精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市托克托县新营子镇中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025-2026学年高二年级10月月考数学试卷 满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知正方体棱长为1，若，，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 在空间直角坐标系中，若点在平面内，则（ ） A. B. C. D. 10 3. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）． A 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 4. 已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量，向量与平面平行，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是圆锥轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱台中，，若最小值为，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列四个结论错误的是（ ） A. 任意向量，，若，则或或 B. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C. 空间中任意向量，，都满足 D. 若，，则 9. 已知正方体，则（ ） A. B. C. D. 当为平面的法向量时 10. 若点到直线的距离相等，则下列结论可能成立的是（ ） A. 过原点 B. 过点 C. 且 D. 直线可能过点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 坐标原点O到直线的距离为______． 12. 在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是___________ 13. 已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，则的一般方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 如图，已知正方体中，E为棱上的动点． （1）求证：； （2）若平面平面，求证：E为的中点． 15. 已知空间三点． （1）若为原点，求异面直线与所成角的余弦值； （2）求以为邻边的平行四边形的面积． 16. 如图，四棱柱的所有棱长均为1，点满足，设． （1）用表示； （2）若，求与的值． 17. 在三棱锥中，分别是的中点，且. （1）求. （2）已知,若分别是线段上的一个动点，且，求的最大值. 18 已知直线与x轴交于点A，把绕点A顺时针旋转得直线，与y轴交于点B. （1）求a的值； （2）若点A，B在直线的两侧，求b的取值范围； （3）若直线，关于直线l对称，求l的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二年级10月月考数学试卷 满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知正方体的棱长为1，若，，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的定义和运算律求值. 【详解】由题意知，，两两互相垂直，故， 又，所以. 故选：B 2. 在空间直角坐标系中，若点在平面内，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面内点的特征列方程求得，然后利用空间距离公式求解即可. 【详解】因为点在平面内，所以，即， 所以． 故选：B. 3. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上投影向量为，则 【答案】C 【解析】 【分析】设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，且，所以， 即，方程组无解，故不存在使得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确； 对于D：因为，， 若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误； 故选：C 4. 已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量，向量与平面平行，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直，向量与平面平行，可得向量与向量垂直，利用数量积为0求解即可. 【详解】由题意可知，，即，解得． 故选：B. 5. 若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，设在基底下的坐标为，化简，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量在基底下的坐标为，所以， 设在基底下坐标为， 则， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为． 故选：B. 6. 如图，是圆锥的轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 如图，连接，是半圆弧的中点，， 又平面，两两垂直， 则以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设，，， 则，，，， 则， 设异面直线与所成的角为， 则. 故选：B. 7. 在正四棱台中，，若的最小值为，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，从而得到该棱台的高为，从点向平面作垂线，垂足为，即可求出，再由等面积法求出点到直线的距离. 【详解】设，则点在平面上， 故， 因为的最小值为，的最小值为， 所以该棱台的高为． 如图，连接，，则四边形是等腰梯形，，， 从点向平面作垂线，垂足为， 则最小时，点与点重合，点在上，且， 所以， 设点到直线的距离为，则， 所以． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列四个结论错误的是（ ） A. 任意向量，，若，则或或 B. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C. 空间中任意向量，，都满足 D. 若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量数量积的概念判断AC的真假；根据三点共线的有关结论判断B的真假；举特例说明D错误. 【详解】对A：因为，若，则或或， 即或或，故A正确； 对B：因为，时，三点共线，故B正确； 对C：因为两个向量数量积是实数，故是与共线的向量， 是与共线的向量，所以未必成立，故C错误； 对D：当时，对任意向量，，都成立，但未必成立，故D错误. 故选：CD 9. 已知正方体，则（ ） A. B C. D. 当为平面的法向量时 【答案】BD 【解析】 【分析】根据即可判断A错误；根据即可判断B正确；根据即可判断C错误；设正方体的边长为，以为原点，分别为轴建系，利用空间向量法即可判断D正确. 【详解】对选项A，因为，方向相反，所以，故A错误； 对选项B，因为平面，平面，所以， 所以，故B正确； 对选项C，易知为等边三角形，所以， 则，故C错误； 对选项D，设正方体的边长为，以为原点，分别为轴建系， 如图所示： 则， ， 设，则， 令，则，即. 则，故D正确. 故选：BD 10. 若点到直线的距离相等，则下列结论可能成立的是（ ） A. 过原点 B. 过点 C. 且 D. 直线可能过点 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过直线与直线平行或相交，通过特殊值逐个判断即可. 【详解】由得，直线方程为 对于A，取，则过原点和平行，满足点到直线的距离相等，正确； 对于B，当直线与直线相交时， 因为点到直线的距离相等， 所以的中点在直线上，B正确； 对于C，当时，即，此时直线与直线相交， 由B可知：，若，则，前后矛盾，C错误； 对于D，当直线与直线相交时， 由B可得，即， 即直线可能过点，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 坐标原点O到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式求解. 【详解】由点到直线的距离公式可得． 故答案为： 12. 在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】由得，进而得，即，最后利用二次函数即可求解. 【详解】由题意有 由有， 所以， 所以， 所以， 当时，取最小值为， 当时，取最大值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 13. 已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，则的一般方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】首先求出直线与坐标轴分别交于点，再根据若四边形两组对角互补则四边形有外接圆求解即可. 【详解】设为原点，直线与坐标轴分别交于点， 当时，记的交点为，直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 因为，所以该四边形对角互补，有外接圆． 因为的斜率为，所以的斜率为，的方程为，即； 当与轴的交点为时，直线与两坐标轴围成一个四边形， 如图所示： 若该四边形有外接圆，则 ， 所以，此时的斜率为， 方程为，即，此时，符合题意． 综上得，直线的方程为或． 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 如图，已知正方体中，E为棱上的动点． （1）求证：； （2）若平面平面，求证：E为的中点． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）以D为原点，、、为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，计算即可证明； （2）求出面与面EBD的法向量，根据法向量垂直计算即可． 【小问1详解】 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则． 设，， ， ∴，即 【小问2详解】 设平面和平面EBD的法向量分别为，． ， ，即，令，则，则， ，即，令，则，则． 由平面平面，得. ，即. ∴当E为的中点时，平面平面. 15. 已知空间三点． （1）若为原点，求异面直线与所成角的余弦值； （2）求以为邻边的平行四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）解法一：求得，得到在上的投影向量的模为， 进而求得点到直线的距离，结合面积公式，即可求解； 解法二：求得，利用向量的夹角公式，求得， 得到，结合面积公式，即可求解； 解法三：求得， 结合面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 解：解法一：因为，所以， 所以在上的投影向量的模为， 所以点到直线的距离． 所以以，为邻边平行四边形的面积为． 解法二：因为， 所以， 所以，，可得， 所以， 所以以为邻边的平行四边形的面积为． 解法三：因为，所以， 所以以为邻边的平行四边形的面积为 ． 16. 如图，四棱柱的所有棱长均为1，点满足，设． （1）用表示； （2）若，求与的值． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法则，化简得到，再由，求得，进而化简得到． （2）根据题意，分别求得和， 再由，求得，结合向量数量积的运算律，即可求解. 【小问1详解】 解：根据空间向量的线性运算法则，可得． 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 解：因为，所以， 可得，解得， 同理可得， 因为，可得， 所以， 则 ． 17. 在三棱锥中，分别是的中点，且. （1）求. （2）已知,若分别是线段上的一个动点，且，求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用向量加减、数乘的几何意义，用表示出，即可得； （2）设，由、，应用向量数量积的运算律得关于的表示式，即可求最大值. 【小问1详解】 由题意得 所以，所以； 【小问2详解】 ①由题意， ， 由，得，设， 得 同理， 则 . 当时，取得最大值，且最大值为. 18. 已知直线与x轴交于点A，把绕点A顺时针旋转得直线，与y轴交于点B. （1）求a的值； （2）若点A，B在直线的两侧，求b的取值范围； （3）若直线，关于直线l对称，求l的斜率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线，倾斜角的关系，利用两角和的正切公式列式求解即可. （2）先求出直线经过点和B时，b的值，然后利用点A，B在直线两侧列不等式求解即可. （3）求出的交点，设关于的对称点为，然后列方程求解即可. 【小问1详解】 设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角与的终边相同， 因为直线的斜率为，所以， ， 所以，所以． 【小问2详解】 由已知可得， 当直线经过点时，，即， 当直线经过点时，，即， 所以当点在直线的两侧时，． 【小问3详解】 直线关于直线对称，则的交点在上， 由已知可知，直线的斜率存在，设为，则的方程为， 因为在上，关于的对称点在上，设， 由得，即， 由的中点在上，得，即， 代入得，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $