第24章 解直角三角形 单元测试2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

2025年华东师大版九年级上学期第24章 解直角三角形  一．选择题（共10小题） 1．在一个直角三角形中，其中一个锐角比另一个锐角大20°，则该三角形中较小锐角的度数为（　　） A．55° B．50° C．40° D．35° 2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 3．如图，∠AOE＝15°，点E在∠AOB的平分线上，EC⊥OB，垂足为点C，点F在OA上，若∠AFE＝30°，EC＝2，则OF的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，若AB＝12cm，则BD的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 6．如图，滑雪道AC的长为320m，则滑雪道的竖直高度AB的长为（　　） A．320cosαm B．320sinαm C．320tanαm D．m 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4 8．如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin∠ACB的值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∠ABP＝15°，过点P作MN∥BC，分别交AC、AB于M、N，设AB＝12，则△AMN周长是（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 10．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图“中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则cos∠DGE等于（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD＝4，BE＝6，则AB的长为 　 　 ． 12．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD为AC边上的高，E为BC边的中点，点F在AB边上，∠EDF＝60°，若AF＝4，，则BC边的长为　 　 ． 13．在△ABC中，BC＝4，，tan∠ACB＝3，P为AB边上一动点，PD⊥BC交于点D，PE⊥AC交于点E，连接DE，求DE的最小值 　 　 ． 14．如图△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，则BC的长为 　 　 ． 15．如图所示，P为∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sinα+cosα＝　 　 ． 16．如图，在△ABD中，∠A＝90°，若BE＝mAC，CD＝mAB，连接BC、DE交于点F，则cos∠BFE的值为 　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．如图，在△ABC中，∠B＝36°，AD是△ABC的角平分线，延长BC至点E，∠ACE＝110°． （1）求∠CAD的度数． （2）若F是AB边上一点，∠ADF＝53°，求证：△ADF是直角三角形． 18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线交AB于点D、交BC于点E，若BE＝12，求CE的长． 19．计算： （1）sin60°+cos30°﹣tan60°； （2）2cos245°﹣tan30°tan45°． 20．在△ABC中，已知∠C＝90°，，求sinA﹣sinB的值． 21．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296m，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）． （参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75） 22．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝1，求∠A的三个三角函数值． （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，求解这个三角形． 23．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OB交OA于点C，PD⊥OB，垂足为D． （1）求证：OC＝CP； （2）若PC＝8，求PD的长． 24．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AB上一点，且tan∠DCB． （1）试求cosB的值； （2）试求△BCD的面积． 25．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）求证：BE＝EF． 2025年华东师大版九年级上学期第24章 解直角三角形  参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A B B B A D D 一．选择题（共10小题） 1．在一个直角三角形中，其中一个锐角比另一个锐角大20°，则该三角形中较小锐角的度数为（　　） A．55° B．50° C．40° D．35° 【分析】根据直角三角形两锐角互余列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设较小锐角的度数为x，则较大锐角的度数为x+20°， 由题意得：x+x+20°＝90°， 解得：x＝35°， 故选：D． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键． 2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理求得BC的长度，再根据正弦的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∴sinB， 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．如图，∠AOE＝15°，点E在∠AOB的平分线上，EC⊥OB，垂足为点C，点F在OA上，若∠AFE＝30°，EC＝2，则OF的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】过E点作EH⊥OA于点H，如图，根据角平分线的性质得到∠AOE＝∠COE＝15°，EH＝EC＝2，再利用含30度角的直角三角形三边的关系得到EF＝2EH＝4，然后证明∠FEO＝∠FOE得到OF＝EF． 【解答】解：过E点作EH⊥OA于点H，如图， ∵OE平分∠AOB，EC＝2， ∠AOE＝∠COE＝15°，EH＝EC＝2， 在Rt△EFH中，∠AFE＝30°， ∴EF＝2EH＝4， ∵∠EFH＝∠FOE+∠FEO， 即30°＝15°+∠FEO， ∴∠FEO＝∠FOE＝15°， ∴OF＝EF＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，关键掌握30°角所对直角边是斜边的一半的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3， ∴sinA， 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，若AB＝12cm，则BD的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】在直角△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得∠B＝60°，BC＝6cm，再根据垂直定义可得∠CDB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCD＝30°，从而在Rt△BCD中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm， ∴∠B＝60°，， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 6．如图，滑雪道AC的长为320m，则滑雪道的竖直高度AB的长为（　　） A．320cosαm B．320sinαm C．320tanαm D．m 【分析】根据正弦的定义进行解答即可． 【解答】解：∵， ∴AB＝AC•sinC＝320sinα（m）， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC＝30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD＝15°，从而得到∠ABD＝∠A，根据等角对等边可得AD＝BD，从而得解． 【解答】解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°， ∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°， ∴BD＝2BC＝2×1＝2， ∵∠C＝90°，∠A＝15°， ∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°， ∴∠ABD＝∠A， ∴AD＝BD＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键． 8．如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin∠ACB的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由勾股定理可求AC，BC的长，由三角形的面积公式可求BD的长，即可求sin∠ACB的值． 【解答】解：设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F， ∵S△ABC＝2×75 由勾股定理可知：AC5， ∵AC•BD＝5， ∴BD， 由勾股定理可知：BC， ∴sin∠ACB 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练运用面积法求BD的长是本题的关键． 9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∠ABP＝15°，过点P作MN∥BC，分别交AC、AB于M、N，设AB＝12，则△AMN周长是（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【分析】先根据角平分线的定义得∠ABC＝30°，从而利用含30°角的直角三角形的性质可得AC＝6，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MPC和△NPB是等腰三角形，从而可得MP＝MC，NP＝NB，最后利用等量代换可得△AMN的周长为（AC+AB），即可解答． 【解答】解：∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC， ∴∠MCP＝∠PCB，∠NBP＝∠PBC， ∵MN∥BC， ∴∠MPC＝∠PCB，∠NPB＝∠PBC， ∴MP＝MC，NP＝NB， ∵BP平分∠ABC，∠ABP＝15°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝30°， ∵∠ACB＝90°，AB＝12， ∴， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+MP+PN+AN ＝AM+MC+BN+AN ＝AC+AB ＝6+12 ＝18， 则△AMN周长是18． 故选：D． 【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 10．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图“中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则cos∠DGE等于（　　） A． B． C． D． 【分析】过点D作DN⊥GE，交GE的延长线于点N，设AF＝BG＝CH＝DE＝a，DF＝AG＝BH＝CE＝b，再根据已知可设正方形ABCD的边长为x，则正方形EFGH的边长为x，然后利用勾股定理以及线段的和差关系可得，从而可得AG＝DE＝b＝2x，AF＝a＝x，进而可得AG＝2AF，再利用线段的垂直平分线的性质可得AD＝DGx，再利用等腰直角三角形的性质可得EGx，∠FEG＝∠FGE＝45°，从而可得∠NED＝∠FEG＝45°，最后在Rt△END中，利用锐角三角函数的定义求出EN的长，从而求出NG的长，再在Rt△DNG中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DN⊥GE，交GE的延长线于点N， 设AF＝BG＝CH＝DE＝a，DF＝AG＝BH＝CE＝b， ∵正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1， ∴设正方形ABCD的边长为x，则正方形EFGH的边长为x， ∵AF2+DF2＝AD2，DF﹣DE＝EF， ∴， 解得：， ∴AG＝DE＝b＝2x，AF＝a＝x， ∴AG＝2AF， ∵∠AFD＝90°， ∴DF是AG的垂直平分线， ∴AD＝DGx， ∵∠EFG＝90°，EF＝FG＝x， ∴EGx，∠FEG＝∠FGE＝45°， ∴∠NED＝∠FEG＝45°， 在Rt△END中，NE＝DE•cos45°x， ∴GN＝EG+NExxx， 在Rt△DNG中，cos∠DGE， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD＝4，BE＝6，则AB的长为 　　 ． 【分析】过D点作DG⊥AB于点G，则∠AGD＝∠DGE＝90°，结合等边三角形的性质证明△CDF≌△GED，可得GE＝4，AB＝AG+10，再利用含30°角的直角三角形的性质可求得AB＝2AC，AD＝2AG，进而可得关于AG的等式，计算可求解AG的长，进而可求解AB的长． 【解答】解：过D点作DG⊥AB于点G，则∠AGD＝∠DGE＝90°， 在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠A＝60°，AB＝2AC， ∵△DEF为等边三角形， ∴DF＝DE，∠EDF＝60°， ∵∠CDE＝∠CDF+∠EDF＝∠A+∠GED， ∴∠CDF＝∠GED， 在△CDF和△GED中， ， ∴△CDF≌△GED（AAS）， ∴CD＝GE＝4， ∵BE＝6， ∴AB＝AG+10， ∵∠A＝60°，∠AGD＝90°， ∴AD＝2AG， ∴AC＝2AG+4， ∵AB＝2AC， ∴AG+10＝2（2AG+4）， 解得AG， ∴AB． 故答案为：． 【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD为AC边上的高，E为BC边的中点，点F在AB边上，∠EDF＝60°，若AF＝4，，则BC边的长为　　 ． 【分析】过点D作DM⊥AB于点M，取AB的中点H，连接EH，DH，根据已知可求出，先在Rt△ABD中求出AD，AH的长，从而可得△ADH是等边三角形，进而可得AD＝DH，∠ADH＝∠AHD＝60°，然后利用等腰三角形三线合一性质求出AM的长，从而求出DM，DF的长，最后证明△ADF≌△HDE，从而利用全等三角形的性质可得，进而利用直角三角形斜边上的中线，即可解答． 【解答】解：过点D作DM⊥AB于点M，取AB的中点H，连接EH，DH， ∵AF＝4，， ∴， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠CDB＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABD＝90°﹣∠A＝30°， ∴， ∵点H是AB的中点， ∴， ∴AD＝AH， ∴△ADH是等边三角形， ∴AD＝DH，∠ADH＝∠AHD＝60°， ∴， ∴， ∵AF＝4， ∴， ∴， ∵点H是AB的中点，点E是BC的中点， ∴EH是△ABC的中位线， ∴EH∥AC， ∴∠DHE＝∠ADH＝60°， ∴∠A＝∠DHE＝60°， ∵∠EDF＝∠ADH＝60°， ∴∠ADH﹣∠FDH＝∠EDF﹣∠FDH， ∴∠ADF＝∠HDE， 在△ADF和△HDE中， ， ∴△ADF≌△HDE（ASA）， ∴， ∵∠CDB＝90°， ∴， ∴BC边的长为． 故答案为：． 【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．在△ABC中，BC＝4，，tan∠ACB＝3，P为AB边上一动点，PD⊥BC交于点D，PE⊥AC交于点E，连接DE，求DE的最小值 　　 ． 【分析】连接CP，作△PCD的外接圆⊙O，根据PD⊥BC，PE⊥AC得点E在△PCD的外接圆⊙O上，因此当⊙O的直径为最小时，DE为最小，根据“垂线段最短”得当CP⊥AB时，CP为最小，此时DE为最小，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DH⊥PE，交EP的延长线于点H，解Rt△ACF得CF＝1，AF＝3，进而得BF＝AF＝3，则△ABF是等腰直角三角形，解Rt△ABF得AB，证明△BPC是等腰直角三角形并解此三角形得PD＝BD＝CD＝2，BP＝CP，进而得PA，由三角形面积公式得PE，设PH＝a，则EH，根据圆周角定理得∠PED＝∠PCB＝45°，则△HDE是等腰直角三角形，继而得DH＝EH，在Rt△HPD中，由勾股定理求出a，则DH＝EH，然后由勾股定理求出DE的长即可得出答案． 【解答】解：连接CP，作△PCD的外接圆⊙O，如图1所示： ∵PD⊥BC交于点D， ∴∠PDC＝90°， ∴PC为△PCD外接圆⊙的直径，圆心O为PC的中点， ∵PE⊥AC交于点E， ∴∠PEC＝90°， ∴点E在△PCD的外接圆⊙O上， ∴当⊙O的直径CP为最小时，DE为最小， 根据“垂线段最短”得：当CP⊥AB时，CP为最小，此时DE为最小， 过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DH⊥PE，交EP的延长线于点H，如图2所示： 在Rt△ACF中，tan∠ACB＝3，AC， ∴tan∠ACB3， ∴AF＝3CF， 由勾股定理得：AF2+CF2＝AC2， ∴， 解得：CF＝1， ∴AF＝3， ∵BC＝4， ∴BF＝BC﹣CF＝3， ∴BF＝AF＝3， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°， ∴sin∠B， ∴AB， ∵PC⊥AB， ∴△BPC是等腰直角三角形， ∴BP＝CP，PD＝BD＝CDBC＝2，∠B＝∠PCB＝45°，sinB， ∴BP＝CP＝BC•sinB＝4×sin45°， ∴PA＝AB﹣BP， ∵CP⊥AB，PE⊥AC， 由三角形面积公式得：S△PACAC•PEPA•CP， ∴PE， 设PH＝a，其中a＞0，则EH＝PH+PE， ∵DH⊥PE， ∴△HDE和△HPD都是直角三角形， 根据圆周角定理得：∠PED＝∠PCB＝45°， ∴△HDE是等腰直角三角形， ∴DH＝EH， 在Rt△HPD中，由勾股定理得：PH2+DH2＝PD2， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴DH＝EH， 由勾股定理得：DEDH， ∴DE的最小值是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，理解垂线段最短，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆，圆周角定理，灵活利用锐角三角函数的定义，三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 14．如图△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，则BC的长为 　16　 ． 【分析】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出CD和AD，根据勾股定理求出BD，即可得出答案． 【解答】解： 过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠CAD＝30°， ∴CDAC5， 由勾股定理得：AD5，BD11， ∴BC＝BD+CD＝11+5＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、含30°角的直角三角形性质等知识点，能够正确作出辅助线并求出CD和BD的长度是解此题的关键． 15．如图所示，P为∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sinα+cosα＝　　 ． 【分析】根据正弦和余弦的概念求解． 【解答】解：∵P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为（3，4）， ∴PB＝4，OB＝3，OP5． 故sinα，cosα， ∴sinα+cosα， 故答案为：． 【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是找出所求角的对应边． 16．如图，在△ABD中，∠A＝90°，若BE＝mAC，CD＝mAB，连接BC、DE交于点F，则cos∠BFE的值为 　　 ． 【分析】过点D作DK⊥AD，使得DK＝mAC．证明△CDK∽△BAC，推出m，再证明四边形BEDK是平行四边形，推出DE∥BK，∠EFB＝∠CBK，设BC＝k则CK＝mk，BK•k，由此可得结论． 【解答】解：过点D作DK⊥AD，使得DK＝mAC． ∵CD＝mAB，DK＝mAC， ∴m， ∵∠A＝∠CDK＝90°， ∴△CDK∽△BAC， ∴m， ∵BE＝mAC，DK＝mAC， ∴BE＝DK， ∵BE＝DK， ∴四边形BEDK是平行四边形， ∴DE∥BK， ∴∠EFB＝∠CBK， 设BC＝k则CK＝mk，BK•k， ∴cos∠BFE＝cos∠CBK． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 三．解答题（共9小题） 17．如图，在△ABC中，∠B＝36°，AD是△ABC的角平分线，延长BC至点E，∠ACE＝110°． （1）求∠CAD的度数． （2）若F是AB边上一点，∠ADF＝53°，求证：△ADF是直角三角形． 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠CAD； （2）根据两锐角互余的三角形是直角三角形证明． 【解答】（1）解：∵∠ACE是△ABC的外角，∠B＝36°，∠ACE＝110°， ∴∠BAC＝∠ACE﹣∠B＝110°﹣36°＝74°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴； （2）证明：由（1）可知∠BAD＝∠CAD＝37°， ∴∠ADF+∠BAD＝90°， ∴△ADF是直角三角形． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握两锐角互余的三角形是直角三角形是解题的关键． 18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线交AB于点D、交BC于点E，若BE＝12，求CE的长． 【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质得出AE的长，再根据等腰三角形的性质得出∠BAE的度数，进而可得出∠EAC的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：连接AE， ∵DE是AB的垂直平分线，BE＝12， ∴AE＝BE＝12， ∴∠EAB＝∠B， ∵∠B＝30°， ∴∠EAB＝30°， 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∴∠CAE＝30°， ∴． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记以上知识点是解题的关键． 19．计算： （1）sin60°+cos30°﹣tan60°； （2）2cos245°﹣tan30°tan45°． 【分析】（1）先代入各个三角函数值，再进行运算即可得； （2）先代入各个三角函数值，再进行运算即可得． 【解答】解：（1）原式； ＝0； （2）原式 ． 【点评】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，解题的关键是掌握特殊角三角函数值函数和混合运算的顺序． 20．在△ABC中，已知∠C＝90°，，求sinA﹣sinB的值． 【分析】根据锐角三角函数的定义，勾股定理以及互余两角三角函数的关系进行计算即可． 【解答】解：设在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c， ∴tanA，tanB，sinA，sinB， ∵tanA+tanB，即， ∴， ∵a2+b2＝c2， ∴， ∴•， 即sinA•sinB， ∴（sinA﹣sinB）2＝sin2A+sin2B﹣2sinA•sinB ＝sin2A+cos2A﹣2sinA•sinB ＝1﹣2 ， ∴sinA﹣sinB＝±． 【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理以及互余两角三角函数的关系是正确解答的关键． 21．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296m，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）． （参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75） 【分析】（1）过点B作BE⊥AD于E，根据正弦的定义求出BE； （2）过点B作BF⊥CD于F，根据矩形的性质求出DF，进而求出CF，再根据正弦的定义计算即可． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AD于E， 在Rt△ABE中，∠A＝α＝16°，AB＝200米， 则BE＝AB•sinA≈200×0.28＝56（m）， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为56m； （2）如图，过点B作BF⊥CD于F， 则四边形BEDF为矩形， ∴DF＝BE＝56m， ∵CD＝296m， ∴CF＝CD﹣DF＝296﹣56＝240（m）， 在Rt△CBF中，∠CBF＝β＝37°， 则BC400（m）， 答：车的行驶路线BC的长约为400m． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝1，求∠A的三个三角函数值． （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，求解这个三角形． 【分析】（1）先利用勾股定理求得c，再根据锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据勾股定理求解AB，再利用正弦定义和特殊角的三角函数值求得∠A，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝1， ∴， ∴， ， ； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，， ∴， ∴， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°． 【点评】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，熟知以上知识是解题的关键． 23．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OB交OA于点C，PD⊥OB，垂足为D． （1）求证：OC＝CP； （2）若PC＝8，求PD的长． 【分析】（1）根据角平分线的定义得∠POD＝15°，由平行线的性质得∠CPO＝15°＝∠POC，从而可得OC＝CP； （2）过点P作PE⊥OA，得PEPC＝4，由角平分线性质定理得PD＝PE＝4． 【解答】（1）证明：∵OP平分∠AOB，∠AOP＝15°， ∴∠POA＝∠POB＝15°， ∵PC∥OB， ∴∠CPO＝∠POB＝15°， ∴∠COP＝∠CPO， ∴OC＝CP； （2）解：如图，作PE⊥OA于点E，PC＝8， ∵OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D， ∴PD＝PE， 由（1）知∠COP＝∠CPO＝15°， ∴∠PCA＝30°， ∴PEPC＝4， ∴PD＝4． 【点评】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形，熟练掌握角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解答本题的关键． 24．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AB上一点，且tan∠DCB． （1）试求cosB的值； （2）试求△BCD的面积． 【分析】（1）作AE⊥BC于E，如图，利用等腰三角形的性质得BE＝CE＝4，然后利用余弦的定义求解； （2）作DF⊥BC于F，如图，先在Rt△CDF中利用正切的定义得到tan∠DCF，则可设DF＝3x，CF＝5x，接着计算出AE得到tanB，所以在Rt△BDF中利用正切的定义得到，于是得到BF＝4x，然后利用BC＝9x＝8得到x，最后根据三角形面积公式求解． 【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，如图， ∵AB＝AC， ∴BE＝CEBC8＝4， 在Rt△ABE中，cosB； （2）作DF⊥BC于F，如图， 在Rt△CDF中，tan∠DCF， 设DF＝3x，则CF＝5x， 在Rt△ABE中，AE3， ∴tanB， 在Rt△BDF中，tanB， 而DF＝3x， ∴BF＝4x， ∴BC＝BF+CF＝4x+5x＝9x， 即9x＝8，解得x， ∴DF＝3x， ∴S△BCDDF×BC8． 【点评】本题考查了解直角三角形：灵活运用锐角三角形的定义和勾股定理解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质． 25．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）求证：BE＝EF． 【分析】（1）由∠BAC＝90°，∠C＝30°可得∠ABC＝60°，根据BF平分∠ABC得∠CBF＝∠ABF＝30°，根据∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°，∠AFB＝90°﹣∠ABF＝60°，得∠AFE＝∠AEF＝60°，即可得△AEF是等边三角形； （2）可得∠BAE＝∠ABF＝30°，则AE＝BE，由（1）知△AEF是等边三角形，得AE＝EF，即可证明． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF＝30°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°， ∵∠AFB＝90°﹣∠ABF＝60°， ∴∠AFE＝∠AEF＝60°， ∴△AEF是等边三角形； （2）∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠BAE＝∠ABF＝30°， ∴AE＝BE， 由（1）知△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF， ∴BE＝EF． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/13 8:37:11；用户：林建伟；邮箱：13067837950；学号：53829082 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $