第23章 图形的相似 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

2025年华东师大版九年级上学期第23章 图形的相似  一．选择题（共10小题） 1．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，c＝4cm，则d的长是（　　） A．1cm B．5cm C．6cm D．1.5cm 2．在△ABC和△DEF中，已知，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．点A的坐标为（1，﹣2）关于y轴对称点坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2） 4．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，则S△CDF：S△CBF为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 5．在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为AB＝1m，又测得镜子与旗杆底部的距离BC＝6m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.70m，则旗杆的高度大约是（　　） A．3.53m B．7.70m C．8.25m D．10.20m 6．如图，已知∠EAC＝∠DAB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D． 7．如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′＝2：1，△A′B′C′的面积为12，则△ABC面积为（　　） A．54 B．32 C．27 D． 8．如图，五边形ABCDE∽五边形FGHMN，若AB＝10cm，FG＝15cm，则下列结论中正确的是（　　） A．3∠C＝2∠H B．2∠A＝3∠F C．3BC＝2GH D．2DE＝3MN 9．每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，BC＝9，BF平分∠ABC交AC于点F，点D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，若，则BD﹣DE的值为（　　） A． B． C．3 D． 二．填空题（共6小题） 11．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，若DE＝3，则BC＝　 　 ． 12．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比等于　 　 ． 13．在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（a，b）关于x轴对称，则a+b的值为　 　 ． 14．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，请你补充一个条件 　 　 ，使△ABC∽△ADE． 15．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝AA′，则五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长比为 　 　 ． 16．如图，点E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE，交AC于点O，交AD于点F，且AF＝2FD．给出下面四个结论： ①△EBC∽△BFA； ②； ③EF＝BO； ④▱ABCD的面积是△EFD的面积的12倍． 上述结论中，正确结论的序号是　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A，B关于y轴对称，求a，b的值； （2）若点A，B关于x轴对称，求（5b﹣3a）2025的值． 18．如图，线段AB与CD相交于点P，连接AC，BD，AP＝3，BP＝6，CP＝2，DP＝4． （1）求证：△APC∽△BPD； （2）若BD＝5，求AC的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画一个△A1B1C1，使它与△ABC位似，且相似比为2，其中，点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1； （2）在（1）的条件下，若M（a，b）是线段AB上一点，则点M的对应点M1的坐标为　 　 ． 20．已知，且3a﹣2b+c＝18，求2a+5b﹣3c的值． 21．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF）．小明利用“矩”可测量大树AB的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF＝0.2m，DE＝0.3m，小明的眼睛到地面的距离DM为1.5m，测得AM＝18m，求树高AB． 22．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF． 23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AD，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥CD交AE的延长线于点F． （1）求证：CA•CD＝CB•CF； （2）联结CE，求证：∠ACE＝∠F． 24．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． （1）点A（﹣3，5）的“长距”为 　 　 ； （2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值； （3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 25．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的奇异线． （1）如图，在△ABC中，AD为角平分线，∠B＝49°，∠C＝33°，求证：AD为△ABC的奇异线； （2）在△ABC中，∠B＝48°，AD为△ABC的奇异线，且△ABD是以AD为腰的等腰三角形，求∠BAC的度数． 2025年华东师大版九年级上学期第23章 图形的相似  参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B D D C C A A 一．选择题（共10小题） 1．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，c＝4cm，则d的长是（　　） A．1cm B．5cm C．6cm D．1.5cm 【分析】根据成比例线段的定义得到ad＝cb，代入计算即可． 【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴ad＝cb， 又∵a＝2cm，b＝3cm，c＝4cm， ∴2d＝3×4， 解得d＝6， ∴d的长是6cm． 故选：C． 【点评】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义． 2．在△ABC和△DEF中，已知，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先证△ABC∽△DEF，再根据相似三角形面积比是相似比的平方即可得解． 【解答】解：∵， ∴△ABC∽△DEF， 由相似三角形面积比是相似比的平方可知： （）2， ∴； 故选：A． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．点A的坐标为（1，﹣2）关于y轴对称点坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2） 【分析】直接根据关于y轴对称的点的坐标特点求解即可． 【解答】解：根据题意可知，点A（1，﹣2）关于y轴的对称点坐标为（﹣1，﹣2）． 故选：C． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是关键． 4．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，则S△CDF：S△CBF为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，进而由AE＝2ED可得，再由AD∥BC得到△DEF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得，由此求出S△CDF：S△CBF． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵AE＝2ED， ∴， ∵AD∥BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴， ∴，即S△CDF：S△CBF＝1：3． 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 5．在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为AB＝1m，又测得镜子与旗杆底部的距离BC＝6m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.70m，则旗杆的高度大约是（　　） A．3.53m B．7.70m C．8.25m D．10.20m 【分析】根据题意可得∠DBA＝∠CBE，可证得△DAB∽△ECB，再由，代入即可求解． 【解答】解：如图： 根据光的反射定律得：∠DBA＝∠CBE， 又∵∠DAB＝∠ECB＝90°， ∴△DAB∽△ECB， ∴， ∴BC＝6m，AB＝1m，AD＝1.7m， ∴， ∴CE＝1.7×6＝10.2， ∴CE＝10.2m． 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．如图，已知∠EAC＝∠DAB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D． 【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：∵∠EAC＝∠DAB， ∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE， ∴∠BAC＝∠DAE， A、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定△ABC∽△ADE，故A不符合题意； B、C，由有两组角对应相等的两个三角形相似判定△ABC∽△ADE，故B、C不符合题意； D、两三角形的两边对应成比例，但夹角不一定相等，不能判定△ABC∽△ADE，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 7．如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′＝2：1，△A′B′C′的面积为12，则△ABC面积为（　　） A．54 B．32 C．27 D． 【分析】根据可得，即可得出，再结合S△A′B′C′＝12可得答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴． ∵S△A′B′C′＝12， ∴S△ABC＝27． 故选：C． 【点评】本题主要考查了位似图形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 8．如图，五边形ABCDE∽五边形FGHMN，若AB＝10cm，FG＝15cm，则下列结论中正确的是（　　） A．3∠C＝2∠H B．2∠A＝3∠F C．3BC＝2GH D．2DE＝3MN 【分析】根据相似多边形的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形FGHMN，AB＝10cm，FG＝15cm， ∴AB：FG＝2：3，∠A＝∠F，∠C＝∠H， ∴BC：GH＝2：3，DE：MN＝2：3， ∴3BC＝2GH，3DE＝2MN， 故A、B、D都不符合题意，C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 9．每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【解答】解：在△ABC中，AB，AC，BC＝2， A、三边长分别为1，，，则，与△ABC相似，故本选项符合题意； B、三边长分别为，，3，则，与△ABC不相似，故本选项不符合题意； C、三边长分别为1，，2，则，与△ABC不相似，故本选项不符合题意； D、三边长分别为2，，，则，与△ABC不相似，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握其性质是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，BC＝9，BF平分∠ABC交AC于点F，点D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，若，则BD﹣DE的值为（　　） A． B． C．3 D． 【分析】延长DE，BF交于点G，可证△ADE∽△ABC，得DE∥BC，得出BD＝DG，可证△EFG∽△CFB，求出，则BD﹣DE的值可求． 【解答】解：如图，∠DAE＝∠BAC，，延长DE，BF交于点G， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE＝∠ABC， ∴DE∥BC， ∴∠CBG＝∠DGB， ∵∠ABC的平分线BF交AC于点F， ∴∠DBG＝∠CBG， ∴∠DBG＝∠DGB， ∴BD＝DG， ∵EG∥BC， ∴△EFG∽△CFB， ∴， ∵，EC＝EF+CF， ∴， ∴， 则． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 二．填空题（共6小题） 11．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，若DE＝3，则BC＝　9　 ． 【分析】先证明△ADE∽△ABC，再求出两个三角形的相似比，由DE的长和对应关系可求出BC． 【解答】解：∵AD：DB＝1：2， ∴， ∵DE∥BC，DE＝3， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即， 解得：BC＝9（经检验，是分式方程的根，且符合题意）， 故答案为：9． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，找到BC对的应边和确定两个三角形的相似比是解决本题的关键． 12．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比等于　1：4　 ． 【分析】由中位线的性质可知DE∥BC、，由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得，． 【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，， ∴∠ADE＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∵， ∴． 故答案为：1：4． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，属于中档题． 13．在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（a，b）关于x轴对称，则a+b的值为　﹣1　 ． 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【解答】解：根据题意可知，a＝2，b＝﹣3， ∴a+b＝2+（﹣3）＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点是关键． 14．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，请你补充一个条件 　∠B＝∠D（答案不唯一）　 ，使△ABC∽△ADE． 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：添加∠B＝∠D， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠CAB＝∠DAE， ∵∠B＝∠C， ∴△ABC∽△ADE， 故答案为：∠B＝∠D（答案不唯一）． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 15．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝AA′，则五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长比为 　　 ． 【分析】根据位似的性质得到五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，相似比，然后根据相似多边形的性质求解． 【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′， ∴五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，相似比， ∴五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长比为． 故答案为：． 【点评】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线）；位似比等于相似比． 16．如图，点E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE，交AC于点O，交AD于点F，且AF＝2FD．给出下面四个结论： ①△EBC∽△BFA； ②； ③EF＝BO； ④▱ABCD的面积是△EFD的面积的12倍． 上述结论中，正确结论的序号是　①②④　 ． 【分析】由平行四边形的性质得CE∥AB，CB∥AF，则∠E＝∠ABF，∠CBE＝∠AFB，所以△EBC∽△BFA，可判断①正确；由△COB∽△AOF，推导出，由△COE∽△AOB，推导出，则，可判断②正确；可证明△DFE∽△AFB，因为AF＝2FD，所以，则EFBF，，因为CB＝AD＝3FD，所以，则BOBF，可知EF≠BO，可判断③错误；由DF∥CB，证明△EFD∽△EBC，求得，则S△EBC＝9S△EFD，所以S四边形FBCD＝8S△EFD，而，则S△BFAS△EBC＝4S△EFD，所以S▱ABCD＝S△BFA+S四边形FBCD＝12S△EFD，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E边CD延长线上的一点，BE交AC于点O，交AD于点F， ∴CE∥AB，CB∥AF， ∴∠E＝∠ABF，∠CBE＝∠AFB， ∴△EBC∽△BFA， 故①正确； ∵CB∥AF， ∴△COB∽△AOF， ∴， ∵CE∥AB， ∴△COE∽△AOB， ∴， ∴， 故②正确； ∵DE∥AB， ∴△DFE∽△AFB， ∵AF＝2FD， ∴， ∴EFBF，， ∵△COB∽△AOF，CB＝AD＝2FD+FD＝3FD， ∴， ∴BOBFBF， ∵BFBF， ∴EF≠BO， 故③错误； ∵DF∥CB， ∴△EFD∽△EBC， ∴， ∴S△EBC＝9S△EFD， ∴S四边形FBCD＝9S△EFD﹣S△EFD＝8S△EFD， ∵△EBC∽△BFA，， ∴， ∴S△BFAS△EBC9S△EFD＝4S△EFD， ∴S▱ABCD＝S△BFA+S四边形FBCD＝4S△EFD+8S△EFD，＝12S△EFD， ∴▱ABCD的面积是△EFD的面积的12倍， 故④正确， 故答案为：①②④． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出CE∥AB，CB∥AF，进而证明△EBC∽△BFA、△COB∽△AOF、△COE∽△AOB及△EFD∽△EBC是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 17．已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A，B关于y轴对称，求a，b的值； （2）若点A，B关于x轴对称，求（5b﹣3a）2025的值． 【分析】（1）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，2a﹣b＝﹣（2b﹣1），5+a＝﹣a+b， 解得：a＝﹣1，b＝3； （2）根据题意可知，2a﹣b＝2b﹣1，5+a＝﹣（﹣a+b）， 解得：a＝﹣8，b＝﹣5， ∴（5b﹣3a）2025 ＝[5×（﹣5）﹣3×（﹣8）]2025 ＝（﹣1）2025 ＝﹣1． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是关键． 18．如图，线段AB与CD相交于点P，连接AC，BD，AP＝3，BP＝6，CP＝2，DP＝4． （1）求证：△APC∽△BPD； （2）若BD＝5，求AC的长． 【分析】（1）由题易得，即可得证； （2）根据相似三角形的性质直接求解即可． 【解答】（1）证明：∵AP＝3，BP＝6，CP＝2，DP＝4， ∴， ∵∠APC＝∠BPD， ∴△APC∽△BPD； （2）解：∵△APC∽△BPD， ∴， ∴AC． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画一个△A1B1C1，使它与△ABC位似，且相似比为2，其中，点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1； （2）在（1）的条件下，若M（a，b）是线段AB上一点，则点M的对应点M1的坐标为　（﹣2a，﹣2b）　 ． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可． （2）根据位似的性质可得答案． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由题意得，点M（a，b）的对应点M1的坐标为（﹣2a，﹣2b）． 故答案为：（﹣2a，﹣2b）． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 20．已知，且3a﹣2b+c＝18，求2a+5b﹣3c的值． 【分析】先设，可得a＝3k，b＝4k，c＝5k，而3a﹣2b+c＝18，那么9k﹣8k+5k＝18，易求k，进而可求a、b、c的值，代入2a+5b﹣3c计算即可． 【解答】解：设，则a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∴9k﹣8k+5k＝18， 解得：k＝3， ∴a＝9，b＝12，c＝15， ∴2a+5b﹣8c＝2×9+5×12﹣3×15＝33． 【点评】本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值k，从而求出a、b、c的值． 21．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF）．小明利用“矩”可测量大树AB的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF＝0.2m，DE＝0.3m，小明的眼睛到地面的距离DM为1.5m，测得AM＝18m，求树高AB． 【分析】据题意可得∠DEF＝∠BCD＝90°，AC＝DM＝1.5m，AM＝CD＝18m，可证明△DEF∽△DCB，再利用相似三角形的性质列出比例式求出BC的长，进而求出AB的长即可得到答案． 【解答】解：根据题意可得∠DEF＝∠BCD＝90°，AC＝DM＝1.5m，AM＝CD＝18m， 又∵∠EDF＝∠CDB， ∴△DEF∽△DCB， ∴． ∵EF＝0.2m，DE＝0.3m，AM＝CD＝18m， ∴， ∴BC＝12m， ∴AB＝AC+BC＝1.5+12＝13.5（m）． 答：树高AB为13.5m． 【点评】本题主要考查了相似三角形的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 22．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF． 【分析】根据正方形的性质，得出∠B＝∠C＝90°，AB＝CB＝9，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【解答】证明：∵BE＝3，EC＝6， ∴BC＝9， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB＝9，∠B＝∠C＝90°， ∵，， ∴， 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECF． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AD，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥CD交AE的延长线于点F． （1）求证：CA•CD＝CB•CF； （2）联结CE，求证：∠ACE＝∠F． 【分析】（1）由平行四边形的性质得BC∥AD，因为AC⊥AD，所以∠ACB＝∠DAC＝90°，由AE⊥BD于点E，CF⊥CD交AE的延长线于点F，得∠AEB＝∠DCF＝90°，则∠ACF＝∠BCD＝90°+∠ACD，再证明∠CAF＝∠CBD，则△CAF∽△CBD，所以，则CA•CD＝CB•CF． （2）联结CE，由∠OAE＝∠OBC，∠AOE＝∠BOC，证明△AOE∽△BOC，得，变形为，再证明△AOB∽△EOC，得∠ABO＝∠ACE，因为∠ABO＝∠BDC，所以∠ACE＝∠BDC，由相似三角形的性质得∠F＝∠BDC，则∠ACE＝∠F． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥AD， ∴BC∥AD， ∴∠ACB＝∠DAC＝90°， ∵AE⊥BD于点E，CF⊥CD交AE的延长线于点F， ∴∠AEB＝∠DCF＝90°， ∴∠ACF＝∠BCD＝90°+∠ACD， ∵∠CAF+∠AOE＝90°，∠CBD+∠BOC＝90°，且∠AOE＝∠BOC， ∴∠CAF＝∠CBD， ∴△CAF∽△CBD， ∴， ∴CA•CD＝CB•CF． （2）联结CE，∵∠OAE＝∠OBC，∠AOE＝∠BOC， ∴△AOE∽△BOC， ∴， ∴， ∵∠AOB＝∠EOC， ∴△AOB∽△EOC， ∴∠ABO＝∠ACE， ∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠BDC， ∴∠ACE＝∠BDC， 由（1）得△CAF∽△CBD， ∴∠F＝∠BDC， ∴∠ACE＝∠F． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠ACF＝∠BCD，∠CAF＝∠CBD，进而证明△CAF∽△CBD是解题的关键． 24．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． （1）点A（﹣3，5）的“长距”为 　5　 ； （2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值； （3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“角平分线点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可． 【解答】解：（1）∵点A（﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， ∴点A的“长距”为5． 故答案为：5； （2）∵点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”， ∴|4﹣2a|＝|﹣2|， ∴4﹣2a＝2或4﹣2a＝﹣2， 解得a＝1或a＝3； （3）∵点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内， ∴3b﹣2＝4，解得b＝2， ∴9﹣2b＝5， ∴点D的坐标为（5，﹣5）， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点D是“角平分线点”． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”． 25．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的奇异线． （1）如图，在△ABC中，AD为角平分线，∠B＝49°，∠C＝33°，求证：AD为△ABC的奇异线； （2）在△ABC中，∠B＝48°，AD为△ABC的奇异线，且△ABD是以AD为腰的等腰三角形，求∠BAC的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，进而得出∠DAC，再根据定义判断即可； （2）分两种情况：AD＝AB或BD＝AD，AC＝18，BC＝12，分别求出∠ADB，即可得∠ADC，再根据定义得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠B＝49°，∠C＝33°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝98°． ∵AD是角平分线， ∴， ∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠DAC， ∴AD＝BD， 则△ABD是等腰三角形． ∵∠C＝∠C， ∴△ACD∽△BCA， ∴AD是△ABC的奇异线； （2）解：∵∠B＝48°，△ABD是以AD为腰的等腰三角形， 当AD＝AB， ∴∠ADB＝∠B＝48°， ∴∠BAD＝84°，∠ADC＝132°． ∵AD是△ABC的奇异线，△ABD是以AD为腰的等腰三角形， ∴△ACD∽△BCA， ∴∠BAC＝∠ADC＝132°； ∵∠B＝48°，△ABC不是三角形，不符合题意； 当AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝48°， ∴∠ADB＝84°， ∴∠ADC＝96°． ∵AD是△ABC的奇异线，△ABD是以AD为腰的等腰三角形， ∴△ACD∽△BCA， ∴∠BAC＝∠ADC＝96°． 综上所述，∠BAC＝96°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，角平分线定义，三角形内角和定理，理解新定义是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/13 7:41:50；用户：林建伟；邮箱：13067837950；学号：53829082 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $