精品解析：上海市位育中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025学年第一学期位育中学期中考试试卷 高一年级数学学科 （考试时间100分钟，总分100分） 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. “集合是集合的真子集”用数学符号可以表示为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据集合与集合的关系表示即可. 【详解】“集合是集合的真子集” 用数学符号可以表示为或. 故答案为：或 2. 不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】由有，所以， 所以解集为. 故答案为：. 3. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得二元一次方程组求解计算即可求得所求的点集. 【详解】由题意得：，解得：， ∴ 故答案为： 4. 已知，将化成有理数指数幂的形式，其结果是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂互化及运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为：. 5. 要使表达式有意义，则的取值范围是___________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据对数的性质即可列不等式求解. 【详解】由题意可得或，解得：且， 故答案为：且 6. 已知函数的表达式为，，则______. 【答案】或3 【解析】 【分析】分段讨论解方程即可. 【详解】当时，则，解得； 当时，，解得，(舍负) 综上，或， 故答案为：或3． 7. 已知，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的定义求出，，代入，利用对数的运算即可求解. 【详解】由，则，， 则， 因此可得， 故答案为：. 8. 已知函数，是奇函数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义域关于原点对称求出，再由求出，即可得解. 【详解】令， 因为函数，是奇函数， 所以，解得； 所以，又，即， 所以，解得， 所以. 故答案为： 9. 方程的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用零点分段法分类讨论，分别解得. 【详解】方程， 当时，方程左边， 方程右边，即恒成立，所以； 当时，方程左边， 方程右边，原方程可化为，解得， 又，所以方程无解； 当时，方程左边， 方程右边，原方程可化为，解得， 又，所以方程无解； 当时，方程左边， 方程右边，即恒成立，所以； 综上可得方程的解集是. 故答案为： 10. 用反证法证明：“已知是整数，若为偶数，则中至少有两个是偶数.”时，应假设：________． 【答案】假设中至多有一个是偶数 【解析】 【分析】由反证法的定义即可得到结果； 【详解】由题意可得，应假设：中至多有一个是偶数. 故答案为：中至多有一个是偶数 11. 若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 先得或，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程有两个根，方程有一个根；求出，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出，得出，即可得出结果. 【详解】由得或， 方程的判别式为， 方程的判别式为， 显然， 又集合中有且只有3个元素， 所以方程和共三个根， 且只能方程有两个根，方程有一个根； 即，即； 所以方程可化为，解得或， 方程可化为，解得， 则， 又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以， 解得， 则，因此. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由集合中元素个数求参数的问题，属于常考题型. 12. 若关于的不等式的解集中恰好含有2025个整数，则实数的取值集合是______ 【答案】或 【解析】 【分析】分别讨论、和三种情况，求得不同条件下不等式的解集，根据题意，分析计算，即可得答案. 【详解】当，即时，，解集为，有无数个解，不符合题意； 当，即时，， 当时，，则不等式的解集为， 包含无数个解，不符合题意； 当时，，则不等式解集为， 包含无数个解，不符合题意； 当时，解得或， 当时，，不等式解集为， 因为，所以， 因为解集中恰好含有2025个整数， 所以，解得； 当时，，不等式解集为， 因为，所以， 因为解集中恰好含有2025个整数， 所以，解得， 综上，实数的取值集合或. 故答案为：或 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 13. 下列是成立的一个充分非必要条件的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，结合不等式的性质即可逐一求解. 【详解】对于A,由于不能推出，故A错误， 对于B,由可得，故可得，但可得，无法得到，故是成立的一个充分不必要条件，B正确， 对于C，由可得，由于无法得知的符号，所以无法确定，故C错误， 对于D, ，故是成立的充分必要条件，D错误， 故选：B 14. 下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是相同函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，，所以两函数对应关系不同，不是相同函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是相同函数，故C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，，两函数定义域相同，对应关系相同，是相同函数，故D正确. 故选：D 15. ，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”. 例如：，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得，根据高斯函数知，即可求范围. 【详解】由，故， 所以，则，故. 故选：A 16. 已知是定义在上的函数，若对任意的，当时，均有，则称是关联.关于以下两个命题说法正确的是（ ） ①是关联；②若是关联，则是关联. A. ①为假命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①、②均为真命题 D. ①、②均为假命题 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数可判断①；构造函数可判断②，然后可得答案. 【详解】对①，不妨取，则，满足， 但，所以不是关联，假命题； 对②，定义函数，其中表示不大于的最大整数， 则当时，； 当时，， 因为或， 所以或； 当时，， 因为，所以. 综上，当时，，所以是关联. 不妨取，则， 但，所以不是关联，假命题. 故选：D 三、解答题（本大题共有5题，满分42分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 求关于的不等式的解集. 【答案】 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 【解析】 【分析】由得，根据的情况分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由有：， 当时，由， 所以； 当时，，所以原不等式解为：或， 所以； 当时，，所以原不等式的解为：， 所以； 当时，， 所以； 当时，，所以原不等式的解为：， 所以； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 18. 已知或，或． （1）若是的充分条件，求实数m的取值范围； （2）若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用充要条件与集合的关系，结合集合的包含关系即可得解. 【小问1详解】 设或，或， 因为是的充分条件，所以， 当时，即，此时，不满足题意； 当时，即，有，解得； 综上：m的取值范围为. 【小问2详解】 因为是的必要条件，所以， 当时，即，此时，成立； 当时，即，有，无解. 综上：m的取值范围为. 19. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）. （1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； （2）设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值． 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小，最小值为7万元 【解析】 【分析】（1）表达出，从而得到不等式，求出，得到答案； （2）利用基本不等式求出最小值，并得到等号成立的条件，即x的值. 【小问1详解】 由题意得， 令即， 整理得：， 即， 解得， 所以设备占地面积x的取值范围为； 【小问2详解】 ，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以设备占地面积为时，y的值最小，最小值为7万元. 20. （1）若，函数为偶函数，求的值； （2）定义在上的函数满足：对任意，都有，求证：函数是奇函数. 【答案】（1），（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义即可求解， （2）令得，令得，所以是奇函数； 【详解】（1）由于， 由于为偶函数，故，则，则， （2）函数为奇函数.证明如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 21. 已知集合中存在三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. （1）试判断集合是否具有性质并说明理由； （2）若集合，判断“集合具有性质”是“集合是集合的期待子集”的什么条件，并加以证明. 【答案】（1）集合不具有性质，理由见解析 （2）充要条件，证明见解析 【解析】 【分析】（1）从集合中任取三个元素，分情况讨论是否满足性质的三个条件； （2）根据“期待子集”的定义构造元素，证明满足性质的条件. 【小问1详解】 集合不具有性质的三元子集，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③， （ii）从集合中任取三个元素有一个为2，另外两个为奇数时. 由于，中小于2的数只有1个，所以不能取2. 当时，，则，，所以，所以，不满足条件②； 当时，，因为中大于2的元素都是奇数，所以，所以，即，不满足③. 综上所述，可得集合不具有性质. 【小问2详解】 集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质， 证明如下： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，则且，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 由知. 令，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期位育中学期中考试试卷 高一年级数学学科 （考试时间100分钟，总分100分） 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. “集合是集合的真子集”用数学符号可以表示为___________. 2. 不等式的解集是___________. 3. 已知集合，，则______. 4. 已知，将化成有理数指数幂的形式，其结果是______. 5. 要使表达式有意义，则的取值范围是___________. 6. 已知函数的表达式为，，则______. 7. 已知，且，则的值为______． 8. 已知函数，是奇函数，则___________. 9. 方程的解集是___________. 10. 用反证法证明：“已知是整数，若为偶数，则中至少有两个是偶数.”时，应假设：________． 11. 若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________. 12. 若关于的不等式的解集中恰好含有2025个整数，则实数的取值集合是______ 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 13. 下列是成立的一个充分非必要条件的是（　　） A. B. C. D. 14. 下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 15. ，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”. 例如：，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 已知是定义在上的函数，若对任意的，当时，均有，则称是关联.关于以下两个命题说法正确的是（ ） ①是关联；②若是关联，则是关联. A. ①为假命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①、②均为真命题 D. ①、②均为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分42分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 求关于的不等式的解集. 18. 已知或，或． （1）若是的充分条件，求实数m的取值范围； （2）若是的必要条件，求实数m的取值范围． 19. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）. （1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； （2）设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值． 20. （1）若，函数为偶函数，求的值； （2）定义在上的函数满足：对任意，都有，求证：函数是奇函数. 21. 已知集合中存在三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. （1）试判断集合是否具有性质并说明理由； （2）若集合，判断“集合具有性质”是“集合是集合的期待子集”的什么条件，并加以证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $