第07讲 函数的应用（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第07讲 函数的应用 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 2 知能解码 2 知识点1 函数的零点与方程的解 2 知识点2 三种函数模型的性质 3 知识点3 常见的函数模型 4 题型破译 4 题型1 求函数的零点 4 题型2 求函数零点或方程根的个数 7 题型3 根据函数零点的个数求参数范围 15 题型4 零点存在性定理的应用 24 题型5 根据实际问题选择合适的函数模型 28 题型6 函数与方程的综合应用 38 04真题溯源·考向感知 44 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）函数零点或方程根的个数 （2）函数与方程的综合运用 （3）根据实际问题选择合适的函数模型 单选题 填空题 解答题 第21题求函数零点或方程根的个数 春考高考16、21题 函数与方程的关系，函数与方程的综合运用 春考高考9、19题函数的零点与方程根的关系，根据实际问题选择合适的函数模型 考情分析： 本节内容是上海高考卷的常考内容，考查形式多样。考查难度每年解题性增长。 复习目标： 1. 理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用。 3.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 4.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 知识点1 函数的零点与方程的解 1.函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2.函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 3.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 自主检测函数的零点是 　　． 【分析】利用对数运算及零点含义可得答案． 【解答】解：由题意可得函数的定义域为． ，令可得，解得或（舍． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的零点，属于基础题． 知识点2 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值的变化而各有不同 自主检测如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象是否是线性增长，指数函数的图象与性质，对数函数的性质判断ACD，再由选项B中函数的性质判断后可得． 【详解】对于A，由散点图知身高随时间变化不是线性增长，故A错误； 对于C，指数函数模型中随增长越来越快，与图象不符合，故C错误； 对于D，对数函数模型在时没有意义，故D错误； 对于B：在定义域上单调递增，且增长速度越来越慢， 符合散点图中随增长越来越慢，且在时有意义，故B正确． 故选：B． 知识点3 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 自主检测某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下： 上市时间天 4 10 36 市场价元 90 51 90 根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系（     ） A． B． C． D．； 【答案】B 【分析】由题意观察出随的变化趋势，对比函数单调性即可得解. 【详解】∵随着时间的增加，的值先减后增， 而三个函数中、、显然都是单调函数，不满足题意， ∴选择． 故选：B. 题型1 求函数的零点 例1-1已知，且，则函数的零点为 . 【答案】3 【知识点】对数的运算、求函数零点或方程根的个数 【分析】令，分和两种情况，解方程可得答案. 【详解】因为，则，所以， 令，则， 当时，，令，解得：； 当，，令，解得：(舍去)， 故函数的零点为 故答案为：3 例1-2（24-25高三上·上海·阶段练习）函数在所有零点之和为 ． 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、求零点的和 【分析】根据题意，令代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 令，则或， ，由可得或， 由可得， 则所有的零点之和为. 故答案为： 【变式训练1-1】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数，则函数的零点是 . 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、对数的运算、求函数的零点 【分析】将问题转化为，或，求解即可. 【详解】令，则，或， 解得，或， 则函数的零点是. 故答案为：. 【变式训练1-2】设，则方程的解集为 . 【答案】 【知识点】求函数的零点、等式的性质与方程的解集 【分析】根据绝对值方程的特点，分别求出绝对值内部一次函数的零点，将分成，，和四个部分，分别去掉绝对值，求解方程即得. 【详解】当时，方程可化为：，解得，故解集为； 当时，方程可化为：，解得，舍去； 当时，方程可化为：，解得，故解集为； 当时，方程可化为：，解得，故解集为. 综上，方程的解集为. 故答案为：. 【变式训练1-3】（24-25高三上·上海·期中），和的零点按从小到大顺序可以分别构成两个等差数列，则所构成的集合为 . 【答案】或 【知识点】求函数的零点、判断等差数列 【分析】求出的解，由等差数列的定义和定义域得到，再求出的解，分类讨论的氛围，验证是否满足方程得解能形成等差数列，然后得出取值范围. 【详解】①令，则，即， ∵当取时，的值为：满足等差数列，即，即即可. ②令，则，时，，当时， 若，即时，则的解与相同，满足题意； 若，即时，令，即，则， 则的解：，满足等差数列； 若，即时，因为时已存在至少三个解：， 由三角函数图像可知，在存在两个解，且成等差数列，即， 则，即， 综上所述：或. 故答案为：或 【点睛】方法点睛：因为三角函数有界，所以讨论是否大于1：大于1，则的解与相同；等于1，则求出和方程得根；小于1，结合三角函数图像的对称性和已有的解，得到成等差数列，得到方程的一个根，代回原方程求出的值. 【变式训练1-4】（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的零点： (2)若函数为偶函数，求实数的值. 【答案】(1)和 (2) 【知识点】由奇偶性求参数、求函数的零点 【分析】（1）分与去绝对值讨论即可; （2）取特殊值，结合偶函数的定义，求出，验证即可. 【详解】（1）.当时，，无解: 当时，，解得， 故函数的零点为和. （2）若函数为偶函数，， 即，可得，解得. 当时，，定义域关于原点对称， ，故. 题型2 求函数零点或方程根的个数 例2-1（23-24高三上·上海静安·期中）已知函数恰有个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】数形结合可知，函数在上只有两个零点，则函数在上有五个零点，由可求出的取值范围，根据题意可得出关于的不等式，即可解得正数的取值范围. 【详解】当时，由，可得， 作出直线和函数的图象如下图所示： 由图可知，直线和函数的图象有两个交点， 因为函数恰有个零点，所以，函数在上有个零点， 当时，因为，则， 所以，，解得， 故选：B. 例2-2（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知定义域为的奇函数，满足，且，则函数在区间上的零点个数的最小值为 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据奇函数的性质和可知，，，再利用得函数为周期函数，利用周期性可得区间上的其余零点. 【详解】依题意，奇函数的定义域为，所以. 由，得，即，由奇函数的性质得， 又，即，由奇函数的性质得，解得， 由，得， 所以函数是周期函数，且周期为， 因此，，，，，，，，. 这表明函数在上至少有这个零点. 当时，函数在上的全部零点恰为. 所以，函数在区间上的零点个数的最小值为. 故答案为：. 例2-3对于函数，若函数是严格增函数，则称函数具有性质. (1)若，求的解析式，并判断是否具有性质； (2)判断命题“严格减函数不具有性质”是否为真命题，并说明理由； (3)若函数具有性质，求实数的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数. 【答案】(1)，具有性质 (2)该命题为假命题，理由见解析 (3)实数的取值范围为；讨论零点个数见解析 【知识点】函数新定义、求函数零点或方程根的个数、正弦函数图象的应用、判断命题的真假 【分析】（1）根据题中定义进行求解和判断即可； （2）举出反例即可说明原命题为假命题； （3）根据题意得到，结合题中定义与二次函数相关知识得到实数的取值范围；再进行参变分离，将零点个数问题转化为图像交点问题求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 显然，在上是严格增函数，所以具有性质 （2）假命题，理由如下： 例如，函数是上的严格减函数， 而是上的严格增函数， 此时，严格减函数具有性质，故该命题为假命题 （3）由题意知，， 因为函数具有性质， 所以，解得. 由题意知，函数， 令，则， 即或， 即或或， 令， 如图，作和图像如左图，记交点横坐标为， 作和图像如右图， 显然，在单调递减， 当时，，无解，则在区间上零点的个数为； 当时，，解得，则在区间上零点的个数为； 当时，，有两个根，则在区间上零点的个数为.    综上所述，当时，在区间上零点的个数为； 当时，在区间上零点的个数为； 当时，在区间上零点的个数为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解. 【变式训练2-1】已知函数是定义域在R上的奇函数，且当时，，则关于在R上零点的说法正确的是（    ） A．有4个零点，其中只有一个零点在内 B．有4个零点，其中只有一个零点在内，两个在内 C．有5个零点，都不在内 D．有5个零点，其中只有一个零点在内，一个在 【答案】C 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的应用 【分析】解法一：先研究时，零点的情况，根据零点的情况，以及函数图象的平移，即可得出时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程，也可以得出时零点的个数. 然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案. 【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究 (1)的情况，是把抛物线与轴交点为向上平移了0.02，则与轴交点变至之间了，所以在之间有两个零点； (2)当时，，根据对称性之间也有两个零点 (3)是定义在R上的奇函数，故， 所以有五个零点. 解法二： (1)直接解方程的两根 也可以得两根为，都在之间； (2)当时，，根据对称性之间也有两个零点 (3)是定义在R上的奇函数，故， 所以有五个零点. 故选：C. 【点睛】方法点睛：先求出时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案. 【变式训练2-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】设函数的零点为，结合题设可得，进而求解. 【详解】由题意，对任意，都有， 设函数的零点为， 则，即， 所以，即， 设， 则函数为开口向上，对称轴为，且，， 所以函数在上有2个零点， 即函数的零点个数最多为2个. 故选：B. 【变式训练2-3】已知四个函数：（1），（2），（3），（4），从中任选个，则事件“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 . 【答案】 【知识点】画出具体函数图象、函数与方程的综合应用、计算古典概型问题的概率、求函数零点或方程根的个数 【分析】由四个函数在同一平面直角坐标系内的图象进行求解即可. 【详解】 如图所示，与，与，与，与均有多个公共点， 令，则，∴在上单调递增， 又∵，∴有唯一零点， ∴与的图象有且仅有一个公共点； 令，则，∴在上单调递增， 又∵， ∴存在，使，且是的唯一零点， ∴与的图象有且仅有一个公共点. ∴从四个函数中任选个，共有种可能， “所选个函数的图象有且仅有一个公共点的有与和与共种可能， ∴“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为. 故答案为：. 【变式训练2-4】（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； (3)设a>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【知识点】求函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）把代入，解方程即得函数的零点. （2）将问题转化为当时，方程只有1个解，再结合一元二次型方程根的情况求解. （3）利用单调性求出在指定区间上的最值，建立不等式并分离参数，构造函数并借助对勾函数的单调性求出最值即可. 【详解】（1）当时，函数，由，得，即，解得， 所以函数的零点为. （2）方程，则，方程化为， 因此方程的解集中恰好有一个元素，当且仅当时，方程只有1个解， 当时，，符合题意，则； 当时，若，则，此时，符合题意，于是， 若，则，方程的二根为，， 当时，由，得或，显然，， ，即，此时方程有两个解，不符合题意； 当时，由，得，， ，即，此时方程有两个解，不符合题意， 所以实数的值为或. （3）函数在上单调递增，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递减，，， 由函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，得， 而，则不等式， 依题意，对任意的恒成立， 当时，不等式成立， 当时，令，， 函数在上单调递减，当时，， 因此当时，，则， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. 题型3 根据函数零点的个数求参数范围 例3-1（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若的恰好有2个零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由题意可得函数与有两个交点，作出图象可求得实数的取值范围. 【详解】令，可得，可得， 由的恰好有2个零点，则方程有两个根， 则函数与有两个交点， 作出两函数的图象如图所示： 由图象可得函数与有两个交点，可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 例3-2已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出函数的图象，根据一元二次不等式的解法将不等式转化为，讨论的大小得关于的不等式，从而可得实数a的取值范围. 【详解】作出函数的图像，如图所示，      有，， 由，得， 当时，，不等式无解； 当时，由得，此时不可能只有一个整数解． 当时，由得， 若不等式恰有一个整数解，则整数解为， 又，，再结合图像知， 综上所述，实数a的取值范围为． 故答案为： 例3-3（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，其中表示中的较小值.若函数至少有3个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义 【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出△，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围． 【详解】设，，由可得． 要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点， 则△， 解得或． ①当时，，作出函数、的图象如图所示： 此时函数只有两个零点，不满足题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有3个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如图所示： 由图可知，函数的零点个数为3，满足题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有3个零点，则， 可得，解得，此时． 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：． 例3-4（24-25高三下·上海·阶段练习）已知 (1)当时， 判断函数的奇偶性; (2)若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)，且 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）利用奇偶函数的判断，直接判断即可； （2）根据图像过的点坐标，即可求出的值，结合因式分解，利用函数在区间内有两个不同的零点转化为方程在固定范围有两个不同的根，即可求出的范围. 【详解】（1）当时，， 因为， 当时，， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数； 当时，，函数是偶函数； （2）因为函数的图像经过点， 所以，则，且， 所以， 令， 则， 因为函数在上有两个不相等的零点， 所以且，解得， 综上，，且. 例3-5（24-25高三上·上海·阶段练习）对于函数，定义域，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．已知． (1)如果对成立．求证：为周期函数； (2)若为“的倒数点”，且只有两个不同的解，求函数的值； (3)设，若函数恰有3个“的1倒数点”，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)． 【知识点】函数的周期性的定义与求解、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义 【分析】（1）根据已知结合周期公式判断即可； （2）先应用为“的倒数点”，得，再结合导函数正负得出函数单调性最后计算求参； （3）先由函数恰有3个“的倒数点”，按四种情况分类讨论得出参数. 【详解】（1）对成立，得， 所以2为函数的周期． （2）由为“关于倒数点”，得， 即， 即，得， 设的定义域为R， 求导得， 当时，严格递增； 时，严格递减； 时，严格递增， 所以的单调递增区间为，递减区间为 所以的极大值为，极小值为， 当时，，当时，， 作出函数的大致图象如下， 只有两个不同的解转化为与有两个交点， 所以. （3）依题意，， 由恰有个“的倒数点”，得方程恰有个不等实数根， ①当时，，方程可化为，解得， 这与不符，因此在内没有实数根； ②当时，，方程可化为， 该方程又可化为． 设，则， 因为当时，，所以在内严格递增， 又因为，所以当时，， 因此，当时，方程在内恰有一个实数根； 当时，方程在内没有实数根． ③当时，没有意义，所以不是的实数根． ④当时，，方程可化为， 化为，于是此方程在内恰有两个实数根， 则有，解得， 因此当时，方程在内恰有两个实数根， 当时，方程在内至多有一个实数根， 综上，a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：关键点是按分类讨论结合新定义计算得出参数. 【变式训练3-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】画出曲线的图象，数形结合判断直线与曲线的交点个数. 【详解】曲线即，表示以为圆心，以1为半径的一个半圆， 直线表示斜率为1的一组平行线，当直线过时，， 当直线和半圆相切时，由，解得或（舍去）， 要使曲线与直线有两个相异的交点，则b满足， 故答案为：.    【变式训练3-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）对于定义在集合上的函数，若存在实数满足，则把叫做的一个不动点，已知，没有不动点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】依题意可得在上无实数根，参变分离可得在上无实数根，令，，求出的值域，即可得到不等式，解得即可. 【详解】依题意在上无实数根，即在上无实数根， 即在上无实数根， 令，，则在上单调递增， 又，，即， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式训练3-3】（24-25高三上·上海·期中）已知，，，，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则 . 【答案】 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、正弦函数图象的应用、识别正（余）弦型三角函数的图象 【分析】根据零点的概念，结合三角函数的周期性解题. 【详解】由是函数的零点，可得，即，，取（正半轴的第一个零点）可得； 又是函数的零点，由，得，， 取（正半轴的第四个零点）得，所以，. 故答案为：. 【变式训练3-4】设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据题意分类讨论，转化为二次函数问题直接求解即可. 【详解】当时，方程可化为，即， 则或（舍）； 当时，方程可化为； 要使原方程有三个根，则时有一根，时有两根， 则且，解得且， 所以实数a的取值范围为 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 【变式训练3-5】（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得； （2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围. 【详解】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为； （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得， 解得. 所以，的取值范围为.    题型4 零点存在性定理的应用 例4-1已知函数，若函数在区间上恰有个零点，则所有可能的正整数的值组成的集合为 . 【答案】 【知识点】零点存在性定理的应用、根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用、二倍角的余弦公式 【分析】化简函数得，令，换元得，根据二次函数零点可得：原题意等价于在区间上恰有2024个零点，结合正弦函数的图象性质分析求解. 【详解】， 令，，可得，， 记的两零点为、， 则，不妨设， 且，则，，， 可知（舍去），， 原题意等价于在区间上恰有2024个零点， 可知在和（为正整数）内不同根的个数均为， 所以. 故答案为：. 例4-2已知函数，若在区间内没有零点，则ω的取值范围是 . 【答案】 【知识点】零点存在性定理的应用、解正弦不等式、cos2x的降幂公式及应用 【分析】由三角恒等变换得，进而根据题意得，再分别解不等式即可得答案. 【详解】解：函数 ∵在区间内没有零点， ∴，即 ∴①或②， 解①得，即，由于，故，即 解②得，即，由于，故，即， 综上可得的取值范围是 故答案为： 【变式训练4-1】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则“”是“函数有零点”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、零点存在性定理的应用 【分析】根据特值法与零点存在定理可快速得出结论. 【详解】函数，定义域为， 当时，，当时，， 根据零点存在定理，知此时函数必有零点，所以充分性成立； 当，时，，易知，所以函数有零点， 此时，所以必要性不成立. 故“”是“函数有零点”的充分不必要条件. 故选：. 【变式训练4-2】已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有，则称函数具有性质． (1)若函数具有性质，求的值 (2)设，若，求证：存在常数，使得具有性质 (3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在上存在零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】零点存在性定理的应用、函数新定义 【分析】（1）对任意，都有，代入和即可得出答案；（2）设，利用零点存在性定理即可证得结论；（3）先转化为，然后令得，，分情况利用零点存在性定理证得结论. 【详解】（1）函数具有性质， 所以对任意，都有， 令，得， 令，得， 所以． （2）证明：函数具有性质的充要条件为 存在，使得，即，   设， 因为，， 所以在区间上函数存在零点，        取，则， 得函数具有性质． （3）设，因为， 所以， 令得，，                 ①若，则函数存在零点 若，当时，， 所以此时函数在区间上存在零点       ②因为 所以                           若，当时，， 所以此时函数在区间上存在零点． 综上，函数在上存在零点． 题型5 根据实际问题选择合适的函数模型 例5-1（24-25高三上·上海松江·期末）交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成．黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．根据路况不同，道路的限定速度一般在30千米/小时至70千米/小时之间．由相关数据，驾驶员反应距离（单位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为：；刹车距离（单位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为：，反应距离与刹车距离之和称为停车距离．已知某个十字路口宽度为30米，为保证通行安全，黄灯亮的时间是允许限速车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，则该路口黄灯亮的时间最多为 秒（结果精确到0.01秒）． 【答案】 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】依题意求出反应距离，刹车距离，即可得到路程，再根据速度、路程、时间的关系计算可得； 【详解】解：依题意当小汽车最大限速（约）时， 反应距离，刹车距离， 所以停车距离为， 又路口宽度为，所以， 所以时间； 故答案为： 例5-2（23-24高三下·上海·阶段练习）某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设的长为毫米． (1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米）关于的函数关系式； (2)如何设计与的长度，使得最大？ 【答案】(1)，. (2)为毫米，为毫米 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、由导数求函数的最值（不含参）、面积、体积最大问题、求组合体的体积 【分析】（1）由矩形其外周长为毫米，又设的长为毫米，可得的长度，再根据圆柱和球的体积公式即可求得防蚊液的体积关于的函数关系式； （2）对（1）求得的函数关系式求导，从而得到函数的单调区间，根据函数单调性即可确定防毒液体积最大值． 【详解】（1）由得， 由且得， 所以防蚊液的体积，. （2）由，. 所以， 令得；令得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有最大值，此时，， 所以当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值. 例5-3（24-25高三上·上海·期中）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t满足：，其中. (1)请你说明的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益. 【答案】(1)当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量； (2)发车时间间隔为6分钟，最大净收益为120元. 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据给定的函数，直接得答案. （2）分段计算净收益，并求最值，比较大小得解. 【详解】（1）依题意，的实际意义是：当地铁的发车时间间隔为5分钟时，地铁载客量. （2）当时， ，当且仅当时取等号； 当时，， 当且仅当时取等号，而， 所以当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元. 例5-4（24-25高三上·上海·阶段练习）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 【答案】(1) (2)台，万元 【知识点】对数函数模型的应用（2）、利润最大问题 【分析】（1）先通过待定系数法求解出与的关系，然后根据利润定义表示出即可； （2）利用导数分析的单调性，从而可求的最大值以及对应的值. 【详解】（1）设，代入可得，所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元. 例5-5某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.    (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式； (3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大. 【答案】(1) (2)，. (3)点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大. 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、面积、体积最大问题 【分析】（1）先以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可； （2）分别求出D在不同线段的解析式，然后计算面积； （3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定D的位置. 【详解】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，，    设曲线所在的抛物线方程为，，点，在抛物线上， 则，解得，， 所以曲线段所在的抛物线方程为. （2）因为点在曲线段上，，，所以， ∴，. （3）∵，， 令，解得， 当时，，当时，， 所以时，函数单调递增，时，函数单调递减， 因此，当时，是极大值也是最大值， 即当点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大. 例5-6（24-25高三上·上海·期中）为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. (1)试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： (2)约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ (3)经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析，，； (2)9个月； (3)答案见解析. 【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据图表可知随x增长函数值也增长，可确定函数模型，再根据给定数据计算结合误差大小判断选择函数模型. （2）由（1）中选择的函数模型，列式根据指数与对数的运算法则计算即得. （3）求出方案二在的函数模型，计算分析即可得解. 【详解】（1）根据图表可知随x增长函数值增长越来越快， 而函数刻画的是增长速度越来越快的变化规律， 函数刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，不符合题意； 若选择函数模型，则有，解得， 即，， 当时，，当时，， 所给数据均比较接近满足函数； 若选择函数模型，显然， 且，解得，即， 而当时，，与给定的数据相差太大，不符合题意， 所以函数模型更适合； （2）由（1）知，，， 设约经过个月，此生物能覆盖整个池塘， 则，解得 . 所以约经过9个月此生物能覆盖整个池塘； （3）依题意，方案二的函数模型为， 当时， 方案二的函数模型对应的值依次为， 方案一的函数模型对应的值依次为， 方案一的增长速度比方案二的小，方案二在第5到9月生物量较方案一小，10月开始方案一生物量较小， 方案二再经过13个月此生物能覆盖整个池塘， 由，解得，方案一再经过15个月此生物能覆盖整个池塘. 【变式训练5-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离反应距离+制动距离．其中反应距离与汽车行驶速度成正比，比例系数为；制动距离与汽车行驶速度的平方成正比，比例系数为．下表是通过试验观测得到的、、的对应关系： 56 11.9 0.213 16.0 0.00510 64 13.4 0.209 21.9 0.00535 72 15.2 0.211 28.2 0.00544 80 16.7 0.209 36.0 0.00563 89 18.6 0.209 45.3 0.00572 97 20.1 0.207 55.5 0.00590 105 21.9 0.209 67.2 0.00610 用表中比例系数与的平均数作为参数、的估计值．那么根据上表数据，估计时，刹车距离约为 ．（结果精确到0.1） 【答案】 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】设刹车距离为，求出、的平均值，可得出的表达式，代值计算可得的值. 【详解】设刹车距离为，由题意可得， 由表格中的数据可得， ， 所以，，故. 所以，当时，刹车距离约为. 故答案为：. 【变式训练5-2】（24-25高三下·上海虹口·期中）1798年，人口学家马尔萨斯假设：①人口数是随着时间连续变化的函数；②人口增长率为常数，且单位时间内的人口增长量与成正比，进而建立了人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现由于人类生存条件的限制，不是常数，因此改进了马尔萨斯的假设②，并添加了1条假设：②是随着时间连续变化的函数，存在人口最大瞬时增长率，使，且仅与和有关；③存在最大人口数，当人口数达到时，.那么在这些假设下建立的人口增长模型 .（用含有、、的式子表示） 【答案】 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意，当时，得到，求得，结合，代入化简得到，即可得到答案. 【详解】根据假设，可得， 当时，，代入可得，解得， 由单位时间内的人口增长量与成正比，可得， 将，代入可得， 所以假设下建立的人口增长模型. 故答案：. 【变式训练5-3】为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下： 第一档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米； 第二档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米； 第三档：年用气量在立方米以上，价格为元/立方米. (1)请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含的式子表示）； (2)已知某户居民年部分月份用气量与缴费情况如下表，求的值. 月份 1 2 3 4 5 9 10 12 当月燃气用量（立方米） 56 80 66 58 60 53 55 63 当月燃气费（元） 168 240 198 174 183 174.9 186 264.6 【答案】(1) (2)，， 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、求解析式中的参数值 【分析】 （1）根据燃气收费标准求得解析式. （2）根据表格提供数据以及函数解析式求得. 【详解】（1）依题意，函数解析式为： （2）解法一： 由一月份数据可得：， 通过计算前5个月用量：， 前5个月燃气总费用：， 由（1）中函数解析式，计算可得：， 所以， 又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同， 所以12月份为第三档，. 解法二： 1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同． 所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同， 则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档． 从而得到，. 【变式训练5-4 】（24-25高三上·上海·期中）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【答案】(1)选模型②，且 (2) (3)约为10℃ 【知识点】求指数函数在区间内的值域、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式； （2）令，利用指数与对数关系及对数运算性质求结果； （3）根据指数函数性质求函数的值域，即可确定进行实验时的室温. 【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则，即，可得， 所以且. （2）令，则. 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为. （3）由，即，所以进行实验时的室温约为10℃. 题型6 函数与方程的综合应用 例6-1（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，若对任意实数，方程有解，方程也有解，则的取值集合为 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 【分析】根据三角不等式转化为恒成立问题，再结合余弦函数的性质，即可求解. 【详解】因为，所以，，， 由三角不等式， 得恒成立， 所以，即， 当或时，等号成立， 此时， 所以要对任意实数都成立，需满足. 同理恒成立， 所以，即， 当时，等号成立， 此时， 所以要对任意实数都成立，需满足. 综上所述，，即的取值集合为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用三角不等式将已知条件转化为恒成立问题，再利用余弦函数的性质求最值. 例6-2（24-25高三下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义 【分析】由“函数”的定义可知若函数为“函数”，则直线与的图像至多只有一个交点，从而可得至多只有一根，即函数在定义域上单调，求导，分情况讨论函数的单调性可得参数范围. 【详解】由“函数”的定义可知若函数为“函数”，则直线与的图像至多只有一个交点， 即，即只有一根， 令，则在上单调， 则， 当时，则，在上单调，满足要求； 当时，设，则， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 即， 由函数在上单调，则，解得，与矛盾，不成立； 当时，设，则， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即， 由函数在上单调，则，解得， 又，即； 综上所述，， 故答案为：. 例6-3对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”． (1)试判断，是否为“函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“函数”求实数的取值范围； 【答案】(1)是；理由见解析 (2) 【知识点】函数与方程的综合应用、由正切（型）函数的值域（最值）求参数、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据定义结合即可判断； （2）将原问题等价转换为在有解，且在上恒成立，分离参数即可求解. 【详解】（1）根据题意，，可得，故是“函数”； （2）因为为“函数”，所以存在，使， 即， 整理得在有解． 因为，所以，可得， 结合在上恒成立，可得， 综上所述，，即实数的取值范围是. 【变式训练6-1】（24-25高三上·上海·阶段练习）若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围 . 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】依题意在上有解，利用函数的单调性可求的取值范围. 【详解】因为关于的方程在实数范围内有解， 即在上有解， 又可得在上为增函数， 所以， 所以实数的取值范围. 故答案为： 【变式训练6-2】函数的定义域为R，满足，，，，，若函数的图象与直线在y轴右侧有3个交点，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用 【分析】根据函数的周期和对称性，画出函数图像，进而求出函数的图象与直线在y轴右侧有3个交点，实数m的取值范围. 【详解】因为， 所以，即为奇函数，， 又因为，所以的周期为8 由， ， 所以， 根据解析式作出函数在的图像，再根据为奇函数且周期为8， 得到函数在R上的图像，如图所示， 由题恒过点，与函数的图象在y轴右侧有3个交点， 根据图像可知当时，应有即，且同时满足无解， 当时，，， 即满足时，无解， 由图像可知等价于在R上恒成立，所以， 解得，所以. 根据图像当时，应有即，且同时满足无解， 时，则， 则当时，，则， 即时，无解， 由图像可知等价于在R上恒成立，所以， 解得，所以， 综上所述，实数m的取值范围是或. 故答案为：或. 【变式训练6-3】设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”． (1)判断函数与是否“局部趋同”，并说明理由； (2)已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”； (3)对于给定的实数，若存在实数，使得函数与“局部趋同”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】函数与方程的综合应用、函数单调性、极值与最值的综合应用、函数新定义 【分析】（1）求出两函数的导函数，根据题意列等式解出值，再代入原函数看是否相等即可得出答案； （2）求出两函数的导函数，根据题意列等式，得出要证明对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”，证明有解即可，再根据二次函数证明即可； （3）求出两函数的导函数，根据题意列等式，消去得出若有解，函数与就“局部趋同”，令，利用导数求出其值域，即可得出答案. 【详解】（1）由，， 得，， 令，解得：， ，且， 即不存在，满足且， 则函数与不是“局部趋同”； （2）函数， 则， 若函数与“局部趋同”， 则存在，满足且， 即，且， 则若有解，存在正数，都存在，满足且， 即对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”， 即，其， 即有解，设方程的两根分别为， 不妨设，则，所以，， 而，取， 所以对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”. （3）若函数与“局部趋同”， 则且， 由，得， 即，则， 代入，得， 即， 则若有解，函数与就“局部趋同”， 即有解， 令，则， 在上，，在上，， 则在上，，在上，， 即在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 从趋向于0时，趋向于，趋向于0， 则在从趋向于0时，趋向于， 则， 则要使有解，即，即， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于新概念题要将题中概念转换为我们熟悉的内容再进行求解；解决存在自变量使得两函数相等问题，注意利用等式转换相等的复杂内容，让等式变简单；等式中参数的范围利用参变分离，后构造新函数利用导数求解其值域，注意定义域. 一．选择题 1．（2024•上海高考真题）现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论　　 （1）存在，；，与有无穷个交点 （2）存在，；，与有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立 【分析】根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得是周期为1的周期函数，结合一次函数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，当时，与均为延展函数， 对于①，对于，， 则是周期为1的周期函数，其值域为， 因为，与不会有无穷个交点，所以（1）错； 对于②，当时，存在使得直线可以与在区间的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确． 故选：． 【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题． 二．填空题 2．（2023•上海）已知函数，且，则方程的解为 　　． 【分析】分和分别求解即可． 【解答】解：当时，，解得； 当时，，解得（舍； 所以的解为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了分段函数的性质、对数的基本运算、指数的基本运算，属于基础题． 三．解答题 3．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）（3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 4．（2023•上海高考真题）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）． （1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示） （2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小． 【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中的定义求解即可； （2）利用导函数求的单调性，即可求出最小时的值． 【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得： ， 所以． （2）由题意可得，， 所以， 令，解得， 所以在，单调递减，在，单调递增， 所以的最小值在或7取得， 当时，， 当时，， 所以在时，该建筑体最小． 【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题． 5．（2022•上海）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数． （1）设，，为做变换后的结果，解方程：； （2）设，为做变换后的结果，解不等式：； （3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到．若恒成立，证明：函数在上单调递增． 【分析】（1）推导出，由此能求出． （2）推导出，当时，恒成立；当时，，由此能求出的解集． （3）先求出，从而，先求出，从而，由，得，再由在上单调递增，能证明函数在上单调递增． 【解答】解：（1），，为做变换后的结果，， ， 解得． （2），为做变换后的结果，， ， 当时，恒成立； 当时，， 解得，或， 综上，不等式：的解集为，，． （3）证明：先做变换后得到，再做变换后得到， ，， 先做变换后得到，再做变换后得到， ，， ，在上单调递增， ， 对恒成立， 函数在上单调递增． 【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 6．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长． （1）求今年起的前20个季度的总营业额； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？ 【分析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项，公差，再利用等差数列的前项和公式求解即可． （2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的，则，令，，递推作差可得当时，递减；当时，递增，注意到（1），所以若，则只需考虑的情况即可，再验证出，，即可得到利润首次超过该季度营业额的的时间． 解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为，则，所以数列满足，再由，的值即可判断出结果． 【解答】解：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列， 则首项，公差， ， 即营业额前20季度的和为31.5亿元． （2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的， 则， 令，， 即要解， 则当时，， 令，解得：， 即当时，递减；当时，递增， 由于（1），因此的解只能在时取得， 经检验，，， 所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的． 解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为， 则， 数列满足， 注意到，，， 今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的． 【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是中档题． 7．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定 时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量． （1）若交通流量，求道路密度的取值范围； （2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值． 【分析】（1）由交通流量随着道路密度的增大而减小，知是单调递减函数，进而知，于是只需，解不等式即可； （2）把，代入的解析式中，求出的值，利用可得到关于的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上的最大值，取较大者即可． 【解答】解：（1）按实际情况而言，交通流量随着道路密度的增大而减小， 故是单调递减函数， 所以， 当时，最大为85， 于是只需令，解得， 故道路密度的取值范围为． （2）把，代入中， 得，解得． ， ①当时，， ． ②当时，是关于的二次函数，， 对称轴为，此时有最大值，为． 综上所述，车辆密度的最大值为． 【点评】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题． 8．（2020•上海）有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离． （1）若，求、、的值，并写出的函数解析式； （2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？ 【分析】（1）利用题目所给定义表示出，，分类讨论可得； （2）利用题意可得，表示出与坐标轴围成的面积，进而表示出面积不等式，解出不等式即可 【解答】解：（1）投放点，，表示与距离最近的投放点（即的距离， 所以，同理分析，，， 由题意得，，， 则当，即时，； 当，即时，； 综上； （2）由题意得，， 所以，则与坐标轴围成的面积如阴影部分所示， 所以， 由题意，，即， 解得，即垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利． 【点评】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 函数的应用 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 2 知能解码 2 知识点1 函数的零点与方程的解 2 知识点2 三种函数模型的性质 3 知识点3 常见的函数模型 3 题型破译 4 题型1 求函数的零点 4 题型2 求函数零点或方程根的个数 5 题型3 根据函数零点的个数求参数范围 6 题型4 零点存在性定理的应用 8 题型5 根据实际问题选择合适的函数模型 9 题型6 函数与方程的综合应用 13 04真题溯源·考向感知 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）函数零点或方程根的个数 （2）函数与方程的综合运用 （3）根据实际问题选择合适的函数模型 单选题 填空题 解答题 第21题求函数零点或方程根的个数 春考高考16、21题 函数与方程的关系，函数与方程的综合运用 春考高考9、19题函数的零点与方程根的关系，根据实际问题选择合适的函数模型 考情分析： 本节内容是上海高考卷的常考内容，考查形式多样。考查难度每年解题性增长。 复习目标： 1. 理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用。 3.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 4.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 知识点1 函数的零点与方程的解 1.函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2.函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 3.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 自主检测函数的零点是 　　． 知识点2 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值的变化而各有不同 自主检测如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是（    ） A． B． C． D． 知识点3 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 自主检测某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下： 上市时间天 4 10 36 市场价元 90 51 90 根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系（     ） A． B． C． D．； 题型1 求函数的零点 例1-1已知，且，则函数的零点为 . 例1-2（24-25高三上·上海·阶段练习）函数在所有零点之和为 ． 【变式训练1-1】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数，则函数的零点是 . 【变式训练1-2】设，则方程的解集为 . 【变式训练1-3】（24-25高三上·上海·期中），和的零点按从小到大顺序可以分别构成两个等差数列，则所构成的集合为 . 【变式训练1-4】（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的零点： (2)若函数为偶函数，求实数的值. 题型2 求函数零点或方程根的个数 例2-1（23-24高三上·上海静安·期中）已知函数恰有个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2-2（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知定义域为的奇函数，满足，且，则函数在区间上的零点个数的最小值为 . 例2-3对于函数，若函数是严格增函数，则称函数具有性质. (1)若，求的解析式，并判断是否具有性质； (2)判断命题“严格减函数不具有性质”是否为真命题，并说明理由； (3)若函数具有性质，求实数的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数. 【变式训练2-1】已知函数是定义域在R上的奇函数，且当时，，则关于在R上零点的说法正确的是（    ） A．有4个零点，其中只有一个零点在内 B．有4个零点，其中只有一个零点在内，两个在内 C．有5个零点，都不在内 D．有5个零点，其中只有一个零点在内，一个在 【变式训练2-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2-3】已知四个函数：（1），（2），（3），（4），从中任选个，则事件“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 . 【变式训练2-4】（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； (3)设a>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求a的取值范围. 题型3 根据函数零点的个数求参数范围 例3-1（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若的恰好有2个零点，则实数的取值范围 . 例3-2已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 例3-3（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，其中表示中的较小值.若函数至少有3个零点，则的取值范围是 . 例3-4（24-25高三下·上海·阶段练习）已知 (1)当时， 判断函数的奇偶性; (2)若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围. 例3-5（24-25高三上·上海·阶段练习）对于函数，定义域，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．已知． (1)如果对成立．求证：为周期函数； (2)若为“的倒数点”，且只有两个不同的解，求函数的值； (3)设，若函数恰有3个“的1倒数点”，求的取值范围． 【变式训练3-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 . 【变式训练3-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）对于定义在集合上的函数，若存在实数满足，则把叫做的一个不动点，已知，没有不动点，则实数的取值范围是 ． 【变式训练3-3】（24-25高三上·上海·期中）已知，，，，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则 . 【变式训练3-4】设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为 ． 【变式训练3-5】（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 题型4 零点存在性定理的应用 例4-1已知函数，若函数在区间上恰有个零点，则所有可能的正整数的值组成的集合为 . 例4-2已知函数，若在区间内没有零点，则ω的取值范围是 . 【变式训练4-1】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则“”是“函数有零点”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要 【变式训练4-2】已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有，则称函数具有性质． (1)若函数具有性质，求的值 (2)设，若，求证：存在常数，使得具有性质 (3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在上存在零点． 题型5 根据实际问题选择合适的函数模型 例5-1（24-25高三上·上海松江·期末）交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成．黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．根据路况不同，道路的限定速度一般在30千米/小时至70千米/小时之间．由相关数据，驾驶员反应距离（单位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为：；刹车距离（单位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为：，反应距离与刹车距离之和称为停车距离．已知某个十字路口宽度为30米，为保证通行安全，黄灯亮的时间是允许限速车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，则该路口黄灯亮的时间最多为 秒（结果精确到0.01秒）． 例5-2（23-24高三下·上海·阶段练习）某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设的长为毫米． (1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米）关于的函数关系式； (2)如何设计与的长度，使得最大？ 例5-3（24-25高三上·上海·期中）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t满足：，其中. (1)请你说明的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益. 例5-4（24-25高三上·上海·阶段练习）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 例5-5某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.    (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式； (3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大. 例5-6（24-25高三上·上海·期中）为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. (1)试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： (2)约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ (3)经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 【变式训练5-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离反应距离+制动距离．其中反应距离与汽车行驶速度成正比，比例系数为；制动距离与汽车行驶速度的平方成正比，比例系数为．下表是通过试验观测得到的、、的对应关系： 56 11.9 0.213 16.0 0.00510 64 13.4 0.209 21.9 0.00535 72 15.2 0.211 28.2 0.00544 80 16.7 0.209 36.0 0.00563 89 18.6 0.209 45.3 0.00572 97 20.1 0.207 55.5 0.00590 105 21.9 0.209 67.2 0.00610 用表中比例系数与的平均数作为参数、的估计值．那么根据上表数据，估计时，刹车距离约为 ．（结果精确到0.1） 【变式训练5-2】（24-25高三下·上海虹口·期中）1798年，人口学家马尔萨斯假设：①人口数是随着时间连续变化的函数；②人口增长率为常数，且单位时间内的人口增长量与成正比，进而建立了人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现由于人类生存条件的限制，不是常数，因此改进了马尔萨斯的假设②，并添加了1条假设：②是随着时间连续变化的函数，存在人口最大瞬时增长率，使，且仅与和有关；③存在最大人口数，当人口数达到时，.那么在这些假设下建立的人口增长模型 .（用含有、、的式子表示） 【变式训练5-3】为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下： 第一档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米； 第二档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米； 第三档：年用气量在立方米以上，价格为元/立方米. (1)请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含的式子表示）； (2)已知某户居民年部分月份用气量与缴费情况如下表，求的值. 月份 1 2 3 4 5 9 10 12 当月燃气用量（立方米） 56 80 66 58 60 53 55 63 当月燃气费（元） 168 240 198 174 183 174.9 186 264.6 【变式训练5-4 】（24-25高三上·上海·期中）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 题型6 函数与方程的综合应用 例6-1（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，若对任意实数，方程有解，方程也有解，则的取值集合为 例6-2（24-25高三下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是 . 例6-3对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”． (1)试判断，是否为“函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“函数”求实数的取值范围； 【变式训练6-1】（24-25高三上·上海·阶段练习）若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围 . 【变式训练6-2】函数的定义域为R，满足，，，，，若函数的图象与直线在y轴右侧有3个交点，则实数m的取值范围是 . 【变式训练6-3】设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”． (1)判断函数与是否“局部趋同”，并说明理由； (2)已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”； (3)对于给定的实数，若存在实数，使得函数与“局部趋同”，求实数的取值范围． 一．选择题 1．（2024•上海高考真题）现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论　　 （1）存在，；，与有无穷个交点 （2）存在，；，与有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立 二．填空题 2．（2023•上海）已知函数，且，则方程的解为 　　． 三．解答题 3．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 4．（2023•上海高考真题）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）． （1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示） （2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小． 5．（2022•上海）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数． （1）设，，为做变换后的结果，解方程：； （2）设，为做变换后的结果，解不等式：； （3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到．若恒成立，证明：函数在上单调递增． 6．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长． （1）求今年起的前20个季度的总营业额； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？ 7．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定 时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量． （1）若交通流量，求道路密度的取值范围； （2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值． 8．（2020•上海）有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离． （1）若，求、、的值，并写出的函数解析式； （2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？ 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$