上海市南洋模范中学2025-2026学年高一上学期期中数学试卷

2025 学年第一学期南模中学高一年级期中考试 数学学科 (本次考试时间 120 分钟，满分 150 分) 一、填空题（4 ×6+5×6=54 ) 1. 用描述法表示图中的阴影部分的点（含边界）的坐标组成的集合___________. 2. 函数 的定义域是_____. 3. 《再别康桥》是中国现代诗人徐志摩的诗作，是新月派诗歌的代表作，诗中写道: 轻轻的我走了， 正如我轻轻的来; 我轻轻的招手, 作别西天的云彩; 那河畔的金柳, 是夕阳中的新娘; 波光里的艳影， 在我的心头荡漾. 若定义该诗的第 行的字数 (标点符号不计入字数) 为 ，则 _____. 4. 为解决上下班的交通问题，调查了某地 100 名职工，其中 78 人持有交通卡，52 人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有 37 人，则既无交通卡又无自行车的共有_____人. 5. 已知 满足 ,则 的范围是_____. 6. 已知函数 ，又 ，试写出 的大小关系_____. 7. 若 是关于 的方程 的两个实根,则 最大值为_____. 8. 不等式 的解集是_____. 9. 研究表明,函数 为奇函数时,函数 的图象关于点 成中心对称. 若函数 的图象对称中心为 ，那么 _____. 10. 甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数 ，当甲公司投入 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于 万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于 万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险。设 ,甲,乙公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宜传费用，问甲公司应投入_____万元宣传费。 11、设 ，若存在定义域 的函数 既满足 “对于任意 ， 的值为 或 ”又满足 “关于 的方程 无实数解”，则 的取值范围为_____. 12. 已知 ,且 ,则 的最小值为_____. 二、选择题 13. 十七世纪，数学家费马提出猜想:“对任意正整数 ，关于 的方程 没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为( ) A. 对任意正整数 ，关于 的方程 都没有正整数解 B. 对任意正整数 ，关于 的方程 至少存在一组正整数解 C. 存在正整数 ,关于 的方程 至少存在一组正整数解 D. 存在正整数 ,关于 的方程 至少存在一组正整数解 14. 如果正数 满足 ,那么 ( ) A. ,且等号成立时 的取值唯一; B. ,且等号成立时 的取值唯一; C. ,且等号成立时 的取值不唯一; D. ，且等号成立时 的取值不唯一； 15. 若实数 满足 且 ,则称 与 互补,记 , 那么 是 与 互补的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 设 、 、 是定义域为 的三个函数，对于命题:① 一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差; ②若 、 、 均是定义域上的奇函数,则 均是定义域上的奇函数,下列判断正确的是 ( ) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题 17. 关于 的不等式 . (1)若 ，求不等式解集； (2)当 时，求上述不等式的解集. 18. 由正数组成的集合 具有如下性质: 若 且 ,则 . (1)若 且 ，试分别判断 与 是否在集合 内并说明理由； (2)试问集合 能否恰有两个元素且 ？若能，求出所有满足条件的集合 ，若不能, 请说明理由. 19. 如图所示，将一个矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 M 在射线 上，N 在射线 上，且对角线 过点 ，已知 长为 4 米， 长为 3 米，设 米. (1)要使矩形花坛 AMPN 的面积大于 54 平方米，则 AN 的长应在什么范围内； (2)要使矩形花坛 AMPN 的扩建部分铺上大理石，则 AN 的长度是多少时，用料最省？ 20. 已知不等式 的解集为 (1) 若 ，求 的值； (2)若 ，且不等式 有且仅有 9 个整数解，求 的取值范围； (3)若 解关于 的不等式: . 21. 设集合 为非空数集,定义 . (1)若 ，写出集合 ； (2)若 ，且 ，求证: ； (3)若 ，且 ，求集合 元素个数的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $