全国初中数学九年级竞赛模拟卷（二）九年级全国通用

全国初中数学九年级竞赛模拟卷（二） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．如图，在中，点是边的中点，点、是边的三等分点，与、分别交于点、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识，过点作交于点，证明，得到，再证明得，设，则，，再证明，得，，连接，则为的中位线，得，，求出，证明得，求出，，从而可求出． 【详解】解：过点作交于点，如图， ∵点是边的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接， ∵点是边的中点，点是边的三等分点，即为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又,， ∴，即为的中点， 又点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为，将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F，且的面积是．给出以下结论：①；②点B的坐标是；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．①把代入求得，然后代入求得；②联立解析式，解方程组即可求得；③根据同底等高的三角形面积相等，得出；④根据列出，解得． 【详解】解：①直线经过点， ， ， 点在双曲线上， ，故①正确； ②联立， 解得或， 点B的坐标为，故②正确； ③将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F， ， 和是同底等高， ，故③正确； ④， ， 解得，故④正确； 综上，正确的结论有：①②③④，共4个． 故选：D． 3．如图，点A为半径为2的上一定点，点P在上运动，连，将线段绕点P顺时针旋转至，连，则线段的最大值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，将绕点顺时针旋转至，连接，过点作于点，先证明，则，，那么，而，解求出，由，当点共线时，线段取得最大值为． 【详解】解：如图，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，过点作于点， ∴， ∵线段绕点P顺时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 当点共线时，线段取得最大值为， 故选：C． 4．已知如图在菱形中，，点E、F分别是、上的动点（不与端点重合），且，连接、交于点G，则四边形的面积的最大值为（   ） A． B．6 C． D． E．9 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由“”可证，可得，求得，由，四点共圆，连接，过G作于N，过作于，，由，当为圆的直径时，取得最大值，此时取得最大值，此时四边形的面积最大，接着证明，求得，然后利用勾股定理求得，然后利用四边形的面积等于求得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴△ABD和△BDC都是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 四点共圆， 如图，连接，过G作于N，过作于， 则，其中，的长度都是不变的， 那么当最大时，四边形的面积最大， 那么当重合时，此时点在的中点，最大， 即为圆的直径时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故选：C． 5．二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④正确的是（   ） A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，根据图像依次判断即可． 【详解】①对称轴 ②二次函数与轴有两个不同的交点 ； ③将代入二次函数解析式，得 时, 二次函数图像与轴交于正半轴 ④当时，根据图像可知 即 将代入，得 即 故选：C． 6．汽车急刹车的停车距离受诸多因素影响，其中最为关键的两个因素是驾驶员反应时间和汽车的行驶速度．设表示停车距离，表示反应距离，表示制动距离，则，如图是根据某国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图，图中指针所指的内圈数据表示对应的车速．根据图中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择下面模型进行拟合． 模型①：， 模型②：， 模型③：， 模型④：． 其中为汽车速度，为待定参数，则拟合效果最好的函数模型是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，求函数值，根据图中数据，取时，，当时，，用待定系数法求得的值，进而将，分别代入各解析式，函数值接近的模型拟合效果好，据此，即可求解． 【详解】解：当时，，当时，， 代入模型①：， ，解得： ∴ 当时， 代入模型②：， ，解得： ∴ 当时， 代入模型③：， ，解得： ∴ 当时， 代入模型④：． ，解得： ∴ 当时， 综上所述，模型②函数值为接近的模型拟合效果好， 故选：B． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．当时，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程，二次根式有意义的条件，因式分解法解一元二次方程；根据题意得出，因式分解为，进而确定的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴且， 即， ∴或， ∴的解集为或， 又∵， ∴或． 故答案为：或． 8．如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点,设米，根据锐角三角函数的定义列出方程，解得，接着求出，再求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点, 由题意得：米，，， 设米， ∴米 在中，， ∴(米)， 在中，， ∴米， ∴, 解得:， ∴(米)，(米)， 在中，， ∴(米)， ∴(米)． 故答案为：． 9．如图，反比例函数的图象经过点，过点A作轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点，经过点P作直线的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上，则t的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质；会用求根公式法解一元二次方程．根据反比例函数图象上点的坐标特征由点坐标为得到，即反比例函数解析式为，且，则可判断为直角三角形，所以，再利用可得到，然后轴对称的性质得，所以，于是得到轴，则点的坐标可表示为，于是利用得，然后解方程可得到满足条件的的值． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ， ∴反比例函数解析式为， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ∵点和点关于直线对称， ， ， ∴轴， ∴点的坐标为， ， ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 故答案为：． 10．如图，在四边形中，已知，E、F分别是、的中点，，阴影部分分别是以为直径的半圆，则这两个半圆面积之和是 ． 【答案】 【分析】连接，取的中点M，连接交于N，根据三角形的中位线定理推出，推出，，求出，根据勾股定理求出，根据圆的面积公式求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接，取的中点M，连接延长交于N， ∵， ∴， ∵E、F、M分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 11．如图，正方形的顶点B在y轴上的正半轴上，将其以点A为旋转中心顺时针旋转得到正方形，顶点，在x轴负半轴上，若，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，旋转的性质， 先作，作，可得四边形是矩形，进而得，再由旋转得，，然后设，则，表示，接下来说明，再求出，建立方程求出解即可. 【详解】解：过点A作，交于点E，过点A作，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴. 由旋转得，， ∴， 根据勾股定理，得， 设，则， ∴. 在四边形中，， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， 则， ∴点. 故答案为：. 12．如图，在正方形中，E是的中点， 于点F，以为直径的圆与交于点G，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，矩形的判定和性质，解决此题的关键是合理地作出辅助线；先作出辅助线，根据角相等得到三角函数值相等，进而得到线段的长度，即可得到答案； 【详解】解：如图，设线段与圆交于点，连接，， ∵是直径， ∴， 在正方形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵于点F， ∴， ∴， 又， ∴， ∵在正方形中，E是的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴可设为x，为， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题8分）（1）已知a、b是方程的两个根，求的值； （2）已知a、b、c均为实数，且，，求实数c的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟记根与系数的关系为，是解题的关键． （1）将进行整理得到，再根据根与系数的关系，得到的值，然后利用完全平方公式，即可解答； （2）进行变形可得，，逆用根与系数的关系，可得是的两个解，再利用根的判别式即可解答； 【详解】（1）解： 由a、b是方程的两个根， 可得，， ； （2）解：∵，， ∴，， 是的解， 根据根的判别式可得， 整理得, 解得， 正数的最大值为． 14．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．过点作轴的平行线与函数的图象交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点作轴的平行线与直线交于点（点、不重合）． (1)当点绕着点顺时针旋转恰好落在点时，试求的面积． (2)当为何值时，的值为定值？并求出此时、应满足的条件． 【答案】(1)的面积为； (2)当时，的值为定值，此时、应满足的条件为． 【分析】（1）连接，，可得为等腰直角三角形，从而可得点的坐标，进而可得点的坐标，即可得的长度，代入三角形的面积公式计算即可； （2）根据点和点的位置关系，进行分类讨论，用，，表示，化简整理，由的值为定值，可得满足题意的的值，以及对应的、满足的条件． 【详解】（1）解：连接，， 由旋转的性质可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∵轴，且过点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，令，得， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． （2）解：根据题意可得，，，，， ∴， 由得， ∴， 当时，， ∵当时，（定值）， 当时，， 若为定值，则，此时，不符合题意， ∴当时，的值为定值，此时、应满足的条件为． 15．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，其中，抛物线与x轴交于另一点D． (1)求m，n的值及该抛物线的解析式； (2)如图2．若点P为线段上的一动点(不与A、D重合)．分别以为斜边，在直线的同侧作等腰直角和等腰直角，连接，试确定面积最大时P点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，设，将的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， 把代入，得： ，解得， ∴； （2）当时，解得， ∴， ∴， 设，则：， ∵等腰直角和等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，最大， ∴， ∵， ∴． 16．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H． 问题： (1)求直线的解析式； (2)连接，如图2，动点P从点A出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为S（），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当t为何值时，与互为余角，并求此时的长． 【答案】(1) (2) (3)时，或时， 【分析】（1）已知A点的坐标，就可以求出的长，根据，就可以得到C点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数解析式． （2）点P的位置应分P在和上，两种情况进行讨论．当P在上时，的底边PB可以用时间t表示出来，高是的长，因而面积就可以表示出来． （3）先导角求出，分两种情况进行讨论，当P点在边上运动时，得到，求出，进而求出以及时间；当P点在边上运动时，根据，求出，进而求出时间，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：对于， 当， ∴点坐标为， ∴， 如图，当点在边上运动时由题意得， ∴， ∴， ∴（）， 当点在边上运动时，记为， ∵在菱形中，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴（）， 综上：； （3）解：∵在菱形中，， 由（2）得， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 当点在边上运动时，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在边上运动时，如图2， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上：时，或时，． 17．（本题10分）如图，直线，垂足为D，，点B是射线上的一个动点，，边交射线于点C，的平分线分别与、相交于点E、F．    (1)求证：； (2)如果，，求y关于x的函数关系式； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，根据角平分线的定义得到，根据相似三角形的判定定理证明； （2）作，垂足为点H，根据相似三角形的性质、补角的概念得到，得到，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可； （3）设，根据平行线的性质得到，求得，得到，根据平行线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵直线，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：作，垂足为点H．      ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵，直线， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； （3）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴． 18．（本题12分）如图，是正方形中一动点，连接，，． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若时，（）点是否在“半径为的”上？（）请你证明：； (3)如图，在（）的条件下，若正方形的边长为，为上一点，，连接，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（）点在“半径为的”上，理由见解析；（）见解析 (3) 【分析】（1）先求出，从而易证是等边三角形，即可得到 ， 再根据三角形内角和定理和等边对等角求出，最后根据求解即可； （2）（）以为圆心，为半径作圆，根据优弧所对的圆周角是，从而得证点在“半径为的”上；（）根据点在上，可得，结合， 等量代换从而得证； （3）以为圆心，为半径作圆， 则点在上，设与的交点为，当时，面积有最大值， 先求出， 在中，由勾股定理求解的长，再用等积法求出的长，从而得到的长，最后根据三角形面积公式求解面积即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：（）点在“半径为的”上，理由如下： ，， 以为圆心，为半径作圆， 如图所示， 优弧所对的圆心角度数为， 优弧所对的圆周角度数为， ， 点在“半径为的”上； （）证明：点在上； ， 四边形是正方形， ， ； （3）解：如图所示，以为圆心，为半径作圆， 则点在上，设与的交点为， 当时，面积有最大值， ，， ， ， ， 即， ， ， ， 面积的最大值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 全国初中数学九年级竞赛模拟卷（二） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．如图，在中，点是边的中点，点、是边的三等分点，与、分别交于点、，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为，将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F，且的面积是．给出以下结论：①；②点B的坐标是；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，点A为半径为2的上一定点，点P在上运动，连，将线段绕点P顺时针旋转至，连，则线段的最大值是（    ） A．4 B． C． D． 4．已知如图在菱形中，，点E、F分别是、上的动点（不与端点重合），且，连接、交于点G，则四边形的面积的最大值为（   ） A． B．6 C． D． E．9 5．二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④正确的是（   ） A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 6．汽车急刹车的停车距离受诸多因素影响，其中最为关键的两个因素是驾驶员反应时间和汽车的行驶速度．设表示停车距离，表示反应距离，表示制动距离，则，如图是根据某国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图，图中指针所指的内圈数据表示对应的车速．根据图中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择下面模型进行拟合． 模型①：， 模型②：， 模型③：， 模型④：． 其中为汽车速度，为待定参数，则拟合效果最好的函数模型是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．当时，则的取值范围是 ． 8．如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 9．如图，反比例函数的图象经过点，过点A作轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点，经过点P作直线的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上，则t的值是 ． 10．如图，在四边形中，已知，E、F分别是、的中点，，阴影部分分别是以为直径的半圆，则这两个半圆面积之和是 ． 11．如图，正方形的顶点B在y轴上的正半轴上，将其以点A为旋转中心顺时针旋转得到正方形，顶点，在x轴负半轴上，若，则点A的坐标为 ． 12．如图，在正方形中，E是的中点， 于点F，以为直径的圆与交于点G，则的值为 ． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题8分）（1）已知a、b是方程的两个根，求的值； （2）已知a、b、c均为实数，且，，求实数c的最大值． 14．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．过点作轴的平行线与函数的图象交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点作轴的平行线与直线交于点（点、不重合）． (1)当点绕着点顺时针旋转恰好落在点时，试求的面积． (2)当为何值时，的值为定值？并求出此时、应满足的条件． 15．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，其中，抛物线与x轴交于另一点D． (1)求m，n的值及该抛物线的解析式； (2)如图2．若点P为线段上的一动点(不与A、D重合)．分别以为斜边，在直线的同侧作等腰直角和等腰直角，连接，试确定面积最大时P点的坐标． 16．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H． 问题： (1)求直线的解析式； (2)连接，如图2，动点P从点A出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为S（），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当t为何值时，与互为余角，并求此时的长． 17．（本题10分）如图，直线，垂足为D，，点B是射线上的一个动点，，边交射线于点C，的平分线分别与、相交于点E、F．    (1)求证：； (2)如果，，求y关于x的函数关系式； (3)连接，若，求的长． 18．（本题12分）如图，是正方形中一动点，连接，，． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若时，（）点是否在“半径为的”上？（）请你证明：； (3)如图，在（）的条件下，若正方形的边长为，为上一点，，连接，，求面积的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $