精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区星海实验初级中学2025-2026学年上学期九年级数学试题

2025-2026学年第一学期初三期中考试试卷 数学2025．11 学生练习答题须知： 1．答题时，考生先将自己的姓名、考号、原班级均用阿拉伯数字填写清楚． 2．客观题必须使用2B铅笔填写，主观题必须使用0．5毫米黑色签字笔，不得用铅笔、红笔或圆珠笔答题，不能用涂改液、体正带，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．每道题右侧的方框为评分区，考生不得将答案写在该区域，也不得污损该区域． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破． 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 抛物线y＝x2－3的顶点坐标为（ ） A. （0，3） B. （0，－3） C. （3，0） D. （－3，0） 2. 若，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比例计算学期成绩．某同学本学期的三项成绩（百分制）依次为95分、90分、86分，则该同学本学期的体育成绩是（　　） A. 87分 B. 89分 C. 90分 D. 92分 4. 已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是( ) A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 5. 把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，为二次函数图像上的两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　） A. 96cm2 B. 84cm2 C. 72cm2 D. 56cm2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 方程，则方程的根为_____． 10. 已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2__S乙2（填“＞”、“=”、“＜”） 11. 在中，，，，则_____． 12. 若关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 13. “路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离________． 14. 如图，观察二次函数的图像可知：①；②；③；④；⑤，上述判断中正确的是_____（填序号）． 15. 如图，二次函数（是常数，且）的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．当的最小值等于时，则的值为_____． 16. 如图，在中，，，，将沿翻折，得到，再将沿翻折，得到，连接，则的值为_____ 三、简答题（本大题共11小题，共82分） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 计算：． 19. 如图，在中，，，，于点D，求和的长． 20. 已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为． （1）求此二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围． 21. 随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 85.5 b 96.6 乙 86 a 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 22. 已知二次函数（是常数）． （1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，顶点在轴上？ 23. 如图，在中，点、分别是边、上的点，已知且． （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 24. 食品厂加工生产某规格的食品的成本价为30元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克． （1）若出厂价降低2元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润； （2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系； （3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 25. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 26. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，锐角中，，，作，垂足为，则的面积为_____； 【一般证明】 （2）如图②，锐角中，，，，的面积为． 求证：． 【迁移应用】 （3）如图③，锐角中，，，，是的平分线，则的面积为_____；的长为_____； （4）如图④，中，，，，点在边上，且，连接，的中点为点，过点作直线与边，分别交于，两点，且为锐角三角形，若的值为4，求的值． 27. 如图，已知关于的二次函数图象与轴正半轴于点，交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段． （1）求的值； （2）若点恰好在二次函数的图象上，求此时的值：_____ （3）过点作的平分线交二次函数图象于点，过点作线段交轴于点，请直接写出_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初三期中考试试卷 数学2025．11 学生练习答题须知： 1．答题时，考生先将自己的姓名、考号、原班级均用阿拉伯数字填写清楚． 2．客观题必须使用2B铅笔填写，主观题必须使用0．5毫米黑色签字笔，不得用铅笔、红笔或圆珠笔答题，不能用涂改液、体正带，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．每道题右侧的方框为评分区，考生不得将答案写在该区域，也不得污损该区域． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破． 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 抛物线y＝x2－3的顶点坐标为（ ） A. （0，3） B. （0，－3） C. （3，0） D. （－3，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线y=ax2+b的顶点坐标为(0，b)，可以直接写出该抛物线的顶点坐标， 【详解】解：∵抛物线y＝x2－3， ∴该抛物线的顶点坐标为(0,-3)， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2. 若，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据题意可得，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且为锐角， ∴， ∴， 故选：A． 3. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比例计算学期成绩．某同学本学期的三项成绩（百分制）依次为95分、90分、86分，则该同学本学期的体育成绩是（　　） A. 87分 B. 89分 C. 90分 D. 92分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．按照的比例算出本学期的体育成绩即可． 【详解】解：该同学本学期的体育成绩为： （分）， 故选：B． 4. 已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是( ) A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 【答案】C 【解析】 【详解】∵x=1是方程x2+bx-2=0的一个根， ∴x1x2= =-2， ∴1×x2=-2， 则方程的另一个根是：-2， 故选：C． 5. 把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得函数的表达式为， 故选；C． 6. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作AD垂直BC的延长线于点D得出△ABD为等腰直角三角形，再根据45°角的cos值即可得出答案. 【详解】 作AD垂直BC的延长线于点D 则△ABD为等腰直角三角形，∠B=45° ∴ 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是锐角三角函数，比较简单，需要理解并记忆特殊锐角三角函数值. 7. 若，为二次函数图像上的两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越大，再求出两个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，为二次函数图像上的两点，且， ∴， 故选：C． 8. 如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　） A. 96cm2 B. 84cm2 C. 72cm2 D. 56cm2 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当x=14时，点P与点D重合，则AD=12，可得出答案． 【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30， 过点E作EH⊥BC， 由三角形面积公式得：y＝， 解得EH＝AB＝6， ∴BH=AE=8, 由图2可知当x＝14时，点P与点D重合， ∴ED=4, ∴BC=AD＝12， ∴矩形的面积为12×6＝72． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 方程，则方程的根为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方的方法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2__S乙2（填“＞”、“=”、“＜”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】要比较甲、乙方差的大小，就需要求出甲、乙的方差； 首先根据折线统计图结合根据平均数的计算公式求出这两组数据的平均数； 接下来根据方差的公式求出甲、乙两个样本的方差，然后比较即可解答题目. 【详解】甲组的平均数为：=4， S甲2=×[(3-4)2+(6-4)2+(2-4)2+(6-4)2+(4-4)2+(3-4)2]=， 乙组的平均数为： =4， S乙2=×[(4-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=， ∵＞， ∴S甲2＞S乙2. 故答案为>. 【点睛】本题考查的知识点是方差,算术平均数,折线统计图，解题的关键是熟练的掌握方差,算术平均数,折线统计图. 11. 在中，，，，则_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了根据角的余弦值求边长，根据余弦函数的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 12. 若关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义；利用一元二次方程的根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：一元二次方程的判别式为，其中，，， 代入得． 由于方程有两个不相等的实数根， 故，即， 解得． 故答案为：． 13. “路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意，得，代入解析式，确定，得到解析式，根据，得到，代入解析式得到（舍去），解答即可． 【详解】解：根据题意，得，代入解析式， 解得， 故一次函数的解析式， 当时， ， 故点， 把代入解析式， 解得（舍去）， 故抛物线的解析式为， 当时， ， 解得， 故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，点到坐标轴的距离意义，解方程，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 14. 如图，观察二次函数的图像可知：①；②；③；④；⑤，上述判断中正确的是_____（填序号）． 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数图像与二次函数系数之间的关系，学会利用对称轴以及交点坐标求出二次函数系数的关系是解答本题的关键． 根据二次函数图像开口向下可判断出，根据对称轴位置判断b的取值范围，根据与y轴的交点坐标判断c的取值范围，根据二次函数图像与x轴有两个交点，可判断根判别式取值范围；根据时，， 对称轴，分别带入上述结论即可． 【详解】解：∵二次函数图像开口向上， ∴． ∵对称轴， ∴． 故①错误． ∵二次函数图像交y轴负半轴， ∴． 故②错误． ∵二次函数图像与x轴有两个交点， ∴． 故③正确． ∵由图像可知：时，， ∴． 故④正确． ∵对称轴， ∴． ∴． 故⑤错误． 故答案为：③④． 15. 如图，二次函数（是常数，且）的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．当的最小值等于时，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，可求出点B和点C的坐标，得到线段的长，由对称性可知，则当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，由勾股定理求出的长，再根据的最小值等于，可建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，当时，， 当时，，整理得，即， 解得，， ∴，，， ∴； 由对称性可知， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∵的最小值等于， ∴， 解得， 故答案为：4． 16. 如图，在中，，，，将沿翻折，得到，再将沿翻折，得到，连接，则的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理，列方程组解决几何问题，解题的关键是掌握翻折的性质． 连接交于点，过点作，交的延长线于点，根据翻折的性质和勾股定理求出相关边长，假设，根据勾股定理列出方程组，然后求解即可． 【详解】解：连接交于点，过点作，交的延长线于点， 由翻折的性质得，， ∴由勾股定理得，， ∴， 由等面积可得， ∴， 假设， 由勾股定理得，， 联立方程解得，，（负值已舍） ∴， 故答案为：． 三、简答题（本大题共11小题，共82分） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： 或 ， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键，选择合适的解法可以使计算变得简便． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加法即可得． 【详解】解：原式 ． 19. 如图，在中，，，，于点D，求和的长． 【答案】 ； 【解析】 【分析】在中，利用直角三角形中所对的边等于斜边的一半，即可求出的长；在中，利用勾股定理和三角函数即可求出的长． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：的长为3、的长为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的方法有：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半、利用勾股定理求边长、利用三角函数的函数值求边长等．熟练掌握以上方法是解此题的关键． 20. 已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为． （1）求此二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数解析式，利用图象解不等式．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． （1）由顶点坐标可设二次函数顶点式，再将代入求解即可； （2）画出该二次函数大致图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵该二次函数图象顶点坐标为， ∴可设此二次函数的表达式为． ∵此二次函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴求此二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， ∴此二次函数与x轴的两个交点分别为，． 令，则， ∴此二次函数与y轴的交点为， ∴该二次函数图象如图， ∴当时，的取值范围为． 21. 随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 85.5 b 96.6 乙 86 a 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】（1）86.5，85，20 （2）乙款人工智能软件更受用户欢迎， 理由如下：(本题理由不唯一，合理即可参照给分） ∵甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差， ∴乙款人工智能软件比较稳定， ∴乙款人工智能软件更受用户欢迎. （3）估计该次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的总用户数为510名 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计分析概念，如中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况．熟练掌握中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义来计算和，根据组数据个数计算； （2）通过比较两款软件的平均数、中位数、众数等统计量来判断哪款更受欢迎； （3）先计算出样本中对两款软件非常满意的比例，再用这个比例乘以总体人数来估计总用户数． 【小问1详解】 解：：乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，， 所以乙款得分的中位数为：， 甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：， 组人数， 所以，故， 故答案为：，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵（名）． ∴估计该次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为510名． 22. 已知二次函数（是常数）． （1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，顶点在轴上？ 【答案】（1） 证明：， 一元二次方程没有实数解， 即：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； （2） 【解析】 【分析】（1）求出根的判别式，根据判别式判断一元二次方程根的情况，即可得出答案； （2）先化成顶点式，根据顶点坐标和二次函数图象的平移即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将二次函数化成顶点式，得： ， 把二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到二次函数的图象，它的顶点坐标是， 二次函数的图象的顶点在轴上， 把二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，顶点在轴上， 答：把该函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，顶点在轴上． 【点睛】本题主要考查了二次函数和轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况，把二次函数化成顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移等知识点，熟练掌握根的判别式及二次函数图象的平移是解题的关键． 23. 如图，在中，点、分别是边、上的点，已知且． （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形； （1）根据题意证明，进而根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据，即可求解． （2）根据已知设，则，求得，则，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵，设，则 ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，又 ∴ ∴ 24. 食品厂加工生产某规格的食品的成本价为30元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克． （1）若出厂价降低2元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润； （2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系； （3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）9600元 （2） （3）当降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为9800元 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是解题的关键． （1）由每千克利润乘以销售数量可得总利润； （2）由每千克利润乘以销售数量可得函数关系式； （3）把二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：（元）， 答：若出厂价降低2元，该工厂销售此规格的食品每天的利润为9600元； 【小问2详解】 解：由题意可得：每千克利润为：元， 销售数量为：千克， ∴； 【小问3详解】 解：， ∴当时（符合实际），W取得最大值9800， ∴当降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为9800元． 25. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：． 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． 26. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，锐角中，，，作，垂足为，则的面积为_____； 【一般证明】 （2）如图②，锐角中，，，，的面积为． 求证：． 【迁移应用】 （3）如图③，锐角中，，，，是的平分线，则的面积为_____；的长为_____； （4）如图④，中，，，，点在边上，且，连接，的中点为点，过点作直线与边，分别交于，两点，且为锐角三角形，若的值为4，求的值． 【答案】（1）9； （2）证明：过点C作于点D，如图， ，， ． ． ． ． （3）；； （4） 【解析】 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可； （2）过点C作于点D，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）过点C作于点E，利用直角三角形的边角关系定理求得，利用三角形的面积公式求出的面积；利用（2）的结论得到的面积，解关于的方程即可得出结论； （4）利用勾股定理求得，，写出正弦值，由面积写出正弦值，根据与面积和等于面积推导即得． 【详解】（1）解：，， ， ． 故答案为：9． （2）略 （3）解：过点C作于点E，如图． ，， ，． ． 是的平分线，， ． 由（2）知：，． ， ， 故答案为：；． （4）解：如图， ，，， ∴． ，． ， ，， ； 的中点为点E， ．． 由（2）知：， ， ， ． ， ． ． ， ． ， ∵的值为4， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法与结论并熟练应用表示解题的关键． 27. 如图，已知关于的二次函数图象与轴正半轴于点，交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段． （1）求的值； （2）若点恰好在二次函数的图象上，求此时的值：_____ （3）过点作的平分线交二次函数图象于点，过点作线段交轴于点，请直接写出_____． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得点A、B、C的坐标，进而求得、，由勾股定理求出，利用正弦定义求解即可； （2）过D作轴于P，证明，利用全等三角形的性质求得点D坐标为，代入二次函数解析式中解方程即可求解； （3）设与y轴交于点K，过K作于H，根据角平分线的定义可得是等腰直角三角形，则，设，解直角三角形求得，则，求得；过E作轴于M，然后解直角三角形，分别求得，，进而可求解． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴； 当时，由，解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过D作轴于P，则， 由旋转性质得，，且点D在第一象限， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点D坐标为， ∵点D恰好在二次函数的图象上， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：设与y轴交于点K，过K作于H， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，设， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 过E作轴于M，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及旋转的性质、锐角三角函数、二次函数图象与坐标轴的交点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $