精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第六中学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

齐市六中2024级高一3月份月考 高一数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择（每小题5分，共40分） 1. 弧度对应角化成角度为（ ） A. B. C. D. 2. 平行四边形中，，则四边形是（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形 3. 角满足，则角终边一定过第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 4. 在中，D是BC边上一点且，则（ ） A. B. C. D. 5. ，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 起点重合，，则最大值为（ ） A B. 3 C. D. 7. 锐角中，角A、B、C所对的边长a、b、c，若，则的范围（ ） A. B. C. D. 8. 是函数的两个零点，若最小值为，将向右平移个单位长度后恰好过原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 向量，下列叙述正确的是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 10. 对于，有如下命题，其中正确的有（ ） A. 若，则为等腰或直角三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. ，则面积为 D. ，则或 11. ，（）且，下列说法正确是（ ） A. 的最小值是4 B. 在上投影向量为 C. 范围 D. 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分） 12. 的单调增区间____ 13. O为内一点，且，则的面积与的面积的比值为____ 14. 在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，其外接圆半径R，内切圆半径r，. ①若面积为，则的周长为____ ②若，则的内切圆半径r = ____ 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 关于的方程的根为. （1）求的值 （2）求的值及的值 16. ，且， （1）用表示数量积； （2）当时，求的最小值，及相应的值. （i）求此时夹角， （ii）求此时在上投影向量的模. 17. 在中角A、B、C所对的边长为a、b、c，向量，且. （1）若，求 （2）若，求的周长 18. 在中，为中点，在上，且，与交于点O （1）用表示. （2）过O作直线交线段于点，交线段于，，求的值 19. 函数图像过点，对于恒成立，此时最小值为. （1）求的解析式 . （2）若，求的范围 . （3）若在上有两个不相等实数根，求m的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐市六中2024级高一3月份月考 高一数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择（每小题5分，共40分） 1. 弧度对应角化成角度为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式直接求解即可. 【详解】解:根据角度制与弧度制的互化关系得 故选：B 2. 平行四边形中，，则四边形是（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，得出，即可求解. 【详解】由，可得， 所以，即， 可得，所以，即， 又因为为平行四边形，所以四边形为矩形. 故选：C. 3. 角满足，则角终边一定过第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式以及各象限三角函数值符号即可判断得出结论. 【详解】由可得， 又，可知角终边一定在第四象限. 故选：D 4. 在中，D是BC边上一点且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，利用共线向量表示及平面向量线性运算即得. 【详解】如图，由可得， 则. 故选：C 5. ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数关系求解即得. 【详解】由，得是第二象限角， 则，， 所以. 故选：A 6. 起点重合，，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积公式，可得，根据求模公式，可得，根据题意，化简可得，根据，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得，即的最大值为. 故选：D 7. 锐角中，角A、B、C所对的边长a、b、c，若，则的范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由锐角三角形先求得，进而根据正弦定理边角互化求解即可. 【详解】因为锐角中， 所以， 即，解得， 所以， 因为，所以， 所以，即的范围为 故选：B 8. 是函数的两个零点，若最小值为，将向右平移个单位长度后恰好过原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可计算出周期，即可得，再利用平移后过零点计算可得，从而可结合得到的最大值. 【详解】由最小值为，则，则， 将向右平移个单位长度后恰好过原点， 则， 则，又，则的最大值为. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 向量，下列叙述正确的是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可判断AC，再由向量垂直的坐标表示可判断选项BD，可得答案. 【详解】对于A，当时，即或时，，可知A正确； 对于B，若，可得, 显然此方程无解，即不存在，使得，因此B错误； 对于C，易知，若，可得； 解得或，满足题意，因此C正确； 对于D，若，可得； 显然当满足题意，因此D正确； 故选：ACD 10. 对于，有如下命题，其中正确的有（ ） A. 若，则为等腰或直角三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. ，则面积为 D. ，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由内角范围及诱导公式求解判断；对BCD，由正弦定理和余弦定理逐项判断. 【详解】对于A：由得或， 解得或，所以为等腰或直角三角形，A正确； 对于B：由，可得， 即，由正弦定理可得， 由余弦定理得，所以为钝角，为钝角三角形，B正确； 对于C：由余弦定理，，即， 化简得，解得或， 若，则； 若，则.所以C错误； 对于D：根据余弦定理，即， 所以，又，所以或，D正确. 故选：ABD. 11. ，（）且，下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是4 B. 在上投影向量为 C. 的范围 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，再利用基本不等式求解判断AD；求出投影向量判断B；求出模的范围判断C. 【详解】由，得，而，， 则，即，又，则， 对于A，， 当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，在上投影向量，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分） 12. 的单调增区间____ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定函数，利用正弦函数的单调性列式求出单调递增区间. 【详解】由，解得， 所以所求单调增区间为. 故答案为： 13. O为内一点，且，则的面积与的面积的比值为____ 【答案】 【解析】 【分析】结合平面向量共线定理求出两个三角形的高的比值，即可求得面积比值. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 易知，所以， 因此可得三点共线， 易知与的公共边为，设点到边的距离为， 可知到边的距离为，到边的距离为， 所以. 故答案为： 14. 在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，其外接圆半径R，内切圆半径r，. ①若面积为，则的周长为____ ②若，则的内切圆半径r = ____ 【答案】 ①. 18 ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，余弦定理求出，进而求出，再利用三角形面积公式求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 令，由余弦定理得， ①，由面积为，得， 解得，所以的周长； ②由①知，而，则， 由正弦定理，得，解得， 所以. 故答案为：18； 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 关于的方程的根为. （1）求的值 （2）求的值及的值 【答案】（1） （2）；； 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理及同角三角函数的关系解方程组即可求出，代入表达式中即可； （2）根据韦达定理求出，根据二倍角公式求出. 【小问1详解】 由题意可知①，②， 又因为，所以， 联立①②解得：，，， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，所以， ， . 16. ，且， （1）用表示数量积； （2）当时，求的最小值，及相应的值. （i）求此时夹角， （ii）求此时在上投影向量的模. 【答案】（1）； （2）的最小值为，此时； （i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由向量模长的坐标表示以及平面向量数量积的运算律直接计算可得结果； （2）利用基本不等式可求出的最小值为，此时； （i）根据向量夹角的计算公式直接代入计算可得结果； （ii）由投影向量模长定义计算即可. 【小问1详解】 由可得， 将两边同时平方可得， 因此可得 【小问2详解】 当时，可得， 由（1）可知， 当且仅当时，等号成立， 因此的最小值为，此时相应的值为； （i）设此时夹角为， 所以，又， 因此可知； 即此时夹角为； （ii）此时在上投影向量的模为. 17. 在中角A、B、C所对的边长为a、b、c，向量，且. （1）若，求 （2）若，求的周长 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示及正弦定理角化边求出，再利用余弦定理求出，进而求出. （2）由三角恒等变换，结合条件求出，再利用正弦定理求解. 【小问1详解】 向量，由，得， 在中，由正弦定理得，而，则， 当时，由余弦定理得， ，所以. 【小问2详解】 当时，则， 由（1）知，则，显然为锐角， 解得，由正弦定理得， 所以的周长. 18. 在中，为中点，在上，且，与交于点O （1）用表示 （2）过O作直线交线段于点，交线段于，，求的值 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段比例关系以及平面向量基本定理可表示出； （2）利用平面向量共线定理列方程组计算可求得的值. 【小问1详解】 由为中点可知，由可知，如下图： 因此可得， 因为三点共线，所以可设， 且三点共线，所以存在实数，使得， 因此可得， 即，解得， 因此； 【小问2详解】 如下图所示： 因为三点共线，所以存在实数使得， 其中由可得，又， 所以， 结合（1）中结论可知，解得；因此 19. 函数的图像过点，对于恒成立，此时最小值为. （1）求的解析式 . （2）若，求的范围 . （3）若在上有两个不相等实数根，求m的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意判断函数最小正周期，以及函数上的点的坐标，求出参数，写出函数解析式即可. （2）根据函数单调性，列出不等式，求出解得范围即可. （3）根据函数单调性，求出在给定区间上的值域，进而判断参数的范围. 【小问1详解】 当恒成立，此时最小值为，可知最小正周期，所以， 则过点，代入得， 化简得，即，解得， 因为，所以，可得； 【小问2详解】 当时，可得， 解得， 因为，所以当时，得，当时，得， 所以的范围为. 【小问3详解】 当时，， 设， 可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 可知， 当在上有两个不相等实数根时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $