河南省信阳市罗山县2025—2026学年 九年级上学期期中监测数学试卷

2025—2026学年度上期期中质量监测试卷 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．关于二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象，下列说法正确的是（　　） A．它可由y＝x2﹣2向右平移一个单位得到 B．开口向下 C．顶点坐标是（1，﹣2） D．与x轴有两个交点 3．利用“配方法”解方程x2﹣4x﹣7＝0，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝11 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣4）2＝11 D．（x﹣4）2＝3 4．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 5． 一个等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2﹣9x﹣18＝0的两根，则该三角形的周长是（ ） A．12 B．15 C．12或15 D．9或18 6．若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 7．点A（5，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，5），这种图形变化可能是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．绕原点逆时针旋转90° D．绕原点顺时针旋转90° 8．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆 750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（　　） A．180（1+x）2＝750 B．180（1+x）+180（1+x）2＝750 C．180（1+x+x2）＝750 D．180+180（1+x）+180（1+x）2＝750 9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1＝0没有实数根，则二次函数y＝kx2﹣k的大致图象是（　　） A． B． C． D． 10．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示： x … a ﹣2 ﹣1 ﹣a﹣2 2 … y … 1 ﹣2 ﹣3 1 6 … ①抛物线的对称轴为直线x＝1；②抛物线的开口向上；③抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④该函数图象向上平移2个单位后经过原点；⑤当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是﹣3≤y＜6，其中错误的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.请写一个二次函数表达式，使其图象开口向下，对称轴为直线x=1: 　 　 ． 12.如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数为　 　 ． 13．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为 　 　 ． 14． 某商店售卖一种畅销书，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是　 　 元. 15．如图所示，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；⋯如此进行下去，直至得C22，若P（65，n）在第22段抛物线C22上，则n＝ 　 　 ． 三、解答题（本题共8个小题，共75分） 16．（10分）解下列方程： （1）2x2﹣5x+1＝0 （2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1） 17．（9分）作图（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，在△ABC中，O是AC中点．求作△A'B'C'，使它与△ABC关于点O对称； （2）如图②，线段MN是由线段EF旋转所得，且点M对应点E，求作该变换的旋转中心； （3）图③是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，请用无刻度的直尺作一条直线，使它平分该图形的面积． 18．（9分）阅读材料：解方程x2+2x﹣35＝0，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式x2+2x﹣35 ①竖分二次项与常数项： x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7） ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x﹣5）（x+7） （2）若ab＝0，则a＝0或b＝0，所以方程x2+2x﹣35可以这样求解： 方程左边分解因式得（x﹣5）（x+7）＝0 ∴x﹣5＝0或x+7＝0 ∴x1＝5，x2＝﹣7 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： （1）x2+5x+4＝0； （2）2x2+x﹣10＝0． 19．（9分）已知关于x的方程□x2﹣4x+1＝0有两个实根，其中“□”内的数字待填． （1）请选择一个实数填入“□”内，并求出该方程的两个实根； （2）你认为“□”内可以填入的实数应在什么取值范围内？写出推理过程． 20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0． （1）求证：不论m为任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）若抛物线y＝x2﹣（2m+1）x+2m与x轴交于A、B两点（点A与点B在y轴异侧），且AB＝4，求此抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，若抛物线y＝x2﹣（2m+1）x+2m向上平移b个单位长度后，所得到的图象与直线y＝x没有交点，请直接写出b的取值范围． 21．（9分）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求x2+2x+3最小值，令y＝x2+2x+3，则x2+2x+3﹣y＝0，则b2﹣4ac＝4﹣4（3﹣y）＝﹣8+4y≥0，可解得y≥2，从而确定x2+2x+3的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法. 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求3x2+4x﹣2的最小值. 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式x2﹣ax+3（a为常数）的最小值为﹣1，求a的值； 任务3 应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为a的矩形中，正方形的面积最大. 22．（10分）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 23．（10分）综合与探究 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是射线BA上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD． 实践操作： 第一步：将射线CD绕点C逆时针旋转45°交AB于点E； 第二步：将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接BF，EF． （1）如图1，当点D在BA的延长线上时，求证：△CFE≌△CDE． 问题解决： （2）根据上述操作，判断AD，DE，BE之间的数量关系，并说明理由． 探索发现： （3）如图2，若，点D在线段AB上，试探究AD2+BD2的值是否存在最小值．若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 九年级数学试题 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $