专题2.1.3方程组的解集 （高效培优讲义）（7大题型）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦方程组的解集这一核心知识点，系统梳理从方程组解集的定义及消元思想出发，到二元一次、三元一次、二元二次方程组的概念与解法，通过知识点分块与即学即练构建从基础概念到复杂问题的学习支架。 该资料以题型分类（含参、实际应用等）为主线，典例与变式结合，培养学生用数学思维分析问题（如消元降次）和用数学语言表达解集的能力，课中辅助分层教学，课后助力学生通过练习查漏补缺，提升运算能力与推理意识。

专题2.1.3方程组的解集 教学目标 1.帮助学生掌握方程组解集的写法； 2.使学生理解消元思想； 教学重难点 1.重点 方程组解集的书写，求解方程组. 2.难点 方程组的解法. 知识点01 方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 注意：（1）解方程组常用的方法：消元法． （2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 【即学即练】关于x，y的方程组的解集为，则（    ） A．1 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】由题意，将代入方程组得， 则，故. 故选：D. 知识点02 二元一次方程组 方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【即学即练】方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程组的解为, 所以方程组的解集为， 故选：D. 知识点03 三元一次方程组 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 【即学即练】方程组的解集为__________. 【答案】 【解析】 由①③可得：， 整理并化简得：，④ 由②④得：， 整理并化简得：， 将代入②得，， 将，代入③得：， 所以该方程组的解集为， 故答案为： 知识点04二元二次方程组 二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程叫做二元二次方程． 二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为2，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 注：(1)二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个二元二次方程组成，我们主要学习第一种类型． (2)解二元二次方程组的思路是消元和降次． 【即学即练】求下列方程组的解集 (1)． (2) 【解析】（1）将②代入①，整理得，解得或． 利用②可知，时，；时，． 所以原方程组的解集为． （2）由①②，整理得．③ 由③解得．代入①，并整理，得，解得或． 利用③可知，时，；时，． 因此，原方程组的解集为． 题型01 不含参二元一次方程组 【典例1】（2026·高一·山东德州·期末）甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了解得，乙因看错了解得，则的值分别为（    ） A．，3 B．4，3 C．，4 D．3，4 【答案】B 【解析】甲看错，把代入，得，解得. 乙看错，把代入，得，解得. 综上，. 【变式1-1】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）二元一次方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题， 得，解得，代入得，则， ∴方程组的解集是. 故选：D. 【变式1-2】若关于x，y的方程组与的解集相等，则a、b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意联立方程为：，解得， 把代入得，解得. 故选：B 【变式1-3】我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一根竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子再量竿，却比竿子短一托，问索和竿子各几何？”“其大意为：“现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问绳索和竿子各多少尺？”设绳索长尺，竿子长尺，下列所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设绳索长尺，竿子长尺，由题意得到， 故选：A 题型02 含参二元一次方程组 【典例2】下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 【答案】D 【解析】由题意得，， 即， 当时，不成立，方程组无解； 当时，，方程组有唯一解. 故选：D. 【变式2-1】关于x，y的方程组的解集，不正确的说法是（    ） A．可能是空集 B．可能是无限集 C．可能是单元集 D．可能是 【答案】A 【解析】由得从而得，即 若，则可取任意实数，此时解有无数个，故B正确， 若,则，故CD正确， 解集不可能是空集，所以A错误， 故选：A 【变式2-2】关于，的方程组的解集，不正确的说法是（    ） A．可能是空集 B．必定不是空集 C．可能是单元素集合 D．可能是无限集 【答案】A 【解析】当时，与重合，解集是 无限集，则D正确； 当时，有单元素集合，则B，C正确； 故选：A 【变式2-3】关于，的方程组，则下列说法错误的是（    ）． A．一定有解 B．可能有唯一解 C．可能有无穷多解 D．可能无解 【答案】D 【解析】关于，的方程组 由，可得 (3) 当时，为恒等式，有无穷多解； 当时，，有唯一解 故选：D 题型03 三元一次方程组 【典例3】已知非零实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两式子相加可得，所以，所以， 故选：C 【变式3-1】方程组的解集可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 将代入得，所以， 故选：D 【变式3-2】已知，则（    ） A．（-1）:13:5 B．1:（-17）:（-5） C．1:5:13 D．1:17:5 【答案】A 【解析】因为， 两式相加得，则， 则， 所以. 故选：A 【变式3-3】（2026·高一·山东日照·阶段检测）方程组的解集的是（    ） A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)} 【答案】A 【解析】由题意 将第一个式子分别与第二、第三个式子相加得： 代入第一个式子，可得 故方程组的解集为：{(1，－2，3)} 故选：A 题型04 二元二次方程组的解（二次幂+一次幂） 【典例4】方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得：，代入得： ，化简得：，解得或， 对应的或，所以解集为. 【变式4-1】（2026·高一·北京·阶段检测）方程组解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程组，解得或， 所以方程组解集是. 故选：C 【变式4-2】（2026·高一·广东深圳·期中）方程组的解集是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解方程组，再将方程组的解用集合表示.由，解得， 所以方程组的解集是， 故选：D 【变式4-3】已知方程组，则“”是“方程组的解集中只含有一个元素”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】将代入可得，根据原方程组的解集只有一个元素可得出或，分类讨论求出的取值，再结合充分条件和必要条件的定义即可判断.由方程组，消去，得，① 当时，①式为，此时，原方程组的解集为，满足题意； 当时，则，解得. 故方程组的解集中只含有一个元素时，或. 因此，“”是“方程组的解集中只含有一个元素”的充分不必要条件. 故选：A. 题型05 二元二次方程组的解（二次幂+二次幂） 【典例5】方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，代入得， 化简得：，解得：或，又， 因为，所以，又因为，所以， 解集为. 【变式5-1】（2026·四川凉山·一模）已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由已知可知， 所以. 故选：A 【变式5-2】（2026·湖南衡阳·二模）若相异两实数x，y满足，则之值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】两式作差消元得：，反代回去得： ，同理可得：，由同构及韦达定理有： 继而有： . 故选：D 【变式5-3】已知实数，满足，，则______． 【答案】或2或 【解析】当时，由题得所以或，所以或2； 当时，实数，是方程的两个实数根， 所以， 综合得或2或. 故答案为：或2或 题型06 根据解集求参数 【典例6】（2026·高一·北京·期中）已知关于的方程组解集中只有一个元素，则实数______. 【答案】或 【解析】将代入得， 当即时，方程为，解得，符合题意； 当即时，关于的一元二次方程只有一解， 所以，解得. 综上，或1. 故答案为：或. 【变式6-1】（2026·高一·北京·阶段检测）若关于的方程组.唯一解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】由题意可得，化简得：， 因为方程组有唯一解，所以关于的方程有唯一解， 即，解得. 故答案为：. 【变式6-2】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知是方程组的解，则方程组的解是______． 【答案】 【解析】由题意，代入方程组可得， 所以当时，代入方程组， 可得，成立， 所以方程组的解是， 故答案为： 【变式6-3】（2026·高一·北京·阶段检测）若关于的方程组与的解集相等，则__________；__________. 【答案】 /-0.5 【解析】因为方程组与的解集相等， 所以的解集也是它们的解集， 由，得到， 所以，解得， 故答案为：. 题型07 方程组在实际问题中的应用 【典例7】已知矩形的面积为，对角线长，则该矩形的周长为_________. 【答案】34 【解析】设矩形的长为，宽为. 由题意可得：，则， 所以，所以该矩形的周长为. 故答案为：34. 【变式7-1】若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________. 【答案】 【解析】由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为. 故答案为. 【变式7-2】《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾三秉①，中禾二秉②，下禾一秉，实三十九斗③；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗. 问上、中、下禾实一秉各几何？请列方程组求解这个问题. ①禾：粮食作物的总称.②秉：束. ③斗：计量单位，1斗=10升. 【解析】设上、中、下禾一秉分别为斗，依题意，， 得，得， 得，于是，， 所以上、中、下禾一秉各为斗. 【变式7-3】（2026·高一·北京·阶段检测）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲，乙，丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)若全部水果都用甲，乙两种车型来运送，需运费8200元.问分别需甲，乙两种车型各几辆？ (2)市场可以调用甲，乙，丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16，分别求出三种车型的辆数. 【解析】（1）设需甲车型辆，乙车型辆， 由题得，解得， 所以需甲车型8辆，乙车型10辆. （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆， 由题得，，消得到，所以， 又均为正整数，得到或， 当时，，当时， ， 所以，甲，乙，丙三种车型分别为或. 1．（2026·高一·上海普陀·阶段检测）关于x，y的方程组的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由，则， 所以方程组的解集为. 故选：C 2．若关于，的方程组的解集为，则（    ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 【答案】D 【解析】∵关于，的方程组的解集为， ∴，解得，， ∴. 故选：D. 3．已知方程组的解满足，则的算术平方根为（ ） A．4 B．﹣2 C．﹣4 D．2 【答案】D 【解析】把两个方程相加可得，结合题意可求出，进而求出答案．把两个方程相加可得， 两边同除以3可得，解得， 因此的算术平方根为2， 故选：D． 4．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则的值是（     ） A．6 B．4 C．-4 D．-6 【答案】A 【解析】将代入方程，求出、即可求解.把代入方程组得： 解得： ∴ 故选：A. 5．已知关于x，y的方程组和有相同的解集，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解方程组可得, 将代入，解得. 故选：D. 6．|3a＋b＋5|＋|2a－2b－2|＝0，则2a2－3ab的值是（    ） A．14 B．2 C．－2 D．－4 【答案】D 【解析】∵|3a＋b＋5|＋|2a－2b－2|＝0，∴ 解得：a＝－1，b＝－2，则2a2－3ab＝2－6＝－4. 故选：D 7．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据组数×每组7人＝总人数－3人，得方程； 根据组数×每组8人＝总人数＋5人，得方程 ， 列方程组为 故选：C 8．（多选题）（2026·高一·辽宁·阶段检测）方程组的解集为，若x1+x2＝﹣3，则（　　） A．k＝1或 B．y1+y2＝﹣3或y1+y2＝﹣1 C．y1+y2＝1或y1+y2＝3 D．x12+x22＝12或x12+x22＝15 【答案】AC 【解析】由题可知（x1，y1），（x2，y2）为直线kx﹣y+2＝0与圆x²+y²+2x﹣8＝0的两个交点坐标， 由kx﹣y+2＝0得y＝kx+2，代入圆方程可得（1+k²）x²+（2+4k）x﹣4＝0， 则x1+x2＝﹣＝﹣3，解得k＝1或，故A正确； 因为y1+y2＝kx1+2+kx2+2＝k（x1+x2）+4＝﹣3k+4，所以k＝1或时，y1+y2＝1或3，故B错误，C正确； 又有x1x2＝﹣，则，则当k＝1或时，x12+x22＝13或，故D错误； 故选：AC． 9．（多选题）方程组的解有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由x2=1，得x=±1， 当x=1时，y2=1，得y=±1， 当x=-1时，y2=-1，无解. 故方程组的解为 故选：AB. 10．（多选题）对于二元一次方程组的解用集合表示正确的为 A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】方程组的解集为有序数对，列举法表示为，描述法表示为或. 故选 11．（2026·高一·上海·阶段检测）已知，求方程组的解集__________. 【答案】 【解析】由，解得， 所以方程组的解集为. 故答案为： 12．（2026·高一·上海·阶段检测）用列举法表示关于x与y的二元一次方程组的解集为________ 【答案】 【解析】由题知，解集为点集，因为二元一次方程组， 解得，所以解集为. 故答案为： 13．解关于x，y的方程组． 【解析】当时无解； 当时，两式相减，解得, 综上所得，当时无解；当时，解集为 14．（2026·高一·广东潮州·阶段检测）解下列方程或方程组： (1) (2)． 【解析】（1）， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， 故原方程组的解为． （2）解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为． 15．（2026·高一·北京·阶段检测）求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【解析】（1）由方程，即， 解得或，即方程的解集为. （2）由方程，即 解得或，即方程的解集为. （3）由方程，即，解得，即， 所以方程的解集为. （4）由不等式组， ①+②，可得，②-③，可得， 联立方程组，解得，代入①式，可得， 所以不等式组的解集为. （5）由方程组，整理得，解得或， 当时，可得；时，可得， 所以方程组的解集为. 1．若方程组的解集是，则方程组的解集是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程组的解集是：     两边都除以得：，对照方程组可得： 可得方程组的解集为： 故选 2．已知|x－z＋4|＋|z－2y＋1|＋|x＋y－z＋1|＝0，则x＋y＋z＝（    ） A．9 B．10 C．5 D．3 【答案】A 【解析】由题意，得， (3)-(1)，得y＝3. 把y＝3代入(2)，得z＝5. 把z＝5代入(1)，得x＝1. 所以x＋y＋z＝1＋3＋5＝9. 故选：A. 3．已知式子与是同类项，则、的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据与是同类项，可得出、的指数分别相等，由此可得出关于、的方程组，解出即可.由与是同类项可得， 将代入可得，解得，则. 故选：D. 4．若，则的值是（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】根据题意得出，解出这两个未知数的值，即可计算出的值.由，可得， 两式相加得，解得，代入，则，解得， 因此，. 故选：A. 5．（2026·高一·山东潍坊·期中）读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为 A．120 B．130 C．150 D．180 【答案】A 【解析】设毛诗本，春秋本，周易本，学生人数为，则 ， 解得. 故选A. 6．如果其中，那么 A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．2∶3∶1 D．3∶2∶1 【答案】C 【解析】已知 ①②得，即，代入①可得： 故选 7．若二元一次方程，，有公共解，则实数的值为（  ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【解析】解二元一次方程组得： 将代入，解得： 故选 8．（多选题）（第三单元等式、不等式及其性质、不等式的解集、一元二次不等式的解法B卷）阅读理是实数，我们把符号称为行列式，并且规定：，例如：．二元一次方程组的解可以利用行列式表示为其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．方程组的解集为 【答案】ABD 【解析】A：，对； B：，对； C：，错； D：方程组的解为，对. 故选：ABD 9．（多选题）（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于方程组，③-①得，， ①-②得，把代入得， 把代入①得， 所以方程组的解集为或. 故选：CD 10．（多选题）给出以下说法，其中正确的为 A．关于的方程的解是（） B．方程组的正整数解有2组 C．已知关于，的方程组其中，当时，方程组的解也是方程的解 D．以方程组的解为坐标的点在第二象限 【答案】BC 【解析】对于，关于的方程的解是：或（），错误； 对于，方程组    是正整数     只能分解为    方程②即为    ， 将代入原方程组可得，解得：或 这个方程组的正整数解是和，正确； 对于，关于的方程组，解得：     当时，    方程组的解也是方程的解，正确； 对于，解方程组得：    点在第一象限，错误. 故选 11．（2026·高一·北京·阶段检测）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲､乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示，若全部水果都用甲､乙两种车型来运送（假设每辆车均满载），需运费8200元，则需甲车型__________辆，乙车型__________辆（用数字作答）. 车型 甲 乙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 汽车运费（元辆） 400 500 【答案】 【解析】设需甲车型辆，乙车型辆， 由题得，解得， 所以需甲车型辆，乙车型辆. 故答案为：；. 12．（2026·高一·吉林·阶段检测）配平化学方程式可以通过解方程组来完成.例如，在中燃烧生成，可以设方程式为，其中，，均为正整数，且它们的最大公约数为1.由方程式两边的同种原子数目相等可得，令，则，.因此配平后的化学方程式为.用这种方式配平化学方程式，为正整数，则，，，分别为______. 【答案】4，5，4，6（少写或者错写均不得分） 【解析】由同种原子数目相等，有， 令，则，，， 由于各数均需要为整数，且它们的最大公约数为1，故同时乘2， 所以，，，分别为4，5，4，6. 故答案为：4，5，4，6. 13．若多项式当、时的值均为，则当________时，多项式的值也是. 【答案】 【解析】设当时，，由此可得出，展开后可得出关于、、的方程组，即可求出的值.设当时，，则， 即有， 比较系数，得，解得. 因此当时，多项式的值也是. 故答案为：. 14．（2026·高一·北京延庆·阶段检测）写出下列方程（方程组）的解集. (1) (2)； (3) (4) (5) 【解析】（1）由，得，解得或，解集为. （2）由，得，解得或，解集为. （3）由方程，即， 解得或，即或，解集为. （4）由方程组， ①②，得，④ ①+③，得，⑤ 由⑤得，代入④得， 将代入⑤得， 将代入②得， 所以解集为. （5）由方程组，由代入消元得， 即，解得或， 当时，可得；时，， 所以方程组的解集为. 15．求三元一次方程组的解集. 【解析】给两边同乘以3，得，再与相加， 得， 由，得， 把代入中，解得， 所以原方程组的解集为. 16．（2026·高一·北京西城·期中）已知关于，的方程组其中. (1)当时，求该方程组的解； (2)证明：无论为何值，该方程组总有两组不同的解； (3)记该方程组的两组不同的解分别为和，判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由. 【解析】（1）当时，消去得， 解得，， 因此，方程组的解为和. （2）消去整理得， 显然，且， 因此，该方程有两个不同的解，该方程组也对应有两组不同的解. （3）是定值，定值为4，理由如下： 由韦达定理得，， 所以， ， 所以， 因此，是定值，且定值为4. 17．（2026·高二·上海黄浦·阶段检测）解关于，的方程组：． 【解析】（1）当时，，方程组解为； （2）当时，，方程组无解； （3）当时，两式相加得，两式相减得，方程组解为. 18．当k为何值时，方程组有两组相同的解？并求出它的解． 【解析】由（1）式，则且， 由（2）式，代入上式得， 若有两组相同的解，则， 所以或， 当时，，即，此时； 当时，，即不满足； 综上，时方程组有两组相同的解为，. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1.3方程组的解集 教学目标 1.帮助学生掌握方程组解集的写法； 2.使学生理解消元思想； 教学重难点 1.重点 方程组解集的书写，求解方程组. 2.难点 方程组的解法. 知识点01 方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 注意：（1）解方程组常用的方法：消元法． （2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 【即学即练】关于x，y的方程组的解集为，则（    ） A．1 B．5 C．6 D．7 知识点02 二元一次方程组 方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【即学即练】方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 知识点03 三元一次方程组 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 【即学即练】方程组的解集为__________. 知识点04二元二次方程组 二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程叫做二元二次方程． 二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为2，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 注：(1)二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个二元二次方程组成，我们主要学习第一种类型． (2)解二元二次方程组的思路是消元和降次． 【即学即练】求下列方程组的解集 (1)． (2) 题型01 不含参二元一次方程组 【典例1】（2026·高一·山东德州·期末）甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了解得，乙因看错了解得，则的值分别为（    ） A．，3 B．4，3 C．，4 D．3，4 【变式1-1】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）二元一次方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若关于x，y的方程组与的解集相等，则a、b的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一根竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子再量竿，却比竿子短一托，问索和竿子各几何？”“其大意为：“现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问绳索和竿子各多少尺？”设绳索长尺，竿子长尺，下列所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02 含参二元一次方程组 【典例2】下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 【变式2-1】关于x，y的方程组的解集，不正确的说法是（    ） A．可能是空集 B．可能是无限集 C．可能是单元集 D．可能是 【变式2-2】关于，的方程组的解集，不正确的说法是（    ） A．可能是空集 B．必定不是空集 C．可能是单元素集合 D．可能是无限集 【变式2-3】关于，的方程组，则下列说法错误的是（    ）． A．一定有解 B．可能有唯一解 C．可能有无穷多解 D．可能无解 题型03 三元一次方程组 【典例3】已知非零实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】方程组的解集可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，则（    ） A．（-1）:13:5 B．1:（-17）:（-5） C．1:5:13 D．1:17:5 【变式3-3】（2026·高一·山东日照·阶段检测）方程组的解集的是（    ） A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)} 题型04 二元二次方程组的解（二次幂+一次幂） 【典例4】方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高一·北京·阶段检测）方程组解集是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·广东深圳·期中）方程组的解集是（    ）. A． B． C． D． 【变式4-3】已知方程组，则“”是“方程组的解集中只含有一个元素”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型05 二元二次方程组的解（二次幂+二次幂） 【典例5】方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·四川凉山·一模）已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】（2026·湖南衡阳·二模）若相异两实数x，y满足，则之值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-3】已知实数，满足，，则______． 题型06 根据解集求参数 【典例6】（2026·高一·北京·期中）已知关于的方程组解集中只有一个元素，则实数______. 【变式6-1】（2026·高一·北京·阶段检测）若关于的方程组.唯一解，则实数的取值范围是__________. 【变式6-2】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知是方程组的解，则方程组的解是______． 【变式6-3】（2026·高一·北京·阶段检测）若关于的方程组与的解集相等，则__________；__________. 题型07 方程组在实际问题中的应用 【典例7】已知矩形的面积为，对角线长，则该矩形的周长为_________. 【变式7-1】若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________. 【变式7-2】《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾三秉①，中禾二秉②，下禾一秉，实三十九斗③；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗. 问上、中、下禾实一秉各几何？请列方程组求解这个问题. ①禾：粮食作物的总称.②秉：束. ③斗：计量单位，1斗=10升. 【变式7-3】（2026·高一·北京·阶段检测）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲，乙，丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)若全部水果都用甲，乙两种车型来运送，需运费8200元.问分别需甲，乙两种车型各几辆？ (2)市场可以调用甲，乙，丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16，分别求出三种车型的辆数. 1．（2026·高一·上海普陀·阶段检测）关于x，y的方程组的解集是（   ） A． B． C． D．或 2．若关于，的方程组的解集为，则（    ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 3．已知方程组的解满足，则的算术平方根为（ ） A．4 B．﹣2 C．﹣4 D．2 4．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则的值是（     ） A．6 B．4 C．-4 D．-6 5．已知关于x，y的方程组和有相同的解集，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 6．|3a＋b＋5|＋|2a－2b－2|＝0，则2a2－3ab的值是（    ） A．14 B．2 C．－2 D．－4 7．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·辽宁·阶段检测）方程组的解集为，若x1+x2＝﹣3，则（　　） A．k＝1或 B．y1+y2＝﹣3或y1+y2＝﹣1 C．y1+y2＝1或y1+y2＝3 D．x12+x22＝12或x12+x22＝15 9．（多选题）方程组的解有（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）对于二元一次方程组的解用集合表示正确的为 A． B． C． D． 11．（2026·高一·上海·阶段检测）已知，求方程组的解集__________. 12．（2026·高一·上海·阶段检测）用列举法表示关于x与y的二元一次方程组的解集为________ 13．解关于x，y的方程组． 14．（2026·高一·广东潮州·阶段检测）解下列方程或方程组： (1) (2)． 15．（2026·高一·北京·阶段检测）求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 1．若方程组的解集是，则方程组的解集是 A． B． C． D． 2．已知|x－z＋4|＋|z－2y＋1|＋|x＋y－z＋1|＝0，则x＋y＋z＝（    ） A．9 B．10 C．5 D．3 3．已知式子与是同类项，则、的值分别是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值是（    ） A．8 B． C．4 D． 5．（2026·高一·山东潍坊·期中）读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为 A．120 B．130 C．150 D．180 6．如果其中，那么 A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．2∶3∶1 D．3∶2∶1 7．若二元一次方程，，有公共解，则实数的值为（  ） A．3 B． C． D．4 8．（多选题）（第三单元等式、不等式及其性质、不等式的解集、一元二次不等式的解法B卷）阅读理是实数，我们把符号称为行列式，并且规定：，例如：．二元一次方程组的解可以利用行列式表示为其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．方程组的解集为 9．（多选题）（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）给出以下说法，其中正确的为 A．关于的方程的解是（） B．方程组的正整数解有2组 C．已知关于，的方程组其中，当时，方程组的解也是方程的解 D．以方程组的解为坐标的点在第二象限 11．（2026·高一·北京·阶段检测）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲､乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示，若全部水果都用甲､乙两种车型来运送（假设每辆车均满载），需运费8200元，则需甲车型__________辆，乙车型__________辆（用数字作答）. 车型 甲 乙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 汽车运费（元辆） 400 500 12．（2026·高一·吉林·阶段检测）配平化学方程式可以通过解方程组来完成.例如，在中燃烧生成，可以设方程式为，其中，，均为正整数，且它们的最大公约数为1.由方程式两边的同种原子数目相等可得，令，则，.因此配平后的化学方程式为.用这种方式配平化学方程式，为正整数，则，，，分别为______. 13．若多项式当、时的值均为，则当________时，多项式的值也是. 14．（2026·高一·北京延庆·阶段检测）写出下列方程（方程组）的解集. (1) (2)； (3) (4) (5) 15．求三元一次方程组的解集. 16．（2026·高一·北京西城·期中）已知关于，的方程组其中. (1)当时，求该方程组的解； (2)证明：无论为何值，该方程组总有两组不同的解； (3)记该方程组的两组不同的解分别为和，判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由. 17．（2026·高二·上海黄浦·阶段检测）解关于，的方程组：． 18．当k为何值时，方程组有两组相同的解？并求出它的解． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $