1.3三角函数值的计算（题型专练）数学北师大版九年级下册

1.3三角函数值的计算 题型一 特殊角三角函数值的混合运算 1．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 2．（25-26九年级上·山东·期中）计算 (1) (2) 3．（25-26九年级上·重庆长寿·阶段练习）计算： (1) (2) 4．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) 5．（25-26九年级上·上海·阶段练习）计算：． 6．（25-26九年级上·山东·阶段练习）计算：． 7．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）计算． (1)； (2)． 题型二 用计算器求锐角三角函数值 1．（21-22九年级上·山东烟台·期末）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）用计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A．3        4  8  = B．3    4  8    = C．  3    4  8  0  = D．  3    4  8  = 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（　　） A． B．   C．   D．   4．（2025·山东淄博·一模）请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025·山东淄博·一模）如图，中，，，，若用科学计算器求的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，若用科学计算器求的正切值，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山东烟台·期中）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用科学计算器计算： (1)．（精确到） (2)．（精确到） 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用计算器计算：（精确到0.01） (1)． (2)． (3)． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）用计算器计算下列各式（精确到0.0001）： (1)． (2)． 题型一 根据特殊角三角函数值求角的度数 1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）在中，，，则的度数是 ． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ． 3．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）已知是锐角，若，则的值为 ． 4．（2023九年级·湖南怀化·竞赛）为锐角，当无意义时，则 ． 5．（25-26九年级上·重庆·开学考试）若为锐角，当时，则的值为 ． 6．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）求锐角： (1)； (2)． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）求满足下列条件的锐角 (1)； (2)． 8．（25-26九年级上·山东·阶段练习）（1）计算：．         （2）求中锐角α的值． 题型二 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 1．（2024·山东·一模）若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，运用科学计算器求锐角时（在开机状态下），按下的第一个键是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知是一个锐角，且，利用计算器求的度数，按键方法及计算结果正确的是（　　） A．，结果为 B．，结果为 C．，结果为 D．，结果为 5．（20-21九年级上·山东淄博·期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）若，则 （精确到）． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知下列正切值，用计算器求对应的锐角（精确到）． (1)． (2)． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知下列余弦值，用计算器求对应的锐角（精确到）： (1)． (2)． 题型三 根据三角函数值判断是什么三角形 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（19-20九年级上·广东梅州·期末）在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．（16-17九年级·山东潍坊·阶段练习）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 5．（22-23九年级下·山东济南·阶段练习）在中，若， ，则这个三角形一定是（   ）． A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 6．（20-21九年级上·四川达州·阶段练习）在△ABC中，，则△ABC为（     ） A．等腰直角三角形 B．有60°角的直角三角形 C．等边三角形 D．顶角为120°的等腰三角形 7．（22-23九年级上·山东·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 8．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 9．（22-23九年级下·甘肃平凉·阶段练习）在中，若，则是 ． 题型一 三角函数值的综合运用 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，以的三边为边分别作为等边、等边和等边，连接和． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求四边形的面积． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）【问题发现】如图1，在中，，探究与的数量关系．小浅在经过思考后，决定通过分割角度的方法解决问题：如图2，小浅作交于，将割成与，发现是特殊角，进而通过三角函数解决了问题． 【解决问题】（1）请沿着小浅同学的思路，直接写出与的数量关系； 【方法应用】（2）请你使用小浅同学解决问题的方法或使用其他方法，解决如下问题：如图3，在等腰中，，，，，求的度数； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，点在线段上，且为等边三角形，连接，若，试求的度数． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：如图1，先把正方形对折，折痕为． 第二步：点在线段上，将沿翻折，点恰好落在上，记为点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)作点关于直线的对称点，连接、． ①在图2中补全图形，并求出的度数； ②猜想的度数，并加以证明；（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接、，研究图形中特殊的三角形） 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3三角函数值的计算 题型一 特殊角三角函数值的混合运算 1．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值计算、二次根式化简及分式运算，解题的关键是熟记、、角的三角函数值，准确进行乘方、分式有理化及二次根式化简运算． （1）先代入、、；再计算乘方与乘法，最后合并常数项与无理数项．   （2）先代入、、、；再对分式分母有理化，化简二次根式（），最后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2） . 2．（25-26九年级上·山东·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解决本题的关键． （1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方、乘法，再算加减法，即可求解； （2）先将特殊角三角函数值代入，再利用平方差公式进行分母有理化和完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26九年级上·重庆长寿·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了特殊三角函数的混合运算，有理数的四则混合运算，二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先代入特殊角的三角函数值，化为有理数的四则混合运算计算； （2）先代入特殊角的三角函数值，化为二次根式的四则混合运算计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 4．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键． （1）代入特殊角的三角函数值，计算即可； （2）代入特殊角的三角函数值，计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 5．（25-26九年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算和特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 6．（25-26九年级上·山东·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查含特殊三角函数值，含二次根式乘方的混合运算，握熟记特殊角三角函数值，二次根式的运算法则是解题关键．先代入特殊角的三角函数值，再运用二次根式运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 7．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，解题的关键是掌握特殊角三角函数值函数和混合运算的顺序． （1）先代入各个三角函数值，再进行运算即可得； （2）先代入各个三角函数值，再进行运算即可得． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． 题型二 用计算器求锐角三角函数值 1．（21-22九年级上·山东烟台·期末）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了计算器-三角函数，根据按键顺序写出式子即可显示的结果． 【详解】 解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是： 故选：A． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）用计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A．3        4  8  = B．3    4  8    = C．  3    4  8  0  = D．  3    4  8  = 【答案】D 【分析】本题考查了用计算器计算的知识，熟练掌握科学计算器的使用方法是解题的关键. 根据计算器计算的输入顺序计算即可. 【详解】解：根据科学计算器计算知，计算按键顺序为： 故选：D ． 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（　　） A． B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查用计算器计算三角函数值，熟悉计算器的按键顺序是解题的关键．根据计算器按键顺序计算即可． 【详解】解：根据计算器的按键顺序可知， 正确的按键顺序为D选项， 故选：D． 4．（2025·山东淄博·一模）请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了用计算器计算无理数，特殊角的三角函数值，掌握计算器的使用是关键．根据题意可得需要计算的是的值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，运用科学计算器录入后显示的数据为， ∴最接近的整数是2， 故选：C． 5．（2025·山东淄博·一模）如图，中，，，，若用科学计算器求的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了计算器的使用，勾股定理，熟练掌握计算器已知角的三角函数值求角的大小是解题的关键． 根据勾股定理求出，得到，再用计算器的功能和功能求解即可． 【详解】解：，，， ， ， 用科学计算器求的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则按键顺序为， 故选：D． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，若用科学计算器求的正切值，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正切的定义，用计算器求一个角的正切值，解题的关键是熟练掌握正切定义，根据，，，得出，然后用计算器计算即可． 【详解】解：由，得， 故按键顺序为， 故选：A． 7．（24-25九年级上·山东烟台·期中）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了计算器－三角函数．简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果． 【详解】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：    故选：A． 8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用科学计算器计算： (1)．（精确到） (2)．（精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的换算，用科学计算器计算三角函数值，精确度的概念，熟练掌握用科学计算器计算三角函数值是解题关键． （1）先把换算成，再应用计算器，根据精确度的概念用四舍五入法取值即可； （2）先把换算成，再应用计算器，根据精确度的概念用四舍五入法取值即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用计算器计算：（精确到0.01） (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)235.59 (2)36.21 (3)543.35 【分析】本题考查计算器的使用方法以及度、分、秒之间的换算，掌握度、分、秒之间的换算再利用计算器便可解决问题． （1）先将换成度数，再相加进行计算器计算，最后乘以280即可； （2）先将换成度数，再相加进行计算器计算，最后算除法即可； （3）先将换成度数，再相加进行计算器计算，最后算除法即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 再使用计算器求出 ∴； （2）解：∵ ∴， 再使用计算器求出 ∴； （3）解：∵， ∴， 再使用计算器求出 ∴ 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）用计算器计算下列各式（精确到0.0001）： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了计算器-三角函数，近似数和有效数字，熟练掌握计算器的使用是解题的关键． 运用计算器求求解各式的值即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 题型一 根据特殊角三角函数值求角的度数 1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）在中，，，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查特殊角的三角函数、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．先利用特殊角的三角函数值求得、的度数，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ． 【答案】． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 据题目所给的等式求出的值，即可求出的大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）已知是锐角，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 4．（2023九年级·湖南怀化·竞赛）为锐角，当无意义时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，特殊角三角函数值的应用，根据分式无意义可得，继而求得的值，再代入，最后根据二次根式的加法可得答案．掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵无意义， ∴，即， ∵为锐角， ∴， ∴ ． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·重庆·开学考试）若为锐角，当时，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据且为锐角，求出，再代入求解即可，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵为锐角，， ∴， ∴ ． 6．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）求锐角： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的锐角三角函数值． （1）利用特殊角的锐角三角函数值进行求解即可； （2）利用特殊角的锐角三角函数值进行求解即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）求满足下列条件的锐角 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数值，解一元二次方程等知识﹒ （1）根据，得到，即可求出； （2）根据，求出，即可求出﹒ 【详解】（1）解：∵为锐角， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为锐角， ∴﹒ 8．（25-26九年级上·山东·阶段练习）（1）计算：．         （2）求中锐角α的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，二次根式的运算等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入计算得到答案； （2）根据的正切值是解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型二 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 1．（2024·山东·一模）若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键； 首先找到的按键符号，即键，然后根据键的使用方法，结合题目，即可得出答案． 【详解】解：按下键，再按键，再按下即可，A项符合题意 故选：A． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查计算器的使用，掌握计算器上三角函数的计算方法是解题的关键．已知，一般先按键“”，再按键“”，输入“”，再按键“＝”即可得到结果． 【详解】解：已知，用计算器求锐角A的大小，按键顺序“”，“”，“”，“＝”． 故选：A． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，运用科学计算器求锐角时（在开机状态下），按下的第一个键是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角三角比的数值求角度时，首先按 键． 【详解】解：根据锐角三角比的数值求角度时，首先按键， 故选：. 【点睛】本题考查了计算器按键的作用，熟练掌握计算器功能键的作用是解题关键. 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知是一个锐角，且，利用计算器求的度数，按键方法及计算结果正确的是（　　） A．，结果为 B．，结果为 C．，结果为 D．，结果为 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是结合计算器的用法，考查特殊角三角函数值，解题关键是熟记有关特殊角的三角函数值．根据计算器按键，写出式子，进行计算判定即可． 【详解】 解：利用计算器求的度数，按键方法及计算结果正确的是，结果为， 故选：B 5．（20-21九年级上·山东淄博·期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用科学计算器求锐角度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．先在中，根据正弦的定义求出，再利用科学计算器求解即可得． 【详解】解：由图可知，在中，，， 则， 所以用科学计算器求这条斜道的倾斜角的度数时，按键的顺序为选项A， 故选：A． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）若，则 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了一般角的三角函数，熟练掌握根据三角函数求值是解题的关键. 【详解】解：由题可知 故答案为：. 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知下列正切值，用计算器求对应的锐角（精确到）． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据计算器的使用方法依次输入即可． 【详解】（1）解：利用计算器依次输入： ，则； （2），则. 【点睛】本题考查计算器的使用和近似数和有效数字，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知下列余弦值，用计算器求对应的锐角（精确到）： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据计算器的使用方法依次输入即可． 【详解】（1）解：利用计算器依次输入： ，则； （2），则. 【点睛】本题考查利用计算器通过三角函数值求角度，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 题型三 根据三角函数值判断是什么三角形 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 3．（19-20九年级上·广东梅州·期末）在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．（16-17九年级·山东潍坊·阶段练习）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 【答案】B 【分析】根据利用非负数的性质求得，再利用特殊角的三角函数值求出，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故选：B． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值、等边三角形的判定等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 5．（22-23九年级下·山东济南·阶段练习）在中，若， ，则这个三角形一定是（   ）． A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值，三角形分类，三角形内角和定理，熟练掌握根据特殊角三角函数值求角度是解题的关键． 6．（20-21九年级上·四川达州·阶段练习）在△ABC中，，则△ABC为（     ） A．等腰直角三角形 B．有60°角的直角三角形 C．等边三角形 D．顶角为120°的等腰三角形 【答案】B 【分析】根据非负数的性质得到，再根据特殊角的三角函数值得到∠A=60°，∠B=30°，然后根据直角三角形的判定方法进行判断． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴∠A=60°，∠B=30°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=90°， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 7．（22-23九年级上·山东·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：， ，， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 8．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 9．（22-23九年级下·甘肃平凉·阶段练习）在中，若，则是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． 题型一 三角函数值的综合运用 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，以的三边为边分别作为等边、等边和等边，连接和． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 (3) 【分析】（1）由与都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对应边相等，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得到，同理可证，再进一步可得结论． （2）利用（1）中全等三角形对应边相等得到，同理可证，利用对边相等的四边形为平行四边形得到为平行四边形． （3）如图，过作于，过作于，可得， 四边形是菱形，证明，，三点共线，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵、、为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴，； 同理可得：， ∴， ∴． （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，过作于，过作于， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∵，，， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形，菱形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）【问题发现】如图1，在中，，探究与的数量关系．小浅在经过思考后，决定通过分割角度的方法解决问题：如图2，小浅作交于，将割成与，发现是特殊角，进而通过三角函数解决了问题． 【解决问题】（1）请沿着小浅同学的思路，直接写出与的数量关系； 【方法应用】（2）请你使用小浅同学解决问题的方法或使用其他方法，解决如下问题：如图3，在等腰中，，，，，求的度数； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，点在线段上，且为等边三角形，连接，若，试求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由等角对等边得出，求出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案； （2）取中点E，连接，．由是等腰直角三角形得，由直角三角形斜边中线的性质得，结合可得是等边三角形，推出，进而即可求解； （3）过点E作，且，连接，，证明，得出，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而解，得出，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示： ，， ， ，， ， ， ； （2）如图，取中点E，连接，． ，，点E是中点， ，， ，点E是中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （3）如图，过点E作，且，连接，， 是等腰直角三角形， ，， 在中，，， ，， ，，即， ， ， 为等边三角形，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ，，， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：如图1，先把正方形对折，折痕为． 第二步：点在线段上，将沿翻折，点恰好落在上，记为点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)作点关于直线的对称点，连接、． ①在图2中补全图形，并求出的度数； ②猜想的度数，并加以证明；（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接、，研究图形中特殊的三角形） 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)①图见解析；；②，证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质得出，由折叠的性质得：，得出，在中，由三角函数得出，求出，得出，即可得出结论； （2）①根据题意补全图形，由①得：，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，求出，再由得出的性质得出； ②由对称的性质得：，证出是等边三角形，得出，证明，得出，由，即可得出结果． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 四边形是正方形， ， 由折叠的性质得：，， ，， ∴在中，， ， ， 是等边三角形； （2）解：①补全图形如图2所示： 由①得：， ∵四边形是正方形， ，， ， 由（1）可知，， ， ， ， 关于直线的对称点为， ； ②，证明如下： 连接，如图3所示， 由对称的性质得：， 由①可知，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角函数、折叠的性质、轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $