第05讲 函数及其性质（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 函数及其性质 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 函数及其表示 3 知识点2 函数的基本性质 3 题型破译 6 题型1 函数的定义域 6 题型2 函数的值域 6 题型3 函数的表示方法 7 题型4 分段函数 8 题型5 函数的单调性 8 题型6 函数的最值 10 题型7 函数的奇偶性 10 题型8 函数的周期性 11 题型9 函数的对称性 12 题型10 函数新定义 13 04真题溯源·考向感知 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）分段函数 （2）函数的值域 （3）函数的奇偶性 （4）函数的单调性 单选题 填空题 解答题 秋季高考第12题分段函数 15题利用函数单调性求最值或值域 19题根据函数的单调性解不等式 21题函数奇偶性的判断 秋季高考第2、4题分段函数、函数的奇偶性 秋季高考第5、18题函数的值域，函数奇偶性的判断 春季高考第13题函数的奇偶性 考情分析： 本节内容是上海高考卷的必考内容，考查形式多样。填空考查基础，选择题考查中等，解答题中等及压轴。 复习目标： 1.了解函数的含义。 1.了解简单的分段函数，并会简单的应用． 3.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.掌握函数单调性的简单应用． 4.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义..会依据函数的性质进行简单的应用． 5.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题． 知识点1 函数及其表示 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 自主检测（24-25高三上·上海·期中）对于函数，有下列四个命题 ①任取，，都有； ②（为正整数），对一切恒成立； ③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则； ④函数有5个零点 上述四个命题中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点2 函数的基本性质 一．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 二．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值 三．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 四.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 五．函数的对称性 1.奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． (2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)． 2.若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称． 3.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 自主检测 1.函数的单调递增区间为（    ） A．(-∞，] B．[，+∞) C．[，2] D．[1，] 2.（24-25高三上·上海·期中）下列函数在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·上海·期中）对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是 . 4.（24-25高三上·上海·期中）设是定义在上的偶函数，且对任意整数、，都有，其中表示实数、中的较大者.若，，则的所有可能取值组成的集合为 . 5.（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数. (1)判断函数的奇偶性（不需要说明理由）； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)若在上的值域是()，求a的取值范围. 题型1 函数的定义域 例1-1（24-25高三上·上海·期中）函数的定义域为 ． 例1-2已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【变式训练1-1】（24-25高三上·上海·期中）函数 的定义域为 ． 【变式训练1-2】已知函数在上有意义，则实数m的范围是 ． 【变式训练1-3】若函数的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的定义域不可能是（    ） A． B． C． D．R 题型2 函数的值域 例2-1函数的值域是 ． 例2-2函数在区间上的值域为，则m的范围是 . 【变式训练2-1】已知，若函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 【变式训练2-2】是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为 ． 【变式训练2-3】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，平有“数学王子”的称号.为了纪念高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，已知，则函数的值域为 . 题型3 函数的表示方法 例3-1对于函数，部分x与y的对应关系如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 8 4 9 6 1 2 5 3 7 数列满足：，且对于任意的，点都在函数图像上，则 ． 例3-2游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用表示游泳池的水深，表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（    ） A． B． C． D． 例3-3有这么一个正确的结论：点绕点逆时针旋转得到，则.若曲线，绕点逆时针旋转得到曲线：，则m和n的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练3-2】已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为 . 题型4 分段函数 例4-1（24-25高三上·上海·期中）已知函数若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4-2（24-25高三上·上海宝山·期中）已知函数，则函数的零点个数是 ． 【变式训练4-1】（24-25高三上·上海·期中）设，令，若存在实数，则的取值范围是 . 【变式训练4-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为，则函数的值域为 . 【变式训练4-3】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数，则函数的零点是 . 题型5 函数的单调性 例5-1由方程确定函数，则在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 例5-2设函数（为常数）在上严格递减，在和上严格递增，且的部分图像如图所示，则 ． 例5-3（24-25高三上·上海松江·期中）设函数，若函数的零点为4，则使得成立的整数的个数为 . 例5-4已知函数（，）． (1)若时，判断函数在上的单调性，并说明理由． (2)若对于定义域内一切x，恒成立，求实数m的值． 【变式训练5-1】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中对任意的，，且，总满足不等关系，则实数的取值范围是 . 【变式训练5-2】（24-25高三上·上海·期中）定义在上的奇函数 ，满足 ，则不等式 的解集为 ． 【变式训练5-3】已知且，函数，．对任意，恒成立，且． (1)求实数b，c的值． (2)若在上是严格增函数，求实数a的取值范围． 【变式训练5-4】已知函数，其中常数且. (1)判断上述函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论； (2)若，利用上述函数在区间上的单调性，讨论和的大小关系，并述理由. 题型6 函数的最值 例6-1设函数在R上有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数，若对任意的，恒有，则K的（ ） A．最大值为1 B．最小值为1 C．最大值为2 D．最小值为2 例6-2（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中常数，若的最大值记为，则的最小值为 . 【变式训练6-1】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 . 【变式训练6-2】函数的最大值为3，则的取值范围为 . 题型7 函数的奇偶性 例7-1（24-25高三下·上海虹口·期中）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 例7-2（24-25高三上·上海·期中）幂函数在定义域上是非奇非偶函数，则实数a的取值范围是 . 例7-3（24-25高三上·上海宝山·期中）已知是奇函数，时，则不等式的解集为 . 例7-4（已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求的值； (2)若存在，使成立，求的取值范围. 【变式训练7-1】（24-25高三上·上海·期中）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知，若定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 . 【变式训练7-3】（24-25高三上·上海·期中）函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是 . 【变式训练7-4】记，已知均是定义在实数集上的函数，设，有下列两个命题： ①若函数都是偶函数，则也是偶函数； ②若函数都是奇函数，则也是奇函数． 则关于两个命题判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 题型8 函数的周期性 例8-1（24-25高三上·上海·阶段练习）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德•黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则 . 例8-2（24-25高三上·上海·期中）设函数是定义在R上的奇函数，且，若，，则实数m的取值范围是 . 【变式训练8-1】设是定义在R上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在上的解析式 ． 【变式训练8-2】设函数是定义在上的奇函数，且，若，，则实数的取值范围是 . 【变式训练8-3】水平放置的边长为1的正方形沿x轴正向滚动，初始时顶点A在坐标原点，（沿x轴正向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续）设顶点的轨迹方程是，则 . 题型9 函数的对称性 例9-1若函数是偶函数，则的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 例9-2（24-25高三上·上海·期中）设函数是奇函数，当时，.若对任意的，不等式都成立，则实数的取值范围为 例9-3（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知定义在R上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（   ） ①；②的图象关于对称；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练9-1】若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为 ． 【变式训练9-2】已知均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点对称，且，则 ． 【变式训练9-3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知函数，，设为实数，且.给出下列结论：①关于中心对称；②存在，使得，则（   ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①与②均正确 D．①与②均错误 【变式训练9-4】（24-25高三上·上海·期中）已知. (1)是否存在正数，使得对都成立？若存在，求出的一个值，若不存在，请说明理由； (2)写出函数的一个周期，并求函数的值域. 题型10 函数新定义 例10-1对于定义在D上的函数，若对任意，不等式对一切恒成立，则称函数是“A控制函数”． (1)当，判断、是否是“A控制函数"； (2)当，，，若函数是“A控制函数”，求正数m的取值范围； (3)当，，D为整数集，若函数是“A控制函数”且均为常值函数，求所有符合条件的t的值． 例10-2定义：对于定义在上的函数和定义在上的函数满足：存在，使得，我们称函数为函数和函数的“均值函数”. （1）若，函数和函数的均值函数是偶函数，求实数a的值. （2）若，，且不存在函数和函数的“均值函数”，求实数k的取值范围； （3）若，是和的“均值函数”，求的值域. 【变式训练10-1】（24-25高三下·上海虹口·期中）对于定义在上的函数和，，设. (1)若，，求； (2)若，，，求实数的取值范围； (3)已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“在上是严格增函数”. 【变式训练10-2】（24-25高三下·上海静安·期中）若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． (1)请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） (2)求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； (3)试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 【变式训练10-3】（24-25高三上·上海浦东新·期中）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数． 【变式训练10-4】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”. (1)设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由； (2)若函数是“逆构造函数”，求的取值范围； (3)已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且.  求证：对任意，关于的方程无解. 一．选择题 1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 2．（2024•上海高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，，，在使得，的所有中，下列成立的是　　 A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在为严格增函数 D．存在在处取到极小值 3．（2023•上海高考真题）下列函数是偶函数的是　　 A． B． C． D． 二．填空题 4．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 5．（2024•上海高考真题）已知，则（3）　　． 6．（2024•上海高考真题）已知，，且是奇函数，则　　． 7．（2023•上海高考真题）已知函数，则函数的值域为 　 ． 三．解答题 8．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 9．（2023•上海高考真题）已知，，函数． （1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由； （2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围． 10．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 函数及其性质 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 函数及其表示 3 知识点2 函数的基本性质 5 题型破译 9 题型1 函数的定义域 9 题型2 函数的值域 11 题型3 函数的表示方法 15 题型4 分段函数 18 题型5 函数的单调性 21 题型6 函数的最值 27 题型7 函数的奇偶性 29 题型8 函数的周期性 34 题型9 函数的对称性 37 题型10 函数新定义 42 04真题溯源·考向感知 52 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）分段函数 （2）函数的值域 （3）函数的奇偶性 （4）函数的单调性 单选题 填空题 解答题 秋季高考第12题分段函数 15题利用函数单调性求最值或值域 19题根据函数的单调性解不等式 21题函数奇偶性的判断 秋季高考第2、4题分段函数、函数的奇偶性 秋季高考第5、18题函数的值域，函数奇偶性的判断 春季高考第13题函数的奇偶性 考情分析： 本节内容是上海高考卷的必考内容，考查形式多样。填空考查基础，选择题考查中等，解答题中等及压轴。 复习目标： 1.了解函数的含义。 1.了解简单的分段函数，并会简单的应用． 3.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.掌握函数单调性的简单应用． 4.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义..会依据函数的性质进行简单的应用． 5.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题． 知识点1 函数及其表示 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 自主检测（24-25高三上·上海·期中）对于函数，有下列四个命题 ①任取，，都有； ②（为正整数），对一切恒成立； ③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则； ④函数有5个零点 上述四个命题中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、分段函数的值域或最值、求函数零点或方程根的个数、求零点的和 【分析】由函数图象可判断①；取可判断②；由函数与函数的图象可判断③；由函数和的图象交点个数可判断④. 【详解】对于①，函数的图象如图所示，由图可知，， 任取，，都有， 故①正确； 对于②，当时，，而由解析式可知， 故②不正确； 对于③，函数与函数的图象如图所示， 若关于的方程有且只有两个不同的实根，， 则，由对称性可知，故③正确； 对于④，函数和的图象如图所示， 由图可知两函数图象有个交点，所以函数有个零点， 故④不正确； 所以四个命题中正确的个数为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是作出函数的图象，结合函数的图象和性质求解. 30． 知识点2 函数的基本性质 一．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 二．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值 三．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 四.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 五．函数的对称性 1.奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． (2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)． 2.若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称． 3.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 自主检测 1.函数的单调递增区间为（    ） A．(-∞，] B．[，+∞) C．[，2] D．[1，] 【答案】D 【知识点】复合函数的单调性 【解析】先求得函数的定义域，然后再利用二次函数，结合复合函数的单调性求解. 【详解】令， 解得， 所以函数的定义域为[1，2]， 因为t在上递增，在递减且在上递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：D 【点睛】方法点睛：求复合函数y＝f[g(x)]单调性的方法： 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数； 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数． 2.（24-25高三上·上海·期中）下列函数在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】研究对数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数在区间上为减函数； 对于B选项，函数在区间上为减函数； 对于C选项，函数在区间上为增函数； 对于D选项，函数在区间上为减函数. 故选：C. 3.（24-25高三上·上海·期中）对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】根据函数的单调性的性质判断函数的单调性，结合题中函数的定义，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为函数与都是实数集上的增函数， 所以函数在R上单调递增，且， 当时，，所以当时，， 当时，， 由，即当时，恒成立， 即当时，，即恒成立， 设，则， 当且仅当，即，即时，等号成立， . 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的性质，运用基本不等式进行求解. 4.（24-25高三上·上海·期中）设是定义在上的偶函数，且对任意整数、，都有，其中表示实数、中的较大者.若，，则的所有可能取值组成的集合为 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数新定义 【分析】根据，结合，和是定义在上的偶函数，可求得结果. 【详解】，， ，即； ，即； ，即； …… ，即； ，即； 所以由偶函数性质可得，是任意整数， 由偶函数性质知， 故对任意整数，与两者中至少有一个为“1”， 又，则. 故答案为： 5.（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数. (1)判断函数的奇偶性（不需要说明理由）； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)若在上的值域是()，求a的取值范围. 【答案】(1)非奇非偶； (2)； (3). 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数定义域是否关于原点对称即可判断； （2）问题化为在上恒成立，求右侧最大值，即可得参数范围； （3）根据函数单调性，将问题化为方程有两个不相等的正根，结合判别式求参数范围. 【详解】（1）由于，即定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数； （2）∵在上恒成立，且， ∴在上恒成立， 令（当且仅当时取等号），则. 故a的取值范围是. （3）函数在定义域上是增函数. 所以，即， 故方程有两个不相等的正根，注意到， 故只需要且，则. 题型1 函数的定义域 例1-1（24-25高三上·上海·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由题意可得关于x的不等式组求解． 【详解】由，解得且. ∴函数的定义域为． 故答案为：. 例1-2已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据分式函数中分母不为0得恒成立，分类讨论，时符合题意，时利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为， 得恒成立， 当时，恒成立； 当时，，得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式训练1-1】（24-25高三上·上海·期中）函数 的定义域为 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数、分式及根式的性质列不等式组可求定义域. 【详解】由解析式知：，解得，所以函数定义域为. 故答案为：. 【变式训练1-2】已知函数在上有意义，则实数m的范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数的定义域求参数 【分析】求出函数的定义域，使，列不等式即可求解. 【详解】要使函数有意义，则（）， 解得，所以函数的定义域为， 所以，所以，解得， 所以实数m的范围是. 故答案为： 【变式训练1-3】若函数的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的定义域不可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】B 【知识点】抽象函数的定义域、函数关系的判断 【分析】根据逆时针旋转点的特征结合函数定义分析判断. 【详解】对于函数图象上任一点逆时针旋转可得， 即也在函数图象上， 所以均在函数图象上，都在定义域内， 从而结合函数定义有，当时，有 若定义域为，则不存在满足题意的对应值，故B错误； 故选：B. 题型2 函数的值域 例2-1函数的值域是 ． 【答案】 【知识点】分段函数的值域或最值、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】讨论去绝对值，得到分段函数，求出各段上的值域，求并集得解. 【详解】由， 当时，单调递增，所以， 故函数的值域为. 故答案为：. 例2-2函数在区间上的值域为，则m的范围是 . 【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值、根据值域求参数的值或者范围 【分析】根据题意结合二次函数性质分析求解. 【详解】由题意可得：，开口向上，对称轴为， 且，    若函数在区间上的值域为，则， 所以m的范围是. 故答案为：. 【变式训练2-1】已知，若函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、根据值域求参数的值或者范围、函数图象的应用 【分析】分，，讨论，结合二次函数的图像及性质即可得解. 【详解】因为， 当时，，，不符合题意； 若时，则，符合题意，故成立； 当，，因为函数的值域为， 在上的最大值为，则， 解得， 综上，. 故答案为：. 【变式训练2-2】是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为 ． 【答案】 【知识点】抽象函数的值域、函数奇偶性的应用 【分析】利用函数奇偶性的定义结合的值域即可求出的值域. 【详解】解：由是上的奇函数，是上的偶函数 得到， 因为函数的值域为 即 所以 又， 得 所以的值域为：. 故答案为：. 【变式训练2-3】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，平有“数学王子”的称号.为了纪念高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，已知，则函数的值域为 . 【答案】 【知识点】函数新定义、求指数函数在区间内的值域、函数奇偶性的定义与判断、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】先利用奇函数的定义判定是奇函数，利用分离常数法化简函数的解析式，判定函数的单调性且求出的值域，分情况讨论与的可能取值. 【详解】， 因为 ， 即，所以为奇函数； 因为，所以，，， 则，即的值域为， 又因为在上单调递增，且， 所以当时，，当时，； 当时，，， 此时，，，， 则； 当时，，， 此时，，，， 则； 当时，， 此时，则； 综上所述，， 即的值域为. 故答案为: . 题型3 函数的表示方法 例3-1对于函数，部分x与y的对应关系如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 8 4 9 6 1 2 5 3 7 数列满足：，且对于任意的，点都在函数图像上，则 ． 【答案】8088 【知识点】列表法表示函数、数列周期性的应用 【分析】根据表格分析出的变化规律即可求解. 【详解】由题可得所以为周期数列，周期为3，，前2022项和正好674个周期，所以. 故答案为：8088. 例3-2游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用表示游泳池的水深，表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图象法表示函数 【分析】函数图像不过原点，排除AC；函数值有一段时间不变，排除B，得到答案. 【详解】游泳池原有一定量的水，故函数图像不过原点，排除AC； 再过一段时间打开排水阀排水，故函数值有一段时间不变，排除B. 故选：D 例3-3有这么一个正确的结论：点绕点逆时针旋转得到，则.若曲线，绕点逆时针旋转得到曲线：，则m和n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解析法表示函数 【分析】根据所给旋转公式求出旋转后的函数解析式可得． 【详解】设是曲线上任一点，绕点逆时针旋转得点， 则，所以， 所以，变形得， ，所以，又曲线：， 所以． 故选：A． 【变式训练3-1】定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、解析法表示函数、求函数值 【分析】由条件可知，再利用换元求出在的解析式解出满足的的最小值即可. 【详解】由可知， 因为当时，，所以，所以， 当时，令无解， 当时，，此时， 令无解， 令，则，， 所以当时，， 令解得， 所以集合中的最小元素是， 故选：C 【变式训练3-2】已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为 . 【答案】 【知识点】用弧度制表示角的集合、图象法表示函数、函数关系的判断 【分析】题中函数为圆的一段劣弧，在旋转过程中，只需根据函数的定义考虑一个只有唯一确定的与之对应，即图形与只有一个交点时旋转的角度符合题意. 【详解】画出函数的图象，如图1所示： 圆弧所在的圆方程为，，，在图象绕原点旋转的过程中，当从图1的位置旋转到点时，根据函数的定义知这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示： 此时绕着原点旋转弧度为； 若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点在轴上方，点在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示： 此时转过的角度为，不满足题意； 若函数的图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示： 此时转过的角度为； 故答案为：. 题型4 分段函数 例4-1（24-25高三上·上海·期中）已知函数若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分段函数的性质及应用、由指数函数的单调性解不等式 【分析】分，，三种情况讨论，由题意分别确定的范围，再结合函数的单调性即可得到答案； 【详解】当时，， 所以，即，所以， 则， 因为在上递增， 所以； 当，，所以， 所以，不存在，使得； 当时，， 因为，所以， 所以， 则， 令，则， 因为，所以，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上所述，的取值范围是， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分，，三种情况讨论，再结合题意分别确定的范围. 例4-2（24-25高三上·上海宝山·期中）已知函数，则函数的零点个数是 ． 【答案】2 【知识点】分段函数的性质及应用 【分析】对分两种情况求方程的根的个数即得解. 【详解】当时，或，都满足； 当时，， 所以方程没有实数根. 综合得函数的零点个数是2. 故答案为：2. 【变式训练4-1】（24-25高三上·上海·期中）设，令，若存在实数，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】由题知的值域为，可得的值域为的真子集即可求的取值范围. 【详解】易知函数，的值域为， 若函数的值域为，存在实数，则的值域不为， 即使函数，的值域为的真子集即可； 利用二次函数性质可知当或时，函数值为0，如图，    所以根据图象可知，即的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练4-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为，则函数的值域为 . 【答案】 【知识点】分段函数的值域或最值、求幂函数的值域、求对数函数在区间上的值域 【分析】根据幂函数和对数函数的单调性即可得到函数值域. 【详解】当，，此时单调递增，则， 当，，此时单调递增，则， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 【变式训练4-3】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数，则函数的零点是 . 【答案】 【知识点】求函数的零点、对数的运算、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】将问题转化为，或，求解即可. 【详解】令，则，或， 解得，或， 则函数的零点是. 故答案为：. 题型5 函数的单调性 例5-1由方程确定函数，则在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】B 【知识点】根据图像判断函数单调性、双曲线定义的理解 【分析】先分类得到与的关系，结合圆与双曲线的图象可得函数的图象，进而可得. 【详解】当且时，， 当且时，， 当且时，， 当且时，无意义， 如图： 结合图象可知，在上是减函数. 故选：B 例5-2设函数（为常数）在上严格递减，在和上严格递增，且的部分图像如图所示，则 ． 【答案】 【知识点】根据极值点求参数、导数的运算法则、函数图像的识别、根据函数的单调性求参数值 【分析】结合函数定义域得，代入函数及导函数可得方程组，求解可得. 【详解】由题意得，的定义域为，所以， 由图可知，解得， 则，因为，则有①， 由在上严格递减，在和上严格递增， 则， 由，则， 则，则②， 由①②解得（舍），或， 则. 故答案为：. 例5-3（24-25高三上·上海松江·期中）设函数，若函数的零点为4，则使得成立的整数的个数为 . 【答案】10 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】先由函数零点求出，判断此时函数的单调性，将所求不等式化为，根据单调性，得到，进而可根据题中条件，求出结果. 【详解】因为函数的零点为，所以， 又，所以，所以， 所以，. 因为在上单调递减，在上单调递增； 所以在上单调递减，且； 由得，即，所以， 故，又， 故，故整数的个数为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性解不等式时，一般需要根据所给函数的解析式，先判断函数单调性，再将所求式子变形整理，利用函数单调性，即可求解. 例5-4已知函数（，）． (1)若时，判断函数在上的单调性，并说明理由． (2)若对于定义域内一切x，恒成立，求实数m的值． 【答案】(1)当时，在上单调递减 当时，在上单调递增 (2) 【知识点】利用对数函数的性质综合解题、对数型复合函数的单调性、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）按单调性的定义即可证明. （2）按题意列方程即可求解. 【详解】（1）时，记，任取 ， 故，在上单调递减 当时，在上单调递减 当时，在上单调递增 （2）由恒成立可得 化简得，解得 时，，而，无意义 符合题意 故. 【变式训练5-1】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中对任意的，，且，总满足不等关系，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据单调性定义可得函数单调递减，再根据分段函数单调性的判断方法即可求解． 【详解】由,结合单调性定义可得函数在上单调递减， 则由分段函数单调性可得：，即， 故答案为： 【变式训练5-2】（24-25高三上·上海·期中）定义在上的奇函数 ，满足 ，则不等式 的解集为 ． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】首先利用奇函数性质将不等式进行转化，再构造函数，通过求导判断函数单调性，最后根据单调性求解不等式. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则. 两边求导，得到.已知，可得. 令，. 由于，又，所以，这表明在上单调递增. 不等式可化为. 不等式即，即. 因为单调递增，所以，解得. 故不等式的解集为. 故答案为：. 【变式训练5-3】已知且，函数，．对任意，恒成立，且． (1)求实数b，c的值． (2)若在上是严格增函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知函数类型求解析式 【分析】（1）由可知的对称轴为，结合列式求解即可； （2）根据对数的定义可知在上恒成立，可得，且，再结合复合函数单调性分析求解. 【详解】（1）因为，可知的对称轴为， 且，则，解得. （2）由（1）可知：，则， 由题意可知：在上恒成立，即在上恒成立， 可得，且， 可知开口向上，对称轴为， 即在上是严格增函数， 若在上是严格增函数，则 所以实数a的取值范围. 【变式训练5-4】已知函数，其中常数且. (1)判断上述函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论； (2)若，利用上述函数在区间上的单调性，讨论和的大小关系，并述理由. 【答案】(1)函数在区间上的单调递减，证明见解析； (2)当时，，当且时，. 【知识点】比较函数值的大小关系、研究对数函数的单调性、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）利用定义法结合对数函数单调性即可得到其单调性； （2）利用（1）中的结论即可得到大小关系. 【详解】（1）在区间上单调递减， 证明：当时，任取， 则， 因为，则，所以， 即，即，所以此时在区间上单调递减， 当时，任取， 因为，则，所以， 即，即，所以此时在区间上单调递减， 综上所述，在区间上单调递减， （2）当时，时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增， 由（1）在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， 当时，，， ， ，即， ， 当时，，，，且， 所以， 综上，当时，， 当且时，. 题型6 函数的最值 例6-1设函数在R上有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数，若对任意的，恒有，则K的（ ） A．最大值为1 B．最小值为1 C．最大值为2 D．最小值为2 【答案】D 【知识点】复合函数的最值、函数新定义 【分析】根据题意可得，求出函数的最大值即可的解. 【详解】解：因为对任意的，恒有， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以K的最小值为2. 故选：D. 例6-2（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中常数，若的最大值记为，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】分，，，四种情况，结合二次函数的性质可求的解析式，进而可求的最小值. 【详解】当时，，函数的最大值为， 所以当时，， 因为与轴交于与， 当时，由二次函数的图象，对称轴为，， 又，若，则有，解得， 所以若时，， 若时，， 当时，对称轴，所以， 当时，对称轴，，所以， 综上所述：， 当时，单调递减，所以， 当时，单调递增，， 当时，单调递增，， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：含绝对值的函数的最值问题，分类讨论是一解决问题的有效方法. 【变式训练6-1】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】由函数在单调性求出函数在值域，由三角函数的图像的性质求出函数在值域，由题意知道在值域包含于在值域，建立不等式，求得范围. 【详解】∵，∴函数在上单调递减，∴时，， ∵，∴，∴，∴， 由题意得，即，∴ 故答案为： 【变式训练6-2】函数的最大值为3，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数的最值求参数、分段函数的性质及应用 【分析】将函数化为分段式，再根据函数图象求得参数范围. 【详解】当时，；当时，； 当时，； 所以函数式可化为 函数图象如图所示： 因为 时最大值为3，又当时，，当时，； 由图知， 故答案为： 题型7 函数的奇偶性 例7-1（24-25高三下·上海虹口·期中）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断五种常见幂函数的奇偶性、求余弦（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的奇偶性 【分析】利用基本初等函数的奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，A不满足要求； 对于B选项，函数的定义域为，且， 设，则，故函数为偶函数，B不满足要求； 对于C选项，函数为偶函数，C不满足要求； 对于D选项，函数为奇函数，D满足要求. 故选：D. 例7-2（24-25高三上·上海·期中）幂函数在定义域上是非奇非偶函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】利用给定的幂函数性质，结合函数奇偶性定义求出的范围. 【详解】当时，，则，且，函数是奇函数，不符合题意； 当且时，关于数0不对称，此时幂函数是非奇非偶函数， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 例7-3（24-25高三上·上海宝山·期中）已知是奇函数，时，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】首先求出函数在上的解析式，再分段得到不等式组，解得即可. 【详解】设，则，所以， 又为奇函数，所以， 所以， 不等式，即或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 例7-4（已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求的值； (2)若存在，使成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解； （2）根据函数单调性和奇偶性，将不等式转化求解即可求出结果. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，得到，所以， 又，所以，解得， 当，，，，所以函数是奇函数， 所以，，. （2）由（1）知， 任取，且， 则， 因为，所以，所以， 得到函数在定义上单调递减，又函数为奇函数， 由，得到，所以， 即，令，对称轴为，又，所以，所以. 【变式训练7-1】（24-25高三上·上海·期中）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx的函数的奇偶性 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可． 【详解】选项A，令，定义域为， 且，即为奇函数， 选项B，令，定义域为，， 即为奇函数； 选项C，令，，， 故不是偶函数； 选项D，，定义域为，且，则为偶函数， 故选：D． 【变式训练7-2】（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知，若定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数、求指数函数解析式 【分析】根据奇函数的定义求解即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，，，则， 因为函数为奇函数，则，即，解得， 所以，， 当时，，，，满足，合乎题意， 所以，若函数为奇函数，则. 故答案为：. 【变式训练7-3】（24-25高三上·上海·期中）函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数与导函数图象之间的关系 【分析】由偶函数得到函数的另一个零点，由图像写出和对应的区间，再写出和对应区间，由不等式转换为不等式组，求出的取值范围. 【详解】函数是偶函数，∴ ∴由图可知： 当时，，∴时，， 当时，，∴时，， 当时，；当时，， ∵，∴或， 即或， ∴或. 故答案为：. 【变式训练7-4】记，已知均是定义在实数集上的函数，设，有下列两个命题： ①若函数都是偶函数，则也是偶函数； ②若函数都是奇函数，则也是奇函数． 则关于两个命题判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 【答案】B 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】对于①，根据偶函数的定义判断；对于②，举反例即可. 【详解】对于①，若函数都是偶函数，则，所以 ，所以也是偶函数；命题①正确； 对于②，若函数都是奇函数，如都是R上的奇函数， 而不是定义在R上的奇函数，命题②错误； 故选：B. 题型8 函数的周期性 例8-1（24-25高三上·上海·阶段练习）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德•黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则 . 【答案】/ 【知识点】由函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、函数奇偶性的应用 【分析】由，推得，得到的周期为4，奇函数性质得，且，即可求解. 【详解】因为，所以， 因为是奇函数，所以， 所以，所以的周期为4， 所以， 且， 所以. 故答案为：. 例8-2（24-25高三上·上海·期中）设函数是定义在R上的奇函数，且，若，，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数为奇函数和得到，故的一个周期为6，求出，根据得到不等式，求出答案. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 又，所以， 故，所以， 所以的一个周期为6， ， 又，故，解得或. 故答案为：或 【变式训练8-1】设是定义在R上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在上的解析式 ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由周期性求函数的解析式 【分析】设是时函数图象上的任意一点，然后利用周期和奇偶性将转化到区间上，进而代入解析式化简即可. 【详解】因为函数的周期为2，设是时函数图象上的任意一点，则点在时函数的图象上，而函数是R上的奇函数，则点在时的图象上，所以，即在上的解析式. 故答案为：. 【变式训练8-2】设函数是定义在上的奇函数，且，若，，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、函数周期性的应用 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，并求出与的关系，列出不等式求解即得. 【详解】由函数是上的奇函数，且，得， 因此函数是以6为周期的周期函数，， 而，于是，又，则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 【变式训练8-3】水平放置的边长为1的正方形沿x轴正向滚动，初始时顶点A在坐标原点，（沿x轴正向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续）设顶点的轨迹方程是，则 . 【答案】/ 【知识点】由函数的周期性求函数值、求平面轨迹方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由题意确定是周期为4的周期函数，再确定在一个周期内图象，并求出相应部分解析式，利用周期性即可求值. 【详解】如图，    经过三次旋转后点回到轴，此时的坐标为， 由初始时点A在坐标原点， 可知的是周期为的周期函数， 所以， 由，， 所以扇形所在圆的方程为， 所以当时，，所以， 又因为图象在轴上方，所以， 所以，故. 故答案为：. 题型9 函数的对称性 例9-1若函数是偶函数，则的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数对称性的应用 【分析】利用图象的变换规律即可得出答案. 【详解】因为函数是偶函数， 所以函数是关于对轴， 所以函数是关于对轴，即的对称轴是直线. 故选：C. 例9-2（24-25高三上·上海·期中）设函数是奇函数，当时，.若对任意的，不等式都成立，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、奇偶函数对称性的应用 【分析】分类讨论写出函数的解析式，再根据奇偶性的性质作出与的图像，将不等式转化为的图像恒在的图像下方，根据图像列出不等式求解. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 由是奇函数，可作出的图像，如图所示， 又因为对任意，又成立，所以的图像恒在的图像下方， 即的图像往又平移一个单位后，得到的图像要恒在图像下方， 由图可得：，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查分段函数的图像的画法及利用函数图像解不等式，解题的关键是把题干转化为的图像恒在的图像下方，之所以有这种想法是因为函数解析式较为复杂，如果用分类讨论求解非常的麻烦，所以当所求不等式用代数解法比较困难的情况下需考虑用图像法求解. 例9-3（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知定义在R上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（   ） ①；②的图象关于对称；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断或证明函数的对称性、导数的加减法、由前n项和判断数列是否是等差数列 【分析】对于①，根据求导运算，利用赋值法，可得答案； 对于②，取关于已知对称中心的两个点，代入函数解析式建立方程组，整理等式，结合题意，可得答案； 对于③，根据求导运算，结合题目中的等式，可得答案； 对于④，根据等式可得函数的对称性，结合对称性可得点的坐标，可得等差数列，可得答案. 【详解】对于①，由等式，两边求导可得， 则，令，则，解得，故①错误； 对于②，取点在函数的图象上， 易知点关于的对称点为，假设该点也在函数的图象上， 可得，消去可得， 整理可得，故②正确； 对于③，由等式，两边求导可得， 则，显然与题意不符，故③错误； 对于④，由等式，可得函数的对称中心为， 由等式，可得函数的对称中心为， 点关于的对称点为也是对称中心，点关于的对称点为也是对称中心， 归纳可得函数图象的对称中心为， 当时，，成立； 假设当时，成立； 当时， ， 由数学归纳法，则， 所以函数图象的对称点为，则， 易知数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，故④正确. 故选：B. 【变式训练9-1】若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、函数奇偶性的应用 【分析】根据为奇函数得到的对称中心为，再结合得到的对称中心为，然后利用对称性求即可. 【详解】由可得，因为为奇函数，所以的对称中心为，则的对称中心为，又，则. 故答案为：-5. 【变式训练9-2】已知均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点对称，且，则 ． 【答案】2021 【知识点】由函数对称性求函数值或参数 【分析】由分别取，，结合函数的对称性求，由此可得. 【详解】∵  ， ∴  ，， 又的图像关于直线对称，的图像关于点对称， ∴ 函数为偶函数，函数为奇函数， ∴ ， ∴ ，， ∴ ， 故答案为：2021. 【变式训练9-3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知函数，，设为实数，且.给出下列结论：①关于中心对称；②存在，使得，则（   ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①与②均正确 D．①与②均错误 【答案】C 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断指数函数的单调性、函数对称性的应用 【分析】由，判断是否关于中心对称；结合原函数的图象构造新函数判断②. 【详解】解：因为， 所以，则关于中心对称，故①正确； 设，由函数图像关于点对称可知，关于原点对称，即为奇函数，，可得为增函数，图象如图所示， ，且，则，不妨设，，，设点，，， 此时直线OA方程为，由图可得直线OA在函数的上方， 即，， 则 ， 又由， 由，即，，故②正确. 故选：C 【变式训练9-4】（24-25高三上·上海·期中）已知. (1)是否存在正数，使得对都成立？若存在，求出的一个值，若不存在，请说明理由； (2)写出函数的一个周期，并求函数的值域. 【答案】(1)存在，（满足即可） (2)一个周期为（满足即可）；值域为 【知识点】函数的周期性的定义与求解、判断或证明函数的对称性、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】（1）根据题意利用诱导公式可得，即可得结果； （2）根据题意利用诱导公式可得，即可得周期，再结合对称性取，取绝对值化简整理，结合正弦函数值域分析求解即可. 【详解】（1）对任意，则 ， 可得，例如，可得， （2）因为， 可知函数的一个周期为， 若求函数的值域，则取即可， 由（1）可知：，即关于对称， 若求函数的值域，则取即可，此时， 则， 因为，则，可得， 即所以函数的值域. 题型10 函数新定义 例10-1对于定义在D上的函数，若对任意，不等式对一切恒成立，则称函数是“A控制函数”． (1)当，判断、是否是“A控制函数"； (2)当，，，若函数是“A控制函数”，求正数m的取值范围； (3)当，，D为整数集，若函数是“A控制函数”且均为常值函数，求所有符合条件的t的值． 【答案】(1)是，不是 (2) (3)1,3,5 【知识点】复合函数的单调性、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用函数的单调性结合新定义，逐个判断即可； （2）依题意，为上的增函数，根据复合函数的单调性及函数不等式恒成立即得解； （3）根据条件，分析 t为奇数的情况，求出满足条件的t的值． 【详解】（1）∵f（x）＝﹣2x为减函数， ∴f（x）＜f（x﹣1）， ∴f（x）＝﹣2x具有A性质； ∵为增函数， ∴g（x）＞g（x﹣1）， ∴不具有A性质； （2）依题意，对任意a∈，f（x）≤f（x+a）恒成立， ∴,应满足 而为增函数， 所以在应满足 因为a∈， 恒成立，且 化简可得， 即对于任意a∈，，都有恒成立， 而在上是减函数， 故只需即可， 解得或（舍去） 故当m≥时，函数满足对任意a∈，f（x）≤f（x+a）恒成立， 综上，实数m的取值范围为． （3）∵D为整数集，具有A性质的函数均为常值函数， 当时，恒成立， ， 由题意，，则， 当， ， 当， ， 综上t为奇数， 又， 故所有符合条件的t的值为1,3,5 例10-2定义：对于定义在上的函数和定义在上的函数满足：存在，使得，我们称函数为函数和函数的“均值函数”. （1）若，函数和函数的均值函数是偶函数，求实数a的值. （2）若，，且不存在函数和函数的“均值函数”，求实数k的取值范围； （3）若，是和的“均值函数”，求的值域. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【知识点】函数新定义、由奇偶性求参数、三角恒等变换的化简问题、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【解析】（1）用偶函数的定义即可； （2）转化为二次函数在指定区间上恒成立问题； （3）先求并求值域，然后根据极限思想可得的值域. 【详解】（1）为偶函数， 所以， ，此时. （2）由题设可知，当 ， 时，无意义， 即当时，恒成立， 若 不成立， 若 ，因为对称轴 ，所以， （舍）； 若 ， ， 综上，实数 （3） 所以 ， 同理， ， 又 当 时， 综上，的值域为 【点睛】此题为函数新定义型题，考查了函数的奇偶性、定义域、值域等基本性质，同时也考查了 恒成立问题的处理方法. 【变式训练10-1】（24-25高三下·上海虹口·期中）对于定义在上的函数和，，设. (1)若，，求； (2)若，，，求实数的取值范围； (3)已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“在上是严格增函数”. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】求指数函数在区间内的值域、求已知函数的极值、函数新定义 【分析】（1），分析出其在上的值域即可； （2）利用导数求得当时取得极小值，再分和讨论即可； （3）充分性利用函数单调性即可证明，必要性先证明是严格增函数．再利用反证法证明即可. 【详解】（1）记， 函数上的值域为，即． （2）设在上的最小值． . 当时，严格增；当时，严格减； 当时，严格增．当时取得极小值． 当时，舍去． 当时，． 综上，． （3）（充分性）若是严格增函数， 则的最小值为，而， 故对任意，都有，即与是相同函数． 故是严格增函数，所以严格增函数，故对任意的零点个数有限． （必要性）对任意，都有，故的值域为， 即在上的最小值为． 先证是严格增函数． 对任意，函数和的最小值分别为和， 则由最小值的定义，，故函数是增函数． 假设存在，使得，则对任意，均有， 从而方程的解有无限多个，与条件＂对任意，函数零点个数均有限＂矛盾． 故假设不成立，从而是严格增函数． 再证对任意，函数的最小值为． 假设存在使得，取，则的最小值为． 由于严格增，知．而，故，矛盾． 所以假设不成立，对任意，函数的最小值为． 另证：再证对任意，函数的最小值为． ．假设，则由在上的最小值为， 存在使得，故在上的最小值为． 取，则在上的最小值为， 故．但由为严格增函数，知，矛盾． 所以假设不成立，所以． 即对任意，函数的最小值为． 而对任意的值域为，故． 于是与是相同函数，所以是严格增函数． 【变式训练10-2】（24-25高三下·上海静安·期中）若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． (1)请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） (2)求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； (3)试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；（答案不唯一，满足的均可） (2)证明见解析 (3)存在， 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线，则在上恒成立，利用分离参数法，再构造函数，利用导数求出其最值，即可得解； （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线，则在上恒成立，再分离参数，求出函数的最值，进而可求出的值，即可得证； （3）由题意可得恒成立，令，求出，则恒成立，再利用根的判别式求出，再构造函数，利用导数求出其最小值即可得出结论. 【详解】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 综上所述，， 所以满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可） （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以， 因为，所以， 综上所述， 所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）若存在，则恒成立， 令，则，所以， 因此，恒成立，即恒成立， 由得，， 现在只要判断是否恒成立， 设，则， 当时，，，， 当时，，， 所以，即恒成立 所以函数和函数在上存在分界线， 其方程为． 【变式训练10-3】（24-25高三上·上海浦东新·期中）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数． 【答案】(1)1 (2)证明见解析； (3)答案见解析 【知识点】充要条件的证明、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间、函数新定义 【分析】（1）设，判断该函数单调性，确定其解，即可求得答案； （2）根据函数新定义的含义，结合充分性以及必要性的证明，即可证明结论； （3）由题意可知只需研究的不动点即可，令，求出其导数，判断其单调性，然后分类讨论a的取值范围，判断的零点情况，即可判断的稳定点个数. 【详解】（1）设，则恒成立， 故函数在R上单调递增， 又，故函数在R上有唯一零点， 即有唯一不动点1． （2）证明：充分性：设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，充分性成立； 必要性：设为函数的稳定点，即． 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即 即，故为函数的不动点， 综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件． （3）当时，函数在上单调递增， 由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可； 令， 则， 则在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，且 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点； 当时，即时， 当x趋向无穷大时，趋近于0，此时 存在唯一 使得， 此时f（x）在上单调递增，在上单调递减， 故， 当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大， 设，则在上单调递增，且 又 在时单调递增， 故（i）当时，即 此时，方程有一个解，即有唯一不动点； （ii）当时，即 此时，方程无解，即无不动点； （iii）当时，即 此时，方程有两个解，即有两个不动点； 综上，当时或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当时，有两个稳定点． 【点睛】方法点睛：解答时要注意理解函数新定义的含义，解答的难点是（3）中判断函数稳定点的个数，解答时要结合新定义，采用分类讨论的方法去解决问题，解答过程较为复杂，要有较强的逻辑思维能力. 【变式训练10-4】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”. (1)设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由； (2)若函数是“逆构造函数”，求的取值范围； (3)已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且.  求证：对任意，关于的方程无解. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】函数新定义、用导数判断或证明已知函数的单调性、导数的运算法则 【分析】（1）直接根据定义即可验证； （2）先在函数是“逆构造函数”的条件下证明，再在的条件下证明函数是“逆构造函数”，即可得到的取值范围是； （3）分情况讨论，并证明对任意的都有，即可推出相应的结论. 【详解】（1）由于，故对有. 所以是否为“逆构造函数”. （2）由于，故. 一方面，若函数是“逆构造函数”，则，即. 所以对任意成立. 特别地，取，得，从而，故. 再取，得，从而. 此即，故，解得； 另一方面，若，则. 设，则，所以对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. 所以对，有 . 从而此时函数是“逆构造函数”. 综上，的取值范围是. （3）设，则. 所以在上单调递增. 一方面，对，有. 所以对任意，有； 另一方面，对，假设，则根据及零点存在定理，存在使得. 再由条件，知，矛盾. 所以对任意，有. 假设存在使得，则根据及零点存在定理，存在使得. 从而对任意，有. 但由，知，矛盾. 所以对任意，都有. 综合两方面可知，对任意的，都有. 所以对任意，关于的方程一定无解. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“逆构造函数”定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题. 一．选择题 1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求点到直线的距离 【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解. 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 2．（2024•上海高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，，，在使得，的所有中，下列成立的是　　 A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在为严格增函数 D．存在在处取到极小值 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可． 【解答】解：对于，时，， 当时，，， 对于任意，（1）恒成立， 若是偶函数，此时（1），矛盾，故错误； 对于，若函数图像如下： 当时，，时，，，当，， 所以存在在处取最大值，故正确； 对于，在时，若函数严格增， 则集合的取值不会是，，而是全体定义域，故错误； 对于，若存在在处取到极小值， 则在左侧存在，，与集合定义矛盾，故错误． 故选：． 【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及最值等性质，属中档题． 3．（2023•上海高考真题）下列函数是偶函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可． 【解答】解：对于，由正弦函数的性质可知，为奇函数； 对于，由正弦函数的性质可知，为偶函数； 对于，由幂函数的性质可知，为奇函数； 对于，由指数函数的性质可知，为非奇非偶函数． 故选：． 【点评】本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题． 二．填空题 4．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、辅助角公式、垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 5．（2024•上海高考真题）已知，则（3）　　． 【分析】根据已知条件，将代入函数解析式，即可求解． 【解答】解：， 则（3）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题． 6．（2024•上海高考真题）已知，，且是奇函数，则　　． 【分析】首先根据，解得，再根据奇函数的定义进行验证即可． 【解答】解：由题意，可得，解得， 当时，，满足， 即是奇函数，故符合题意． 故答案为：0． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，属基础题． 7．（2023•上海高考真题）已知函数，则函数的值域为 　 ． 【分析】分段求出的值域，再取并集即可． 【解答】解：当时，， 当时，， 所以函数的值域为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了求函数的值域，属于基础题． 三．解答题 8．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【知识点】根据极值求参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 9．（2023•上海高考真题）已知，，函数． （1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由； （2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围． 【分析】（1）时，求出函数的解析式，根据函数的定义域和奇偶性进行求解判断即可． （2）根据函数过点，求出的值，然后根据与轴负半轴有两个不同交点，转化为一元二次方程根的分布进行求解即可． 【解答】解：（1）若，则， 要使函数有意义，则，即的定义域为， 是奇函数，是偶函数， 函数为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得是奇函数． （2）若函数过点，则（1），得，得， 此时，若数与轴负半轴有两个不同交点， 即，得，当时，有两个不同的交点， 设， 则，得，得，即， 若即是方程的根， 则，即，得或， 则实数的取值范围是且且， 即，，． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数与方程的应用，根据条件建立方程，转化为一元二次方程根的分布是解决本题的关键，是中档题． 10．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、求函数零点或方程根的个数、集合新定义 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）（3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$