2）因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）因为， 所以点P到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 8．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 【详解】（1）法一：如图，连接交于，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 因为为的中点，所以是的中位线， 得到，而平面，平面，故平面. 法二：根据题意，以点为坐标原点， 分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， 则， 设为平面的法向量， 则，即， 令，则，故， 平面，平面. （2）， ， 直线与平面所成角的正弦值为. （3）由已知得， 由点到直线的距离公式得， 故点到直线的距离为. 9．(25-26高二上·天津微山路中学·)已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，N是的中点，M是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点B到平面的距离． 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、，故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，. 由题意、、、、、， 则有，，. 设平面的法向量分别为， 则有，取，则、，即， 设平面的法向量分别为， 则有，取，则、，即， 设平面与平面所成角的大小为，则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 故点B到平面的距离为. 10．如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）. (1)若为棱的中点，证明：平面 ； (2)若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为. （ⅰ）求 ； （ⅱ）求点到平面的距离. 【详解】（1）因为，， 所以， 连接，因为为的中点，所以是等边三角形． 取的中点，连接，，则， 则，． 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面． （2）（ⅰ）因为，， 所以， 所以， 因为，所以， 又，，平面， 所以平面， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，， 则， 设， 则，． 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 所以， 整理得，解得舍，所以． （ⅱ）由（ⅰ）知，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，， 则， 所以点到平面的距离为 ． 考点05 空间中的探索性问题 (1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”. (2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 1．如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为四边形是菱形，所以. 因为，，平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以，即. 因为，平面，且，所以平面. （2）取棱的中点，连接，因为四边形是菱形，， 所以为等边三角形，故⊥， 又平面，平面， 所以，，故，，两两垂直， 故以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.    设，则，，，， 故，，， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，得. 平面的一个法向量为，设面与面所成的锐二面角为， 则， 整理得，解得或（舍去）. 故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是. 2．如图，在多面体中，平面⊥平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且. (1)求证：⊥； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段BD上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以⊥， 因为平面⊥平面，平面 平面 ，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥； （2）因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 又，故，，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则， 则， ， 设直线与平面所成角的大小为， 则； （3）设，即， 当时，与重合，此时与平面不平行， 当时，设，则， 解得，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 则，解得， 故线段BD上存在点M，使得直线平面AFM，此时. 3．已知正四棱台的体积为，其中.    (1)求侧棱与底面所成的角； (2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）依题意，在正四棱台中，， 所以上底面积，下底面积， 设正四棱台的高为，则. 连接，则， 所以， 设侧棱与底面所成的角为，则， 由于线面角的取值范围是，所以. （2）连接，设正四棱台上下底面的中心分别为， 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， ， 设线段上存在一点，满足， ， ， 则， ， 若，则， 即， 解得，舍去， 所以在线段上不存在一点，使得.      4．(22-23高三上·天津实验中学·期末)如图，平面ABCD，，，，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点. (1)求证：平面CPM； (2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小； (3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求N到平面CPM的距离. 【详解】（1）证明：连接EM，因为，， 所以， 又因为，所以四边形PABQ为平行四边形， 因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以且， 因为，，F为CD的中点，所以且， 可得且，即四边形EFCM为平行四边形， 所以，又平面MPC，平面MPC， 所以平面MPC. （2）因为平面ABCD，，故以D为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 依题意可得，，，，，，， ，，，， 设为平面PQM的法向量， 则，不妨设，可得， 设为平面PMC的法向量， 则，不妨设，可得. 所以， 设平面PQM与平面PMC夹角为， 所以， 即平面PQM与平面PMC夹角的正弦值为. （3）设，即， 则. 从而. 由（2）知平面PMQ的法向量为， 而直线DN与平面PMQ所成的角为， 所以， 即， 整理得，解得或， 因为， 所以，所以，， 由（2）知：为平面的法向量， 故点N到平面CPM的距离为. 5．(22-23高二上·湖北部分州·)如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)在棱PC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）在PD上找中点G，连接AG，EG，如图： ∵G和E分别为PD和PC的中点， ∴，且， 又∵底面ABCD是直角梯形，，， ∴且．即四边形ABEG为平行四边形， ∴， ∵平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD； （2）因为平面，平面， 所以，又， 以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，，， 由F为棱PC上一点，设， ， 设平面FAD的法向量为， 由可得，解得：， 令，则，则， 取平面ADC的法向量为， 则二面角的平面角满足：, 解得：，解得：或（舍去）， 故存在满足条件的点F，此时． 6．如图，在三棱柱中，侧面ABCD是边长为2的正方形，为等边三角形，M为边AD的中点，点N在线段PC上． (1)证明：平面MPQ； (2)若，证明：平面BDN； (3)是否存在点P，使得二面角的正弦值为？如果存在，求出四棱锥的体积，如果不存在，说明理由． 【详解】（1）证明：因为是等边三角形，M为边AD的中点，所以， 又因为，，所以． 又因为，平面，故平面MPQ． （2）连接MC，交BD于点E，连接NE． 因为，，所以， 又因为，所以，所以， 又因为平面BDN，平面BDN，所以平面BDN． （3）存在点P，使得二面角的正弦值为，理由如下： 取BC中点F，连接MF，则， 过M作平面ABCD，建立如图所示的直角坐标系． 为等边三角形，边长为2，故， ，，，设，， ， ，，． 设平面MPB的法向量为， 则，即， 取，则， 取， 设平面面MPC的一个法向量为， ， 令，则，， 平面MPC的一个法向量为， 设二面角为，则， 又因为，所以． 所以，解得或， 当时，P到平面ABCD的距离为， 此时， 当时，P到平面ABCD的距离为， 此时． 7．(24-25高三下·江西景德镇昌江一中·)如图，在直三棱柱中，分别为的中点，且. (1)证明：平面. (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）证明：因为， 所以由题在和中，，故， 所以， 所以可得，又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又由直三棱柱性质可得，平面， 所以平面. （2）由题意和（1）可以C为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 若，则可设， 则,设， 则， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则，， 则，， 取，则， 所以， 解得（舍去）或 ， 所以若，在线段上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，此时为线段的中点. 8．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. (1)求线段的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由底面平面， 故，又底面是矩形，故， 故AD、AB、PA两两垂直， 故可以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、， 设，则， 则， 由，则， 解得，即； （2）， 设平面的一个法向量， 因为，可得， 令，则，所以， ， 设平面的一个法向量， 可得， 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）（3）设， 则， 因为与平面所成角的正弦值为，设AN与平面所成角， 所以， 所以所以或， 因为所以，所以. 9．(24-25高三·湖北黄冈教育共同体·二模)如图，在三棱锥的平面展开图中，，． (1)求的余弦值； (2)在三棱锥的棱上是否存在点，使得平面和平面所成角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【详解】（1）在中，因为，所以，所以， 在中，因为， 所以，所以． 又因为， 在中，由余弦定理得. （2）因为，即平面， 所以平面，平面内作， 以为原点，、、为、、轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，故， 设平面的法向量，则， 取，则，易得平面的法向量 则平面和平面所成角的余弦值，解得或， 当或时，平面和平面所成角的余弦值为. 20．如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点. (1)求证：； (2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正切值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且三棱锥的体积为 （2）分析可知二面角的平面角为，即，取的中点，连接，推导出平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，再利用锥体的体积公式可得出的值. 【详解】（1）在图①中，由题意可知，四边形为正方形，且， 在②中，，，且，、平面， 所以平面， 因为，所以平面，因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）由（1）知，平面， 因为平面，所以平面平面， 因为、平面，所以，， 所以，二面角的平面角为，即， 因为，所以为等边三角形，所以， 取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且， 设为的中点，则可以以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 则，，，， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 记直线与平面所成角为，则， 由可得， 则， 即，， 因为，解得，故， 所以. 试卷第2页，共18页 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练03 空间向量在立体几何中的应用 考点01 向量法求异面直线的夹角 1 考点02 向量法求线面角 4 考点03 向量法求二面角 8 考点04 空间中距离问题 13 考点05 空间中的探索性问题 17 考点01 向量法求异面直线的夹角 1.异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ=|cos〈u，v〉|=. 1．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 2．已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高三下·河北文安县第一中学·模拟)如图，分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高三下·北京中国人民大学附属中学·)北京天桥艺术中心旁边的四面钟是天桥附近颇有意趣的传统景观之一.这个主体建筑可以近似看做正四棱柱.四面钟的每一面都挂在该正四棱柱的一个侧面上.当四面钟都正常显示标准北京时间时，相邻两面钟的时针所在直线所成角最大为（   ）    A． B． C． D． 9．(24-25高三上·河北承德·期末)在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10．(20-21高三上·浙江温州中学·月考)如图，四边形中，，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 12．在正方体中，是棱的中点，是底面内（包括边界）的一个动点，若平面，则异面直线与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知正方体的棱长为，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．3 D． 14．如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 15．如图，直线平面，四边形是正方形，且，点，，分别是线段，，的中点. (1)求异面直线与所成角的大小(结果用反三角表示)； (2)在线段上是否存在一点，使，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 考点02 向量法求线面角 直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ=|cos〈u，n〉|==. 1．已知正方体的棱长为，点N是四边形内一点，且满足，则DN与平面所成角的正切值的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角均为θ，平面α截此正方体所得截面为图形Ω，下列说法错误的是（    ）    A．平面α可以是平面 B． C．图形Ω可能是六边形 D． 3．在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（    ） ①∥平面；    ②平面平面； ③直线与所成的角为；    ④直线与平面所成的角为． A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．正方体的棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥的体积为 8．是正四棱柱表面上的一个动点，，当直线与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9．在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ） A． B．6 C． D． 10．已知正方体的棱长为，分别为和的中点,为线段上的动点，为上底面内的动点，下列判断正确的是（    ） ①三棱锥的体积是定值；②若不为线段的端点，且恒成立，则线段的最大值为；③当与所成的角为时，点的轨迹为双曲线的一部分； A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、解答题 11．(25-26高三上·河北沧州·)如图，在直三棱柱中，平面，. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，求. 12．如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，是上靠近点的三等分点． (1)证明：平面； (2)求线与平面所成角的正弦值． 13．(24-25高三下·山西部分学校·)如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且． (1)证明：与相交且交点在直线上． (2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值． 14．底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 15．如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．    (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 考点03 向量法求二面角 平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ=|cos〈n1，n2〉|=. 一、单选题 1．(24-25高三下·浙江北斗星盟·三模)在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面的所成角为最小时，截面的面积为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高三下·四川成都石室中学·适考)如图，图象上两点关于原点对称，点的横坐标，过点分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为.将图象沿轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直四棱柱，点M，N，P分别为，和的中点，底面为菱形，且记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（      ） A． B． C． D． 5．(24-25高三上·福建部分学校教学联盟·月考)在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在几何体中，底面为平行四边形， 平面⊥平面.    (1)证明:四边形为菱形; (2)若，且，，求平面与平面的夹角的正弦值. 7．如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小. 8．如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 9．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 10．如图，在直角梯形中，，，，，于，沿将折起，使得点到点的位置，使，，分别是棱，的中点.    (1)证明：； (2)求平面和平面的夹角的余弦值. 11．(25-26高三上·甘肃武威凉州区·)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，分别为棱，的中点，且，. (1)证明：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积. 12．(25-26高三上·湖南益阳·)如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.    (1)证明：平面平面； (2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 13．(24-25高三下·河北部分学校·)如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足. (1)当时，证明：平面平面； (2)已知 ，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 14．在直三棱柱中，，，，，， (1)若平面，求的值； (2)若二面角与二面角的大小相等，求的值． 15．(24-25高三下·陕西延安·)如图，三棱锥中，底面，是的中点，是的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，，且二面角的正弦值为，求三棱锥外接球的表面积． 考点04 空间中距离问题 1.点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，PQ==. 2.点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ===. 一、单选题 1．已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（    ）. A． B．1 C． D． 2．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（    ）. A． B． C． D． 3．如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 4．(24-25高三下·山东齐鲁名校教研共同体·)已知正方体的棱长为，是棱的中点，点，分别在平面与平面内、则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 5．在棱长为的正方体 中，， 分别为棱 ，的中点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高三下·天津和平区·)如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，、分别是、延长线上的点，且，． (1)求平面与平面的夹角的正弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 7．如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 8．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 9．(25-26高三上·天津微山路中学·)已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，N是的中点，M是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点B到平面的距离． 10．如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）. (1)若为棱的中点，证明：平面 ； (2)若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为. （ⅰ）求 ； （ⅱ）求点到平面的距离. 考点05 空间中的探索性问题 (1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”. (2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 1．如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2．如图，在多面体中，平面⊥平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且. (1)求证：⊥； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段BD上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 3．已知正四棱台的体积为，其中.    (1)求侧棱与底面所成的角； (2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 4．(22-23高三上·天津实验中学·期末)如图，平面ABCD，，，，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点. (1)求证：平面CPM； (2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小； (3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求N到平面CPM的距离. 5．(22-23高三上·湖北部分州·)如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)在棱PC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 6．如图，在三棱柱中，侧面ABCD是边长为2的正方形，为等边三角形，M为边AD的中点，点N在线段PC上． (1)证明：平面MPQ； (2)若，证明：平面BDN； (3)是否存在点P，使得二面角的正弦值为？如果存在，求出四棱锥的体积，如果不存在，说明理由． 7．(24-25高三下·江西景德镇昌江一中·)如图，在直三棱柱中，分别为的中点，且. (1)证明：平面. (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 8．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. (1)求线段的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 9．(24-25高三·湖北黄冈教育共同体·二模)如图，在三棱锥的平面展开图中，，． (1)求的余弦值； (2)在三棱锥的棱上是否存在点，使得平面和平面所成角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 20．如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点. (1)求证：； (2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正切值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由. 试卷第2页，共18页 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $