八年级数学上学期第二次月考·培优卷（苏科版2024，举一反三，测试范围：第1章 三角形～第4章 平面直角坐标系）

八年级数学上学期第二次月考·培优卷 【苏科版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）大约在公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他们的发现，人们把这些数叫做无理数．下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的判断，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在，，，中，只有是无理数； 故选B． 2．（25-26八年级上·天津·期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度和与较长线段的长度的大小关系，即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·海南海口·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴ a与a， c与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， 故选：D． 4．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）已知点在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，象限中点的符号问题，一元一次方程的应用． 根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数，利用点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，列出方程求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，． ∵点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6， ∴， ∴， 解得：． 故选A． 5．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 6．如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 7．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，结合全等三角形的角度性质，推导的度数． 【详解】解：设小正方形的边长为，如图， ∵，，， ∴（）． ∴ ∴ ∴ 故答案为：A． 8．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线和面积的关系，解题的关键是：根据中线的性质逐步得出，，即可得解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：D． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出的度数． 【详解】解： 是的中线，，， ， ， 是的角平分线， ， 故选：B． 10．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵ 是等边三角形，是等腰三角形，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ． ∴ 的周长． ∵ ， ∴的周长为． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 12．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 13．如图，在中，最大内角，平分，于点E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和运算，与高有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，再结合，得出，又因为平分，得出，最后由三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为： 14．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．如图，连接，延长与交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到， 再次利用等腰三角形的性质得到：，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长与交于点F， ∵平分，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意得出第个点的坐标是是解题的关键，根据所给排列方式，发现第个点的坐标是，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1个点的坐标为， 第9个点的坐标为， 第25个点的坐标为， …， 所以第个点的坐标为， 因为， 所以第2025个点的坐标为， 所以第2026个点的坐标为 故答案为： 16．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）在中，，，，过点A的直线把分成两个三角形，若其中仅有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积的计算，解题的关键是先判断三角形的形状，再分情况讨论等腰三角形的可能情况． 先根据勾股定理的逆定理判断的形状，求出其面积．再分情况讨论过点的直线形成的等腰三角形，计算其面积． 【详解】 ，满足，即， 是直角三角形，． 面积为． 沿过点A的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况： 当时，如图1所示， ； 当，且P在上时，如图2所示， 作的高，则， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3所示， ∴； 综上所述：等腰三角形的面积可能为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题涉及平方根、立方根、绝对值及平方的混合运算．解题时需分步计算各部分的值，再按运算顺序求和． （1）分别进行乘方和求立方根以及去绝对值，进而进行加减运算即可； （2）分别进行乘方，求算术平方根和求立方根以及去绝对值，进而进行加减运算即可． 【详解】（1）解： （2） 18．（6分）（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的纵坐标比横坐标大； (3)点在过点且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为0列方程求出的值，再求解即可； （2）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出的值，再求解即可； （3）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同列方程求出的值，再求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， 所以，点的坐标为； （2）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得， ， ， 点的坐标为； （3）解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得， ， 点的坐标为． 19．（8分）（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的定义以及无理数的估算，解题关键是根据算术平方根、立方根的定义求出，通过估算无理数确定，再结合平方根定义求解． （1）根据算术平方根定义，由得，解得；根据立方根定义，；估算，因为，所以． （2）将代入中求出结果36，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是， ， ， 是的立方根， ， ， ， 的整数部分为， 是的整数部分， ， 综上所述：． （2）， 的平方根是， 的平方根是． 20．（8分）（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图， 在中， 是角平分线， 点D在边上(不与点A，B重合)， 与交于点O． (1)若是中线， 则，则与的周长差为 ； (2)若是的角平分线，，则 ． (3)若是的高，，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高线，角平分线，三角形内角和定理， （1）根据中线的性质得，再根据周长公式可得答案； （2）先根据角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理得，然后根据三角形内角和求出答案； （3）先根据角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴. ∵， ∴的周长与的周长差为. 故答案为：1； （2）解：∵是的角平分线， ∴. ∵， ∴. 在中， ； 故答案为：； （3）解：∵是的高线， ∴. ∵，是的角平分线， ∴，. 在中，. 21．（10分）（25-26八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． (1)试说明：； (2)探索线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明得出，再由角平分线的定义得出，即可得证； （2）由得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2）解：，理由如下， 由（1）可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴． 22．（10分）（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 23．（12分）（25-26八年级上·四川绵阳·期中）在中，，，过点C作于点D，点E是边上（不含端点A、B）一动点，连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G． (1)当点E在上时，如图（1），试说明； (2)当点E在上时，如图（2），（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以说明；若不成立，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论依然成立，说明见解析 【分析】本题考查了互余，全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键． （1）根据同角的余角相等，得到，，进而证明出，得到即可； （2）同（1）理可证，得到即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：（1）中的结论依然成立，说明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（1）知． 在和中， ， ∴， ∴． 24．（12分）（2025·辽宁抚顺·一模）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点． (1)如图1，当经过点时，求证：； (2)如图2，当，交于点，交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据旋转，得到，得到，推出是等边三角形，得到，平角求出，三角形的内角和定理推出，即可得证； （2）过点作，垂足为，旋转得到，等积法求出，进而得到是的角平分线，平行加上角平分线的定义，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：是旋转得到的图形， ，， 是等边三角形． ． ， ， ． ， ． （2）证明：过点作，垂足为． ， ， ． 是旋转得到的图形， ，． ． ． ． 是的角平分线， ． ， 是等腰三角形， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第二次月考·培优卷 【苏科版2024】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 三角形~第4章 平面直角坐标系 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）大约在公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他们的发现，人们把这些数叫做无理数．下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津·期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级上·海南海口·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）已知点在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为（   ） A． B．1 C． D． 5．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．7.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 12．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是 ． 13．如图，在中，最大内角，平分，于点E，若，则 ． 14．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 15．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为 ． 16．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）在中，，，，过点A的直线把分成两个三角形，若其中仅有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2)． 18．（6分）（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的纵坐标比横坐标大； (3)点在过点且与轴平行的直线上． 19．（8分）（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 20．（8分）（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图， 在中， 是角平分线， 点D在边上(不与点A，B重合)， 与交于点O． (1)若是中线， 则，则与的周长差为 ； (2)若是的角平分线，，则 ． (3)若是的高，，求的度数． 21．（10分）（25-26八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． (1)试说明：； (2)探索线段之间的数量关系并说明理由． 22．（10分）（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 23．（12分）（25-26八年级上·四川绵阳·期中）在中，，，过点C作于点D，点E是边上（不含端点A、B）一动点，连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G． (1)当点E在上时，如图（1），试说明； (2)当点E在上时，如图（2），（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以说明；若不成立，请直接写出与之间的数量关系． 24．（12分）（2025·辽宁抚顺·一模）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点． (1)如图1，当经过点时，求证：； (2)如图2，当，交于点，交于点，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $