精品解析：北京市通州区2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025北京通州高一（上）期中 数学 2025年11月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则有（ ） A. 最大值1 B. 最小值1 C. 最大值3 D. 最小值3 4. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递减，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 7. 已知，，则下列式子不成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象可能为　　 A. B. C. D. 9. 已知，则的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 10. 在计算机系统中，缓存的核心作用是加速数据访问.当缓存加载完成后，未被读取的信息比例会随时间的推移逐渐下降，其变化规律可用函数模型近似描述.其中表示稳态未被读取比例，表示初始时未被读取的“额外”比例，为衰减时间常数.某工程师对某服务器缓存进行性能测试，下表记录了以下数据（缓存加载完成后开始计时）： （分钟） 0 5 10 75 45 30 用该模型推算当时，缓存中未被读取的信息比例约为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为____________. 12. 已知幂函数的图象过点，则__________. 13. 已知函数的对应关系如下表： 1 2 3 4 2 4 3 1 2 1 4 3 则__________；不等式的解集为__________. 14. 函数，若时，则的值为__________；若满足且，，则实数的取值范围是__________. 15. 已知函数， ①存在实数，使得函数为奇函数； ②任意实数，当时，都有； ③任意实数，存在实数，使得方程有三个不相等的实数根； ④若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是__________. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数的图象过点和. （1）求函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）求不等式的解集. 17. 设集合，集合，. （1）当时，求； （2）从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围. 条件①：； 条件②：若“”是“”的充分条件. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 18. 已知函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）当时，试比较与的大小，并说明理由. 19. 某训练平台为优化算力资源分配，需分析模型训练的能源消耗成本.已知该平台的模型训练任务分为“轻量训练”（数据量不高于10千）和“深度训练”（数据量高于10千）两类，其能源消耗费用（单位：千元）与训练数据量（单位：千）的关系为：.平台通过训练任务可获得收入，轻量训练每千数据收入为11千元，深度训练每千数据收入为20千元. （1）求该平台训练的毛利润（单位：千元）关于训练数据量（单位：千）的函数关系式（毛利润=总收入-能源消耗费用）； （2）当训练数据量为多少时，平台毛利润最大？最大毛利润是多少？ 20. 已知二次函数. （1）若图象恒在轴的下方，求实数的取值范围； （2）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （3）若对任意，总存在，使，求实数的取值范围. 21. 对于正整数，集合，若存在非空子集，满足： ①； ②； ③中元素之和等于元素之积． 则称集合为“可拆数集”． （1）判断是否为“可拆数集”，并说明理由； （2）证明：对于任意整数，是“可拆数集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京通州高一（上）期中 数学 2025年11月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题，进而求解. 【详解】由命题，所以为：， 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合，利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由，所以， 故选：C. 3. 已知，则有（ ） A. 最大值1 B. 最小值1 C. 最大值3 D. 最小值3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由基本不等式即可解出答案. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当“”即时，等号成立. 所以当时，有最小值为3. 故选：D. 4. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可判断A，利用特值法即可判断BCD. 【详解】对于A，由，所以，所以，故A正确； 对于B，当时，，所以，故B错误； 对于C，当时，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D错误， 故选：A. 5. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递减，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性和单调性进行比大小. 【详解】是偶函数，. 又在上单调递减， 故选：C. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法，结合必要非充分条件定义即可进行判断． 【详解】，由可得， 解得：或， 所以“”不能推出“”； 当时，可得：， 所以“”可以推出“” “”是“”的必要非充分条件． 故选：B． 7. 已知，，则下列式子不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数幂的运算即可判断AB，利用基本不等式即可判断C，由，利用指数与对数的转化求的范围，进而利用二次函数再给定区间的最值即可判断D. 【详解】由，所以，所以，故A正确； 由，故B错误； 由，由，又， 所以（当时取等号）， 因为，所以等号不能取到，故，故C正确； 因为，所以， 又由，因为，所以， 所以，故D正确， 故选：B 8. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象可能为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出的解析式，在求其解析式的时候，关键是要根据题中所给的图，对t的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图像，求得结果. 【详解】分两种情况讨论： （1）当时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为， 从而可以求得， （2）当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形， 可求得， 所以， 从而可选出正确的图象， 故选A. 【点睛】该题所考查的是有关函数图象的选择问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，有关函数解析式的求法，根据解析式选择合适的函数图象，属于 中档题目. 9. 已知，则的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可理解为三个函数的函数值相同时，对应的自变量的大小关系的可能情况. 【详解】 令，则等价于. 因此该题可理解为三个函数的函数值相同时，对应的自变量的大小关系. 根据图象分析的大小关系共有以下4种情况： ①；②；③；④；⑤. 故选：D. 10. 在计算机系统中，缓存的核心作用是加速数据访问.当缓存加载完成后，未被读取的信息比例会随时间的推移逐渐下降，其变化规律可用函数模型近似描述.其中表示稳态未被读取比例，表示初始时未被读取的“额外”比例，为衰减时间常数.某工程师对某服务器缓存进行性能测试，下表记录了以下数据（缓存加载完成后开始计时）： （分钟） 0 5 10 75 45 30 用该模型推算当时，缓存中未被读取的信息比例约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知建立方程组分别求出，、，从而代入计算可得. 【详解】由题意得：当时，， 当时，， 当时，， 由得， 由得， 由得，所以， 由得，解得，则， 所以当时，， 即当时，缓存中未被读取的信息比例约为. 故选：B. 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为____________. 【答案】 【解析】 【分析】使函数解析式有意义可得，解不等式即可求解. 【详解】解：根据函数，可得，求得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 12. 已知幂函数的图象过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，代入点，解得的值，再代入即可得. 【详解】设，则，解得，所以. 故答案为： 13. 已知函数的对应关系如下表： 1 2 3 4 2 4 3 1 2 1 4 3 则__________；不等式的解集为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据所给表格数据求出及，即可得解. 【详解】由表可知，则， 又因为，，，， 所以满足的只有，即不等式的解集为. 故答案为：； 14. 函数，若时，则的值为__________；若满足且，，则实数的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，根据分段函数即可求；先作出函数与的图像，根据的情况，分类讨论即可求解. 【详解】当时，，所以； 作出函数与的图像， 当时，作出的图像， 由图可知，且，，即满足题意， 当时，作出的图像， 由图可知，且，，即满足题意， 综上所述，， 故答案为：；. 15. 已知函数， ①存在实数，使得函数为奇函数； ②任意实数，当时，都有； ③任意实数，存在实数，使得方程有三个不相等的实数根； ④若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可求，故可判断①的正误；就、分类求出的最小值后可判断②的正误，利用特例可判断③的正误；结合③的分析就、、分类讨论的单调性后可得关于的不等式，结合有解可求的取值范围，从而判断④的正误. 【详解】对于①，若为奇函数，则， 故，整理得，其中， 故即，其中，故， 故①正确； 对于②，若，则当时，， 而的对称轴为，故在上为增函数， 故； 若，则， 当时，， 当时，因为，故，故在上为增函数， 故； 综上，在上恒成立，故②正确； 对于③，， 当时，则， 故在上为增函数，在为增函数，故在上为增函数， 故对任意实数，方程不可能有三个不同的实数根，故③错误； 对于④，结合③的分析可得或， 若，则， 故在上为增函数，在为减函数，在上为增函数， 而有三个不相等的实数根，故， 故，故 设，由双勾函数的单调性可得， 故，故. 若，则， 故在上为增函数，在上为增函数即为上的增函数， 故不可能有三个不相等的实数根，舍； 若，则， 故在上为增函数，在为减函数，在上为增函数， 而有三个不相等的实数根，故， 故，故， 同理，故， 综上，，故④正确. 故答案为：①②④. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数的图象过点和. （1）求函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将两点代入函数，即可解出的值，则可写出的解析式； （2）由一元二次函数与一元二次不等式的关系，写出答案即可； （3）将代入不等式，即可解出答案. 【小问1详解】 将两点代入函数得：解得： 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 不等式等价于 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 将代入得：， 所以， 所以 所以， 故不等式的解集为. 17. 设集合，集合，. （1）当时，求； （2）从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围. 条件①：； 条件②：若“”是“”的充分条件. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1）或. （2）若选条件①，实数的取值范围是； 若选条件②，实数的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）解指数不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得； （2）若选①可得，即可得到，解得即可；若选条件②，即可得到，从而得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 由，即，解得， 所以， 所以或， 当时，， 故或. 【小问2详解】 若选条件①，因为，，， 所以， 所以，解得，故所求实数的取值范围是. 若选条件②，因为“”是“”的充分条件， 故， 所以，解得，故所求实数的取值范围是. 18. 已知函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）当时，试比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明： 任取，则， 因为，所以， 得到，则，即， 故函数在上单调递增. （3），理由如下： 记恒成立， 而，，则， 故， 由（2）知当时，函数在上单调递增， 故. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义建立方程，求解参数即可. （2）利用定义法求解单调性即可. （3）利用作差法结合单调性比较大小即可. 【小问1详解】 由题意得定义域为， 因为为偶函数，所以， 即，解得， 当时，，由二次函数性质得其为偶函数，符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 某训练平台为优化算力资源分配，需分析模型训练的能源消耗成本.已知该平台的模型训练任务分为“轻量训练”（数据量不高于10千）和“深度训练”（数据量高于10千）两类，其能源消耗费用（单位：千元）与训练数据量（单位：千）的关系为：.平台通过训练任务可获得收入，轻量训练每千数据收入为11千元，深度训练每千数据收入为20千元. （1）求该平台训练的毛利润（单位：千元）关于训练数据量（单位：千）的函数关系式（毛利润=总收入-能源消耗费用）； （2）当训练数据量为多少时，平台毛利润最大？最大毛利润是多少？ 【答案】（1） （2）当训练数据量为15千GB时，平台毛利润最大为80千元. 【解析】 【分析】（1）根据毛利润的计算公式可得； （2）利用二次函数的性质和基本不等式可求何时的最大值和取最大值的条件. 【小问1详解】 由题知 故. 【小问2详解】 当时，对称轴为，故的最大值. 当时，， 则，当且仅当千时，等号成立. 因为，故当训练数据量为15千时，平台毛利润最大为80千元. 20. 已知二次函数. （1）若图象恒在轴的下方，求实数的取值范围； （2）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （3）若对任意，总存在，使，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）根据判别式为负可求的取值范围； （2）根据单调得对称轴与区间的位置关系，从而得的取值范围； （3）根据题设条件得的值域是值域的子集，再就、、分类计算的值域后得到关于的不等式组，从而可求的取值范围； 【小问1详解】 因为图象恒在轴的下方，且二次项系数为， 则，即，所以. 【小问2详解】 开口向下，对称轴为， 因为在区间上是单调函数，故或. 【小问3详解】 在为减函数，故在上值域为， 因为对任意，总存在，使， 故的值域是值域的子集， 当时，在上单调递减，值域为， 则，此不等式组无解； 当时，在上单调递增，值域为， 则，故； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 最大值为，最小值为， 则令，故； 综上，实数的取值范围是. 21. 对于正整数，集合，若存在非空子集，满足： ①； ②； ③中元素之和等于元素之积． 则称集合为“可拆数集”． （1）判断是否为“可拆数集”，并说明理由； （2）证明：对于任意整数，是“可拆数集”． 【答案】（1） ，取， ，， 中元素和为，中元素积为，满足条件①②③， 是“可拆数集”； ，假设是“可拆数集”， 单元素子集与其所对应的：,积为1和为9，不相等； ,积为2和为8，不相等； ,积为3和为7，不相等； ,积为4和为6，不相等； 双元素子集与其所对应的： ,积为2和为7，不相等； ,积为3和为6，不相等； ,积为4和为5，不相等； ,积为6和为5，不相等； ,积为8和为4，不相等； ,积为和为3，不相等； 三元素子集与其所对应的： ,积为6和为4，不相等； ,积为8和为3，不相等； ,积为和为2，不相等； ,积为和为1，不相等； 不存在满足条件的，故不是“可拆数集”． （2） 当为偶数时，设， 不妨取，记积，和， 全集和， ，满足条件； 当为奇数时，设， 不妨取，记积，和， 全集和， ，满足条件， 对任意整数，均可构造满足条件的非空子集，故是“可拆数集”，命题得证． 【解析】 【分析】（1）利用“可拆数集”的定义分别列出，并验证是否存在相应的满足定义的3个条件； （2）结合“可拆数集”的定义，分为奇数和偶数两种情况讨论，证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $