精品解析：浙江省舟山市金衢山五校联盟2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年浙江省金衢山五校联盟九年级上册期中数学质量监测 注意事项： 1.全卷满分120分，考试时间120分钟.试题卷共8页，有三大题，共24小题， 2.本次考试为闭卷考试，全卷答案必须做在答题卷上，做在试题卷上无效. 第I卷（选择题） 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分) 1. 已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解之即可，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得， 故选：． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 旅客上高铁列车前的安检应选择抽样调查 B. “离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件 C. 要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图 D. 若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩较稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查、事件的分类、折线统计图、方差的性质等知识点，根据全面调查与抽样调查的选取原则、事件的分类、折线统计图、方差的性质进行解题即可，熟练掌握它们的概念和性质是解决此题的关键． 【详解】A．旅客上高铁列车前的检查应选择全面调查，原说法错误； B．“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，原说法错误； C．要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图，原说法正确； D．若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩较稳定，原说法错误． 故选C． 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C. 直径是一个圆中最长的弦 D. 同圆中两条等弦所对的弧相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质． 根据圆的基本性质逐一分析即可． 【详解】解：A．平分弦（直径除外）的直径垂直于这条弦，原命题错误； B．同圆或等圆中，两个相等的圆心角所对的弧一定相等，原命题错误； C．直径是一个圆中最长的弦，正确； D．若一条是劣弧，另一条是优弧，则弧长不等，原命题错误； 故选：C． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点式的性质． 根据抛物线顶点式的性质分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可判断各个选项是否符合题意． 【详解】解：∵ ， ，图象的开口向下，故 A 错误，不符合题意； 对称轴为，故 B 错误，不符合题意； 顶点坐标为，故C正确，符合题意； 当时，随增大而减小，故 D 错误，不符合题意． 故选： C． 5. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，求出，即可求得的度数． 【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求解即可． 【详解】解：， ， 又，，， ， ， 故选：A． 7. 如图1，边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 8. 如图，是的直径．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：D． 9. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为得到，据此求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵点P是的黄金分割点（）， ∴， ∵长为， ∴， ∴， 故选：B． 10. 图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，D是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图，利用三角形的内角和定理，结合等腰直角三角形的性质得到，故当最大时，最大；根据坐标与图形性质，结合等腰三角形的判定与性质求得；然后利用待定系数法求得直线的解析式为，抛物线的解析式为，设，则，利用二次函数性质求得的最大值为，可得的最大值为，根据旋转性质可得倾斜后酒杯内红酒的最大深度是的最大值，即可求解． 【详解】解：以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图， ∵，， ∴， ∴，故当最大时，最大； ∵高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． ∴轴，， 则，，， ∴，， ∴，则， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得，则， ∴抛物线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， 当时，最大，最大值为， 此时，的最大值为， ∵高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示， 则此时酒杯内红酒的最大深度就是图1中的最大值， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，建立合适的平面直角坐标系，得到倾斜后酒杯内红酒的最大深度就是的最大值是解答的关键． 第II卷（非选择题） 二 、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11. 2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“马”、“到”、“成”、“功”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“成功”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“成功”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“成功”字样的结果数有2种结果， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“成功”字样的概率为：， 故答案为：． 12. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点代入函数解析式求值． 将交点坐标代入抛物线方程，得到关于的方程，进而求出代数式的值． 【详解】解：抛物线 与轴的一个交点为， ， 即， ． 故答案为：． 13. 如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，，____________________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，设，则，再由垂径定理可得，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设， ， ， ∵是的半径，弦于点P，， ， 在中，， ∴， 解得，即， 故答案为：13． 14. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数综合—面积问题，一次函数的应用，勾股定理，先求出，得到，直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，求出，从而可得，由二次函数的性质可得当时，的值最大，为，再结合，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，解得，，即，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为， ∵， ∴此时的值也最大，为， 故答案为：． 15. 如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题. 连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或. 故答案为：或. 16. 如图，在平行四边形中，为边上的点，若，交于，若，则等于______． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得，，则，再证明得到，所以，，再根据，得，，，从而得到的值． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：70． 三、 解答题(本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分) 17. （1）化简： （2）已知二次函数与坐标轴有3个交点，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2），且 【解析】 【分析】本题考查分式的化简及含参数的二次函数与坐标轴交点取值问题． （1）先对括号内的分式进行加法运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简即可； （2）先确定函数与坐标轴交点的情况，再根据交点个数要求列出条件求解m的取值范围即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵二次函数的图象与坐标轴有三个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点， ∴，， 即，解得，且． 故答案为：，且． 18. 如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． （1）求证：． （2）若的度数为，则的度数为________． 【答案】（1） 证明：如图：连接， 是直径， ， 又， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键． （1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （2）连接，根据的度数为可得到，根据且即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 的度数为， ， 且， ． 19. 如图，在的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知三个顶点的坐标分别为． （1）请画出将绕点A顺时针旋转后得到的； （2）请画出关于原点O成中心对称的； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换——旋转与中心对称，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解题的关键 （1）根据旋转的定义作出点B、C绕点A顺时针旋转后得到的对应点，再与点A首尾顺次连接即可得； （2）根据中心对称的概念作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可得； （3）用所在的正方形的面积减去其周围的三个三角形的面积即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为． 20. 南宁市某学校开展了“纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利80周年”思政大课研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中，a的值为__________；A组对应的扇形圆心角的度数为__________°． （3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用画树状图或列表的方法求所抽取的两人恰好是两名男生的概率． 【答案】（1） 如图所示： （2）32，72 （3）抽取的两人恰好是两名男生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了统计图的综合应用及概率的计算． （1）根据已知条件求出总人数，再用总人数减去A、B、D组人数求得C组人数，再将C组人数补全到条形统计图即可； （2）利用“B组人数÷总人数×100%=B组所占百分比”可得B组所占的百分比，根据“圆心角度数=A组占总体的百分比×”即可得出； （3）设两名男生分别为男1、男2，两名女生分别为女1、女2，据此列出列表，再计算所有可能的结果数和所抽取的两人恰好是两名男生的结果数，最后计算概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴C组人数为：（人）， 【小问2详解】 解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴， A组对应的扇形圆心角的度数为：． 故答案为：32，72． 【小问3详解】 解：由题意知，列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 ∴共有12种等可能情况，其中所抽取的两人恰好是两名男生的情况有2种， ∴所抽取的两人恰好是两名男生的概率为． 21. 中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求这20天中第几天销售利润为18000元； （3）这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 【答案】（1） （2）第5天的销售利润为18000元 （3） 不能，理由如下： 由（2）可得， ∵，， ∴当时，w最大，最大值， ∵， ∴最大利润不能超过18000元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数、一次函数的应用． （1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式； （2）设总利润为w元，根据总利润每个纪念品的利润销售量列出函数解析式，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据函数的性质求最值即可得出结论． 【小问1详解】 解：由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为， 把和代入可得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 设总利润为w元， 则， 当时，则， 解得：， ∴第5天的销售利润为18000元， 答：第5天的销售利润为18000元； 【小问3详解】 略 22. 如图，六边形是的内接正六边形，连接，． （1）填空：的度数为_____． （2）若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆、直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等知识，掌握这些是解题的关键． （1）根据正n边形中心角为，即可求解； （2）过点O作于点P，求得是等边三角形，利用直角三角形性质结合勾股定理求得半径是4，再利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点O作于点P， ， 是等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负值）， ， ， 的长为， 阴影部分的周长为． 23. 根据背景素材，探索解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上． 任务（1）小红求得用到的几何知识是 ； （2）求灯泡到地面的高度． 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含的式子表示）． 【答案】问题解决1：（1）相似三角形的应用；（2）灯泡到地面的高度为；问题解决2：旗杆的高度为． 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 问题解决1： （1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，即可求的长，进而得出结论； （2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长． 问题解决2：利用标杆进行测量，可以采用视线共线法，测量标杆高度，眼睛高度，及水平距离，通过相似来计算目标高度． 【详解】问题解决1： 解：（1）由题意可得：， 则， ∴， ∴， 解得， 则小红求得用到的几何知识是相似三角形的应用， 故答案为：相似三角形的应用； （2）∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 问题解决2： 解：在旗杆左侧距离点B一定距离的点F处，竖直竖立标杆，测量人员继续向左走至点D处，观察旗杆顶部点A，视线恰好过标杆顶部，测量示意图如图所示，     测量数据：，，，， 由测量示意图易得，，，， ， 得， ， ， 故旗杆的高度为． 24. 如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点． （1）直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式，并求出点的坐标； （3）如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、待定系数法求二次函数的解析式、矩形的性质、二次函数的综合等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． （1）作交于点D，则，得到 ，由二次函数的性质可得 ，即可得出点B的坐标， （2）设抛物线的解析式为，将代入抛物线得：，求出a的值，即可得出抛物线解析式，联立．即可求出点C的坐标． （3）根据题意得 ，，分两种情况：当点D在点C的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别计算即可得到答案． 【小问1详解】 如图1，作交于点D， ∵， ∴， ∴， ∵、B为二次函数与x轴的交点， ∴、B关于直线对称， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 设抛物线解析式为， 将代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 联立， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴． 【小问3详解】 ∵点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点， ∴，， 如图2，当点D在点C左侧时， ， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大， 如图3，当点D在点C右侧时， ， ∴， ∵， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大． 综上所述，当或时，矩形的面积随着的增大而增大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙江省金衢山五校联盟九年级上册期中数学质量监测 注意事项： 1.全卷满分120分，考试时间120分钟.试题卷共8页，有三大题，共24小题， 2.本次考试为闭卷考试，全卷答案必须做在答题卷上，做在试题卷上无效. 第I卷（选择题） 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分) 1. 已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 旅客上高铁列车前的安检应选择抽样调查 B. “离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件 C. 要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图 D. 若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩较稳定 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C. 直径是一个圆中最长的弦 D. 同圆中两条等弦所对的弧相等 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 5. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ）． A. B. C. D. 10. 图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，D是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二 、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11. 2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“马”、“到”、“成”、“功”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“成功”的概率是________． 12. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______． 13. 如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，，____________________． 14. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是______． 15. 如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 16. 如图，在平行四边形中，为边上的点，若，交于，若，则等于______． 三、 解答题(本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分) 17. （1）化简： （2）已知二次函数与坐标轴有3个交点，求m的取值范围． 18. 如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． （1）求证：． （2）若的度数为，则的度数为________． 19. 如图，在的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知三个顶点的坐标分别为． （1）请画出将绕点A顺时针旋转后得到的； （2）请画出关于原点O成中心对称的； （3）求的面积． 20. 南宁市某学校开展了“纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利80周年”思政大课研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中，a的值为__________；A组对应的扇形圆心角的度数为__________°． （3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用画树状图或列表的方法求所抽取的两人恰好是两名男生的概率． 21. 中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求这20天中第几天销售利润为18000元； （3）这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 22. 如图，六边形是的内接正六边形，连接，． （1）填空：的度数为_____． （2）若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 23. 根据背景素材，探索解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上． 任务（1）小红求得用到的几何知识是 ； （2）求灯泡到地面的高度． 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含的式子表示）． 24. 如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点． （1）直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式，并求出点的坐标； （3）如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $