精品解析： 江苏省苏州市振华中学校2025—2026学年八年级上学期 数学 期中试题

苏州市振华中学校2025-2026学年第一学期初二年级期中测试 数学试卷 2025.11 一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分） 1. 下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 2，4，5 D. 6，8，10 2. 在，，，中，是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，米，米，A、B间的距离不可能是（ ） A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 25米 5. 如图，在中，，，，点为斜边上的中点，则的长为（ ） A. 10 B. 3 C. 5 D. 4 6. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，平分，且，若点M，N分别在，上，且△为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分） 9. 与的最大公因式是_____. 10. 如图，在和中，已知，，根据（）判定，还需的条件是_____. 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 如果等腰三角形的两边长是10cm和5cm，那么它的周长是______． 13. 若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值___________（填“扩大”“缩小”或“不变”） 14. 若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为_____． 15. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 16. 如图，在等边中，D为边的中点，，P是线段上一动点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 分解因式： （1） （2） 18. 计算： （1） （2）． 19. 如图，点E，F在线段上，若，，求证：． 20. 某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（2）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得，，，，．求劳动实践基地的面积． 21. 如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：是等腰三角形． 22. 如图，在中，． （1）过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，，求的面积． 23. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离， （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 24. 综合与实践 【阅读材料，掌握知识】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式： 解法一： 解法二： 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【理解知识，尝试应用】 （1）因式分解：； 【提炼思想，拓展应用】 （2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 25. 如图，在中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒. （1）_____cm；（用含的式子表示） （2）当点在边上运动时，若是等腰三角形，则的值为多少？ （3）当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，则的值为多少？ 26. 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： （1）如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________． （2）如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市振华中学校2025-2026学年第一学期初二年级期中测试 数学试卷 2025.11 一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分） 1. 下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 2，4，5 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，首先勾股数要满足都是正整数，其次勾股数中两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，2，3不是勾股定理，故此选项不符合题意； B、∵， ∴4，2，3不是勾股定理，故此选项不符合题意； C、∵， ∴2，4，5不是勾股定理，故此选项不符合题意； D、∵， ∴6，8，10是勾股定理，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 在，，，中，是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键，判断分式的关键是看分母是否含有字母，常数分母不是分式； 根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，逐一检查各表达式的分母是否含有字母． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母的式子； 对于 ，分母是2，不含字母，故不是分式； 对于 ，分母是，含有字母，故是分式； 对于 ，分母是，是常数，不含字母，故不是分式； 对于 ，分母是，含有字母和，故是分式； ∴共有2个分式； 故选：B. 3. 式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．根据“把一个多项式写成几个整式乘积的过程叫因式分解”逐项分析判定即可． 【详解】解：A．等号右边不是积的形式，则本选项不符合题意； B．等号右边不是积的形式，则本选项不符合题意； C．它符合因式分解的定义，则本选项符合题意； D．它是整式乘法运算，则本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，米，米，A、B间的距离不可能是（ ） A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 25米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即10米米， ∴不可能等于10米， 故选：A． 5. 如图，在中，，，，点为斜边上的中点，则的长为（ ） A. 10 B. 3 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，先利用勾股定理求解，再结合可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∵点为斜边上的中点 ∴ 故选：C. 6. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质对各选项进行判断即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形正确； ．当时，无意义，该选项从左到右的变形不正确； 故选：． 7. 如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，本题是立体图形，要注意找出直角三角形，根据勾股定理求解． 两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决． 【详解】解：长和宽组成的长方形的对角线长为， 这根吸管经过矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形， 吸管的总长度为． 故选：C． 8. 如图，，平分，且，若点M，N分别在，上，且△为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点P作于M，于N．根据角平分线的性质，由平分，于M，于N，得，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于M，于N， ∵平分， ∴，． ∴． ∴此时，是等边三角形． 当M向方向移动，N向方向移动，且． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴当M向方向移动，N向方向移动， ∴是等边三角形． 同理：当M向方向移动，N向方向移动． 综上：满足条件的有无数个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分） 9. 与的最大公因式是_____. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是确定几个单项式的公因式，掌握“确定公因式的方法”是解本题的关键． 先确定公因式的系数：取两个单项式的系数的最大公约数，再取相同因式的最低次幂的积，从而可得答案． 【详解】解：与的最大公因式是， 故答案为：. 10. 如图，在和中，已知，，根据（）判定，还需的条件是_____. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 【详解】解：依据判定两三角形全等需要两边以及其夹角相等 ∵，， ∴只需要即可依据证明； 故答案为：. 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】要使分式有意义，则分母，解得． 故答案为：． 12. 如果等腰三角形的两边长是10cm和5cm，那么它的周长是______． 【答案】25cm 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当10cm为腰长和5cm为腰长时，根据三角形三边定理判断能否构成三角形后求出周长即可． 【详解】若以5cm为腰，该三角形的三边长为5cm、5cm、10cm， ∵5+5=10， ∴不能构成三角形，不合题意，舍去； 若以10cm为腰，该三角形的三边长为5cm、10cm、10cm， ∴它的周长是cm； 综上所述，该三角形的周长为25cm． 故答案为：25cm． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键． 13. 若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值___________（填“扩大”“缩小”或“不变”） 【答案】不变 【解析】 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键；因此此题可根据分式的性质进行求解即可． 【详解】解：将中的x，y都扩大10倍，为， ∴分式的值不变； 故答案为：不变． 14. 若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解中十字相乘法的应用，熟练掌握因式分解中十字相乘法是解题关键． 对于二次三项式，利用十字相乘法，将常数项分解为两个整数的乘积，这两个整数的和即为的可能值，列出所有分解情况并计算和，得到的所有可能值． 【详解】设 ，则展开后比较系数得 且 ， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 综上，整数的所有可能值为：． 故答案为． 15. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：16． 16. 如图，在等边中，D为边的中点，，P是线段上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ，垂直平分， ∴， ， ， ，， 根据面积法可得， ， ， ， ∴，即， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解（提取公因式法、公式法），解题关键是先提取公因式，再根据公式（平方差公式）继续分解，确保分解彻底． （1）提取公因式，分解为． （2）先提取公因式，再用平方差公式分解，得到． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ， ． 18. 计算： （1） （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法；同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母相加减，先通分，分子相加减，注意结果要化简； （1）两个分式分母相同，直接合并分子； （2）分母不同，需先因式分解和通分，再化简. 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 . 19. 如图，点E，F在线段上，若，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，直接利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20. 某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级（2）班的劳动实践基地的示意图形状，经过班级同学共同努力，测得，，，，．求劳动实践基地的面积． 【答案】劳动实践基地的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；由勾股定理求得，可得，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接AC， 在中，由勾股定理得： ， ，， ， ， ， ， ， 答：劳动实践基地的面积为． 21. 如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵，是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定，解答本题的关键是证明，利用三线合一的性质进行证明．根据等腰三角形的三线合一，从而得出，根据证明，再得出，即可得证． 【详解】略 22. 如图，在中，． （1）过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）图见解析 （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质定理，三角形面积的计算，掌握分割法求三角形面积是解题关键． （1）通过尺规作图作出的平分线； （2）过点作的垂线，交于点，利用角平分线的性质得，将的面积拆分为与的面积和，然后将、和代入计算即可． 【小问1详解】 解：如图，为的平分线． 【小问2详解】 解：如图，过点作的垂线，交于点， 平分，，， ， ． 答：的面积为． 23. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离， （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 本题考查了勾股定理的应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 答：绳子的总长度为27； 【小问2详解】 如图2， 由（1）得：， 由题意可知，，，， ， 由勾股定理得：， ， ， 答：此时物体C升高了 24. 综合与实践 【阅读材料，掌握知识】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式： 解法一： 解法二： 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【理解知识，尝试应用】 （1）因式分解：； 【提炼思想，拓展应用】 （2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】 (1) (2) 等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键． (1) 对多项式进行分组，提取公因式后因式分解； (2) 将等式变形为因式乘积形式，利用三角形三边关系判断其形状. 【详解】（1）解： 原式 （2）∵ ∴ ∵三角形的三边长分别是，， ∴ ∴即 ∴这个三角形是等腰三角形. 25. 如图，在中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒. （1）_____cm；（用含的式子表示） （2）当点在边上运动时，若是等腰三角形，则的值为多少？ （3）当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，则的值为多少？ 【答案】（1） （2） （3）12或11 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，涉及方程思想及分类讨论思想等思想方法．用时间表示出相应线段的长，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【小问1详解】 解：∵点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒， ∴，， ∵当点在上运动时，是等腰三角形， ∴， 则；解得：； ∴当秒时，是等腰三角形； 【小问3详解】 ∵点在边上运动时， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形， ①当，则，解得； ②当，中，， 则是斜边的中线， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴，解得， 综上所述，的值为12或11. 26. 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： （1）如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________． （2）如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 【答案】（1），； （2）①证明见解析；②4 【解析】 【分析】（1）利用证明，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）①利用证明，得出，，然后利用三角形外角的性质即可得出； ②利用①中，得出，则可求，利用等角对等边得出，可得出，由的面积可求，由和的面积之和为20，可求，利用完全平方公式变形求出，，求出、，进而求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1中， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①和均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ； ②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为6，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等知识，明确题意，寻找出全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $