第25章 随机事件的概率2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

2025年华东师大版九年级上学期第25章 随机事件的概率 一．选择题（共10小题） 1．下列事件中，是随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．只手遮天 C．旭日东升 D．水中捞月 2．一个不透明的袋子中装有若干个红球和3个白球（除颜色外都相同），现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中红球个数是（　　） A．8 B．9 C．7 D．10 3．下列各事件中，是必然事件的是（　　） A．a是实数，则|a|＜0 B．掷一枚硬币时，正面朝上 C．三角形内角和是180° D．任意买一张电影票，座位号是单号 4．在一次文艺汇演中，要从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名同学担任主持人，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（　　） A． B． C． D． 5．趵突泉、大明湖和千佛山是济南三大著名景点．若小明从这三个景点中随机选择两个景点游览，则他能游览趵突泉的概率为（　　） A． B． C． D． 6．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（　　） A．0.82 B．0.78 C．0.77 D．0.76 7．编号为1、2、3、4的试管中分别装有4种溶液，4个试管外观完全相同，1号试管溶液呈红色；2号试管溶液呈蓝色；3号、4号试管溶液呈紫色．将4个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取2个试管，溶液都为紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 8．用如图所示的两个转盘（每个转盘均被等分）进行“配紫色”（红色加蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 9．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（　　） A． B． C． D． 10．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A．0.52 B．0.55 C．0.58 D．0.63 二．填空题（共6小题） 11．从2，0，2，5，11中随机地选一个数，则选到奇数的概率是　 　 ． 12．在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在0.4，则口袋中红色小球的个数为 　 　 ． 13．现有四张完全相同的卡片，卡片上分别写有﹣1，0，2，3，从这四张卡片中随机抽取两张，得到的数字分别记为a，b，则使得一次函数y＝ax+b的图象只经过第一、三象限的概率是　 　 ． 14．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 2000 发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1866 发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.933 这种绿豆发芽的概率的估计值为　 　 （精确到0.01）． 15．在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有　 　 个白球． 16．从甲、乙、丙三人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为　 　 ； （2）从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的概率． 18．将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是　 　 ； （2）先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽出一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率． 19．某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． （1）在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ （3）在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 20．2025广大城贵阳•清镇半程马拉松赛于10月19日在清镇如期举行．该赛事全方位展示了城市风光与人文魅力，助力提升城市的知名度和影响力．赛事共设置“半程马拉松”、“欢乐跑”两个项目，组委会组建了“半程马拉松”、“欢乐跑”两个志愿服务队，规定每人只能参加其中一个，小星和小红报名参加了志愿服务工作，他们将被随机分配． （1）小星被分配到“欢乐跑”服务队的概率是 　 　 ； （2）请利用画树状图或列表的方法，求小星和小红都被分配到“欢乐跑”服务队的概率． 21．学校开展“阳光体育”活动，建议同学们周末自主选择一项运动锻炼．现有足球、篮球、排球共3种球类，甲、乙两位同学分别从中任意选择1种．求甲、乙两位同学选择不同球类运动的概率（请用画树状图或列表方法说明理由）． 22．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.60≤x＜70，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 10.3 九年级 88 94 b 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ （3）该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 23．小明和小颖准备到北镇的医巫阀山风景区（记为A）、青岩寺风景区（记为B）、崇兴寺双塔（记为C）中的一个景点去游玩，他们分别在这三个景点中随机选择一个，每个景点被选择的可能性相同． （1）小明选择去青岩寺风景区游玩的概率是　 　 ； （2）用画树状图或列表的方法求小明和小颖都选择去崇兴寺双塔游玩的概率． 24．为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为A，B，C，D的四张卡片（如图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小智随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为 　 　 ． （2）小智从4张卡片中随机抽取1张不放回，小慧再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家事迹，请用画树状图或列表的方法，求小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率． 25．在辽宁省中招改革方案中，将劳动教育纳入中考考试科目，某校为了了解学生劳动教育课程的学习情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用x表示，分为四个等级，其中D等级为优秀，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生成绩在C等级的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89； 抽取的八年级学生成绩在B、C等级的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86． 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 78.9 a 79 八年级 78.9 85 85 请根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）直接写出a的值，并求扇形统计图中等级“B”对应扇形的圆心角的度数； （2）若该校七、八年级一共有600名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？ （3）若七、八年级各有两名同学测试成绩为满分，学校准备从这四名满分同学中随机抽取两名同学代表学校参加区里劳动能力比赛，请用画树状图或列表的方法求出所抽中的两名同学恰好为同一年级的概率． 2025年华东师大版九年级上学期第25章 随机事件的概率 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A D B D C C B 一．选择题（共10小题） 1．下列事件中，是随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．只手遮天 C．旭日东升 D．水中捞月 【分析】根据事件的分类进行解答即可． 【解答】解：A、守株待兔是偶然发生的事件，可能发生也可能不发生，是随机事件，符合题意； B、只手遮天是不可能发生的事件，是不可能事件，不符合题意； C、旭日东升是必然发生的事件，是必然事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能发生的事件，是不可能事件，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查随机事件，掌握随机事件是指可能发生也可能不发生的事件是关键． 2．一个不透明的袋子中装有若干个红球和3个白球（除颜色外都相同），现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中红球个数是（　　） A．8 B．9 C．7 D．10 【分析】设袋中红球个数为n，根据现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，列出方程，解方程即可． 【解答】解：设袋中红球个数为n， 根据题意得：， 解得：n＝9， 经检验，n＝9是原方程的解，且符合题意， 即袋中红球个数是9个， 故选：B． 【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 3．下列各事件中，是必然事件的是（　　） A．a是实数，则|a|＜0 B．掷一枚硬币时，正面朝上 C．三角形内角和是180° D．任意买一张电影票，座位号是单号 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可解答． 【解答】解：A、a是实数，则|a|＜0，是不可能事件，故A不符合题意； B、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故B不符合题意； C、三角形内角和是180°，是必然事件，故C符合题意； D、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了随机事件，绝对值的非负性，三角形内角和定理，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 4．在一次文艺汇演中，要从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名同学担任主持人，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用列表法或者树状图法分析出所有等可能的结果数及所求的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【解答】解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种， 则甲、乙两名同学同时被选中的概率， 故选：A． 【点评】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法和树状图法的不同应用场合是解题的关键． 5．趵突泉、大明湖和千佛山是济南三大著名景点．若小明从这三个景点中随机选择两个景点游览，则他能游览趵突泉的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及他能游览趵突泉的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将趵突泉、大明湖和千佛山分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A （A，B） （A，C） B （B，A） （B，C） C （C，A） （C，B） 共有6种等可能的结果，其中他能游览趵突泉的结果有：（A，B），（A，C），（B，A），（C，A），共4种， ∴他能游览趵突泉的概率为． 故选：D． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 6．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（　　） A．0.82 B．0.78 C．0.77 D．0.76 【分析】根据表格中的数据解答即可． 【解答】解：通过图表给出的数据得出，随着实验次数的增加，“有2个人同月过生日”的频率稳定在0.781附近， ∴该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78． 故选：B． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，熟知在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率是解题的关键． 7．编号为1、2、3、4的试管中分别装有4种溶液，4个试管外观完全相同，1号试管溶液呈红色；2号试管溶液呈蓝色；3号、4号试管溶液呈紫色．将4个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取2个试管，溶液都为紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：将4个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取2个试管，作树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，随机选择2个试管，溶液都为紫色的结果数有2种， ∴溶液都为紫色的概率是． 故选：D． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 8．用如图所示的两个转盘（每个转盘均被等分）进行“配紫色”（红色加蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用表格法列出表格求解即可． 【解答】解：利用表格法列出表格： 红 红 蓝 红 红红 红红 蓝红 蓝 红蓝 红蓝 蓝蓝 一共有6种等可能情况，其中一红一蓝的情况有3种， ∴概率为：， 故选：C． 【点评】本题考查了概率了运算，熟悉掌握表格法或树状图法是解题的关键． 9．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，列表如下： A B C D A ﹣ （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） ﹣ （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） ﹣ （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） ﹣ 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种， 故其概率为：． 故选：C． 【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 10．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A．0.52 B．0.55 C．0.58 D．0.63 【分析】利用频率估计概率求解即可． 【解答】解：抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55， 故选：B． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 二．填空题（共6小题） 11．从2，0，2，5，11中随机地选一个数，则选到奇数的概率是　　 ． 【分析】直接根据概率公式求解即可． 【解答】解：∵2，0，2，5，11中，共有5个数，其中奇数有2个，即5，11， ∴从2，0，2，5，11中随机地选一个数，则选到奇数的概率是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 12．在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在0.4，则口袋中红色小球的个数为 　10　 ． 【分析】设红色小球x个，由题意可知摸到红色小球的概率为0.4，再根据概率公式列出方程，求出答案即可 【解答】解：设红色小球x个， 根据题意，得：， 解得x＝10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了用频率估计概率，设红色小球x个，由题意可知摸到红色小球的概率为0.4，再根据概率公式列出方程，求出答案即可． 13．现有四张完全相同的卡片，卡片上分别写有﹣1，0，2，3，从这四张卡片中随机抽取两张，得到的数字分别记为a，b，则使得一次函数y＝ax+b的图象只经过第一、三象限的概率是　　 ． 【分析】根据题意得出a＞0，b＝0，然后利用列举法求概率即可． 【解答】解：∵一次函数 y＝ax+b 的图象只经过第一、三象限， ∴a＞0，b＝0， 从四张卡片（数字为﹣1，0，2，3）中随机抽取两张，并分别记为 a 和 b， 所有可能的有序对共有 4×3＝12 种， 分别为：（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，3），（0，﹣1），（0，2），（0，3），（2，﹣1），（2，0），（2，3），（3，﹣1），（3，0），（3，2）， 其中满足 a＞0 且 b＝0 的有序对有（2，0）和（3，0），共 2 种， 因此概率为 ， 故答案为：． 【点评】题目主要考查一次函数的性质，列举法求概率，理解题意，熟练掌握一次函数的性质及概率的计算是解题关键． 14．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 2000 发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1866 发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.933 这种绿豆发芽的概率的估计值为　0.93　 （精确到0.01）． 【分析】当试验次数足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于某一个值，这个值作为概率的估计值． 【解答】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，所以这种绿豆发芽的概率的估计值为0.93． 故答案为：0.93． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 15．在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有　12　 个白球． 【分析】用红球个数除以红球的频率求出球的总个数，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，盒子中球的总个数约为3÷0.2＝15（个）， 则盒子种白球个数约为15﹣3＝12（个）， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 16．从甲、乙、丙三人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是　　 ． 【分析】利用概率公式进行计算即可． 【解答】解：从甲、乙、丙三人中任选一人参加青年志愿者活动，共有3种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有1种， 则甲被选中的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 三．解答题（共9小题） 17．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为　　 ； （2）从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能的卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能的卡片的结果有1种， ∴抽到决策类人工智能的卡片的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的结果有：（A，C），（A，D），（C，A），（C，D），（D，A），（D，C），共6种， ∴抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 18．将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是　　 ； （2）先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽出一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可． 【解答】解：（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性相等，其中出现偶数的情况有2种， ∴P（牌面是偶数）； 故答案为：； （2）先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽出一张，将牌面数字作为个位上的数字，作树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中恰好是4的倍数的为：24，32，44，52，共有4种， ∴． 【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率＝所求情况数与总情况数之比． 19．某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． （1）在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ （3）在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 【分析】（1）根据D类别的人数和所占的百分比，可以计算出此次抽查的学生人数，然后计算出B类的人数，再将条形统计图补充完整即可； （2）根据（1）中的结果，可以计算出扇形统计图中B部分的圆心角的度数； （3）根据题意，画出相应的树状图，然后即可求出所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 【解答】解：（1）由统计图可知， 此次调查中一共抽取的学生有：8÷16%＝50（名）， 选择B的学生有：50﹣4﹣18﹣8＝20（名）， 补充完整的条形统计图如下所示： ； （2）扇形统计图中B部分的圆心角是：360°144°； （3）树状图如下所示， 由上可得，一共有12种的可能性，其中所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的可能性有8种， ∴所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20．2025广大城贵阳•清镇半程马拉松赛于10月19日在清镇如期举行．该赛事全方位展示了城市风光与人文魅力，助力提升城市的知名度和影响力．赛事共设置“半程马拉松”、“欢乐跑”两个项目，组委会组建了“半程马拉松”、“欢乐跑”两个志愿服务队，规定每人只能参加其中一个，小星和小红报名参加了志愿服务工作，他们将被随机分配． （1）小星被分配到“欢乐跑”服务队的概率是 　　 ； （2）请利用画树状图或列表的方法，求小星和小红都被分配到“欢乐跑”服务队的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）用A、B分别表示“半程马拉松”、“欢乐跑”两个项目．先利用树状图展示所有4种等可能的结果，再找出小星和小红都被分配到“欢乐跑”服务队的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）小星被分配到“欢乐跑”服务队的概率； 故答案为：； （2）用A、B分别表示“半程马拉松”、“欢乐跑”两个项目． 画树状图为： 共有4种等可能的结果，其中小星和小红都被分配到“欢乐跑”服务队的结果数为2， 所以小星和小红都被分配到“欢乐跑”服务队的概率． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． 21．学校开展“阳光体育”活动，建议同学们周末自主选择一项运动锻炼．现有足球、篮球、排球共3种球类，甲、乙两位同学分别从中任意选择1种．求甲、乙两位同学选择不同球类运动的概率（请用画树状图或列表方法说明理由）． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同球类运动的结果有6种，再由概率公式求解即可 【解答】解：记足球、篮球、排球分别为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同球类运动的结果有6种， ∴甲、乙两位同学选择不同球类运动的概率为． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.60≤x＜70，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 10.3 九年级 88 94 b 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　93　 ，b＝　88.5　 ，m＝　30　 ； （2）若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ （3）该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 【分析】（1）根据众数，中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，再得一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有10种，然后列式计算，即可作答． 【解答】解：（1）依题意，分析八年级20名学生的竞赛成绩，93出现次数最多，且为3次， ∴众数a＝93； ∵调查20名九年级学生竞赛成绩， ∴中位数排在第10和11名之间， 则45%×20＝9，即A组有9名学生， 结合成绩情况，得出第10和11名的竞赛成绩分别是89和88， ∴中位数， 又∵B组有6名学生， 则， 故答案为：93，88.5，30． （2）估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有（人）． （3）九年级2名学生分别记为丙和丁，把八年级2名学生分别记为甲和乙，画出树状图如下： ∴一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有10种， ∴抽到的学生至少有一名来自八年级的概率为． 【点评】本题考查了众数，中位数，画树状图求概率，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23．小明和小颖准备到北镇的医巫阀山风景区（记为A）、青岩寺风景区（记为B）、崇兴寺双塔（记为C）中的一个景点去游玩，他们分别在这三个景点中随机选择一个，每个景点被选择的可能性相同． （1）小明选择去青岩寺风景区游玩的概率是　　 ； （2）用画树状图或列表的方法求小明和小颖都选择去崇兴寺双塔游玩的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得． （2）先画出树状图，根据树状图可以求得所有等可能的结果以及他们选择去崇兴寺双塔游玩的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）小明选择去青岩寺风景区游玩的概率是． 故答案为：； （2）画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小明和小颖都选择去崇兴寺双塔游玩的结果为1种， ∴小明和小颖都选择去崇兴寺双塔游玩的概率为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 24．为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为A，B，C，D的四张卡片（如图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小智随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为 　　 ． （2）小智从4张卡片中随机抽取1张不放回，小慧再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家事迹，请用画树状图或列表的方法，求小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到卡片编号为A的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到卡片编号为A的结果有1种， ∴抽到卡片编号为A的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的结果有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（C，A），（D，A），共6种， ∴小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 25．在辽宁省中招改革方案中，将劳动教育纳入中考考试科目，某校为了了解学生劳动教育课程的学习情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用x表示，分为四个等级，其中D等级为优秀，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生成绩在C等级的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89； 抽取的八年级学生成绩在B、C等级的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86． 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 78.9 a 79 八年级 78.9 85 85 请根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）直接写出a的值，并求扇形统计图中等级“B”对应扇形的圆心角的度数； （2）若该校七、八年级一共有600名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？ （3）若七、八年级各有两名同学测试成绩为满分，学校准备从这四名满分同学中随机抽取两名同学代表学校参加区里劳动能力比赛，请用画树状图或列表的方法求出所抽中的两名同学恰好为同一年级的概率． 【分析】（1）根据中位数的定义可求出a；由题意可知，抽取的八年级学生成绩在B等级的人数为5人，用360°乘以B等级的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）由题意求出七年级抽取的25名学生中劳动能力达到优秀的人数以及八年级抽取的25名学生中劳动能力达到优秀的人数，再根据用样本估计总体计算即可． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及所抽中的两名同学恰好为同一年级的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）将抽取的七年级学生成绩按照从小到大的车顺序排列，则排在第13位的成绩为82， ∴a＝82． 由抽取的八年级学生成绩在B、C等级的全部数据可知，B等级的人数为5人， ∴扇形统计图中等级“B”对应扇形的圆心角的度数为． （2）由题意得，八年级抽取的25名学生中劳动能力达到优秀的人数为25﹣17﹣25×8%＝6 （人）， 由条形统计图可知，七年级抽取的25名学生中有5名学生劳动能力达到优秀， 600132（名）． ∴估计该校七、八年级大约有132名学生劳动能力达到优秀． （3）将七年级的两名测试成绩为满分的学生分别记为A，B，将八年级的两名测试成绩为满分的学生分别记为C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所抽中的两名同学恰好为同一年级的结果有：AB，BA，CD，DC，共4种， ∴所抽中的两名同学恰好为同一年级的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法、中位数的定义、用样本估计总体是解答本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/13 8:47:08；用户：林建伟；邮箱：13067837950；学号：53829082 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $