高一数学上学期期中模拟（湘教版2019必修第一册第1～3章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年高一数学上学期期中 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是实数集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由韦恩图可得阴影部分表示的集合是，再利用补集与交集定义计算即可得. 【详解】由图可得图中阴影部分表示的集合为， 由，则或， 又，则. 故选：D. 2．命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先根据全称量词命题“”的否定是存在量词命题“”，得出已知命题的否定形式，进而判断选项得出答案． 【详解】全称量词命题“”的否定是存在量词命题“”， 全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”． 故选：A． 3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分式不等式合理变形，再求解集即可. 【详解】因为，所以， 解得，故D正确. 故选：D 4．下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本函数的性质，分别求得选项中函数的值域，结合题意，即可求解. 【详解】对于A，由，则函数的值域为，所以A错误； 对于B，由，则函数在时，则，则函数的值域为，所以B错误； 对于C，函数的定义域为，函数，则函数的值域不连续，所以C错误； 对于D，由函数，函数的值域为，符合题意，所以D正确. 故选：D. 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念列出不等式求解即可. 【详解】由题，可得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 6．已知，定义运算“”， ，设则的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由新定义写出分段函数，再分段求出函数值的范围后可得. 【详解】由题意得， 时，，时，， 所以的值域为 故选：C. 7．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用方程组法消去，得出的解析式即可. 【详解】由，以替代，可得， 联立，消去，得. 故选：A. 8．高斯，著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称，函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题设定义，分，，，和五种情况讨论，即可求解. 【详解】若，则，即，又，此时不等式无解， 若时，则，由，得到， 解得，所以， 若时，则，由，得到， 解得，所以， 若时，则，由，得到， 解得，此时， 当时，，又，而，由，得到， 所以时，不等式无解， 综上所述，或， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】代入求值判断A，求出判断BC，求出判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 函数的定义域为R，，且不恒为零，故B正确，C错误； 当时，，故D正确. 故选：ABD 10．函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】变形给定函数，再利用反比例函数单调性，分类讨论求出单调区间，进而判断列式求解. 【详解】函数的定义域为， 当，即时，函数在上单调递减，不符合题意； 当，即时，为常数函数，不符合题意； 当，即时，函数在上单调递增， 由函数在上单调递增，得，且， 因此，且，AC错误，BD正确. 故选：BD 11．已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数在上是减函数 D． 【答案】ABC 【分析】采用赋值法可判断AB的真假；证明函数在上的单调性，判断C的真假，研究的值，判断D的真假. 【详解】对A：令得： ，故A正确； 对B：由题意，故B正确； 对C：设，则 ， 因为，所以，即，所以函数在上是减函数，故C正确； 对D：因为，所以，故D错误. 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则函数的最小值 . 【答案】5 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，则，故，当且仅当，即时取到等号， 故的最小值为5， 故答案为：5 13．已知函数，．若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由题意可知，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出，即可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知， 因为函数在上单调递增，故当时，， 当时，，则恒成立； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，则在上单调递减， 故当时，，则，解得，此时； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线，则在上单调递增， 故当时，，则，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．已知，．用表示m，n中的最小者，记函数．若函数至少有3个零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】由可得，要使函数至少有3个零点， 则函数至少有一个零点，， 所以或，①当时，， 作出函数、的图象， 此时函数只有两个零点，不合乎题意， ②当时，设函数的两个零点分别为、（）， 要使函数至少有个零点， 则，所以， 所以，③当时，， 作出函数、的图象， 由图可知函数的零点个数为，合乎题意， ④当时，设函数的两个零点分别为、（）， 要使函数至少有个零点，则， 可得，解得， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知集合，集合. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用集合的交并补集的运算即可求解； （2）由，可得，分，两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）若，则， 因为，所以. 因为，所以. （2）若，则， ①当时，，解得. ②当时，，解得或. 综上，实数的取值范围为. 16．已知不等式的解集为或． (1)求，的值； (2)关于的不等式的解集中恰有2个整数，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定的解集，利用韦达定理列式求解. （2）由（1）的结论，按分类求出不等式的解，进而求出范围. 【详解】（1）由不等式的解集为或，得，且是方程的二根， 则，所以. （2）由（1）知，不等式为， 依题意，不等式的解集中恰有2个整数，则， 当时，解，得，则； 当时，解，得，则， 所以实数的取值范围是. 17．大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品． (1)假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； (2)如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益． 【答案】(1)答案见详解 (2)商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元 【分析】（1）由题意可知，分别代入和运算求解即可； （2）设商品投入万元，则商品投入万元，分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. 【详解】（1）因为投入10万元，即， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. （2）设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 18．已知函数是定义在上的函数，且． (1)用定义证明：函数在区间上是减函数； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据可求出a的值，即得的解析式，根据函数单调性定义，即可证明结论； （2）利用函数的单调性将原不等式转化为关于t的不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知函数是定义在上的函数，且， 则，解得， 故； 任取， 则 ， 由于，故， 则，即， 故函数在区间上是减函数； （2）由不等式，得 结合函数在区间上是减函数， 可得，解得， 即不等式的解集为. 19．若函数在区间上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在区间上的“壹函数”. (1)函数是否在区间上的“壹函数”，并说明理由； (2)已知函数是在上的“壹函数”，求的值； (3)已知函数是在区间上的“壹函数”，求的值. （参考结论：在单调递增，在单调递减，在单调递减，在单调递增） 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）利用分段函数的单调性来求最值，即可作出判断； （2）利用二次函数的单调性求最值，通过“壹函数”定义即可求值； （3）利用对钩函数的单调性，分段讨论区间的位置来求最值，再通过“壹函数”定义即可求值； 【详解】（1）因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，，所以，， 则，所以不是在上的“壹函数”； （2）因为，， 则在上单调递减， 所以，， 因为函数是在上的“壹函数”， 所以，解得. （3）当，即时，在上单调递减， 则，， 所以，解得或（舍去）， 所以，即在上为“壹函数”； 当时在上单调递增，则，， 所以，方程无解，故舍去； 因为，令，即，解得或， 因为，， 所以当时，在的最小值为8，最大值不可能为9，故不符合题意； 当，即时在上单调递减， 则，， 所以，解得（舍去）或， 所以，即在上为“壹函数”； 当时，即时，在上单调递增， 则，， 所以，方程无解，故舍去； 因为，令，即， 解得或， 因为，， 所以当时， 在的最大值为，最小值不可能为，故不符合题意； 综上可得或. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中 提升卷·参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A D D B C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．5 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）若，则， 因为，所以. 因为，所以. （2）若，则， ①当时，，解得. ②当时，，解得或. 综上，实数的取值范围为. 16．（15分） 【解析】（1）由不等式的解集为或，得，且是方程的二根， 则，所以. （2）由（1）知，不等式为， 依题意，不等式的解集中恰有2个整数，则， 当时，解，得，则； 当时，解，得，则， 所以实数的取值范围是. 17．（15分） 【解析】（1）因为投入10万元，即， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元.c （2）设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 18．（17分） 【解析】（1）由题意知函数是定义在上的函数，且， 则，解得， 故； 任取， 则 ， 由于，故， 则，即， 故函数在区间上是减函数； （2）由不等式，得 结合函数在区间上是减函数， 可得，解得， 即不等式的解集为. 19．（17分） 【解析】（1）因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，，所以，， 则，所以不是在上的“壹函数”； （2）因为，， 则在上单调递减， 所以，， 因为函数是在上的“壹函数”， 所以，解得. （3）当，即时，在上单调递减， 则，， 所以，解得或（舍去）， 所以，即在上为“壹函数”； 当时在上单调递增，则，， 所以，方程无解，故舍去； 因为，令，即，解得或， 因为，， 所以当时，在的最小值为8，最大值不可能为9，故不符合题意； 当，即时在上单调递减， 则，， 所以，解得（舍去）或， 所以，即在上为“壹函数”； 当时，即时，在上单调递增， 则，， 所以，方程无解，故舍去； 因为，令，即， 解得或， 因为，， 所以当时， 在的最大值为，最小值不可能为，故不符合题意； 综上可得或. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是实数集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 2．命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．已知，定义运算“”， ，设则的值域是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 8．高斯，著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称，函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 11．已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数在上是减函数 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则函数的最小值 . 13．已知函数，．若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围 ． 14．已知，．用表示m，n中的最小者，记函数．若函数至少有3个零点，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知集合，集合. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 16．已知不等式的解集为或． (1)求，的值； (2)关于的不等式的解集中恰有2个整数，求实数的取值范围． 17．大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品． (1)假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； (2)如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益． 18．已知函数是定义在上的函数，且． (1)用定义证明：函数在区间上是减函数； (2)求不等式的解集． 19．若函数在区间上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在区间上的“壹函数”. (1)函数是否在区间上的“壹函数”，并说明理由； (2)已知函数是在上的“壹函数”，求的值； (3)已知函数是在区间上的“壹函数”，求的值. （参考结论：在单调递增，在单调递减，在单调递减，在单调递增） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $