第27讲 概率（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第27讲 概率 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 随机事件与概率 3 知识点2 事件的相互独立性与条件概率及相关公式 4 题型破译 5 题型1 随机事件的关系 5 题型2 古典概型 6 题型3 概率与统计的综合问题 8 题型4 相互独立事件 11 题型5 条件概率 16 题型6 全概率公式的应用 17 题型7 贝叶斯公式 20 04真题溯源·考向感知 21 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）随机事件与概率 （2）事件的相互独立性 （3）条件概率及相关公式 单选题 填空题 解答题 1.独立事件的乘法公式 2.计算古典概型问题的概率 1.利用全概率公式求概率 2.用频率估计概率 计算古典概型问题的概率 考情分析： 题型以客观题和中档解答题为主，分值通常在 8 - 12 分左右。整体难度偏易到中档，是得分的关键板块之一。 1. 高频基础考点：样本空间、随机事件的关系与运算，频率与概率的区别，互斥事件、对立事件的辨析及简单概率计算。 2. 核心基础考点：概率模型，古典概型，条件概率、全概率公式考查频率较高，还会涉及相互独立事件的概率计算。 3. 试题多以校园活动、生活安全、保险、竞赛等实际场景为背景，考查学生将实际问题转化为概率模型的能力。 复习目标： 1.牢记样本空间、随机事件、必然事件、不可能事件等核心概念，清晰区分频率与概率的差异。 2.熟练掌握互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及判定方法，避免概念混淆。 3.能准确运用古典概型、条件概率的基本公式进行简单计算，确保基础题不丢分。 4.熟练掌握全概率公式、乘法公式的应用场景，能解决多条件下的复杂概率问题。 5.具备将实际问题抽象为概率模型的能力，能从题干中提取关键信息，选择合适的概率模型解题。 知识点1 随机事件与概率 1.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示. 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示. ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件. ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件. 2.两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，且A∪B＝Ω 3.古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个. (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 4.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 5.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 6.频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性. (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A). 自主检测某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.2，则这个射手在一次射击中射中环数不够7环的概率为　　　　　　.  知识点2 事件的相互独立性与条件概率及相关公式 1.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 2.条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A). (3)条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A). ③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A). 3.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai). 4.贝叶斯公式 一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P(B)>0，有P(Ai|B)P(B)＝P(B|Ai)P(Ai)，因此P(Ai|B)＝， 再由全概率公式得P(Ai|B)＝.这个公式称为贝叶斯公式. 自主检测设5支枪中有2支未校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为　　　　　　.  题型1 随机事件的关系 例1-1存在两个事件A和B，且，，若A与B是两个①事件，则；若A与B是两个②事件，则；其中（    ） A．（1）互斥（2）独立 B．（1）互斥（2）对立 C．（1）独立（2）互斥 D．（1）对立（2）互斥 例1-2（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 例1-3尝试使用概率的“可加性”解决下面的问题： (1)设是同一样本空间中的两个事件，探索，，，之间的等量关系，并说明理由. (2)甲、乙各抛郑枚硬币，证明：“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”这一事件的概率小于. 【变式训练1-1】（24-25高三上·上海·开学考试）已知事件与事件是互斥事件，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·阶段练习）为调查JC学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为80%；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为40%；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为20%. 注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值. (1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率； (2)用频率估计概率从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率； 题型2 古典概型 例2-1有5根细木棒长度分别为1、3、5、7、9，从中随机抽取三根，能搭成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 例2-2（24-25高三上·上海·阶段练习）对于二元一次方程组，其系数，的值分别由掷一颗均匀骰子和一枚均匀硬币决定．令的值为骰子出现的点数；若硬币出现正面时的值为1，若硬币出现反面时的值为2．对于以下两个命题判断正确的是（    ）． ①此方程无解或有无穷多解的概率为； ②在硬币出现反面且此方程有解的条件下，的值为正的概率为． A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【变式训练2-1】（25-26高三上·上海嘉定·期中）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（    ） A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1 C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7 【变式训练2-2】（24-25高三下·上海虹口·期中）春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（   ）. A． B． C． D． 【变式训练2-3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是. (1)从中取出2粒颜色不同的概率是多少？ (2)其中黑白棋子各有多少粒？ 题型3 概率与统计的综合问题 例3-1（25-26高三上·上海·阶段练习）某校举行了一次“解析几何大赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，为正整数）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值； (2)如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； (3)学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的96和72两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差． 例3-2（25-26高三上·上海·阶段练习）自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人． (1)求； (2)根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数；（结果保留2位小数） (3)公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率． 例3-3（25-26高三上·上海·阶段练习）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图（如图）. 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 17 4 22 5 25 6 12 7 6 8 2 9 2 合计 100 (1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； (2)求频率分布直方图中的a，b的值； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 【变式训练3-1】（25-26高三上·上海杨浦·阶段练习）我校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： (1)估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分； (2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 【变式训练3-2】（25-26高三上·上海·期中）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. (1)求分数在的频率及全班人数； (2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 【变式训练3-3】（25-26高三上·上海·阶段练习）为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示：    (1)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于的概率； (2)现有体育成绩在分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有、、、、共五个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为，另一科成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得、、、、五个等级的概率分别是，，，，；乙在每科笔试中取得、、、、五个等级的概率分别是，，，，，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率. 题型4 相互独立事件 例4-1（24-25高三下·上海·阶段练习）投掷一枚均匀的骰子，事件: 点数大于 2 ; 事件: 点数小于4 ; 事件: 点数为偶数. 则下列关于事件描述正确的是（     ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C．与是独立事件 D．与是独立事件 例4-2（24-25高三上·上海·开学考试）事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（    ） A． B． C． D． 例4-3（25-26高三上·上海·期中）投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 例4-4（24-25高三上·上海·期中）对于一个古典概型的样本空间和事件、、、，其中，，，，，，，，则（    ）（注：表示集合的元素个数） A．与不互斥 B．与互斥但不对立 C．与互斥 D．与相互独立 例4-5（25-26高三上·上海·期末）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.若甲、乙两人各投球2次，则共命中2次的概率为（    ） A． B． C． D． 例4-6（25-26高三上·上海·开学考试）若事件与事件相互独立，，，则 . 例4-7（24-25高三上·上海青浦·阶段练习）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是 ． 例4-8某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【变式训练4-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）在体育选修课排球模块的基本功发球测试中，计分规则如下：①每人可发球次，每成功一次记分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加分. 例如：同学甲前次发球成功，第、次发球失败，后次发球成功，则得分为分. 假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得分的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（24-25高三上·上海松江·期末）抛掷三枚硬币，若记“出现三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件A、B和C，则下列说法错误的是（   ） A．事件A、B和C两两互斥 B． C．事件A与事件是对立事件 D．事件与相互独立 【变式训练4-3】（25-26高三上·上海·期中）已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（   ） A．事件与一定是对立事件 B． C． D．若事件A，B互相独立，则 【变式训练4-4】（25-26高三上·上海嘉定·阶段练习）某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“在乙抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是（      ） A． B．与相互独立 C． D．与互斥 【变式训练4-5】（24-25高三上·上海宝山·月考）已知事件 相互独立，事件 发生的概率为 ，事件 发生的概率为 ，则 “两个事件 至少有一个发生” 的概率为（     ） A． B． C． D．1 【变式训练4-6】（25-26高三上·上海虹口·阶段练习）从3名男生和4名女生中任选4名同学参加志愿者活动，其中2名同学为负责人，2名同学为组员，则选出的4名学生中至少有1名女生做负责人的概率为 ． 【变式训练4-7】（24-25高三上·上海浦东新·期末）申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 100次 小 190次 10次 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率总命中次数÷总出手次数） (1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？ (2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3，②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续技篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“”的值，请解答以下两个问题． （ⅰ）若小第一次投篮，请证明小获胜概率大； （ⅱ）若小第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由． 【变式训练4-8】（25-26高三上·上海徐汇·期中）人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一穷” 2 “一条” 2 其他 假设用频率估计概率． (1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； (2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次，求它的概率； (3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适?（结论不要求证明） 【变式训练4-9】（25-26高三上·上海·期中）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求. (2)证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； (3)甲乙两个人比赛，对于弱者甲（赢的概率较小者为弱者，设甲每一局赢的概率为）来说，一局定胜负和三局两胜定胜负比较，哪个更有利？请从数学的角度予以解释.(这里所说的“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，最多三局结束) 题型5 条件概率 例5-1（25-26高三上·上海·单元测试）在一个盒子中有大小与质地相同的20个球，其中有10个红球和10个白球．若无放回地依次从中摸出1个球，则第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率为 ． 例5-2某校组织“杭州亚运会”知识竞赛，元元从3道选择题和2道填空题中不放回地每次随机抽取1道作答．记事件为“第一次抽到选择题”，事件为“第二次抽到填空题”，则 ． 例5-3从这个连续正整数中不放回地任取2个数，设“第一次取到的是质数”为事件A，又设“第二次取到的不是质数”为事件，且，则的所有可能值的和为 . 例5-4（2025·上海普陀·二模）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 例5-5（25-26高三上·上海·单元测试）100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度及质量都合格．现在任取一件产品，若已知它的质量合格，则它的长度合格的概率是多少？ 【变式训练5-1】（25-26高三上·上海·开学考试）若事件与相互独立，且，则 ． 【变式训练5-2】（2025·上海浦东新·三模）已知随机事件满足，，，则 【变式训练5-3】（24-25高三上·上海·阶段练习）从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次.在第一次抽到的条件下，第二次也抽到的概率为 .（结果用最简分数表示） 【变式训练5-4】（24-25高三上·上海·阶段练习）某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生是否同意“三项体育活动中要有篮球”，学校随机调查了名学生，数据如表： 男生 女生 合计 同意 不同意 合计 (1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? (2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择．若甲、乙两学生从三项运动中随机选一种（他们的选择相互独立）．若在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为．记事件为“甲学生选择足球”，事件为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件是否独立，并说明理由． (3)经观察，该校学生每分钟跳绳个数，由往年经验，训练后每人每分钟跳绳个数比开始时增加个，该校有名学生，预估经过训练后每分钟跳个以上人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中； 若，则，，． 题型6 全概率公式的应用 例6-1（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）某网红奶茶店“Chill Tea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店.根据平台数据，顾客选择、、店的概率分别为30%、50%、20%.已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：店20%、店40%、店30%.若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（    ） A．28% B．32% C．35% D．40% 例6-2（2025·上海奉贤·二模）假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是 ． 例6-3（（24-25高三下·上海·阶段练习）某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有3个男生，5个女生，先从两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，则该学生是男生的概率是 ． 例6-4（（2025·上海徐汇·二模）已知两个随机事件，若，，，则 . 例6-5（（24-25高三下·上海金山·阶段练习）某种疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，每人的诊断结果互不影响．若设事件：阳性，事件：患病，则 ，则诊断结果是阳性概率 ，若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为 ． 例6-6（（24-25高三下·上海·阶段练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 【变式训练6-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）未来工作室加工50000个零件．若这批零件分配到1号车间25000个，2号车间20000个，3号车间5000个，其中1号车间、2号车间、3号车间加工合格率分别为0.95、0.85、0.75，从所有加工后的零件中任取1个零件，则这个零件合格的概率为 ． 【变式训练6-2】（24-25高二下·上海普陀·期中）某校面向高二全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%，10%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 ； 【变式训练6-3】（24-25高三下·上海·阶段练习）某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动， 运送的卡车共装有 10 个纸箱， 其中 6 箱数学书， 4 箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱， 但不知丢失哪一箱. 现从剩下 9 箱中任意打开 2 桶，则刚好都是数学书的概率为 . 【变式训练6-4】（24-25高三下·上海·阶段练习）某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 ． 【变式训练6-5】（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 【变式训练6-6】在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球． (1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为，且各回合相互独立．若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率； (2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设： 假设1：各回合比赛相互独立； 假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为； 求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？ 题型7 贝叶斯公式 例7-1（24-25高三上·上海·开学考试）某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率 . 例7-2（25-26高三上·上海·单元测试）某商店从三个厂购买了一批灯泡，甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，各厂的次品率分别为5%、4%、2%． (1)求消费者买到一只次品灯泡的概率； (2)若消费者买到一只次品灯泡，则它是哪个厂家生产的可能性最大？ 【变式训练7-1】（25-26高三上·上海·单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 ． 【变式训练7-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 二、填空题 2．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 三、解答题 3．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 4．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 5．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲 概率 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 随机事件与概率 3 知识点2 事件的相互独立性与条件概率及相关公式 4 题型破译 5 题型1 随机事件的关系 5 题型2 古典概型 8 题型3 概率与统计的综合问题 11 题型4 相互独立事件 17 题型5 条件概率 26 题型6 全概率公式的应用 30 题型7 贝叶斯公式 35 04真题溯源·考向感知 38 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）随机事件与概率 （2）事件的相互独立性 （3）条件概率及相关公式 单选题 填空题 解答题 1.独立事件的乘法公式 2.计算古典概型问题的概率 1.利用全概率公式求概率 2.用频率估计概率 计算古典概型问题的概率 考情分析： 题型以客观题和中档解答题为主，分值通常在 8 - 12 分左右。整体难度偏易到中档，是得分的关键板块之一。 1. 高频基础考点：样本空间、随机事件的关系与运算，频率与概率的区别，互斥事件、对立事件的辨析及简单概率计算。 2. 核心基础考点：概率模型，古典概型，条件概率、全概率公式考查频率较高，还会涉及相互独立事件的概率计算。 3. 试题多以校园活动、生活安全、保险、竞赛等实际场景为背景，考查学生将实际问题转化为概率模型的能力。 复习目标： 1.牢记样本空间、随机事件、必然事件、不可能事件等核心概念，清晰区分频率与概率的差异。 2.熟练掌握互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及判定方法，避免概念混淆。 3.能准确运用古典概型、条件概率的基本公式进行简单计算，确保基础题不丢分。 4.熟练掌握全概率公式、乘法公式的应用场景，能解决多条件下的复杂概率问题。 5.具备将实际问题抽象为概率模型的能力，能从题干中提取关键信息，选择合适的概率模型解题。 知识点1 随机事件与概率 1.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示. 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示. ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件. ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件. 2.两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，且A∪B＝Ω 3.古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个. (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 4.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 5.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 6.频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性. (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A). 自主检测某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.2，则这个射手在一次射击中射中环数不够7环的概率为　　　　　　.  【答案】0.11 【详解】记“射中环数不够7环”为事件D，则事件为“射中10环或9环或8环或7环”， 所以P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.2＝0.89， 所以P(D)＝1－P()＝1－0.89＝0.11. 知识点2 事件的相互独立性与条件概率及相关公式 1.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 2.条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A). (3)条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A). ③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A). 3.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai). 4.贝叶斯公式 一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P(B)>0，有P(Ai|B)P(B)＝P(B|Ai)P(Ai)，因此P(Ai|B)＝， 再由全概率公式得P(Ai|B)＝.这个公式称为贝叶斯公式. 自主检测设5支枪中有2支未校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为　　　　　　.  【答案】0.8 【详解】设事件A表示“射击时中靶”，事件B1表示“使用的枪校正过”，事件B2表示“使用的枪未校正”，则P(A|B1)＝0.9，P(B1)＝0.6，P(A|B2)＝0.4，P(B2)＝0.4， 根据全概率公式得P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＝0.9×0.6＋0.4×0.4＝0.7， 所以P()＝1－P(A)＝0.3，所以P(B2|)＝＝0.8. 题型1 随机事件的关系 例1-1存在两个事件A和B，且，，若A与B是两个①事件，则；若A与B是两个②事件，则；其中（    ） A．（1）互斥（2）独立 B．（1）互斥（2）对立 C．（1）独立（2）互斥 D．（1）对立（2）互斥 【答案】A 【详解】由，仅当时， 所以A与B是两个互斥事件， 由独立事件的判定知：，即A与B是两个独立事件. 故选：A 例1-2（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝， 则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}， 事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }； 事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}， 事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}， 事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝， 由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件. 故选：B 例1-3尝试使用概率的“可加性”解决下面的问题： (1)设是同一样本空间中的两个事件，探索，，，之间的等量关系，并说明理由. (2)甲、乙各抛郑枚硬币，证明：“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”这一事件的概率小于. 【详解】（1）， 因为表示事件和事件至少有一个发生，表示事件和事件同时发生，所以 （2）设事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数多”，事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数一样多”， 由硬币的对称性知，，又，， 所以，故， 即“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”这一事件的概率小于. 【变式训练1-1】（24-25高三上·上海·开学考试）已知事件与事件是互斥事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若随机试验为抛掷一枚质地均匀的骰子，事件，， 则事件与事件是互斥事件， 此时，，， 所以，A错误； ，，，B错误； ，C错误； 因为事件与事件是互斥事件， 所以，所以为必然事件， 所以，D正确. 故选：D. 【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·阶段练习）为调查JC学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为80%；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为40%；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为20%. 注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值. (1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率； (2)用频率估计概率从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率； 【详解】（1）由题意，样本中日均户外活动时长不低于1小时的学生有人， 其中近视的学生有人， 所以估计该校日均户外活动时长不低于1小时学生的近视率为． （2）设事件“从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，这4名学生中恰有2名近视”． 由题意，从该校日均户外活动时长低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为， 从该校日均户外活动时长不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为． 则． 题型2 古典概型 例2-1有5根细木棒长度分别为1、3、5、7、9，从中随机抽取三根，能搭成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从长度分别为1,3,5,7,9的5根细木棒中任取3根， 共有共10种情况， 而能构成三角形的只有共3种， 所以根据古典概型知，能搭成三角形的概率为：. 故选：A. 例2-2（24-25高三上·上海·阶段练习）对于二元一次方程组，其系数，的值分别由掷一颗均匀骰子和一枚均匀硬币决定．令的值为骰子出现的点数；若硬币出现正面时的值为1，若硬币出现反面时的值为2．对于以下两个命题判断正确的是（    ）． ①此方程无解或有无穷多解的概率为； ②在硬币出现反面且此方程有解的条件下，的值为正的概率为． A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】B 【详解】解：由题意可得， 所以方程组一共有种情况； 当此方程组无解时，则有， 此时只能是，，共1种情况， 所以方程组无解的概率； 当此方程组有无数组解时，则有， 此时只有这一种情况， 所以方程组有无数组解的概率； 所以方程无解或有无穷多解的概率为，故①正确； 当硬币出现反面时，， 此时方程组为，要使方程组有解， 则必有，即， 所以 消去，得， 要使的值为正，则， 所以此时的值为正的概率为，故②错误. 故选：B. 【变式训练2-1】（25-26高三上·上海嘉定·期中）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（    ） A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1 C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7 【答案】D 【详解】解：抛掷骰子两次，共有个基本事件数, 则, 共18个基本事件，则, 设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故错误； 设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是8， 则共5个基本事件，则, 且，则, ，所以C错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是7，则, 则,且，则 因为，所以事件与事件相互独立. 故选：D. 【变式训练2-2】（24-25高三下·上海虹口·期中）春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】第一步：第一次掷骰子的概率 （1）掷出6点：概率为，弟弟直接吃1颗花生； （2）非6点：概率为，记下点数，进入后续阶段. 第二步：后续阶段的概率分析 设小明掷骰子时弟弟吃到花生的概率为，弟弟掷骰子时弟弟吃到花生的概率为， 若小明掷骰子： （1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生； （2）掷出：概率为，小明吃3颗花生； （3）其他点数：概率为，轮到弟弟掷骰子，此时概率为， 故有①； 若弟弟掷骰子： （1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生； （2）掷出：概率为，小明吃3颗花生； （3）其他点数：概率为，轮到小明掷骰子，此时概率为， 故有②； 联立①②两式，可得，即后续阶段弟弟吃到花生的概率为， 故任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为. 故选：D 【变式训练2-3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是. (1)从中取出2粒颜色不同的概率是多少？ (2)其中黑白棋子各有多少粒？ 【详解】（1）由题意，任取2粒棋子，不考虑先后顺序，一共有3种情况， 即2粒都是黑子，2粒都是白子和2粒颜色不同， 设事件：取出2粒都是黑子，事件：取出2粒都是白子，事件：取出2粒颜色不同， 则， 因为两两互斥，故， 故； 故从中取出2粒颜色不同的概率是. （2）设散落的黑白棋子中，黑子有粒，白子有粒， 则， 得，得， 即，解得， 故黑棋子有4粒，白棋子有6粒. 题型3 概率与统计的综合问题 例3-1（25-26高三上·上海·阶段练习）某校举行了一次“解析几何大赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，为正整数）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值； (2)如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； (3)学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的96和72两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差． 【详解】（1）由题意可得，解得， （2）和的人数之比为， 故从和抽取的人数分别为2人，3人，3人， 2人中有来自组的学生的概率为, （3）剩余8个成绩的平均数为， ， 故剩余8个成绩的方差为 例3-2（25-26高三上·上海·阶段练习）自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人． (1)求； (2)根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数；（结果保留2位小数） (3)公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可， 解得， 因为运动时长在小时的员工有48人， 所以，解得， 即，． （2）由（1）知， 则平均数为， 所以该公司员工一周运动时长的平均数约为4.24． （3）设选中的员工一周运动时长不少于4小时为事件， 选中的员工一周一周运动时长在区间内为事件， 则， ， ， 所以在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下， 此人一周运动时长在区间内的概率． 例3-3（25-26高三上·上海·阶段练习）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图（如图）. 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 17 4 22 5 25 6 12 7 6 8 2 9 2 合计 100 (1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； (2)求频率分布直方图中的a，b的值； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 【详解】（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有(名)， 所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是， 故从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9； （2）课外阅读时间落在组[4,6)内的有17人，频率为0.17，所以＝， 课外阅读时间落在组[8,10)内的有25人，频率为0.25，所以＝； （3）同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，则平均数为： （小时）， 样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组. 【变式训练3-1】（25-26高三上·上海杨浦·阶段练习）我校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： (1)估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分； (2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 【详解】（1）由，可得． 即数学成绩在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在频率为. 数学成绩在内的最多，所以众数是， 平均分是. （2）由题意可知，数学成绩在内的人数为（人），在内的人数为（人）． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生， 则需在内抽取2人，分别记为、；[70，90)内抽取3人，分别记为、、， 记事件为“抽取的这2名学生至少有1人成绩在内”， 则样本空间为，共包含10个样本点， 而事件，包含7个样本点， 故，即抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为. 【变式训练3-2】（25-26高三上·上海·期中）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. (1)求分数在的频率及全班人数； (2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 【详解】（1）分数在的频率为， 由茎叶图知：分数在之间的频数为2，全班人数为． （2）分数在之间的频数为； 频率分布直方图中间的矩形的高为． （3）将之间的3个分数编号为，之间的2个分数编号为， 在之间的试卷中任取两份的基本事件为： 共10个， 其中，至少有一个在之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在之间的概率是． 【变式训练3-3】（25-26高三上·上海·阶段练习）为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示：    (1)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于的概率； (2)现有体育成绩在分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有、、、、共五个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为，另一科成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得、、、、五个等级的概率分别是，，，，；乙在每科笔试中取得、、、、五个等级的概率分别是，，，，，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率. 【详解】（1）按分层抽样，得分在的有人，记为； 得分在的有人，记为． 从人中抽取两人进行测试， 样本空间为， 则； 记“至少有一人得分不低于分”为事件， 则， 即， 因此． （2）记甲能参加国庆营的概率为，乙能参加国庆营的概率为 ， 由题意可得； 同理可得，． 由于考试互不影响，所以甲、乙能否参加国庆营相互独立， 则甲、乙能同时参加国庆营的概率为 ． 题型4 相互独立事件 例4-1（24-25高三下·上海·阶段练习）投掷一枚均匀的骰子，事件: 点数大于 2 ; 事件: 点数小于4 ; 事件: 点数为偶数. 则下列关于事件描述正确的是（     ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C．与是独立事件 D．与是独立事件 【答案】C 【详解】依题意事件，事件，事件， 所以与不是互斥事件，显然不可能是对立事件，故A、B错误； 因为，所以，又，， 所以，所以与是独立事件，故C正确； 因为，所以，又， 所以，所以与不是独立事件，故D错误； 故选：C 例4-2（24-25高三上·上海·开学考试）事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件， 故，故AB错误； ，故C正确； ,故D错误. 故选：C 例4-3（25-26高三上·上海·期中）投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 【答案】B 【详解】由题意可得，，，，， 由古典概型的概率公式可得，，， 所以，， 故事件与相互独立，事件与不独立. 故选：B. 例4-4（24-25高三上·上海·期中）对于一个古典概型的样本空间和事件、、、，其中，，，，，，，，则（    ）（注：表示集合的元素个数） A．与不互斥 B．与互斥但不对立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】D 【详解】对于A，因为，，， 则，故A、B互斥，A错误； 对于B，因为，所以A、D互斥且对立，B错误； 对于C，因为，，A、D对立， 则，C与D不互斥，C错误； 对于D，由，，， 所以，即A与C相互独立，D正确. 故选：D. 例4-5（25-26高三上·上海·期末）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.若甲、乙两人各投球2次，则共命中2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，解得， 记甲投球2次，命中次数为随机变量，则，乙投球2次，命中次数为随机变量，则, 则甲、乙两人各投球2次，则共命中2次可表示为: . 故选：D. 例4-6（25-26高三上·上海·开学考试）若事件与事件相互独立，，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故答案为： 例4-7（24-25高三上·上海青浦·阶段练习）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是 ． 【答案】 【详解】前局中，因第局甲当裁判，则乙恰好当1次裁判的事件A，设乙第二局当裁判的事件A1、乙第三局当裁判的事件A2，乙第二局当裁判的事件A3，它们互斥， 乙第二局当裁判的事件是乙在第一局输，第三局胜，则, 乙第三局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局输，则， 乙第四局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局胜，第三局输，则， 所以 故答案为：. 例4-8某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为， 则. 应聘者选方案一考试通过的概率 应聘者选方案二考试通过的概率 （2） ， 因为，所以,即. 故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大. 【变式训练4-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）在体育选修课排球模块的基本功发球测试中，计分规则如下：①每人可发球次，每成功一次记分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加分. 例如：同学甲前次发球成功，第、次发球失败，后次发球成功，则得分为分. 假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，测试中恰好得分的情况有以下两种： 1、两个不相邻的两连发球成功， 2、一个三连另加一个不相邻的单发成功，由插空法计算可得. 故选：A 【变式训练4-2】（24-25高三上·上海松江·期末）抛掷三枚硬币，若记“出现三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件A、B和C，则下列说法错误的是（   ） A．事件A、B和C两两互斥 B． C．事件A与事件是对立事件 D．事件与相互独立 【答案】C 【详解】抛掷三枚硬币，样本空间(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正), (正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)，共8个样本点， 事件(正,正,正)，(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)，(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)， 对于A，事件中任何两个事件都不能同时发生，事件两两互斥，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，事件与可以同时不发生，事件A与事件不是对立事件，C错误； 对于D，，， ，则事件，相互独立，D正确. 故选：C 【变式训练4-3】（25-26高三上·上海·期中）已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（   ） A．事件与一定是对立事件 B． C． D．若事件A，B互相独立，则 【答案】D 【详解】对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，只有事件A、B相互独立时,才有成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误； 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式训练4-4】（25-26高三上·上海嘉定·阶段练习）某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“在乙抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是（      ） A． B．与相互独立 C． D．与互斥 【答案】D 【详解】由题意可知：，，，， 因为在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，可知事件A和事件B相互独立，故B正确，D错误； 可得，故A正确； 又因为， 所以，故C正确； 故选：D. 【变式训练4-5】（24-25高三上·上海宝山·月考）已知事件 相互独立，事件 发生的概率为 ，事件 发生的概率为 ，则 “两个事件 至少有一个发生” 的概率为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】 因为事件 相互独立，所以 则“两个事件 至少有一个发生” 的概率为, 故选：C 【变式训练4-6】（25-26高三上·上海虹口·阶段练习）从3名男生和4名女生中任选4名同学参加志愿者活动，其中2名同学为负责人，2名同学为组员，则选出的4名学生中至少有1名女生做负责人的概率为 ． 【答案】 【详解】由题意，从7名学生任选4名有种，4人中任选2人做负责人有种， 选取4名同学的情况：3名男生1名女生，男女生各2名，1名男生3名女生，4名女生， 当3名男生1名女生，有种，概率为，其中女生为负责人有种，概率为，此情况的概率为， 当男女生各2名，有种，概率为，其中至少有1名女生为负责人有种，概率为，此情况的概率为， 当1名男生3名女生，有种，概率为，其中必有女生为负责人，此情况的概率为， 当4名女生，有种，概率为，其中女生为负责人，此情况的概率为， 综上，所以选出的4名学生中至少有1名女生做负责人的概率为. 故答案为： 【变式训练4-7】（24-25高三上·上海浦东新·期末）申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 100次 小 190次 10次 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率总命中次数÷总出手次数） (1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？ (2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3，②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续技篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“”的值，请解答以下两个问题． （ⅰ）若小第一次投篮，请证明小获胜概率大； （ⅱ）若小第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由． 【详解】（1）由题意小总出手200次，命中120次，命中率为：， 小总出手200次，命中136次，命中率为， 故小获校，所以小的想法不正确； （2）（ⅰ）证明：若第一次投篮人物为小，， 小获胜的概率为，小获胜的概率为， 则， 所以若小第一次投篮，小获胜概率大， （ⅱ）若第一次投篮人物为小，， 小获胜的概率为，小获胜的概率为， 则 ， 其中 由指数函数的单调性可知：随着的增大而增大， 计算可得：， 所以当也就是时，， 当也就是时，， 综上：若小第一次投篮，时，小获胜概率大， 时，小获胜概率大. 【变式训练4-8】（25-26高三上·上海徐汇·期中）人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一穷” 2 “一条” 2 其他 假设用频率估计概率． (1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； (2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次，求它的概率； (3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适?（结论不要求证明） 【详解】（1）由题可得， 因为随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次， 所以估计甲类题材中“一”出现的概率为； （2）由题意可得在甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一个”出现的概率为， 则在甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，不搭配“一个”出现的概率为， 所以在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次的概率为. （3）甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一个”出现的概率为， 甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一格”出现的概率为， 所以“一个”出现的概率更高，则输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适. 【变式训练4-9】（25-26高三上·上海·期中）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求. (2)证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； (3)甲乙两个人比赛，对于弱者甲（赢的概率较小者为弱者，设甲每一局赢的概率为）来说，一局定胜负和三局两胜定胜负比较，哪个更有利？请从数学的角度予以解释.(这里所说的“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，最多三局结束) 【详解】（1）， 事件与互斥，， 又，， ，， . （2）如果两个事件与相互独立， ， ， ， 所以与也独立. （3）若一局定胜负，甲赢的概率为； 若三局两胜，甲赢的概率为. 因为甲是弱者，所以， 所以，即， 所以一局定胜负对甲有利. 题型5 条件概率 例5-1（25-26高三上·上海·单元测试）在一个盒子中有大小与质地相同的20个球，其中有10个红球和10个白球．若无放回地依次从中摸出1个球，则第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率为 ． 【答案】 【详解】第一次摸出红球,则第二次摸球时，盒子里有9个红球，10个白球， 故第二次摸出白球的概率为, 故答案为： 例5-2某校组织“杭州亚运会”知识竞赛，元元从3道选择题和2道填空题中不放回地每次随机抽取1道作答．记事件为“第一次抽到选择题”，事件为“第二次抽到填空题”，则 ． 【答案】 【详解】当第二次抽到填空题且第一次抽到选择题，共有种; 当第二次抽到填空题，第一次抽到是填空题时有种，故总数为8种， 则， 故答案为：． 例5-3从这个连续正整数中不放回地任取2个数，设“第一次取到的是质数”为事件A，又设“第二次取到的不是质数”为事件，且，则的所有可能值的和为 . 【答案】15 【详解】由知在中质数比不是质数的数多一个，因此只可能为3，5，7共3个，而． 故答案为：15. 例5-4（2025·上海普陀·二模）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 【答案】 【详解】事件（数字之和大于5）的基本事件数（数字组合）， 共有种； 而事件（最小数字是2且和大于5，即）的基本事件数有种， 由条件概率公式. 故答案为： 例5-5（25-26高三上·上海·单元测试）100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度及质量都合格．现在任取一件产品，若已知它的质量合格，则它的长度合格的概率是多少？ 【答案】 【详解】设事件为“产品的长度合格”，事件为“产品的质量合格”，则事件为“产品的长度、质量都合格”， 又，，， 所以． 【变式训练5-1】（25-26高三上·上海·开学考试）若事件与相互独立，且，则 ． 【答案】 【详解】由题设. 故答案为： 【变式训练5-2】（2025·上海浦东新·三模）已知随机事件满足，，，则 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 【变式训练5-3】（24-25高三上·上海·阶段练习）从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次.在第一次抽到的条件下，第二次也抽到的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】 【详解】记事件第一次抽到，事件第二次抽到， 则，， 因此，. 故答案为：. 【变式训练5-4】（24-25高三上·上海·阶段练习）某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生是否同意“三项体育活动中要有篮球”，学校随机调查了名学生，数据如表： 男生 女生 合计 同意 不同意 合计 (1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? (2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择．若甲、乙两学生从三项运动中随机选一种（他们的选择相互独立）．若在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为．记事件为“甲学生选择足球”，事件为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件是否独立，并说明理由． (3)经观察，该校学生每分钟跳绳个数，由往年经验，训练后每人每分钟跳绳个数比开始时增加个，该校有名学生，预估经过训练后每分钟跳个以上人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中； 若，则，，． 【详解】（1）提出零假设：学生对该问题的态度与性别无关． 根据列联表中的数据可求得，． 因为当成立时，的概率约为， 所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关． （2）事件、独立．理由如下： 因为，， 所以， 所以，即事件、独立． （3）记经过训练后每人每分钟跳绳个数为， 由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数， 即，因为， 所以， 所以（人）． 所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为． 题型6 全概率公式的应用 例6-1（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）某网红奶茶店“Chill Tea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店.根据平台数据，顾客选择、、店的概率分别为30%、50%、20%.已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：店20%、店40%、店30%.若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（    ） A．28% B．32% C．35% D．40% 【答案】B 【详解】由题意选择店并超时的概率为：； 选择店并超时的概率为：； 选择店并超时的概率为：； 所以等待超过15分钟的概率为， 故选：B 例6-2（2025·上海奉贤·二模）假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是 ． 【答案】 【详解】由题意可知该部件的总体良品率是： ， 故答案为： 例6-3（（24-25高三下·上海·阶段练习）某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有3个男生，5个女生，先从两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，则该学生是男生的概率是 ． 【答案】 【详解】该学生是男生的概率是. 故答案为：. 例6-4（（2025·上海徐汇·二模）已知两个随机事件，若，，，则 . 【答案】 【详解】由题意， 所以， 所以. 故答案为：. 例6-5（（24-25高三下·上海金山·阶段练习）某种疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，每人的诊断结果互不影响．若设事件：阳性，事件：患病，则 ，则诊断结果是阳性概率 ，若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为 ． 【答案】 【详解】设“阳性”，“阴性”，“患病”，“不患病”，“诊断结果正确”，“诊断结果不正确”， 由题知：某种疾病的患病率为，则， 通过验血诊断该病的误诊率为，则， 因为漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为， 所以， 任选1人进行验血，诊断结果为阳性的概率为 则， 若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为， 由前面的计算过程可知：， 所以． 故答案为：①；②；③. 例6-6（（24-25高三下·上海·阶段练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 【详解】（1）设为“第一天选择米饭套餐”：为“第二天选择米饭套餐”， 则为“第一天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. （2）①：证明：设为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，，， 由全概率公式得： 因此，. 是以为首，为公比的等比数列. ②：根据①可得， 所以，下求的最大值， 要求的最大值，则为偶数， 当为偶数时，， 此时是单调递减数列， 所以的最大值为， 因此，则m的取值范围是. 【变式训练6-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）未来工作室加工50000个零件．若这批零件分配到1号车间25000个，2号车间20000个，3号车间5000个，其中1号车间、2号车间、3号车间加工合格率分别为0.95、0.85、0.75，从所有加工后的零件中任取1个零件，则这个零件合格的概率为 ． 【答案】 【详解】记零件为1号车间加工，零件为2号车间加工， 零件为3号车间加工，任取1个零件为合格， 则，，， ，，， 则 . 故答案为：. 【变式训练6-2】（24-25高二下·上海普陀·期中）某校面向高二全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%，10%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 ； 【答案】0.162 【详解】依题意，成绩是优秀的概率为. 故答案为：0.162 【变式训练6-3】（24-25高三下·上海·阶段练习）某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动， 运送的卡车共装有 10 个纸箱， 其中 6 箱数学书， 4 箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱， 但不知丢失哪一箱. 现从剩下 9 箱中任意打开 2 桶，则刚好都是数学书的概率为 . 【答案】 【详解】设事件表示丢失一箱后任取两箱都是数学书，事件表示丢失的一箱为分别表示数学书、语文书． 由全概率公式得. 故答案为：. 【变式训练6-4】（24-25高三下·上海·阶段练习）某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 ． 【答案】 【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D， 则，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 【变式训练6-5】（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 【答案】 【详解】由题意可设{第一次取得红球}，{第一次取得白球}， {第二次取得红球}，{第二次取得白球}， 易知，，，， 所以. 故答案为：. 【变式训练6-6】在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球． (1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为，且各回合相互独立．若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率； (2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设： 假设1：各回合比赛相互独立； 假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为； 求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？ 【详解】（1）设事件表示第一回合该中国队运动员赢球，事件表示第二回合该中国队运动员赢球， 事件表示第二回合比赛有运动员得分， 由已知，， ， 则 ， 即第二回合比赛有运动员得分的概率为. （2）设运动员甲先发球，记事件表示第i回合该运动员甲赢球， 记事件表示运动员甲先得第一分， 则， 则， 所以，即则第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于， 则比赛双方运动员实力相当的情况下，先发球者更大概率占据心理上的优势，所以旧制不合理. 题型7 贝叶斯公式 例7-1（24-25高三上·上海·开学考试）某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率 . 【答案】 【详解】设事件表示“选到第一组学生”，事件表示“选到共青团员”， 由题意，，, 所以“已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率”为. 故答案为： 例7-2（25-26高三上·上海·单元测试）某商店从三个厂购买了一批灯泡，甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，各厂的次品率分别为5%、4%、2%． (1)求消费者买到一只次品灯泡的概率； (2)若消费者买到一只次品灯泡，则它是哪个厂家生产的可能性最大？ 【详解】（1）记事件表示“消费者买到一只次品灯泡”，、、分别表示“买到的灯泡是甲、乙、丙厂生产的灯泡”， 根据题意得，，，， ，，． 所以； （2）， ， ， 所以买到乙厂产品的可能性最大． 【变式训练7-1】（25-26高三上·上海·单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 ． 【答案】 【详解】记事件“取得一个产品是次品”，“取得的一箱是甲厂的”， “取得的一箱是乙厂的”，“取得的一箱是丙厂的”， 则由题，，， ，，， 所以由全概率公式得 ， 所以由贝叶斯公式若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 . 故答案为：. 【变式训练7-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【详解】（1）设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"， 则，，， ，，， 由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （2）， ， ， 因为，所以该航班飞往其他地区的可能性最大． 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】因为相互独立，故， 故选：B. 二、填空题 2．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 【答案】0.85 【详解】由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为， 则根据全概率公式知所求正确率． 故答案为：0.85． 三、解答题 3．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 【详解】（1）由题意，数据的最大值为，最小值为， 则极差为； 数据中间两数为与， 则中位数为. 故极差为，中位数为； （2）由题意，数据共个，以上数据共有个， 故设事件“恰有个数据在以上”， 则， 故恰有个数据在以上的概率为； （3）由题意，成绩的平均数 ， 由直线过， 则， 故回归直线方程为. 当时,. 故预测年冠军队的成绩为秒. 4．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比， 则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为． （2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 ． 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. （3）由题列联表如下： 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． 其中． ． 则零假设不成立， 即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 5．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 【详解】（1）由给定的数表知，，，， 而，因此事件相互独立， 所以，事件相互独立. （2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色， 依题意，；； ，则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖； 外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：， 奖金额的分布列： 600 300 150 奖金额的期望（元）. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $