专题08 方程的应用——数轴上的动点问题（3重难点题型专练）-2025-2026学年新教材人教版七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列

专题08 方程的应用——数轴上的动点问题 题型梳理 题型方法 题型一 距离问题 题型二 相遇问题 题型三 追及问题 题型方法 【题型一】距离问题 【例1】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是2，表示点A与点B之间的距离．若P从点A出发，M从点B出发，P、M同时向数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）数轴上A点对应，B点对应30．电子蚂蚁甲、乙在B处分别以每秒3个单位、1个单位的速度向左运动，电子蚂蚁丙在A处以每秒5个单位的速度向右运动，若它们同时出发，则运动 秒后，丙到乙的距离是丙到甲的距离的3倍． 【变式2】（25-26七年级上·贵州遵义·期中）如图，数轴上的点，，分别表示有理数，1，6．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)点与点的距离_____，点与点的距离_____． (2)到点的距离为4的点表示的数是_____，点向左移动了8个单位长度得到点，点表示的有理数为_____． (3)，两点同时在数轴上向右运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1.5个单位长度，多少秒后，，两点相距2个单位长度？ 【变式3】（25-26七年级上·河南平顶山·期中）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为和12，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)当时，数轴上的点P、Q表示的数分别是______和______； (2)当时，求P、Q两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间t使A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【题型二】相遇问题 【例2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）数轴上有、、三个动点，其中点，点在起始位置所表示的数分别为6和，点在、两点之间．点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动；点以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点相遇后立即返回向左运动，与点相遇后又立即返回向右运动，依此方式在、两点之间往返运动，若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ． 【举一反三】【变式1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）已知、两点在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点个单位长度． (1)直接写出点所对应的数：______； (2)当点到点、的距离之和是个单位时，求点所对应的数； (3)现在有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点所对应的数． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为12，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)2秒后，点表示的数为_____，点表示的数为_____； (2)求运动几秒后，、两点相遇？相遇点表示的数是多少？ (3)在、运动过程中，当、两点之间的距离为2个单位长度时，求出运动时间，并求出此时点表示的数． 【变式3】（25-26七年级上·吉林·阶段练习）已知数轴上有A，B两点，分别代表，20，甲，乙两人分别从A，B两点同时出发，甲沿线段以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿方向以3个单位长度/秒的速度向左运动．运动时间为t秒． (1)A，B两点间的距离为_________个单位长度；乙到达A点时共运动了_________秒． (2)t秒后，甲在数轴上的位置是_________，乙在数轴上的位置是_________．（用含t的式子表示） (3)甲，乙在数轴上的_________相遇？ (4)多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？ (5)若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由． 【题型三】追及问题 【例3】（23-24七年级上·湖南郴州·期末）如图，在数轴的原点处有甲、乙两只电子蚂蚁，它们都向右爬行，已知甲蚂蚁的速度是每秒爬2个单位长度，乙蚂蚁的速度是每秒爬3个单位长度，现在甲蚂蚁先爬行5秒，乙蚂蚁再出发，当乙蚂蚁追上甲蚂蚁时，此时甲、乙蚂蚁的位置用有理数表示为（    ） A．15 B．25 C．30 D．50 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，点在点的左边，点为数轴上一动点，对应的数为．如果多项式的二次项系数正好是，常数项是． (1)请直接写出： ， ； (2)在数轴上是否存在点到点、点的距离之和为20？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)一小球甲从点处以1个单位长度/秒的速度向左运动，2秒后，另一小球乙从点处以3个单位长度/秒的速度也向左运动，设小球甲运动的时间为秒．请直接写出乙小球追上甲小球时的值及在追上甲小球前它们与原点的距离相等时的值． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点，，均在数轴上，且点到原点的距离为个单位长度，点是线段的中点，点是线段的中点．已知动点从点出发，以每秒个单位长度的速度一直向右运动，且当点运动到点时，点从点点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设点运动的时间为秒． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)在点运动过程中，当为何值时，点追上了点？ (3)在点运动的过程中，当为何值时，，两点之间的距离为个单位长度？ 【变式3】（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）若一数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的速度，则称这条数轴为神奇数轴． 如图，已知一神奇数轴上有，，三点，其中，对应的数分别为，0，为55个单位长度，甲，乙分别从，两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，甲的速度为3个单位秒，乙的速度为1个单位秒，甲到达点后以当时速度立即返回，当甲回到点时，甲、乙同时停止运动．    (1)点B对应的数为______，甲出发______秒后追上乙（第一次相遇） (2)当甲到达点B立即返回后第二次与乙相遇，求出相遇点在数轴上表示的数是多少？ (3)甲、乙同时出发多少秒后，二者相距3个单位长度？（直接写出答案） 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·四川南充·期末）如图，数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为8，点从点出发以每秒1个单位长度的速度在射线上向点运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上先向点运动，当与点相遇后立刻改变方向仍以原速与点同向运动．当时，点表示的有理数为（） A．0 B． C．或0 D．或 2．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 二、填空题 3．（22-23七年级上·甘肃定西·期末）数轴上，两点对应的数分别为和90，假如两只蚂蚁分别从，两点出发，分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度匀速相向而行，经过 秒，两只蚂蚁相遇． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期中）点A、B在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁分别从A、B两点同时出发，沿着数轴以相同的速度相向而行，当两只蚂蚁相遇在点P时，点P在数轴上表示的数是 ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 6．（25-26七年级上·河南·阶段练习）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 三、解答题 7．（25-26七年级上·北京·期中）如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为8，点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)填空： ①A，B两点间的距离___________，到点和点距离相等的点表示的数为___________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)当___________时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为___________． 8．（22-23七年级上·全国·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为20，甲在A点，乙在B点，甲的速度是每秒5个单位，乙的速度是每秒3个单位，小狗的速度是每秒20个单位． (1)点A与点B之间的距离是　 　． (2)若甲、乙两人同时同向（向右）而行，几秒钟甲追上乙？ (3)若甲、乙两人同时相向而行，在C点相遇，求点C表示的数并在数轴上表示出来？ (4)若小狗随甲同时同地向右出发，当小狗碰到乙时，乙才开始出发，乙和小狗同时向甲方向前进，当小狗再次碰到甲时又向乙方向跑，碰到乙的时候再向甲方向跑，就这样一直跑下去，直到甲、乙两人相遇为止，问这只小狗一共跑了多少路程？ 9．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）如图，已知A、B两点在数轴上，点A在原点O的左边，表示的数为，点B在原点的右边，且点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右运动，同时，点N以每秒2个单位长度的速度从点O出发向右运动． (1)数轴上点B对应的数是 ，点B到点A的距离是 ； (2)经过几秒，点M，N的距离为5？ (3)经过几秒，点M，N分别到点B的距离相等？ 10．（22-23七年级上·福建厦门·期中）（1）若数轴上对应点A表示数a，点A向右平移5个单位后的对应点表示的数是 　　，A点向左平移2个单位后的对应点表示的数是 　　．（用字母a表示） （2）假如在数轴上有两个点M，N，两点表示的数是，6，这二点同时出发，M以每秒2个单位向左平移，N以每秒4个单位向左平移，平移后，经过t秒后，M和N两点表示的数是 　　和 　　．（用字母t表示） （3）在（2）条件下，当t为何值时，N点追上M点． 11．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“7格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为 ； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“7格距点”，则这样的整点P有 个； (3)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 12．（25-26七年级上·山东日照·阶段练习）如图，，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且与互为相反数．现有一动点以个单位长度/秒的速度从点出发，同时另一动点恰好以个单位长度/秒的速度从点出发： (1)______；______． (2)若点向左运动，同时点向右运动，在数轴上的点相遇，求点对应的数； (3)若点向左运动，同时点向左运动，在数轴上的点相遇，求点对应的数； (4)若点向左运动，同时点向右运动，当点与点之间的距离为个单位长度时，求此时点所对应的数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 方程的应用——数轴上的动点问题 题型梳理 题型方法 题型一 距离问题 题型二 相遇问题 题型三 追及问题 题型方法 【题型一】距离问题 【例1】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是2，表示点A与点B之间的距离．若P从点A出发，M从点B出发，P、M同时向数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 【详解】解：设运动时间为t，则t秒后点P表示的数为，点M表示的数为， 当点P在点M左侧时，， 解得：； 当点P在点M右侧时，， 解得：； 综上分析可知，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为秒或秒， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）数轴上A点对应，B点对应30．电子蚂蚁甲、乙在B处分别以每秒3个单位、1个单位的速度向左运动，电子蚂蚁丙在A处以每秒5个单位的速度向右运动，若它们同时出发，则运动 秒后，丙到乙的距离是丙到甲的距离的3倍． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间距离，数轴上动点问题．根据题意设后，丙到乙的距离是丙到甲距离的3倍，根据题意列出关于的方程解答即可． 【详解】解：设后，丙到乙的距离是丙到甲距离的3倍， ∵数轴上A点对应，B点对应30， ∴B到A的距离为， ①在电子蚂蚁丙与甲相遇前，，此时； ②在电子蚂蚁丙与甲相遇后，，此时； 综上所述，当或时，使丙到乙的距离是丙到甲距离的3倍． 故答案为：或． 【变式2】（25-26七年级上·贵州遵义·期中）如图，数轴上的点，，分别表示有理数，1，6．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)点与点的距离_____，点与点的距离_____． (2)到点的距离为4的点表示的数是_____，点向左移动了8个单位长度得到点，点表示的有理数为_____． (3)，两点同时在数轴上向右运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1.5个单位长度，多少秒后，，两点相距2个单位长度？ 【答案】(1)， (2)或， (3)秒或秒后，，两点相距2个单位长度 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）分别根据数轴上两点之间的距离公式和数轴上的点移动规律“左减右加”求解即可； （3）设运动时间为秒，由题意得，解方程即可． 本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，数轴上两点之间的距离等知识点，正确运用数轴上两点之间的距离公式求解是解题的关键． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，． （2）若该点在点的左侧：， 若该点在点的右侧：； ； 故答案为：或，． （3）设运动时间为秒， 则点表示有理数，点表示有理数， 由条件得， 即， 解得或， 则秒或秒后，，两点相距2个单位长度 【变式3】（25-26七年级上·河南平顶山·期中）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为和12，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)当时，数轴上的点P、Q表示的数分别是______和______； (2)当时，求P、Q两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间t使A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4 (2)15 (3)存在，t的值为4或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，熟悉掌握数轴上两点之间的距离的求解是解题的关键． （1）列出含的表达式，代入运算即可； （2）根据表达式代入运算即可； （3）根据数轴上两点间距离公式得到，由A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等建立方程求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴当时，， 故答案为：；； （2）解：把代入，可得： ，， ∴； （3）解：存在， 由题意得，， ∴A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等时，， ∴，或 解得或 ∴t的值为4或 【题型二】相遇问题 【例2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）数轴上有、、三个动点，其中点，点在起始位置所表示的数分别为6和，点在、两点之间．点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动；点以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点相遇后立即返回向左运动，与点相遇后又立即返回向右运动，依此方式在、两点之间往返运动，若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ． 【答案】/ 间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，由两点相遇时表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ， 相遇点所表示的数为． 故答案为：． 【举一反三】【变式1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）已知、两点在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点个单位长度． (1)直接写出点所对应的数：______； (2)当点到点、的距离之和是个单位时，求点所对应的数； (3)现在有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点所对应的数． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查数轴上的点的表示，数轴上两点之间的距离等知识，解题的关键在于根据题意列方程． （1）根据对应的数是，点在的右边，且距点个单位长度，可列式为即可求值； （2）设点所对应的数为，分情况讨论，列方程求值即可； （3）先求出相遇时的时间，再算点所对应的数即可． 【详解】（1）解：由题意得，，即点所对应的数为． 故答案为：． （2）解：设点所对应的数为， 当点在点左侧时，可列方程：， 解得，； 当点在点、之间时，此时，，故舍去； 当点在点右侧时，可列方程：， 解得，． 综上，点所对应的数为或． （3）解：设运动时间为秒， 根据题意可列方程：， 解得，． 点所对应的数为：． 答：点所对应的数为． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为12，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)2秒后，点表示的数为_____，点表示的数为_____； (2)求运动几秒后，、两点相遇？相遇点表示的数是多少？ (3)在、运动过程中，当、两点之间的距离为2个单位长度时，求出运动时间，并求出此时点表示的数． 【答案】(1)，8． (2)当时，、两点相遇，相遇点表示的数是4． (3)t的值为，此时点Q表示的数是或t的值为，此时点Q表示的数是． 【分析】本题主要考查了列代数式、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，熟练地利用方程思想解决问题是解题的关键． （1）直接根据题意列出代数式即可； （2）由题意得求出t的值，然后代入计算即可； （3）分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：2秒后，点表示的数为：，点表示的数为：． 故答案为：，8． （2）解：设运动t后，、两点相遇， ，解得：， 将代入得：， ∴当时，、两点相遇，相遇点表示的数是4． （3）解：设运动t后，、两点之间的距离为2个单位长度， 当点在点左侧时，，解得：， ∴； 当点在点右侧时，，解得：． ∴； 综上，当、两点之间的距离为2个单位长度时，t的值为，此时点Q表示的数是或t的值为，此时点Q表示的数是． 【变式3】（25-26七年级上·吉林·阶段练习）已知数轴上有A，B两点，分别代表，20，甲，乙两人分别从A，B两点同时出发，甲沿线段以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿方向以3个单位长度/秒的速度向左运动．运动时间为t秒． (1)A，B两点间的距离为_________个单位长度；乙到达A点时共运动了_________秒． (2)t秒后，甲在数轴上的位置是_________，乙在数轴上的位置是_________．（用含t的式子表示） (3)甲，乙在数轴上的_________相遇？ (4)多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？ (5)若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)80，； (2)；； (3)； (4)秒或秒时，甲、乙相距个单位长度； (5)甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是． 【分析】此题考查了数轴上两点间距离、数轴上动点问题、一元一次方程的应用等知识，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． （1）根据两点间距离求出，再求出运动时间即可； （2）根据路程等于速度乘以时间，结合数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）甲，乙相遇时，二者表示的数相同，根据（2）所求列出方程，解方程即可； （4）根据数轴上两点距离计算公式列方程求解即可； （5）根据乙到达点需要秒，求出甲位于，求出乙追上甲需要秒，求出此时相遇点的数即可． 【详解】（1）解：由题意得，、两点的距离为个单位长度， ∴乙到达点时共运动了秒； 故答案为：，； （2）解：∵甲，乙两人分别从A，B两点同时出发，甲沿线段以1个单位长度/秒的速度向右运动，乙沿方向以3个单位长度/秒的速度向左运动， ∴运动t秒后，甲在数轴上的位置是，乙在数轴上的位置是， 故答案为：；； （3）解：根据题意得， 解得， ． ∴甲，乙在数轴上的相遇， 故答案为：； （4）解：由题意得，， ∴或， 解得或， ∴秒或秒时，甲、乙相距个单位长度； （5）解：乙到达点需要秒，此时甲位于， 乙追上甲需要秒， 此时相遇点的数是， 故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是． 【题型三】追及问题 【例3】（23-24七年级上·湖南郴州·期末）如图，在数轴的原点处有甲、乙两只电子蚂蚁，它们都向右爬行，已知甲蚂蚁的速度是每秒爬2个单位长度，乙蚂蚁的速度是每秒爬3个单位长度，现在甲蚂蚁先爬行5秒，乙蚂蚁再出发，当乙蚂蚁追上甲蚂蚁时，此时甲、乙蚂蚁的位置用有理数表示为（    ） A．15 B．25 C．30 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用； 设乙蚂蚁爬行的时间为t，根据乙蚂蚁追上甲蚂蚁时，甲、乙蚂蚁表示的数相同列方程求出t的值，然后再计算此时甲、乙蚂蚁的位置表示的数即可． 【详解】解：设乙蚂蚁爬行的时间为t， 由题意得：， 解得：， ∴， 即此时甲、乙蚂蚁的位置用有理数表示为30， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，点在点的左边，点为数轴上一动点，对应的数为．如果多项式的二次项系数正好是，常数项是． (1)请直接写出： ， ； (2)在数轴上是否存在点到点、点的距离之和为20？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)一小球甲从点处以1个单位长度/秒的速度向左运动，2秒后，另一小球乙从点处以3个单位长度/秒的速度也向左运动，设小球甲运动的时间为秒．请直接写出乙小球追上甲小球时的值及在追上甲小球前它们与原点的距离相等时的值． 【答案】(1)，8 (2)或12 (3)乙小球追上甲小球时秒；乙小球在追上甲小球前它们与原点的距离相等时秒． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴及化简绝对值，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据多项式的定义求解即可； （2）依题意得，分类讨论：当时，当时，当时，化简绝对值即可求解． （3）分类讨论：当甲，乙两小球到原点的距离相等时和乙小球追上甲小球时利用距离相等为等量关系列出式子即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式的二次项系数正好是，常数项是， ∴，， 故答案为：，8； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 当时，， 解得：； 当时，， 即：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：， 综上所述：或12； （3）解：当甲，乙两小球相遇前，两小球到原点的距离相等时， 依题意得：， 解得：（秒）； 当甲、乙两小球相遇时， 依题意得：， 解得：（秒）， 此时甲、乙两小球与原点的距离为：， 综上所述：乙小球追上甲小球时秒；乙小球在追上甲小球前它们与原点的距离相等时秒． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点，，均在数轴上，且点到原点的距离为个单位长度，点是线段的中点，点是线段的中点．已知动点从点出发，以每秒个单位长度的速度一直向右运动，且当点运动到点时，点从点点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设点运动的时间为秒． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)在点运动过程中，当为何值时，点追上了点？ (3)在点运动的过程中，当为何值时，，两点之间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)，， (2)秒 (3)秒或秒 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据题意并结合数轴即可求解； （2）由题意可知，在点运动过程中，点运动的时间为秒，则点运动的时间为秒，根据题意列方程即可求解； （3）在点运动的过程中，点运动的时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，根据两点间的距离公式列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点到原点的距离为个单位长度，且点在原点的左侧， 点表示的数为， ∵点是线段的中点， 点表示的数为， ∵点是线段的中点， 点表示的数为， 故 答 案 为：，，； （2）由题意可知：， 在点运动过程中，点运动的时间为秒， 则点运动的时间为秒， 由题意得：， 解得：， 故当为秒时，点追上了点； （3）在点运动的过程中，点运动的时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为． ∵，两点之间的距离为个单位长度， ， 解得：或， 故在点运动的过程中，当为秒或秒时，，两点之间的距离为个单位长度 【变式3】（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）若一数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的速度，则称这条数轴为神奇数轴． 如图，已知一神奇数轴上有，，三点，其中，对应的数分别为，0，为55个单位长度，甲，乙分别从，两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，甲的速度为3个单位秒，乙的速度为1个单位秒，甲到达点后以当时速度立即返回，当甲回到点时，甲、乙同时停止运动．    (1)点B对应的数为______，甲出发______秒后追上乙（第一次相遇） (2)当甲到达点B立即返回后第二次与乙相遇，求出相遇点在数轴上表示的数是多少？ (3)甲、乙同时出发多少秒后，二者相距3个单位长度？（直接写出答案） 【答案】(1)45，5 (2)相遇点在数轴上表示的数是25； (3)甲、乙同时出发秒或秒或秒或秒后，二者相距3个单位长度． 【分析】本题考查了数轴的动点问题，一元一次方程的应用，掌握题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式可求点对应的数，可设甲出发秒后追上乙（即第一次相遇），根据速度差时间路程差，路程方程求解即可； （2）先求出第二次与乙相遇需要的时间，进一步可求相遇点在数轴上表示的数； （3）分第一次相遇前后相距3个单位长度，第二次相遇前后相距3个单位长度，进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：甲到达点需要秒, 点对应的数为， 设甲出发秒后追上乙（即第一次相遇）， 依题意有， 解得， 故甲出发5秒后追上乙（即第一次相遇）． 故答案为：45；5； （2）解：第一次相遇时，甲对应的数字是：， 距离点距离为：， 从第一次相遇到下一次相遇的时间是：（秒， ∵． 故相遇点在数轴上表示的数是25； （3）解：第一次相遇前后相距3个单位长度， 第一次相遇前时间是：（秒）， 第一次相遇后时间是：（秒）， 第二次相遇前后相距3个单位长度， 第二次相遇前时间是：（秒）， 第二次相遇前时间是：（秒）． 故甲、乙同时出发秒或秒或秒或秒后，二者相距3个单位长度． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·四川南充·期末）如图，数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为8，点从点出发以每秒1个单位长度的速度在射线上向点运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上先向点运动，当与点相遇后立刻改变方向仍以原速与点同向运动．当时，点表示的有理数为（） A．0 B． C．或0 D．或 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程解应用、数轴上的动点问题及两点间的距离，掌握分情况列方程是解题关键．分两种情况：当点与点相遇前及当点与点相遇后返回时，分别列方程，解出即可． 【详解】解：设点运动了秒时，， 表示的数为，点表示的数为8， ， 由题意得：点运动了秒时，点与点相遇 当点与点相遇前， ∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ， 点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ， ， ， 解得：， 点表示的有理数为； 当点与点相遇后返回时， ∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ， 点从点出发，与点相遇后立刻改变方向仍以原速与点同向运动， ， ， ， 解得：， 点表示的有理数为； 综上所述，点表示的有理数为或0， 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 【答案】B 【分析】设点C表示的数为，根据题意折叠的意义，结合点A、B表示的数分别是，4，分类解答即可． 本题考查了数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离计算，有理数的加减混合运算，折叠的计算，解方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：设点C表示的数为，点A折叠后的对应点表示的数， 由点、表示的数分别是， 根据折叠的性质，得， 解得， 当在点B的左侧时，根据题意，得， 故； 当在点B的右侧时，根据题意，得， 故； 故点C表示的数为或； 故选：B． 二、填空题 3．（22-23七年级上·甘肃定西·期末）数轴上，两点对应的数分别为和90，假如两只蚂蚁分别从，两点出发，分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度匀速相向而行，经过 秒，两只蚂蚁相遇． 【答案】20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据“两只蚂蚁的路程和等于的长度”列方程求解． 【详解】解：经过秒，两只蚂蚁相遇， 则：， 解得：， 故答案为：20． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期中）点A、B在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁分别从A、B两点同时出发，沿着数轴以相同的速度相向而行，当两只蚂蚁相遇在点P时，点P在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了数轴动点问题，有理数的除法运算，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，根据题意得到当两只蚂蚁相遇在点P时，点P为点A和点B的中点，进而求解即可． 【详解】解：∵两只蚂蚁分别从A、B两点同时出发，沿着数轴以相同的速度相向而行， ∴当两只蚂蚁相遇在点P时，点P为点A和点B的中点 ∴点P在数轴上表示的数是． 故答案为：． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】 40 【分析】此题考查数轴上的点表示的数，一元一次方程式的实际运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． （1）求与90和的一半即是点M表示的数； （2）先求出的长，再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程，求出t的值，可求出P、Q相遇时点P移动的距离，进而可得出C点对应的数； 【详解】解：（1）M点对应的数是：； 故答案为：40； （2）∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90， ， 设t秒后P、Q相遇， ，解得， 此时点P走过的路程为， 此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·河南·阶段练习）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 【答案】26或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意可得该问题可分为两种情况，即可得到等式，求解即可得到结果，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：在点P运动过程中，，即， 分两种情况： ①当点P运动到点A右侧时，， 此时点P表示的数是； ②当点P运动到点A左侧时，设，则， ∵， ∴， 则，则， ∴点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或， 故答案为：26或． 三、解答题 7．（25-26七年级上·北京·期中）如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为8，点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)填空： ①A，B两点间的距离___________，到点和点距离相等的点表示的数为___________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)当___________时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为___________． 【答案】(1)①，；②， (2)当时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4 【分析】本题考查数轴、整式的加减，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）①利用两点间的距离公式，和中点公式，进行求解即可； ②根据速度乘以时间等于路程，利用左减右加，用含的代数式表示点所表示的数即可 （2）根据（1）的结论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①， 到点和点距离相等的点是的中点 线段的中点表示的数为：， 故答案为：，； ②∵点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴秒后，点表示的数为：， ∵点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：依题意，， 解得， ∴当时，，两点相遇， 此时 相遇点所表示的数为4． 8．（22-23七年级上·全国·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为20，甲在A点，乙在B点，甲的速度是每秒5个单位，乙的速度是每秒3个单位，小狗的速度是每秒20个单位． (1)点A与点B之间的距离是　 　． (2)若甲、乙两人同时同向（向右）而行，几秒钟甲追上乙？ (3)若甲、乙两人同时相向而行，在C点相遇，求点C表示的数并在数轴上表示出来？ (4)若小狗随甲同时同地向右出发，当小狗碰到乙时，乙才开始出发，乙和小狗同时向甲方向前进，当小狗再次碰到甲时又向乙方向跑，碰到乙的时候再向甲方向跑，就这样一直跑下去，直到甲、乙两人相遇为止，问这只小狗一共跑了多少路程？ 【答案】(1)80 (2)40秒 (3)见解析 (4)这只小狗一共跑了230个单位长度 【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于右边点表示的数与左边点表示的数的差． （2）甲乙两人运动的时间为秒，由即可解答； （3）设甲乙两人运动的时间为t秒，由即可解答； （4）设小狗运动的时间为t秒．首先求出小狗初次碰到乙的时间，然后在此基础上解出甲乙相遇的时间，即可得出小狗跑的总路程． 【详解】（1）解∶ 点A，点B之间的距离是． 故答案为：80； （2）解∶ 设甲乙两人运动的时间为t秒，根据题意，得 ．解得． 所以，甲、乙两人同时同向（向右）而行，40秒钟甲追上乙． （3）解∶ 设甲乙两人运动的时间为t秒，根据题意，得 ．解得． 所以10秒时，甲乙相遇，此时相遇点C表示的数为． 点C在数轴上表示如下： （4）解∶ 设小狗运动的时间为t秒． 当小狗第一次碰到乙时，．解得． 此时甲乙之间的距离为． 当甲乙相遇时，．解得． 所以这只小狗跑的总路程为． 即这只小狗一共跑了230个单位长度． 【点睛】此题利用一元一次方程解决数轴中的动点问题，难度偏大，关键是根据点的运动轨迹进行列方程解答． 9．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）如图，已知A、B两点在数轴上，点A在原点O的左边，表示的数为，点B在原点的右边，且点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右运动，同时，点N以每秒2个单位长度的速度从点O出发向右运动． (1)数轴上点B对应的数是 ，点B到点A的距离是 ； (2)经过几秒，点M，N的距离为5？ (3)经过几秒，点M，N分别到点B的距离相等？ 【答案】(1)30，40 (2)15秒或5秒 (3)14秒或10秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设数轴上点B对应的数是x，根据点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是，根据点M、N的距离为5，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； 当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是，根据点M、N分别到点B的距离相等，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设数轴上点B对应的数是x， 根据题意得：， 解得：， ∴， 数轴上点B对应的数是30，点B到点A的距离是 故答案为：30，40； （2）根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过15秒或5秒，点M，N的距离为5； （3）解：当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过14秒或10秒，点M、N分别到点B的距离相等． 10．（22-23七年级上·福建厦门·期中）（1）若数轴上对应点A表示数a，点A向右平移5个单位后的对应点表示的数是 　　，A点向左平移2个单位后的对应点表示的数是 　　．（用字母a表示） （2）假如在数轴上有两个点M，N，两点表示的数是，6，这二点同时出发，M以每秒2个单位向左平移，N以每秒4个单位向左平移，平移后，经过t秒后，M和N两点表示的数是 　　和 　　．（用字母t表示） （3）在（2）条件下，当t为何值时，N点追上M点． 【答案】（1）；；（2）；；（3） 【分析】（1）根据阅读材料即可写出答案； （2）根据速度和时间即可写出答案； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）若数轴上对应点B表示数a，B向右平移5个单位后的对应点表示的数是，B点向左平移2个单位后的对应点表示的数是． 故答案为：；． （2）平移后，经过t秒后，M和N两点表示的数是和． 故答案为：和． （3）根据题意得， 解得， ∴当t为4秒时，N点追上M点． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，掌握一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离公式是解题关键． 11．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“7格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为 ； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“7格距点”，则这样的整点P有 个； (3)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1) (2) (3)点P表示的数为，或点P表示的数为， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数与数轴，一元一次方程的应用，解题的关键在于正确理解“n格距点”． （1）根据数轴上两点之间的距离，求出，进而根据“点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，”求解，即可解题； （2）根据题意得到，结合数轴得出整点P的可能取值，进而即可得到满足条件的整点P的个数； （3）根据题意设点P表示的数是，分两种情况①当点在点左侧时，②当点在之间时，结合点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵点P表示的数是2，点A表示的数是，点B表示的数是4， ， ， 故答案为：； （2）解：∵整点P为点A、B的“7格距点”， ， 由数轴可知，整点P可取， 即这样的整点P有个； 故答案为：； （3）解：∵点P在数轴上运动，且满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍， 设点P表示的数是， ①当点在点左侧时， 有， ， 解得， ； ②当点在之间时， 有， ， 解得， ； 综上所述，点P表示的数为，或点P表示的数为，． 12．（25-26七年级上·山东日照·阶段练习）如图，，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且与互为相反数．现有一动点以个单位长度/秒的速度从点出发，同时另一动点恰好以个单位长度/秒的速度从点出发： (1)______；______． (2)若点向左运动，同时点向右运动，在数轴上的点相遇，求点对应的数； (3)若点向左运动，同时点向左运动，在数轴上的点相遇，求点对应的数； (4)若点向左运动，同时点向右运动，当点与点之间的距离为个单位长度时，求此时点所对应的数． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)或． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，考查数轴表示数的意义和方法，相遇问题、追及问题的数量关系及应用，列方程求出相应的时间是解决问题的关键． 根据与互为相反数和绝对值的非负性求出、的值； 设出运动时间为秒，根据点运动的路程点运动的路程和、两点之间的距离列方程求出相遇时间，进而求出点所对应的数； 设出运动时间为秒，根据点运动的路程点运动的路程、两点之间的距离列方程求出追及时间，进而求出点所表示的数； 设出运动的时间为秒，把运动秒时点、对应的数用含的代数式表示出来，利用数轴上两点之间的距离公式列出绝对值方程，解方程求出的值，再根据运动的时间求出点对应的数． 【详解】（1）解：与互为相反数， ，， 解得：，， 故答案为：，； （2）解：设运动的时间是秒， 根据题意可得：， 解得：， 点表示的数是； （3）解：设运动的时间是秒， 根据题意可得：， 解得：， 点表示的数是； （4）解：设运动的时间是秒， 则秒后点表示的数是，点表示的数是， ∵点与点之间的距离为个单位长度， 可得：， 整理得：， 可得：或， 当时， 解得：， 此时点对应的数是， 当时， 解得：， 此时点对应的数是， 点所对应的数是或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $