第1章：集合与逻辑 综合检测-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

湘教版高中数学必修第一册第1章：集合与逻辑综合检测卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.下列关系中，正确的个数为() ①V2eR:②eQ:®0={0：④0eN:⑤πeQ:⑧-1ez:⑦oc{0. A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知集合A={xx<a},B={x1<x<2,且BA,则实数a的取值范围是() A.a≤1 B.a<1 C.a≥2 D.a>2 3.设集合U={0,1,2,3,4},P={0,1,2,3},Q={1,2,4},则P∩（©Q)=() A.{0y B.{0,3} c.{2 D.{1,2 4.对于任意两个集合A与B,下列命题中是假命题的是() A.若ASB,BSA,则A=B B.若A∩B=A,则A≤B C.若AUB=A,则A2B D.若A∩B=☑，则A=☑或B=O 5.己知x,y∈R,则“y<0"是“x>0,y<0”的（) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.命题“x∈R,x2-x+1≤0”的否定是：() A.3x∈R,x2-x+1≥0 B.3x∈R,x2-x+1>0 C.x∈R,x2-x+1≥0 D.x∈R,x2-x+1>0 7.已知集合A={xx=2k-1,k∈Z,B=和-1≤x≤4}，则A∩B=() A.1,3} B.{-1,0,1,2,3} C.{1,3,4} D.{-1,1,3} 8.己知集合A满足{1,2至A≤{1,2,3,4,5}，则满足条件的集合A的个数为() A.2个 B.3个 C.4个 D.7个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.☑∈{0} B.集合x=2nne五=e乙 C.集合{x|y=x3}={y川y=x} 0.若a-0,则a- 10.下列若p,则g”形式的命题中，p是g的充分条件的有() A.若x,y是偶数，则x+y是偶数 B.若方程x2-2x+a=0有实根，则a<2 C.若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等 D.若集合A≤B,则AB 11.下列说法正确的是() A.a∈Q是a∈R的充分不必要条件 B.若集合A={xax2+ar+1=0}中只有一个元素，则a=4 C.己知p:x∈R,x-2>0,则一p:3x∈R,x-2≤0 D.已知集合M={O,1},则满足条件MUN=M的集合N的个数为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0的充分不必要条件，则实数k的取值范围是 l3.已知集合M={x|1x<3},N={x|x≥a,a∈R},若MnN=M,则实数a的取值范围是 14,方程-气口》+2=0的解集有且仅有两个子集，则实致“的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)设集合A={ax2-2x-3=0,已知3∈A. (1)求集合A: (2)写出集合A的所有子集： (3)设集合B={x2-x+m+3=0,若B∈A,求实数m的取值范围. 16.(15分)已知集合A={x-2≤x≤3}，集合B={x|1-a≤x≤1+a. (1)当a=1时，求(B)nA: (2)若x∈B是x∈A的充分条件，求a的取值范围. 17.(15分)已知集合A={x|1<x<3,集合B={x2m<x≤1-m}. (I)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若命题x∈B,都有x∈A”是真命题，求实数m的取值范围： (3)若命题“3x∈A,x∈B”是真命题，求实数m的取值范围. 18.(17分)已知集合A={x0≤x≤2}，B={xa-3≤x≤a. (1)当a=1时，求AnB,δR(AUB): (2)若AUB=B,求实数a的取值范围. 19.(17分)已知集合A={a,2,…a,}(k≥2)，其中a,∈Z(i=1,2,…k),由A中元素可构成两个点集P和 Q:P={(x,y)x∈A,y∈A,x+y∈A,Q={(x,y)x∈A,y∈A,x-y∈A,其中P中有m个元素，Q中有n个 元素新定义1个性质G:若对任意的x∈A,必有-x廷A,则称集合A具有性质G (1)已知集合J={0,1,2,3}}与集合K={-1,2,3}和集合L={yy=x2-2x+2,判断它们是否具有性质G,若有， 则直接写出其对应的集合P,Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G,若k=2024,求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是m=n的什么条件并证明.湘教版高中数学必修第一册第1章：集合与逻辑综合检测卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.下列关系中，正确的个数为() ①5eR:②eQ:@0=0:@0eN:⑤xe0:©-1ez:⑦oc{0. A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【分析】根据集合的概念、元素与集合的关系、子集的定义进行判断即可. 【详解】R表示实数，√2是实数，所以√2∈R,所以①正确： Q表示有理数，有理数是能够表示为两个整数的此，所以Q,所以②正确： 0表示元素，{0}表示集合，所以0={0}表示方式有误，所以③错误： N表示自然数，0是自然数，所以0∈N,所以④错误： 因为π无法表示为两个整数的比，且其小数部分无限不循环，所以π廷Q,所以⑤错误； Z表示整数集，-1是整数，所以-1∈Z,所以⑥正确： 因为空集是任何集合的子集，所以≤{0}，所以⑦正确：综上，正确的有①②⑥⑦共4个 故选：B 2.已知集合A={xx<a,B={x1<x<2,且BA,则实数a的取值范围是() A.a≤1 B.a<1 C.a22 D.a>2 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系直接得到参数a的取值范围 【详解】因为A={xx<a},B={x<x<2,且BA,所以a≥2，即实数a的取值范围是a≥2 故选：C 3.设集合U={0,1,2,3,4},P={0,1,2,3},2={1,2,4},则P∩(d0)=() A.{0 B.{0,3 C.{2} D.{1,2 【答案】B 【分析】由补集、交集的概念即可得解 【详解】因为集合U={0,1,2,3,4},P={0,1,2,3},Q={1,2,4},ǎ2={0,3， P∩(aQ)={0,3}.故选：B. 4.对于任意两个集合A与B,下列命题中是假命题的是() A.若ASB,BSA,则A=B B.若A∩B=A,则A∈B C.若AUB=A,则A2B D.若A∩B=☑，则A=O或B=☑ 【答案】D 【分析】由集合的运算及基本关系求解 【详解】对于A项，对x∈A,ASB,有x∈B,对x∈B,BSA,有x∈A, 所以，集合A,B的所有元素相同，即A=B,则A项正确； 对于B项，若A∩B=A,则对x∈A=A⌒B,有x∈B,则A三B,则B项正确： 对于C项，若AUB=A,则对Vx∈B,x∈AUB=A,则BSA,则C项正确： 对于D项，如A=1,2,B=3,4,5,显然A∩B=0,故D项错误. 故选：D 5.已知x,y∈R,则“y<0”是“x>0,y<0”的() A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可， x>0x<0 【详解】若y<0, 。或了 y<0y>0' 所以由y<0推不出x>0,y<0,故充分性不成立： 由x>0,y<0推得出y<0,故必要性成立；所以“y<0”是“x>0,y<0”的必要不充分条件 故选：C 6.命题“3x∈R,x2-x+1≤0”的否定是：（) A.3xeR,x2-x+1≥0 B.x∈R,x2-x+1>0 C.x∈R,x2-x+1≥0 D.x∈R,x2-x+1>0 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定的定义求解即可。 【详解】根据存在量词命题的否定， 命题“3x∈R,x2-x+1≤0”的否定是：x∈R,x2-x+1>0. 故选：D 7.已知集合A={xx=2k-1,k∈Z,B=-1≤x≤4}，则A∩B=() A.{1,3} B.{-1,0,1,2,3} C.{1,3,4} D.{-1,1,3} 【答案】D 【分析】根据交集的定义即可得到答案 【详解】集合A={xx=2k-1,k∈Z表示所有的奇数， 则A∩B={-1,1,3} 故选：D. 8.已知集合A满足{1,2}至Ac{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为() A.2个 B.3个 C.4个 D.7个 【答案】D 【分析】根据集合A中的元素个数分类讨论即可求解， 【详解】由{1,2}至A{1,2,3,4,5}有： 当集合A中有3个元素时，A可以为1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，共3个 当集合A中有4个元素时，A可以为{1,2,3,4，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共3个， 当集合A中有5个元素时，A为{1,2,3,4,5}，共1个， 所以满足条件的集合A的个数为3+3+1=7个， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是() A.2∈{0y B.集合x=2nn五=字乙 C.集合{x|y=x}={yly=x2} D.若a分=0，则a=l 【答案】BD 【分析】利用元素与集合的关系判断A,利用相等集合的概念判断BC:利用集合相等，结合集合元素的互异 性求解即可判断D. 【详解】对于A,☑不是0}的元素，⑦≤{0}，故A错误： 对于B,集合{x|x=2n,n∈Z表示所有2的整数倍的数组成的集合即偶数集， 集合≤乙表示为整数的数组成的集合，则x=2k,kZ, 即e乙-x=2k,keZ,也是偶数集，所以两个集合相等，故B正确： 对于C,集合{y=}=R,而集合yy=x2}={y之0}，不是同一集合，故C错误. 对FD,由人a-。，由a0可知6-1=0，所以6= 则红a0=合，所以a。解得u=-1或a= 由集合元素的互异性可知a≠1，所以a=-1.故D正确 故选：BD 10.下列“若p,则q形式的命题中，p是q的充分条件的有() A.若x,y是偶数，则x+y是偶数 B.若方程x2-2x+a=0有实根，则a<2 C.若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等 D.若集合ASB,则AB 【答案】ABC 【分析】根据充分条件的定义分别判断各个选项即可. 【详解】A.由x,y是偶数，能推出x+y是偶数，则p是g的充分条件： B.方程x2-2x+a=0有实根台(-2)2-4a≥0台a≤1三a<2,则p是q的充分条件； C.由一个四边形是矩形，能够得到该四边形的对角线相等，则是q的充分条件： D.由真子集的定义知，A二B推不出AB则p不是q的充分条件. 故选：ABC 11.下列说法正确的是() A.a∈Q是a∈R的充分不必要条件 B.若集合A={xar2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=4 C.己知p:x∈R,x-2>0,则p:3x∈R,x-2≤0 D.已知集合M={O,1},则满足条件MUN=M的集合N的个数为3 【答案】ABC 【分析】对于A选项，利用充分条件和必要条件进行分析得解：对于B选项，讨论方程中二次项的系数是否 为零，分类讨论求解，在二次项系数不为0的时候，方程的判别式为0，从而得到的值；对于C选项，直 接求命题的否定即可得解：对于D选项，利用MUN=M得到NcM,再求出M的子集就是N,从而得到 W的个数. 【详解】对于A选项：有理数是实数，但是实数不一定是有理数， ∴.a∈Q是a∈R的充分不必要条件，则A选项正确； 对于B选项：若A={xax2+ax+1=0}中只有一个元素， 当a=0时，方程ax2+ax+1=0无解，不满足A中只有一个元素； 当a≠0时，A中只有一个元素，则有△=a2-4a=0, 解得a=0(舍去)或a=4.B选项正确： 对于C选项：p:x∈R,x-2>0, .一p:3x∈R,x-2≤0，故C选项正确： 对于D选项：集合M={0,1},MUN=M,.NsM,.N为☑，{0}，{}，{0,1}， ∴N的个数为4，则D选项错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是 【答案】k≤-7或k≥1 【分析】解一元二次不等式得到解集，根据充分不必要条件可知(4,1)是(-∞，k)U(k+3,+0)的真子集，列不 等式组求k的范围. 【详解】由x2+3x-4=(x+4)(x-1)<0,则-4<x<1, 由x2-(2k+3)x+k2+3k=(x-k)(x-k-3)>0,则x<k或x>k+3, 因为“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要条件， 所以(-4,1)是(-0，k)U(k+3,+o)的真子集， 则k≥1或k+3≤-4，即k≥1或k≤-7.故答案为：k≤-7或k≥1. 13.已知集合M={x1x<3},N={x|x≥a,a∈R},若M⌒N=M,则实数a的取值范围是 【答案】（-0，-] 【分析】根据交集运算结果转化为包含关系即可得解。 【详解】因为M∩N=M,所以M≤N,所以a≤-1，故答案为：（-oo,-1 14.方程x2 -+一 x+2=0的解集有且仅有两个子集，则实数a的值为 a 【答案】反 【分析】根据子集个数判断元素个数，利用判别式即可求解. 【详解】因为方程r-a+2x+2=0的解集有且仅有两个子集， a 所以方程r-a+2x+2=0有两个相等实数解， 所以△=(a+ 8=0,即a-4a2+4=0,解得a2=2,即a=±V2.故答案为：±2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)设集合A={xax2-2x-3=0},已知3∈A. (I)求集合A: (2)写出集合A的所有子集： (3)设集合B={x2-mx+m+3=0},若BcA,求实数m的取值范围. 【答案】(1)A={-1,3} 2){-1,{3},{-1,3},0 (3)[-2,6] 【分析】(1)由3eA,可求得a=1,即可求解； (2)由A={-1,3},即可求出相应的子集： (3)由B三A,结合(2)分别对B进行讨论，从而求解 【详解】(1)由3∈A,所以9a-6-3=0,得a=1,则x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,所以A={-1,3}. (2)由A={-1,3},所以集合A的子集为：{-，{3}，{-1,3}，0. (3)由BA,由集合A的子集为：{-1}，{3}，{-1,3}，☑. 当B=☑时，即△=m2-4×(m+3)<0,解得-2<m<6; 1+m+m+3=0 当B={-1时，则公=m4×m+3)=0解得m=-2: [9-3m+m+3=0 当B={3}时，则 △=m2-4×(m+3)=0,解得m=6; 1+m+m+3=0 当B={-1,3}时，则9-3m+m+3=0,无解： △=m2-4×(m+3)>0 综上：实数m的取值范围为[-2,6] 16.(15分)已知集合A={x|-2≤x≤3}，集合B={x1-a≤x≤1+a. (1)当a=1时，求(AB)nA; (2)若x∈B是x∈A的充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1)(AB)∩A={x|-2≤x<0或2<x≤3} (2(-0,2] 【分析】(1)根据集合的运算法则进行运算 (2)把问题转化成两个集合的包含关系求参数的取值范围， 【详解】(1)当a=1时，集合B={x1-1≤x≤1+1}={x0≤x≤2} 因为全集是R,所以B={xx<0或x>2} 又因为A={-2≤x≤3}，所以(AB)OA={x|-2≤x<0或2<x≤3}. (2)因为x∈B是x∈A的充分条件，所以B∈A. 当B=☑时，1-a>1+a,解得a<0,满足B≤A. 当B≠☑时，1-a≤1+a,即a≥0. 1-a2-2 又因为BA,所以 →0≤a≤2. 1+a≤3 综上，a的取值范围是(-o,2] 17.(15分)已知集合A={x1<x<3},集合B={x2m<x≤1-m. (I)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围： (2)若命题“x∈B,都有x∈A”是真命题，求实数m的取值范围： (3)若命题“x∈A,x∈B”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)(-0，-2] (3)(-0,0) 【分析】(1)由题意得A是B的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. (2)由已知条件得集合A,B的关系，然后按照B=☑和B≠O分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. (3)方法一：由题意A∩B≠☑，然后根据集合关系列不等式组求解即可. 方法二：由题意A∩B≠☑，先求A∩B=②时m的取值范围，求解时按照B=☑和B≠☑分类讨论，根据集 合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可。 【详解】(1)若“x∈A”是“x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集， 2m≤1 所以 1-m≥3’解得m≤-2， 所以实数m的取值范围为(-o,-2] (2)若命题“x∈B,都有x∈A”是真命题，则B是A的子集. 当B=②时，满足BcA,此时2m31m,得m≥3 2m<1-m 当B≠☑时，若B三A,则 2m≥1，不等式组无解. 1-m<3 综上，实数m的取值范围为 30 (3)方法：“r∈4，x∈B是真命题，则A门B≠②，所以B≠②，所以m<写 2m<3 所以1-m>1,解得m<0,所以实数m的取值范围为(-o,0). 1 m3 方法二：“x∈A,xeB"”是真命题，则A∩B≠☑. 当A门8=0时，若8=0，则m之： 1 1 m<- 3,解得0≤m< m<- 若B≠0，则”3或 2m≥31-m≤1 综上，当A∩B=☑时，m≥0. 所以当A∩B≠☑时，m<0,即实数m的取值范围为(-o,0) 18.(17分)已知集合A={x0≤x≤2}，B={xa-3≤x≤a} (1)当a=1时，求AB,δR（AUB): (2)若AUB=B,求实数a的取值范围. 【答案】(I)AUB={x-2≤x≤2}，ǚ（AUB)={x|x<-2或x>2} (2)[2,3] 【分析】(1)通过代入a=1确定集合B,再分别求交集和并集的补集. (2)由并集关系转化为子集关系，列出不等式组求解参数范围。 【详解】(1)当a=1时，B={x-2#x1} A∩B={x|0≤x≤I,AUB={x|-2≤x≤2}， 故d（AUB)={x|x<-2或x>2} a-3≤0 (2)由AUB=B,得ACB,则 a≥2，解得2sas3, 即实数a的取值范围是[2,3]. 19.(17分)已知集合A={a,a2,…a}(k≥2)，其中a,∈Z(i=1,2,…k),由A中元素可构成两个点集P和 Q:P={(x,y)x∈A,y∈A,x+y∈A,Q={(x,y)x∈Ay∈A,x-y∈A,其中P中有m个元素，Q中有n个 元素新定义1个性质G:若对任意的x∈A,必有-xA,则称集合A具有性质G (1)已知集合J={0,1,2,3}}与集合K={-1,2,3}和集合L={yy=x2-2x+2,判断它们是否具有性质G,若有， 则直接写出其对应的集合P,Q;若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G,若k=2024,求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是m=n的什么条件并证明. 【答案】(1)集合J,L不具有性质G:集合K具有性质G,对应集合P={(-1,3),(3,-1)},Q={(2,-1),(2,3)}: (2)2047276: (3)充分不必要条件 【分析】(1)根据定义做出判断，直接写出集合P,Q (2)利用定义，探讨出k与n的关系式，代入求值. (3)利用充分条件、必要条件的定义，结合集合P与Q集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】(1)①集合0∈J,不符合定义故J不具有性质G: ②集合K具有性质G,对应集合P={(-1,3),(3,-1)},Q={(2,-1),(2,3)}: ③集合L不是整数集所以不具有性质G (2)由题意可知集合A的元素构成有序数对(a,a,)(i,j∈N,i≤k,j≤k),共有k2个， 0EA,.(a,a）EQ 又a∈A时，-aEA,∴.(a,a)eQ时候，（a,a)E2, ÷集合0的元素个数不超过k=2047276个， 2 取A={1,2,,2024},则9中元素的个数为2047276个， 故Q中元素的个数最多2047276. 故答案为：2047276 (3)1)当集合A具有性质G时， ①对于(a,b)eP,根据定义可知：a∈A,b∈A,a+b∈A,又因为集合A具有性质G,则(a+b,a)∈Q, 如果(a,b),(c,d)是P中的不同元素，那么a=c,b=d中至少有一个不成立，于是b=d,a+b=c+a中至少有 一个不成立，故(a+b,b)和(c+d,d)也是Q中不同的元素，可见P的元素个数不多于Q的元素个数，即m≤n, ②对于(a,b)∈Q,根据定义可知：a∈A,b∈A,a-b∈A,又因为集合A具有性质G,则(a-b,b)∈P, 如果(a,b),(c,d)是Q中的不同元素，那么a=c,b=d中至少有一个不成立，于是b=d,a-b=c-d中至 少有一个不成立，故(a-b,b)和(c-d,d)也是P中不同的元素，可见Q的元素个数不多于P的元素个数，即 n≤m, 由①②可知m=n 2)集合A={-1,1,2,3},则P={(-1,2),(2,-1),(-1,3),(3,-1),L,10),(1,2),(2,1)}, 9={(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(1,-1),(3,1),(2,-1)},满足m=n,而集合A不具有性质G, 所以集合A具有性质G是m=n的充分不必要条件 湘教版高中数学必修第一册第1章：集合与逻辑 综合检测卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设集合，则（    ） A． B． C． D． 4．对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 5．已知，，则“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．命题“”的否定是：（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合满足⫋，则满足条件的集合A的个数为（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．7个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．若，则 10．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（   ） A．若x，y是偶数，则是偶数 B．若方程有实根，则 C．若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等 D．若集合，则 11．下列说法正确的是（   ） A．是的充分不必要条件 B．若集合中只有一个元素，则 C．已知，则 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为3 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是 ． 13．已知集合，若，则实数的取值范围是 14．方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 16．（15分）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围． 17．（15分）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 18．（17分）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 19．（17分）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素.新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质 (1)已知集合}与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由; (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件并证明. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学必修第一册第1章：集合与逻辑 综合检测卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据集合的概念、元素与集合的关系、子集的定义进行判断即可. 【详解】表示实数，是实数，所以，所以①正确； 表示有理数，有理数是能够表示为两个整数的比，所以，所以②正确； 0表示元素，表示集合，所以表示方式有误，所以③错误； 表示自然数，0是自然数，所以，所以④错误； 因为无法表示为两个整数的比，且其小数部分无限不循环，所以，所以⑤错误； 表示整数集，是整数，所以，所以⑥正确； 因为空集是任何集合的子集，所以，所以⑦正确；综上，正确的有①②⑥⑦共4个. 故选：B. 2．已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系直接得到参数的取值范围. 【详解】因为，，且，所以，即实数的取值范围是. 故选：C 3．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由补集、交集的概念即可得解. 【详解】因为集合，， .故选：B. 4．对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【详解】对于A项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，若，则对，则，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误. 故选：D 5．已知，，则“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则或，所以由推不出，，故充分性不成立； 由，推得出，故必要性成立；所以“”是“，”的必要不充分条件. 故选：C 6．命题“”的否定是：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定， 命题“”的否定是：. 故选：D 7．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义即可得到答案. 【详解】集合表示所有的奇数， 则. 故选：D. 8．已知集合满足⫋，则满足条件的集合A的个数为（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．7个 【答案】D 【分析】根据集合中的元素个数分类讨论即可求解. 【详解】由⫋有： 当集合中有3个元素时，可以为，共3个 当集合中有4个元素时，可以为，共3个， 当集合中有5个元素时，为，共1个， 所以满足条件的集合A的个数为个， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用元素与集合的关系判断A，利用相等集合的概念判断BC；利用集合相等，结合集合元素的互异性求解即可判断D. 【详解】对于A，不是的元素，，故A错误； 对于B，集合表示所有2的整数倍的数组成的集合即偶数集， 集合表示为整数的数组成的集合，则， 即，也是偶数集，所以两个集合相等，故B正确； 对于C，集合，而集合，不是同一集合，故C错误． 对于D，由，由可知，所以， 则，所以，解得或， 由集合元素的互异性可知，所以.故D正确． 故选：BD 10．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（   ） A．若x，y是偶数，则是偶数 B．若方程有实根，则 C．若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等 D．若集合，则 【答案】ABC 【分析】根据充分条件的定义分别判断各个选项即可. 【详解】A．由x，y是偶数，能推出是偶数，则p是q的充分条件； B．方程有实根，则p是q的充分条件； C．由一个四边形是矩形，能够得到该四边形的对角线相等，则p是q的充分条件； D．由真子集的定义知，推不出则p不是q的充分条件． 故选:ABC． 11．下列说法正确的是（   ） A．是的充分不必要条件 B．若集合中只有一个元素，则 C．已知，则 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为3 【答案】ABC 【分析】对于A选项，利用充分条件和必要条件进行分析得解；对于B选项，讨论方程中二次项的系数是否为零，分类讨论求解，在二次项系数不为0的时候，方程的判别式为0，从而得到的值；对于C选项，直接求命题的否定即可得解；对于D选项，利用得到，再求出的子集就是，从而得到的个数． 【详解】对于A选项：有理数是实数，但是实数不一定是有理数， 是的充分不必要条件，则A选项正确； 对于B选项：若中只有一个元素， 当时，方程无解，不满足中只有一个元素； 当时，中只有一个元素，则有， 解得（舍去）或．B选项正确； 对于C选项：，， ，，故C选项正确； 对于D选项：集合为， 的个数为4，则D选项错误． 故选：ABC． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】解一元二次不等式得到解集，根据充分不必要条件可知是的真子集，列不等式组求k的范围． 【详解】由，则， 由，则或， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 则或，即或．故答案为：或． 13．已知集合，若，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据交集运算结果转化为包含关系即可得解. 【详解】因为，所以，所以，故答案为： 14．方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据子集个数判断元素个数，利用判别式即可求解. 【详解】因为方程的解集有且仅有两个子集， 所以方程有两个相等实数解， 所以，即，解得，即.故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)，，，. (3) 【分析】（1）由，可求得，即可求解； （2）由，即可求出相应的子集； （3）由，结合（2）分别对进行讨论，从而求解. 【详解】（1）由，所以，得，则，解得或，所以. （2）由，所以集合的子集为：，，，. （3）由，由集合的子集为：，，，. 当时，即，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上：实数的取值范围为. 16．（15分）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合的运算法则进行运算. （2）把问题转化成两个集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合 因为全集是，所以或． 又因为，所以或． （2）因为是的充分条件，所以． 当时，，解得，满足． 当时，，即． 又因为，所以. 综上，的取值范围是． 17．（15分）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 18．（17分）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）通过代入确定集合，再分别求交集和并集的补集. （2）由并集关系转化为子集关系，列出不等式组求解参数范围. 【详解】（1）当时， ，， 故或. （2）由，得，则，解得， 即实数的取值范围是. 19．（17分）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素.新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质 (1)已知集合}与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由; (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件并证明. 【答案】(1)集合不具有性质；集合具有性质，对应集合，； (2)2047276； (3)充分不必要条件. 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）①集合，不符合定义故不具有性质； ②集合具有性质，对应集合，； ③集合不是整数集所以不具有性质. （2）由题意可知集合的元素构成有序数对，共有个， ∵，∴ 又∵时，，∴时候，， ∴集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 故中元素的个数最多. 故答案为：2047276 （3）1）当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知 2）集合，则， ，满足，而集合不具有性质， 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $