28.1 锐角三角函数（高效学习日日优）-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

第二十八章 锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时 锐角的正弦 堂清练习 名师讲坛 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AB=5,那么 01解题策略 sinA的值为 求正弦值常用的方法有三种： 1.若给出相应的边，直接利用定 A c 义求解，如T1. 2.【T1变式】如图，在△ABC中，∠C= B 2.若没有给出相应的边，先利用 勾股定理求出相应的边，再利 90°，sinA= 手，BC=12,则AB的长 用定义求解， 为 3.当题中没有直角三角形时，可 A.3 B.9 C.10 D.15 通过作辅助线构造含所求角的 直角三角形，再利用正弦的定 3.如图，在平面直角坐标系中，点 义求解，如T3. A(1,w3),则sin∠1的值是() 02典例导学 B② 2 【例】如图，在矩形ABCD中，E 在AB边上，沿CE折叠△BCE, D.1 使点B恰好落在AD边上的F 处，若AB=4,BC=5,则sin∠FCD 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,则 的值是 sinB= 5.如图，在R1△ABC中，∠C=90,sinA=手AB 15,求sinB的值. A BC D.是 【点津】以折叠为背景的题目，解 题时需理清相等的边与角，将已 知条件与未知转化到一个三角形 中，利用勾股定理求边，进而求出 正弦值. 14 第2课时锐角的余弦和正切 堂清练习 名师讲坛 1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 01要点领悟 △ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为 1.锐角的三角函数值是一个比 ( 值，当锐角的度数确定时，这个 比值就确定，与锐角所在三角 A. 3 5 c D. 形的边的长短无关. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，sinA= BC AB'cosB= 侣则 sinA=cosB=cos B 即：一个锐角的正弦值等于它 第1题图 第4题图 的 的余弦值.同理，一 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4,AC=1,那么 个锐角的余弦值等于它的余角 ∠B的余弦值为 () 的 即cosA= sinB=sin A.①5 4 B号 C.5 15 D.4 3.在R△ABC中，∠C=90,若cosA-寻，AC- 6cm,则BC的值是 02典例导学 A.8 cm B.4.8 cm C.3.6 cm D.1.2 cm 【例】如图，在△ABC中，AB= 4.如图，在△ABC中，∠C=90,amB=AB=5, AC=5,BC=6,求tanB的值. 则AC= BC= 5.(教材P65例2变式)根据图中的数据，求sinB和 B tanA的值. D 【解】过点A作AD⊥BC于D,则 ∠ADB= AB=AC,AD⊥BC, .'.BD= 1 2 =3. ∴.AD=√AB-BD'= ∴.tanB= AD BD 15 第3课时 特殊锐角的三角函数值 堂清练习 名师讲坛 1.(2023·天津三模)2cos45的值等于 01要点领悟 A.1 B.2 C.√3 D.2 1.特殊锐角的三角函数值 锐角a 2已知mA=2则下列正确的是 30° 45 60 三角函数 A.CosA= 2 B.cosA=3 sin a C.tanA=1 D.tanA=√3 cos a 3.在△ABC中，sinB=2 anM= 3,那么∠C的 tan a 度数是 () 2.当a为锐角时， <sina< A.45° B.75° C.105° D.135 <coSa 4.计算sin30°一cos45°的值是（精确到0.01） tana> 5.计算：2sin60°+2cos60°-tan45°+tan60°. 02方法技巧 借助两个直角三角形，图形 记忆特殊锐角的三角函数值 6.(教材P67练习T2变式)如图，在△ABC中， 2 601 BJ30° E4°F AD⊥BC于D,AD=10,AB=10√2，CD=103, 求∠BAC的度数. 助记口诀： 三十、四五、六十度， 三角函数要牢记 弦值分母均为二， 分子要把根号添， 一二三来三二一 正弦正切值递增， 余弦相反是递减. 16第3课时相似三角形的判定定理3 名师讲坛 01要点领悟 △ABC△ACB△CBD△ECB 堂清练习 1.B2.C3.B4.(1)∠ACB(2)∠B5.证明：：正方形ABCD,.∠A=∠D=90° .∠ABE+∠AEB=90°.·∠BEF=90°，.∠DEF十∠AEB=90°..∠ABE=∠DEF 又.∠A=∠D=90°，.△ABE∽△DEF. 27.2.2相似三角形的性质 名师讲坛 01要点领悟 1.等于等于2.相似比的平方算术平方根 02典例导学 11 90∥D4 22213 1 4 堂清练习 1.B2.B3.44.65.326.解：(1)△ABCc∽△A'B'C',CD和C'D分别是边AB和 A上的巾线“授-品=台“高-合解得CD=8cm:（2):△ABC △A'B'C C△ABc=AB=1 CAB2大C0=解得Cc三0cm.答：△AB'C的周 长是40cm. 27.2.3相似三角形应用举例 名师讲坛 01要点领悟 1.正比2.共线3.入射角 02典例导学 3-66BC1212 GE1.2 堂清练习 1.C2.B3.104.12.8 27.3位似 第1课时位似图形 名师讲坛 01要点领悟 1.相似 02典例导学 2√2√2422√I0√/I0==2DEFP是P 堂清练习 1.B2.123.C3:24.解：如图，点O和点O即为所求 5.解：如图，△DEF和△DEF即为所求.作图步骤略 第2课时平面直角坐标系中的位似 名师讲坛 01要点领悟 k一k 02典例导学 (-5,0) 堂清练习 1.A2.C3.1:3154.解：(1)图略(2)(11,4) 第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时锐角的正弦 名师讲坛 02典例导学 A 185 堂清练习 1A2D3C4号5解：∠C90mA=青AB=15A-%-青C 专AB=号x15=12.∴AC=Va8-c=V1S-g=9.mB=8福-是=号 第2课时锐角的余弦和正切 名师讲坛 01要点领悟 2.(90°-∠A)余角正弦值(90°-∠A) 02典例导学 90CDBC4号 堂清练习 1.D2.A3.A4.125.解：由图知：AC=7,AB=9,∠C=90°，.BC= vaB-Ac=V0=7=E.inB-6-子amA-C-49 第3课时特殊锐角的三角函数值 名师讲坛 01要点领悟 1日竖驾g号号51201010 2 堂清练习 1B2.B3.C4.-0.215.解：原式=2×号+2X号-1+5=2.6解：AD 、BC.∠ADC=∠ADB=90.在R1△ABD中，cos∠BAD-温-092=号，-∠BAD= 45°.在Rt△ACD中，tan∠CAD=CD-10,5 AD 10 =√3，.∠CAD=60°，.∠BAC=∠BAD+ ∠CAD=105. 28.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形 堂清练习 1.C2.D3.244.45°645°5.解：(1)：∠C=90°，∠A=60°，∴.∠B=90° ∠A=0mA=2=号a=g=9×10=58.:nB=2=}6=c 1 10=5；(2∠C=90,tamB=6=815=3,∠B=60,+∠A30 a8√5 2a=165..∠A=30°，∠B=60°，c=16√/5. 28.2.2应用举例 第1课时与视角有关的实际问题 名师讲坛 01方法技巧 直角直角 02典例导学 900.11.5日9日MN40205(205+1.5)(205+1.5) 堂清练习 1.10.22.(5√3+5)3.解：设AP=xm,在Rt△APB中，∠APB=35°，∴.AB=AP· tan35°≈0.7x(m).BC=32m,∴.AC=AB+BC=(32+0.7x)m,在Rt△APC中， ∠APC=42∴1an42°=AS-0.7+32≈0.9.x=160,经检验：x=160是原方程的根， AP .AB=0.7x=112(m).答：这座山AB的高度约为112m. 第2课时与方向角、坡度有关的实际问题 名师讲坛 01要点领悟 1.平行2.斜坡正切值 02典例导学 EAC50BCBC吾AB吾x121212 堂清练习 1.C2.203.解：过点P作PC⊥AB交AB于点C,则∠ACP=∠BCP=90°.由题意得 -186