精品解析： 江苏省苏州市立达中学校2025-2026学年八年级上学期期中测试数学试题

2025－2026学年第一学期期中考试试卷 初二数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于0． 2. 在式子，，，中，分式有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，关键是抓住分母中是否含有字母，注意常数（如或数字）作为分母时，不是分式；根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐项判断分母是否含有字母． 【详解】解：对于，分母含有字母，是分式； 对于，分母是常数（圆周率），不含字母，不是分式； 对于，分母含有字母，是分式； 对于，分母 是常数，不含字母，不是分式． ∴ 分式有2个． 故选：B． 3. 下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A. 5、5、12 B. 12、13、25 C. 9、15、6 D. 2、3、4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，灵活运用“两边之和大于第三边”是解题的关键． 根据两边之和大于第三边逐项判断即可． 【详解】解：A．由于，与两边之和大于第三边矛盾，故A不符合题意； B．由于，与两边之和大于第三边矛盾，故B不符合题意； C．由于，与两边之和大于第三边矛盾，故C不符合题意； D．由于，符合两边之和大于第三边，故D符合题意． 故选：D． 4. 在中，如果，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到 、 、 的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵ 、 、 的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 5. 如图，是的高的图形是（ ） A. B.     C.     D.     【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段． 根据三角形高的定义求解即可． 【详解】解：是的高的图形是：    故选：D． 6. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，容易出错． 根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意 B. ，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意； C. ，是因式分解，故此选项符合题意； D. ，右边的因式不是整式，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中， 是 边上的中线，，，E，F分别是垂足．已知，则与的长度之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的中线把其面积分成相等的两个三角形得出和的面积相等，再根据三角形面积公式计算即可得出高之间的关系． 【详解】解：∵ 是 边上的中线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即与的长度之比是， 故选：C． 8. 如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点 旋转的过程中，其两边分别与射线，交于点 ， ，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接 ，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵点 在的角平分线上， ∴， 如图所示，过点 作于点 ，作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由可得， ∴，故②正确； 由可得， ∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接 ，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．直接提公因式即可分解． 【详解】解：． 故答案为： 10. 若等腰三角形的顶角为，则其底角的度数为______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形两底角相等且三角形内角和为180度进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴它的底角度数为， 故答案为：． 11. 当时，分式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查已知字母的值求代数式的值，将 代入分式 直接计算． 【详解】当 时， 分子：， 分母：， 所以 ， 故答案为：． 12. 若a，b都是正实数，且，则=___________. 【答案】- 【解析】 【分析】对已知等式整理得，可得b2-a2=2ab，则代入所求代数式即可求出其值． 【详解】解：∵， ∴， ∴b2-a2=2ab， 则所求代数式==． 故答案是：． 【点睛】此题考查分式的计算化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意整体代入的方法应用． 13. 如图，在，，，以点为圆心， 的长为半径画弧，交 于点，连接．那么的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，求出，由题意得：，推出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，已知， 的垂直平分线交 于点D，交 于点E，的周长等于16，则 的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵是线段 的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴． 故答案为：6． 15. 如图，、 分别是边 、 上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了等底同高三角形的面积关系，如果两个三角形等底同高，那么这两个三角形的面积之比等于对应的底边之比． 根据，，可得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 即， ∴． 故答案为：1 16. 如图，已知，分别以 、 为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，若 与 在同一直线上，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点 ，且，若和的面积之和为20，的面积为6，则线段的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，完全平方公式的应用．证明，可得，从而得到，，进而得到，再由，可得，根据，可得，即可求解． 【详解】∵和是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）利用提取公因式法分解因式即可得； （2）先分组为，利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解因式即可得． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）1 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （1）把分式的分子相减，再约分化简即可； （2）先通分，再把分式的分子相减，然后约分化简即可； （3）把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简即可； （4）把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： 19. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰 的长为6，求的周长． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系；利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 本题分两种情况讨论：腰是底的2倍；底是腰的2倍，再利用三角形三边关系（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）进行检验即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当腰是底的2倍时，底边为， ∵， ∴可以构成三角形， 此时的周长为； 当底是腰的2倍时，底边为， ∵， ∴不能构成三角形． 综上所述，的周长为15． 故答案为：15． 20. 已知四边形ABCD，AC是四边形ABCD的对角线，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，在对角线AC上求作一点M，使BM＝CM； （2）如图②，AB＝CD，在对角线AC上求作一点N，使△ABN和△CDN的面积相等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】(1)作BC的垂直平分线交AC于M点，根据线段垂直平分线的性质可判断M点满足条件； (2)延长BA、CD，它们相交于点P，再作∠BPC的平分线交AC于N，利用角平分线的性质得到N点到AB和CD的距离相等，则根据三角形面积公式得到△ABN和△CDN的面积相等． 【小问1详解】 解：点M即为所求； 【小问2详解】 如图，点N即为所求． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图，角平分线的作图，正确理解线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键． 21. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 【答案】 证明： ， ， ， 在与中， ． 【解析】 【分析】由∠1＝∠2可得∠AEC＝∠BED，进而由“”即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 22. 如图，于E，于F，若， 平分． （1）求证：； （2）已知，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）128 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质即可证明； （2）先求出，，再由全等三角形的性质得到，证明，得到，则，即可得到． 【小问1详解】 证明：∵，， 平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 已知：如图，在四边形中，，点E是 的中点． （1）求证：是等腰三角形； （2）当__________°时，是等边三角形． （3）当时，若，取中点F，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2）150 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得到； （2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出，由得到，，继而，即可证明等边三角形； （3）由，，则，由上可知，而为中点，故． 【小问1详解】 证明：，点 是 边的中点， ，， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：当时，是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴ ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴是等边三角形， 故答案为：150； 【小问3详解】 解：如图： 由（2）可知，， ∵， ∴， 由上可知， ∵为中点 ∴． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，直角三角形的性质，以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出是解题关键． 24. 阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣10n+25＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣10n+25＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣10n+25）＝0． ∴（m﹣n）2+（n﹣5）2＝0， ∴m﹣n＝0，n﹣5＝0． ∴n＝5，m＝5． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：x2+2xy+2y2+4y+4＝0，求xy的值； （2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣16a﹣12b+100＝0，求△ABC的周长的最大值； （3）已知：△ABC的三边长是a，b，c，且满足：a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断△ABC是什么形状的三角形并说明理由． 【答案】（1）；（2）△ABC周长的最大值为27；（3）△ABC是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． （2）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． （3）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵x2+2xy+2y2+4y+4＝0， ∴（x2+2xy+y2）+（y2+4y+4）＝0 ∴（x+y）2+（y+2）2＝0， ∴x+y＝0，y+2＝0， ∴x＝2，y＝﹣2， ∴． （2）∵a2+b2﹣16a﹣12b+100＝0 ∴（a2﹣16a+64）+（b2﹣12b+36）＝0， ∴（a﹣8）2+（b﹣6）2＝0， ∴a＝8，b＝6 由三角形的三边关系可知2＜c＜14且c为正整数 ∴c的最大值是13． ∴△ABC周长的最大值为27． （3）结论：△ABC是等边三角形． 理由：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∴a＝b，b＝c， 即a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 【点睛】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定等知识，是三角形综合题，解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题． 25. 【模型提出】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点 ，则 ，与之间满足的数量关系是________． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点 ，，，则的长为________． 【模型初探】 （2）①如图3，四边形中，，，．求的面积________． ②如图4，在中，，分别以 和为直角边作等腰和等腰，连 交延长线于点 ，判断与的数量关系并证明． 【模型拓展】 （3）如图5，在中，，，，以 为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请画出图形并直接写出的面积． 【答案】（1）①；②3；（2）①；②，证明见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）①，过点B作交 延长线于H，同（1）可证明，则，再根据三角形面积计算公式求解即可；②过点D作交延长线于H，同理可证明，得到；再证明，得到，则； （3）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故答案为： ； （2）①如图所示，过点B作交 延长线于H， 同（1）可证明， ∴， ∴； ②，证明如下： 如图所示，过点D作交延长线于H， ∵是等腰直角三角形，且 为直角边， ∴， ∴同理可证明， ∴； ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）以 为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图 ，过点A作于E，过点作交延长线于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 以 为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图 ，过点A作于E，过点作交 延长线于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 综上所述，的面积为或 ． 26. 如图 ，等边中，过点在 边的右侧作射线，点与点 关于射线对称，连接，，且交射线于点，过两点的直线交射线于点，连接． （1）当时，求的度数； （2）求证：； （3）如图 ，点 为射线上的一动点，过点 做于点 ，连接，当的值最小时，请直接写出的大小（用含的代数式表示）． 【答案】（1）， （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（ ）由是等边三角形，则，，根据点与点 关于射线对称，故有垂直平分，所以，，然后根据等腰三角形的性质和角度和差即可求解； （ ）在上截取，连接，通过角度和差，等腰三角形的性质可得出，然后证明，则，又，则是等边三角形，故有，然后由线段和差即可求证； （ ）连接，由（ ）得垂直平分，则，所以当点三点共线时，的值最小，通过三角形的外角性质，等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点与点 关于射线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：如图，在上截取，连接， 由（ ）得垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（ ）得垂直平分， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期中考试试卷 初二数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 在式子，，，中，分式有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A. 5、5、12 B. 12、13、25 C. 9、15、6 D. 2、3、4 4. 在 中，如果，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 5. 如图， 是 的高的图形是（ ） A. B.     C.     D.     6. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中，是边上的中线，，，E，F分别是垂足．已知，则与的长度之比是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与射线， 交于点 ， ，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 因式分解：________． 10. 若等腰三角形的顶角为，则其底角的度数为______． 11. 当时，分式的值是______． 12. 若a，b都是正实数，且，则=___________. 13. 如图，在，，，以点 为圆心，的长为半径画弧，交 于点，连接 ．那么的度数是______． 14. 如图，在 中，，已知， 的垂直平分线交 于点D，交于点E，的周长等于16，则的长为_____． 15. 如图，、 分别是 边 、上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则的值为______． 16. 如图，已知 ，分别以 、为直角边向 两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接 、，若与在同一直线上，延长与 交于点 ，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰 是“倍长三角形”，腰 的长为6，求 的周长． 20. 已知四边形ABCD，AC是四边形ABCD的对角线，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，在对角线AC上求作一点M，使BM＝CM； （2）如图②，AB＝CD，在对角线AC上求作一点N，使△ABN和△CDN的面积相等． 21. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 22. 如图，于E，于F，若，平分． （1）求证：； （2）已知，，，求四边形的面积． 23. 已知：如图，在四边形 中，，点E是的中点． （1）求证：是等腰三角形； （2）当__________°时，是等边三角形． （3）当时，若，取中点F，求的长． 24. 阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣10n+25＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣10n+25＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣10n+25）＝0． ∴（m﹣n）2+（n﹣5）2＝0， ∴m﹣n＝0，n﹣5＝0． ∴n＝5，m＝5． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：x2+2xy+2y2+4y+4＝0，求xy的值； （2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣16a﹣12b+100＝0，求△ABC的周长的最大值； （3）已知：△ABC的三边长是a，b，c，且满足：a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断△ABC是什么形状的三角形并说明理由． 25. 【模型提出】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角 中，，，过点作直线，于点，于点 ，则， 与之间满足的数量关系是________． ②如图2，在等腰直角 中，，，过点作直线 ，过点 作于点，过点 作于点 ，，，则的长为________． 【模型初探】 （2）①如图3，四边形 中，，，．求的面积________． ②如图4，在中，，分别以和 为直角边作等腰和等腰，连交 延长线于点 ，判断与 的数量关系并证明． 【模型拓展】 （3）如图5，在 中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请画出图形并直接写出的面积． 26. 如图，等边 中，过点 在 边的右侧作射线，点 与点 关于射线对称，连接， ，且 交射线于点，过两点的直线交射线于点 ，连接． （1）当时，求的度数； （2）求证：； （3）如图 ，点 为射线上的一动点，过点 做于点 ，连接，当的值最小时，请直接写出的大小（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $